Approximativa metoder för analys av komplexa fysiologiska flöden

Storlek: px

Starta visningen från sidan:

Download "Approximativa metoder för analys av komplexa fysiologiska flöden"

Lina Nilsson
för 5 år sedan
Visningar:

1 Approimatia metoder för anals a komplea fsiologiska flöden

2 Innehåll Naier-Stokes ekationer på dimensionslös form Balansekationerna på integralform Gränsskikt Smörjfilmsteori

3 Naier-Stokes ekationer på dimensionslös form ρ U T t + U L + U L = ρu L p + U L μ + + ρg g L UT t + + = p + μ ρul + + Lg U g Strohaltalet St = fl U = L Renoldstalet Re = ρul Frodetalet UT μ Fr = U gl St + + t = p + 1 Re Fr g

4 Naier-Stokes ekationer på dimensionslös form St + + t = p + 1 Re + Alternati form: 4α Re t + + = p + 1 Re + Womersletalet α = D πρf μ Renoldstalet Re = ρul μ Strohaltalet St = fl U = L UT

5 Renoldstal Strohaltal Re St konekti tröghets kraft iskös kraft transient tröghetskraft konekti tröghetskraft Womersletal transient tröghetskraft iskös kraft

6 Instationär strömning Ungefärliga ärden på Womersletalet: Aorta: 1 Karotis: 4,4 Arteriol: 0,04

7 Strande ekationer Massans bearande ρ t + ρ = 0 Implsens bearande ρ t + ρ = p + τ + ρ g Dessa kan integreras öer en kontrollolm och m.h.a. Gass sats fås ekationerna på integralform, se boken kap

8 Strande ekationer p g t p g t p g t konekti acceleration Lokal acceleration graitation trckkraft iskös kraft 0 t Massans bearande Implsens bearande

9 Strande ekationer p g t p g t p g t Naier-Stokes ekationer 0 Massans bearande Implsens bearande

10 Renolds transportteorem Sstem: En samling materia inom föreskrina gränser. Ingen materia passerar sstemgränsen Massa: dm ss dmv 0 Energi: Impls: ss F de ss dq dw Kontrollolm: Fi eller rörlig och eentellt defomerbar olm genom ilken materia strömmar

11 Renolds transportteorem Flöde öer en ta da V n Flöde a B: d B = ρβ V n da B = ρβ V n da β = db dm

12 Renolds transportteorem Sstem id tiden t: Sstem id tiden t+dt: Kontrollolm: Ändring i kontrollolmen nder Dt: B CV t + t B CV t = B ss t + t B ss t t ρβ V n da B CV t + t B CV t t t 0 db ss = B ss t + t B ss t t = db CV + ρβ V n da ρβ V n da db ss = d CV ρβdω + ρβ V n da

13 Renolds transportteorem db dm Gäller för gocklig, deformerbar kontrollolm db ss d d CV Ändring a B i CV Nettoflöde V ds a B öer Om kontrollolmens olm är konstant (fi kontrollolm) : d CV d CV d d

14 Renolds transportteorem Massans bearande B = m β = db dm = 1 Inkompressibelt V n da = 0 dm ss = d CV ρdω + ρ V n da = 0 Eempel Q 1 = 1 V n da = 1 πr 1 Q 4 = 4 V n da = 4 πr 4 V n da = Q 1 + Q 4 + Q 5 = 0 Q 5 = V n da = 5 πr 5 5

15 Renolds transportteorem Implsens bearande B = m V β = db dm = V d m V ss = d CV ρ V dω + ρ V V n da = F Krafter Graitation: F g = ρ gdω = m g CV Trck: F p = Viskösa spänningar: p n da F = n τ da d CV ρ V dω + ρ V V n da = p n da + n τ da + m g

16 Renolds transportteorem Implsens bearande Kraften på plattan: Eempel ρ V V n da = F = F D = δ Strömlinje U 0 = h 1: V n = U 0 1 CV : V n = Kontinitetsekationen ger F D = ρu 0 1 da + ρ da = ρu 0 hb + ρb 0 δ d ρ V n da = 0 ρb h 0 U 0 d + ρb 0 δ d = 0 U 0 h = 0 δ d F D = ρb 0 δ U 0 d

17 Bernollis ekation Utgå ifrån implsekationen ρ t + ρ = p + τ + ρ g Antag stationär, förlstfri och isoterm strömning ρ = p + ρ g Längs strömlinje dp + ρd + ρgd = 0 Integrera längs strömlinjen p + ρ + ρg = konstant

18 Bernollis ekation Strömning genom förträngt rör Trckfördelning längs centrmlinjen Vena contracta Vena contracta

19 Bernollis tidgade ekation Från energiekationen kan följande ttrck härledas nder antagande att strömningen är: Inkompressibel Endimensionell och att ändringar i potentiell energi kan försmmas Viskösa förlster p 1 p = ρ 1 + ρ l=1 d dl + S E nds

20 Gränsskiktsekationerna kontinitet Impls i -led Impls i -led + = 0 ρ ρ + + = p + μ + = p + μ + Eftersom gränsskikt är tnna gäller följande: Re = ρu μ 1

21 Gränsskiktsekationerna Impls i -led ρ liten + liten = p + μ + p 0 mcket liten liten Impls i -led ρ + = p + μ + ρ + = dp d + μ Från Bernolli precis tanför gränsskiktet: dp d = ρu du d ρ + du = ρu d + μ

22 Gränsskikt Återänd till tidigare eempel, strömning öer plan platta: F D = ρb 0 δ U 0 d Jämför med on Karmans ekation om U=U 0 =konstant (ek ) δ U d + ρ du τ = ρ 0 d 0 δ U d = ρ 0 δ U 0 d F D = τ dd

23 Alösning Separationspnkt

24 Alösning

25 Alösning

26 Smörjfilmsteori 1 d μ d dp h3 d = 6 h du d U dh d + V (Renolds, 1886)

Relevanta dokument

Bevarandelagar för fluidtransport, dimensionsanalys och skalning. Approximativa metoder för analys av komplexa fysiologiska flöden

Bevarandelagar för fluidtransport, dimensionsanalys och skalning. Approximativa metoder för analys av komplexa fysiologiska flöden Bearandelagar för fliransport, dimensionsanals och skalning Approimatia metoder för anals a komplea fsiologiska flöden Innehåll Blodets reologi Balansekationerna på differentiell form Dimensionsanals Naier-Stokes