Tentamen i Elektromagnetisk fältteori för π3 och Modellering och simulering inom fältteori för F3, 29 augusti, 2008, kl

Transkript

1 Tentmen i Elektromgnetisk fältteori för π3 och Modellering och simulering inom fältteori för F3, 9 ugusti, 8, kl , lokl: MA9A Kursnsvrig lärre: Gerhrd Kristensson, tel & Anders Krlsson tel Tillåtn hjälpmedel: Formelsmling i Elektromgnetisk fältteori (låneexemplr finns tillhnd) smt klkyltor. Vrje uppgift ger mximlt 1 poäng. Betyget på tentn ges v (totl poäng)/1. Problem 1 Två perfekt lednde koncentrisk sfärer är seprerde med ett lednde mteril vrs konduktivitet vrierr som funktion den rdiell koordinten r enligt σ(r) = σ r Bestäm resistnsen melln sfärern om den inre sfären hr rdien och den yttre hr rdien. Problem z y - m x En mgnetisk dipol med dipolmomentet m = ẑm befinner sig i origo. En yt spänns upp v de två hlvcirklrn r = (cos φ, sin φ, ) där φ π och r = (cos ψ,, sin ψ) där ψ π, se figur. ) Bestäm flödet genom ytn genom tt nvänd den mgnetisk flödestätheten och en ytintegrl. b) Bestäm flödet genom ytn genom tt nvänd vektorpotentilen och en linjeintegrl. Ledning: Stokes sts säger tt om B = A så gäller ˆn B ds = A dl S där C är rndkurvn till ytn S. Du finner uttrycken för B och A i formelsmlingen. Du kn själv välj riktningen på flödet. C

2 Problem 3 En monokromtisk plnvåg utbreder sig i vkuum och hr det elektrisk fältet E(r, t) = ẑe sin(ωt k(x + y)/ ) ) Bestäm vågens utbredningsriktning. b) Bestäm vågens mgnetfält H(r, t). c) Bestäm den tidsberoende strålningsvektorn S(r, t). Problem 4 z f Q En tunn, cirkulär ring med rdie är jämt upplddd med totl lddning Q, se figur. Ringen roterr med konstnt rottionsfrekvens f kring en xel vinkelrät mot ringens pln (z-xeln) och genom dess centrum. Bestäm den uppkomn mgnetisk flödestätheten B längs ringens symmetrixel, dvs. B(z). Problem 5 I b z x En kvdrtisk sling med sid och resistns R ligger fixerd i x-z-plnet med en sidn prllell med en lång, rk ledre (orienterd längs z-xeln), som för likströmmen I. Avståndet melln ledren och slingn är b, se figur. Vid tiden t = klipps ledren v, och strömmen i ledren upphör brupt. Avklippningsförloppet kn pproximers med följnde funktion I, t < I(t) = I (1 3(t/α) + (t/α) 3 ), t < α, t α

3 3 där α är en liten tidsprmeter. ) Bestäm det mgnetisk flödet, Φ(t), genom slingn som funktion v tiden t. Välj positiv ytnorml till slingn som ˆn = ŷ. b) Bestäm den inducerde emk:n, V(t), i slingn som funktion v tiden t. c) Bestäm den inducerde strömmen, I Sling (t), (både till storlek och riktning) i slingn som funktion v tiden t. Slingns självinduktns får försumms. Problem 6 z l Q h Ett tunt, nålformt föremål med längd l hr blivit sttiskt lddt med den totl lddningen Q, så tt nålens linjelddningstäthet är konstnt. Nålen är horisontellt orienterd på ett vstånd h ovn ett jordt pln, se figur. Bestäm ttrktionskrften melln nål och jordpln som funktion v vståndet h. Lämplig integrler: dx (x + ) 3/ = x x +

4 Lösningr till tentmen i Elektromgnetisk fältteori för π3 och Modellering och simulering inom fältteori för F3, 9 ugusti, 8, kl , lokl: MA9A Lösning problem 1 Mn kn lös uppgiften på två olik sätt. Antingen kn vi se området melln sfärern som seriekopplde lednde skl. Vrje skl hr en infinitesiml tjocklek dr och yt 4πr och får därmed en resistns dr = dr. Totl resistnsen ges v σ(r)4πr R = 1 σ(r)4πr dr = σ 4πr 3 dr = [ 1 ] = σ 4π r 3 σ 3πσ Det ndr sättet är tt nt en ström I melln sfärern. Strömmen är jämnt fördeld och ger strömtätheten J(r) = ˆr I 4πr Motsvrnde elektrisk fält ges v Ohms lg Spänningen melln sfärern ges v Resistnsen ges v V = I E(r) = J(r)/σ(r) = ˆr 4πσ r 3 E ˆr dr = R = V I I 4πσ = [ 1 ] = 3I r 3πσ 3 3πσ Lösning problem Formelsmlingen ger B = µ m ( cos θˆr + sin θˆθ) 4πr3 A = µ m r 4πr 3 = µ m sin θ 4πr ) Eftersom B = kn vi välj en godtycklig yt tt integrer över. Det är enklst tt integrer över ytn v en kvrtssfär: För denn gäller ˆn = ˆr. ˆφ

5 Ytintegrlen blir Φ = π π/ µ m 4π 3 cos θ sin θ dθ dφ = µ m 4π π π/ cos θ sin θ dθ = µ m 4 b) Linjeintegrlen kn skrivs Φ = C A dl = π A ˆφ dφ + π A ˆψ dψ Den ndr integrlen är noll eftersom A är vinkelrät mot ˆψ. Därmed fås Φ = µ m 4 Lösning problem 3 ) Det elektrisk fältet för en llmän linjärpolriserd plnvåg kn skrivs E = E sin(ωt k r + φ)ê där k är vågvektorn och utbredningsriktningen ges v ˆk = k/k. I vårt fll gäller k = k(1/, 1/, ) och därmed utbreder sig vågen i riktningen ˆk = (1/, 1/, ) b) Mgnetfältet ges v H = η 1 ˆk E = η 1 E (1/, 1/, ) (,, 1) där η = µ /η. Därmed H = η 1 E sin(ωt k r + φ)(1/, 1/, ) c) Den tidsberoende strålningsvektorn ges v S(r, t) = E(r, t) H(r, t) Dett ger S(r, t) = η 1 E (,, 1) (1/, 1/, ) sin (ωt k r + φ) = η 1 E sin (ωt k r + φ)(1/, 1/, ) S(r, t) = η 1 E sin (ωt k r + φ)(1/, 1/, )

6 3 Lösning problem 4 Vi bestämmer först strömmen som flyter i ringen då den roterr med vinkelhstigheten ω = πf. Lddningstätheten per längdenhet ρ l i ringen ges v vilket ger strömmen I ρ l = Q π I = ωρ l = Qω π = Qf Ett enklre sätt tt komm frm till uttrycket för strömmen I är tt noter tt under tidsperioden T = 1/f psserr lddningen Q en given punkt på ringen, dvs. I = Q/T = Qf. Biot-Svrts lg evluerd längs z-xeln, r = zẑ, är B(z) = µ 4π I L dr (zẑ r ) [zẑ r ] 3 Linjeelementet dr = ˆφ dφ och källpunkt r = ˆr c ger B(z) = µ 4π I π ˆφ (zẑ ˆr c ) dφ (z + ) 3/ Av symmetriskäl bidrr endst z-komponenten, dvs. B(z) = ẑ µ 4π I π dφ (z + ) 3/ = ẑ µ I (z + ) 3/ µ Qf B(z) = ẑ (z + ) 3/ Lösning problem 5 Mgnetisk flödestätheten från en lång, rk ledre ges v B = µ I(t) πr c ˆφ, där rc nger vståndet till ledren och I(t) strömmen i ledren. I x-z-plnet (x > ) är ˆφ = ŷ. I en punkt (x,, z), där x >, gäller då tt den mgnetisk flödestätheten är B(x,, z, t) = µ I(t)ŷ πx ) Flödet Φ(t) (välj ˆn = ŷ, som sedn bestämmer positiv omloppsriktning på den inducerde strömmen medurs i figuren), blir Φ(t) = Sling B ˆn ds = µ I(t) π +b b dx x = µ I(t) ln + b π b

7 4 b) Den inducerde emk:n ges v V(t) = dφ(t) dt = µ I (t) π ln + b b 3µ I t (1 t/α) ln + b, t α = πα b, för övrigt c) Den inducerde strömmen är I Sling (t) = V(t) 3µ I t + b R = (1 t/α) ln, t α πα R b, för övrigt och den är riktd medurs. Lösning problem 6 Nålens linjelddningstäthet ρ l = Q/l. Linjelddningens spegelbild ger upphov till en ttrktionskrft på nålen. Introducer ett koordintsystem så tt det jordde plnet smmnfller med plnet z =, och nålens centrum ges v punkten (,, h). Det elektrisk fältet i punkten r = xˆx + hẑ från spegelbilden blir (källpunkt: r = x ˆx hẑ) E(r) = ρ l 4πɛ Integrtion ger L r r r r 3 dl = Q l/ xˆx + hẑ (x ˆx hẑ) 4πɛ l l/ xˆx + hẑ (x ˆx hẑ) 3 dx l/ E(r) = E(x) = Q (x x )ˆx + hẑ 4πɛ l l/ ((x x ) + 4h dx 3/ ) { = Q 1 ˆx 4πɛ l ((x x ) + 4h ) ẑ x x 1/ h (x x ) + 4h { } = Q 1 ˆx 4πɛ l ((x + l/) + 4h ) ẑ x + l/ 1/ h (x + l/) + 4h { } Q 1 ˆx 4πɛ l ((x l/) + 4h ) ẑ x l/ 1/ h (x l/) + 4h } x =l/ x = l/ Den totl krften F (h) på nålen blir således (ˆx-komponenten försvinner v symmetriskäl och ẑ-komponentern smverkr) F (h) = Q l l/ l/ Q ẑ E(x) dx = 4πɛ hl l/ l/ = Q ẑ 4πɛ hl (x + l/) + 4h x=l/ x= l/ x + l/ (x + l/) + 4h = Q ẑ { } l + 4h 4πɛ hl h

8 5 Krften melln nålen och och dess spegelbild i plnet är vertiklt riktd. F (h) = Q ẑ { } l + 4h 4πɛ hl h Kontroll: Om nålen är kort i jämförelse med h, dvs. l h, så bör krften vr den melln två punktlddningr på vståndet h. Tylorutveckl kvdrtroten 1 + x = 1 + x/ + O(x ) Q ẑ Q ẑ { F (h) = h(1 + l /8h + O(l 4 /h 4 )) h } = 4πɛ hl 4πɛ 4h