Bevarandelagar för fluidtransport, dimensionsanalys och skalning (Kapitel 3)

Transkript

1 Bearandelagar för flidtransport, dimensionsanals och skalning (Kapitel 3) Idag: Kapitel 3 Blodets reologi (rest från kapitel ) Generella balansekationerna på differentiell form: bearande a massa och rörelsemängd Dimensionsanals Naier-Stokes ekationer på dimensionslös form Krpströmning 1

2 Blodreologi Plasma (~93% atten) Netonsk flid Viskositet id 37 C: < µ < Pa s (Jämför med Pa s för atten id 37 C) Blodet som helhet är icke-netonskt id låga skjningshastigheter (< 100 s -1 ) 1/ Casson (.8.6) τ = 1/ τ 1/ 1/ 0 η (!γ N r ) Blodets reologi Viskositeten arierar med deformationshastighet och koncentration a röda blodkroppar (H ct )!

3 Blodets reologi I små blodkärl: Fåhræs-Lindqisteffekten: Viskositeten minskar med minskad kärldiameter! PennLibr/MPhsiolog/lect6/ fig6.04.htm inde.php/vieknarsimhan/ HomePage Blodets reologi I kapillärer: Ökat friktionsmotstånd pga. endotelet. Deformation a de röda blodkropparna. 3

4 Strande ekationer Kontinitetsekationen: Plan strömning (tå dimensioner) Inkompressibel flid (densiteten konst.) => = 0 Strande ekationer Implsekationen: # dv & $ % t ' ( = F Obs! Liknar ma = F där a = t 4

5 Strande ekationer Implsekationen: σ Krafter: Graitation (olmkraft) Ytkrafter ij = p τ τ τ τ p τ τ Spänningstensorn: τ τ p τ F g = gδδδ σ σ σ σ σ σ σ σ σ Strande ekationer Implsekationen: Betrakta infinitesimal kontrollolm: σ dd σ σ d d dd σ σ d ddd Ytkraft i -led: σ = σ σ ddd d σ dd d d (Äen spänningen σ på fram- respektie baksidan!) 5

6 Strande ekationer Implsekationen: Ytkrafter: : : : σ = σ σ σ = σ = σ σ ddd σ ddd σ ddd Strande ekationer Implsekationen: Krafter: Inför: σ ij = pδij τ ij Kroneckers delta δ ij = samt diidera med olmselementet dω dω dω p τ τ τ = p τ τ τ = p τ τ τ =!# 1 om i = j " $# 0 annars d Ω = ddd 6

7 Strande ekationer Implsekationen: Krafter: s = p τ dω Lokal accelera tion D = g p τ Dt konekti acceleration g dω = g graitation trcket p τ τ τ = g t p τ τ τ = g t p τ τ τ = g t iskös kraft Skjning Deformation a ett flidelement dδt!γ = µ Ur figren: För en Netonsk flid gäller generellt: " τ ij = µ i % j $ # j ' i & d dδt d dβ dα d d dδt dδt 7

8 8 Strande ekationer Implsekationen: D Dt = g p τ = p g t µ = p g t µ = p g t µ Kan för inkompressibel strömning a en netonsk flid skrias: D Dt = g p µ Naier- Stokes ekationer Dimensionsanals (asnitt 3.5, E.6) Metod för minska kompleiteten i beskriningen a ett fsikaliskt fenomen samt att minska antalet ariabler som påerkar detta. Eempel, rörströmning: Bckinghams Pi-teorem. 1. Identifiera antal ariabler och dimensioner: 6 ariabler, 3 dimensioner (massa, längd, tid). Detta medför att 6-3=3 dimensionslösa grpper kan skapas.. Finn det största antal ariabler som inte kan bilda en dimensionslös grpp. Börja med att gissa att antalet är det samma som antalet dimensioner. Här t.e. densitet, hastighet och diameter 3. Skapa dimensionslösa grpper (Pi-grpper) genom att kombinera dessa med de öriga ariablerna. Δp = f (,µ, L, D,< >) Δp < > = g < > D µ, L D " # $ % & ' Kolla igenom asnitt 3.5 och räkna E.6 själ till i morgon!

9 Dimensionsanals Δp < > = L D g " < > D % $ ' # µ & Δp D Fannings friktionsfaktor: f = < > L Naier-Stokes ekationer på dimensionslös form = g t Dimensionslösa ariabler: p µ * = L ; * = ; * ; ; ; ; L = * < > = p * p = g * < > < > = g g t * = t T St * t L Strohal talet: St = T < > ; Renolds Frode talet: Fr = < > * * * = * p * 1 Re * * 1 Fr g* gl talet: Re = < > L µ 9

10 Krpströmning kring en sfär Stokes lösning: " r =U 0 $ 1 3 # " θ = U 0 $ 1 3 # 4 R r 1 R 3 r 3 R r 1 4 p = p g 3µU 0 R % 'cosθ & R 3 r 3 ) * R r % 'sinθ &,. cosθ - Krpströmning kring en sfär Strömningsmotstånd (motståndskraft, eng. drag force) Integration a trck och skjspänning projicerat på strömningsriktningen öer tan ger motståndskraften Motståndskraft: F D = 6πµU 0 R Motståndskoefficient: F C D = D = 6πµU 0R = 4µ 1 U 0π R 1 U 0π R U 0 R = 4 Re 10

11 Krpströmning kring en sfär Fallande sfär (sedimentering) 4 p 3 π du 0 R3 dt = 4 3 gπ R3 ( p ) 6πµU 0 R Gränshastighet (eng. terminal elocit) du 0 dt = 0 U 0 = gr ( 9µ p ) S.4 Idag: Blodreologi Generella balansekationerna på differentiell form ga kontinitetsekationen och Naier-Stokes ekation Dimensionsanal tar i pp på seminariet i morgon Naier-Stokes ekationer på dimensionslös form Krpströmning, kolla igenom S.4 Obs!.8.5, 3.4 Hoppas öer! Obs!.7.5 Inlämningsppgift 1! 11