Lösningsskiss för tentamen Vektorfält och klassisk fysik (FFM234 och FFM232)

HTML
DOWNLOAD

Storlek: px

Starta visningen från sidan:

Download "Lösningsskiss för tentamen Vektorfält och klassisk fysik (FFM234 och FFM232)"

Ingvar Blomqvist
för 6 år sedan
Visningar:

1 Lösningsskiss för tentmen Vektorfält och klssisk fysik (FFM34 och FFM3) Tid och plts: Måndgen den 3 oktober 07 klockn i Mskinslrn. Lösningsskiss: Christin Forssén Dett är enbrt en skiss v den fullständig lösningen. Det kn innebär tt viss mellnsteg i uträkningrn, som egentligen är nödvändig för en komplett lösning, inte redoviss.. Svr på följnde tre delfrågor (endst svr skll ges): () Vd är ytintegrlen S F d S, där F = zẑ och S är enhetssfären i övre hlvplnet (x + y + z =, z > 0) och normlvektorn till S hr en negtiv z-komponent? (b) Vd blir integrlen π δ(x π/) sin(x)dx? 0 (c) Vd blir den sttionär temperturfördelningen inuti en endimensionell stv med längden L och en konstnt värmekäll s i hel stven (med enhet [s] = Wm ), givet värmeledningsförmåg λ, homogen Dirichlet rndvillkor smt T (x, t = 0) = 0? (3 poäng per korrekt besvrd deluppgift, 0 poäng för ll tre.) () π 3 (b) (c) T (x) = s x(l x) λ (noter tt endim. [λ] = W mk ; kn ses som λ 3D ds.) xˆx+yŷ x +y. Beräkn integrlen F ds, där F = kz och S är den del v S sfären (x + y + z = ) som ligger inom konområdet x + y z, z > 0 och normlvektorn till S är uppåtriktd. (0 poäng) Ett snitt (xz-plnet) v den ktuell ytn viss i figuren. Vi noterr tt vinkeln θ 0 = π/4 och tt punkten z 0 = /.

2 Lösningsskiss, tentmen FFM34/FFM Vektorfältet skrivs enklst i cylindrisk koordinter F = kz vilket vi känner igen som fältet från en linjekäll längs z-xeln med z-beroende styrk πkz/. Vi kn lös uppgiften ntingen genom direkt integrering eller genom tt utnyttj Guss sts. Med direkt integrering behöver mn följnde ingredienser: ytelementet: ds = sin θdθdϕˆr. Fältet längs ytn: F k( cos θ)/ r= = ˆρ = k cos θ ˆρ. sin θ sin θ Ytintegrlen ger svret: I = F ds = {ˆr ˆρ = sin θ} = πk θ 0 sin θ cos θdθ = kπ. S 0 Med utnyttjnde v Guss sts får vi först slut ytn med en bottenpltt vid z = z 0. Den inneslutn volymen blir då den del v klotet r som ligger ovnför z 0. Ytintegrlen genom den extr ytn ger inget bidrg eftersom dess normlriktning är vinkelrät mot fältet. Sedn konstterr vi tt divergensen v fältet kn skrivs F = πkz δ() (ρˆρ), så tt volymsintegrlen blir I = F dv = πk zdz = πk, V ˆρ ρ, / vilket överensstämmer med svret vi fick ovn genom direkt integrering. Fysik, Chlmers Pge Exmintor: C. Forssén

3 Lösningsskiss, tentmen FFM34/FFM Det vektorfält som hr den sklär potentilen φ = α (där α är vinkeln i cylindrisk koordinter) kn (utnför z-xeln) lterntivt beskrivs med en vektorpotentil A. () Finn en sådn vektorpotentil med villkoret tt den br hr en ρ-komponent. (6 poäng) (b) Utnyttj sedn Gugeinvrinsen för tt finn en nnn vektorpotentil som uppfyller A = (utnför z-xeln). (4 poäng) Vektorfältet blir F = φ = ˆα ρ i cylindrisk koordinter. En vektorpotentil A skll ge ovnstående fält genom F = A. Vi får följnde tre differentilekvtioner ρ αa z z A α = 0, z A ρ ρ A z = ρ, ρ [ ρ(ρa α ) α A ρ ] = 0. Vi försöker finn en lösning med det givn villkoret tt komponentern A α = A z = 0. Den först ekvtionen blir utomtiskt uppfylld. Den tredje ekvtionen ger tt A ρ = A ρ (ρ, z). Tillsmmns med den ndr ekvtionen får vi då slutligen tt A ρ = z ρ + f(ρ). Vi väljer lösningen med f(ρ) = 0 vilket ger ett svr till ()- uppgiften A = z ρ ˆρ. Med denn vektorpotentil blir A = 0. Men väljer vi istället f(ρ) = ρ/, dvs vektorpotentilen ( A = z ρ + ρ ) ˆρ, så uppfyller vi (b)-uppgiftens villkor tt A =. Noter tt det finns fler lösningr som uppfyller dett villkor. Mn kn utnyttj Gugeinvrinsen och lägg till ett godtyckligt fält Λ som väljs så tt divergensvillkoret uppfylls. Fysik, Chlmers Pge 3 Exmintor: C. Forssén

4 Lösningsskiss, tentmen FFM34/FFM Tröghetstensorn för någon stel kropp i ett Crtesiskt koordintsystem (xyz) ges v η 0 0 I = I 0 0 0, η där η är ett reellt tl och I 0 är en konstnt med enheten (mss längd ). Ett rotert koordintsystem (x y z ) ges v trnsformtionen: x = z; y = y; z = x. Använd tensorers trnsformtionsegenskper för tt vis vd tröghetstensorn blir i dett roterde koordintsystem. (0 poäng) Den givn koordinttrnsformtionen kn skrivs med indexnottion x i = L ij x j. Elementen i trnsformtionsmtrisen får vi genom tt deriver L ij = x i/ x j, vilket ger 0 0 L = Noter gärn tt det(l) = +, dvs det är fortfrnde ett högersystem. Med tensorers trnsformtionsegenskper får vi tt tröghetstensorn i det roterde koordintsystemet är I ij = L ik L jl I kl = L ik I kl (L t ) lj, eller explicit som en mtrismultipliktion 0 0 η I = 0 0 I η η + η 0 0 = I = I η η Svret är rimligt eftersom den givn trnsformtionen motsvrr en rottion 90 moturs runt y-xeln. Vi hmnr i ett nytt koordintsystem som fortfrnde smmnfller med kroppens huvudtröghetsxlr, men där två v xlrn hr bytt plts jämfört med det ursprunlig systemet. Fysik, Chlmers Pge 4 Exmintor: C. Forssén

5 Lösningsskiss, tentmen FFM34/FFM Skriv ett uttryck för källtätheten från en elektrisk dipol µ = µẑ i R 3. Härled också ett uttryck för den elektrosttisk potentilen för dipolfältet på stor vstånd. (0 poäng) Ledning: Dipolmomentet µ hr enheten (lddning längd). Vi lägger punktdipolen i origo. En dipol µ = µẑ motsvrr en lddning q = µ ε i punkten (x, y, z) = (0, 0, ε) och en lddning q = µ ε i origo. Källtätheten kn skrivs ρ( r) = µ ε δ(3) ( r εẑ) µ ε δ(3) ( r). Alterntivt kn vi lägg punktlddningrn i z = ±ε/. smm fält för r/ε. Det blir Potentilen från de båd lddningrn tillsmmns blir (noter permebiliteten från Mxwells först ekvtion) ε 0 φ( r) = µ/ε 4π r εẑ µ/ε 4πr. Nu vill vi studer hur dett uttryck kn skrivs vid stor vstånd. Vi kn skriv r εẑ = ϱ + (z ε), och om ε är litet (ε/ϱ, ε/z ) blir dett ϱ + z εz = r εz r( εz r ). Därför får vi r εẑ εz ( + r r ). Här hr vi nvänt Tylorutvecklingrn x = x + O(x ) smt = + x + x O(x ). Potentilen blir ε 0 φ( r) µ 4πε [ ( + εz ) ] = µz r r r 4πr = µ cos θ () 3 4πr Mer generellt kn mn skriv den elektrosttisk potentilen från en dipol µ: φ = ε 0 µ r 4πr 3. I vårt fll vr lltså µ = µẑ dipolmomentet (som lltså ges v produkten v lddningen µ och seprtionsvektorn εẑ). ε Fysik, Chlmers Pge 5 Exmintor: C. Forssén

6 Lösningsskiss, tentmen FFM34/FFM Betrkt det tvådimensionell problemet med två punktlddningr (+q och q) längs y-xeln på vståndet från vrndr. Det finns ing ndr källor. Potentilen φ(x, y) uppfyller Poissons ekvtion i R. Ekvipotentilytn φ = 0 ligger på linjen y = 0. Skiss de två ekvipotentilkurvorn φ = ± q ln och nge specifikt vid π vilk punkter som de skär y-xeln. (0 poäng) Potentilen skll uppfyll φ = ρ i R med lddningsfördelningen ρ = qδ () ( r ŷ) qδ() ( r + ŷ), där lägesvektorn ges v r = xˆx + yŷ. Lddningrn måste ligg symmetriskt runt y = 0 för tt kunn få en ekvipotentilyt där. Lösningen är lltså potentilen från två stycken punktkällor i R (se formelsmling, eller identifier situtionen med den nlog potentilen från en linjekäll i tre dimensioner) φ(x, y) = q r ln ŷ π r + ŷ. Vi inför den dimensionslös storheten η som r η(x, y) ŷ r + = x + ( ) y ŷ x + ( ) y +, vilket hjälper oss tt konstter tt lösningen uppfyller φ(x, y = 0) = 0 eftersom η(x, y = 0) =. Vi söker nu ekvipotentilytorn φ = ± q π ln φ ±. Vår sitution är helt (nti-)symmetrisk under y y så det räcker tt explicit hitt den en v dess ytor (kurvor i två dimensioner). Vi fokuserr på φ + och vill lltså hitt kurvn som ger ln(η) = ln(), eller = /η. Dett ger 4(x + y + 4 y) = x + y y, vilket efter kvdrtkomplettering ger en ekvtion för en cirkel x + ( y 5 6 ) = ( ). 3 Fysik, Chlmers Pge 6 Exmintor: C. Forssén

7 Lösningsskiss, tentmen FFM34/FFM Denn cirkel hr centrum i (0, 5/6) och skär y-xeln vid följnde två punkter (x = 0): y 5 6 = ± 3 y = { 3/ /6 Vi får precis motsvrnde cirkel i det nedre hlvplnet för ekvipotentilkurvn φ. Cirklrn bör skisss i lösningen. Fysik, Chlmers Pge 7 Exmintor: C. Forssén

Relevanta dokument

Lösningar till tentamen i EF för π3 och F3

Lösningar till tentamen i EF för π3 och F3 Lösningr till tentmen i EF för π och F Tid och plts: 7 jnuri, 4, kl. 8.., lokl: MA9, EF. Kursnsvrig lärre: Gerhrd Kristensson. Lösning problem Den totlt upplgrde elektrosttisk energin ges v W = i,j= i