Kapitel 8. Kap.8, Potentialströmning

Transkript

1 Kpitel 8 Kp.8, Voticitet (epetition) Hstighetspotentil Stömfunktionen Supeposition Cikultion -dimensionell kopp Kutt-Joukovskis lftkftsteoem Komple potentil Rottionssmmetisk potentilstömning

2 Rottion v ett fluidelement Kpitel 4 Vinkelhstighet: dt d dt d z β α ω 1 Små vinkl ge: dt u d ddt v d 1 α dt v d ddt u d 1 β d d t d v d Δ t d u d Δ t d u Δ t d v Δ dα dβ

3 Kpitel 4 u dδt Rottion v ett fluidelement Låt dα v dt 0 dt dβ u dt Note tt i D-fllet ä ω ω 0 v d dδt 1 v u Vinkelhstigheten ωz 1 w v På smm sätt: ω 1 u w ω z z 1 1 ϖ ot ( V ) ( V ) Voticitet: ζ ω d dβ d dα u d dδt Stömningen klls ottionsfi om 0 ζ v dδt

4 Kpitel 8 Fiktionsfi stömning: V ρ Dt D ρg p μ V μ 0 DV ρ Dt ρg p Eules ekvtion Ge Benoullis ekvtion om den integes längs stömlinje, se sid. 59 w w u Rottionsfi stömning:,, 0 V v z u z v

5 Kpitel 8 Fiktionsfi och ottionsfi stömning: Om stömningen ä ottionsfi V φ,, z, t ( ) 0 kn hstighetspotentilen definies V ( u v, w) φ,, V φ φ φ φ u φ, v φ w φ z z Kontinuitet: φ φ φ φ z 0 Impuls: φ ρ t p ρv ρgz konstnt

6 Kpitel 8 Stömfunktionen: ψ ψ 0 Hstighetskomponeten kn nu skivs som u v Jämfö med 0 u ψ ψ v Fiktionsfi och ottionsfi stömning, : Fö D-stömning: u ψ ψ v φ φ Stömlinje och potentillinje lltid vinkelät mot vnd

7 Kpitel 8 Fiktionsfi och ottionsfi stömning: Fö D-stömning: ψ u ψ v φ φ Stömlinje och potentillinje lltid vinkelät mot vnd Fiktionsfi och ottionsfi stömning klls potentilstömning

8 Kpitel 8 : Veklighet :

9 Kpitel 8 : Elementfll vilk kn kombines fö tt skp nd stömning: 1. Pllellstömning: ψ U U sinθ φ U U cosθ ψ φ u U ψ φ v 0 φ U ψ

10 Kpitel 8 :. Linjekäll/sänk: ψ mθ φ mln Stkn m Q πb Q b Volmflödet Utstäckning nomlt mot plnet v v θ φ 1 ψ m θ 1 φ ψ 0 θ

11 Kpitel 8 : 3. Linjevivel: ψ K ln φ Kθ vivelstkn v v θ φ 1 ψ 0 θ 1 φ ψ θ K

12 Kpitel 8 Supepostion: Gfisk metod Eempel: linjesänk linjevivel i oigo. Föbind punkte dä ψ s ψ v konstnt

13 Kpitel 8 : Supeposition v elementfll, eempel: Pllellstömning käll Rnkinehlvkopp ψ U sinθ mθ φ U cosθ mln

14 Kpitel 8 Käll i (,)(-,0) Sänk i (,)(,0) ψ ψ s k ψ ψ θ mctn θ mctn m k m s ( θ ) k ψ s m k θs tnθ k tnθs θ k k s θ s m k m s

15 Kpitel 8 ( ) ctn m m s k s k θ θ ψ ψ ψ ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ctn ctn 1 ctn tn tn 1 tn tn ctn tn tn 1 tn tn tn s k s k s k θ θ θ θ θ θ β α β α β α

16 Kpitel 8 Käll sänk i oigo: Dubblett ψ d lim 0 mctn m λ m ψ d φ λ λ λ sinθ λ cosθ

17 Kpitel 8 Pllellstömning Käll i (,)(-,0) Sänk i (,)(,0) Rnkine-ovl ψ ψ ψ ψ U sinθ m θ p k s Ovlen bilds v stömlinjen ψ 0 ( θk s ) U mctn k s θ k θ s m k m s L

18 Kpitel 8 Rnkine-ovl: m U u ψ Hstighet i -led Stgntionspunkte i (,)(±L,0) L m U L L L m U U m L ± U m L 1 ± U m h h cot ( ) 1 1 m h U m U u

19 Kpitel 8 Clinde: Låt nu 0 h 1 u L m U dvs. cikulä clinde Pllellstömning dubblett ψ d U φ U λ λ λ sinθ U sinθ U cosθ λ cosθ

20 Kpitel 8 Kelvin-ovl: Pllellstömning vivelp i ± ψ U 1 K ln ( ) ( )

21 Kpitel 8 Cikulä clinde med cikultion Pllellstömning dubblettlinjevivel Men låt oss föst infö cikultionen

22 Kpitel 8 C Cikultion Γ ( ud vd wdz) V cosαds V ds C C C ds V Fö ottionsfi stömning gälle: V φ φ φ φ V ds φ ds d d dz z dφ ds α V Γ C dφ φ 1 φ1 0 OBS! Γ 0 om C ä en sluten kuv gälle ej om C inneslute en linjevivels centum

23 Kpitel 8 C Fö linjevivel gälle: v v θ 0 K Γ C V ds π 0 K dθ πk ds V Cikulä clinde med cikultion Pllellstömning dubblettlinjevivel

24 Cikulä clinde med cikultion Kpitel 8 λ sinθ ψ U sinθ K ln C Låt clinden bilds v stömlinjen ψ 0 λ U Dett uppnås genom tt sätt dä ä clindedien C1 K ln Pllellstömning dubblettlinjevivel 1 ψ U sin θ K ln

25 Cikulä clinde med cikultion Kpitel 8 v v θ 1 ψ U θ ψ U cosθ 1 sinθ 1 K Då clinden ote komme hstigheten tt v olik på ovn- och undesid. Dett ge upphov till en tckskillnd som i sin tu ge en lftkft, dett klls Mgnuseffekten

26 Kutt-Joukovskis lftkftsteoem Hstighet på clindetn: Benoulli ge nu: Lös ut ttcket v Kpitel 8 0 vθ U sinθ K ρu ρ p ps U sinθ p s ρu K K p 1 4sin θ 4 sinθ U U K v θ θ Motståndskften kn skivs som π D s 0 ( p p ) cosθ bdθ

27 Kutt-Joukovskis lftkftsteoem π D s 0 Infö ( p p ) cosθ bdθ β π K U Kpitel 8 ρu ( D b 1 4sin θ 4β sinθ β ) cosθ dθ 0 n t cosθ sin θ dθ 0 0 D Alembets pdo: Motståndskften på ll kopp i en inviskös stömning ä noll v θ π 0 θ

28 Kutt-Joukovskis lftkftsteoem Lftkften L π 0 ρu sinθ dθ πρu π L s 0 b 0 π Kpitel 8 ( p p ) sinθ bdθ ( 3 sinθ 4sin θ 4β sin θ β sinθ ) dθ 0 π 0 K b U sin L ρu bβ sin π 0 3 ρu θ dθ 0 θ dθ ρu bβ ( πk ) b ρuγb 1 v θ θ cosθ sinθ π 0 θ

29 Kutt-Joukovskis lftkftsteoem Kpitel 8

30 Komment till eempel 8.3 Kpitel 8 OBS! Dt i fig 8.15 gälle fö Re3800, i eemplet ä Re Re3800; C L 1.44; C D 0.9 Re60000; C L 0.91; C D 0.7

31 Kpitel 8 Flettne-oto Union Rotoplne, Skeppet Bucku, bggd i Hmbug 190, clind, L18.5m, D.8 m. Hstighet 5-6 knop

32 Komple potentil Komple hstighet: Någ eempel: Pllellstömning Linjekäll Linjevivel f f Kpitel 8 ( z) φ (, ) iψ ( ) f, df dz φ ψ φ ψ i i i iα f ( z) Uze ( z) m ( z ) ln z 0 ( z) ik ( z ) ln z 0 u iv

33 Kpitel 8 Komple potentil Konfom vbildning f Clinde med cikultion iα ( z) Uze mln( z z ) ik ( z z ) 0 ln 0 Joukovski-vinge ζ z 1 z

34 Kpitel 8 Hönstömning n n inθ n n ( ζ ) Aζ A e A cosθ ia sinθ f π β n n vgö hönvinkeln

35 Kpitel 8 Hönstömning f iα ( z) Uze med U 1 α 0 Avbildning: z Aζ n n n inθ n n ( ζ ) Aζ A e A cosθ ia sinθ f

36 Kpitel 8 Spegling Används fö tt genee vägg.

37 Kpitel 8 Rottionssmmetisk potentilstömning 1. Pllellstömning: 1 ψ U sin θ φ U cosθ v v θ U cosθ U sinθ. Punktkäll/sänk: ψ mcosθ m φ v v θ Q 4π 0 m 3. Punktdubblett: λ sin θ ψ λ cosθ φ Note tt det inte finns någon motsvighet till linjevivel.

38 Kpitel 8 Rottionssmmetisk potentilstömning, se även sid Supeposition gälle som tidige. Pllellstömning käll i (,)(-,0) sänk i (,)(,0) Rnkine-ovoid Pllellstömning dubblett sfä 3 1 λ ψ U sin θ sin θ v U cosθ 1 3 v θ 3 1 U sinθ 3

39 Kpitel 8 Hdodnmisk mss (hdodnmic mss, dded mss, vitul mss) Nä en kopp ccelees, måste även den omkingliggnde fluiden ccelees. Koppen komme tt upplevs som tnge. ΣF Unde ntgnde om potentilstömning: du ( m m ) dt h KE 1 1 U fluid dmvel mh

40 Eempel, Sfä: KE Kpitel 8 Hdodnmisk mss 1 1 U fluid dmvel mh v U 3 U 3 cosθ v θ 3 3 V v v el θ sinθ dm ρ ( π sinθ ) ddθ Intege: KE fluid ρπ 3 3 U m h 3 3 ρπ Clinde: m h ρπ L