Formelsamling. Elektromagnetisk fältteori för F och Pi ETE055 & ETEF01

Transkript

1 Formelsamling Elektromagnetisk fältteori för F och Pi ETE055 & ETEF01 Institutionen för elektro- och informationsteknik Lunds tekniska högskola Juni 014

2

3 Innehåll 1 Elstatik 1 Likström 4 3 Magnetostatik 5 4 Elektromagnetiska fält 7 5 Tidsharmoniska fält 8 6 Några vektoridentiteter 8 7 Koordinatsystem 9 8 Några integraler 11 9 Binomialutveckling 1 10 Några trigonometriska formler 1

4

5 Elstatik 1 Elstatik r Fältpunkt Origo r r r Källpunkt Coulombs lag Kraften 1 F (r) på en punktladdning q 1 i punkten r orsakad av en punktladdning q i punkten r F (r) = q 1q (r r ) Elektrisk fältstyrka E i vakuum 1. från punktladdning med laddning q i r 4πε 0 r r 3 E(r) = 1 4πε 0 q (r r ) r r 3. från volymladdningstäthet ρ i volymen V E(r) = 1 4πε 0 3. från ytladdningstäthet ρ S på ytan S E(r) = 1 4πε 0 V 4. från linjeladdningstäthet ρ l på kurvan C E(r) = 1 4πε 0 S C ρ(r ) (r r ) r r 3 dv ρ S (r ) (r r ) r r 3 ds ρ l (r ) (r r ) r r 3 dl 5. från punktdipol p = pẑ i origo E(r) = p ( ˆr cos θ + 4πε 0 r ˆθ ) sin θ 3 6. från linjeladdning ρ l E(r) = ρ l πε 0 r c ˆr c 1 Koordinatbeteckningar, t.ex. ortsvektorn r, finns i avsnittet Koordinatsystem på sidan 9.

6 Elstatik Kraft F på punktladdning q 1. F = q E (gäller i elstatiken). F = q (E + v B) (Lorentz kraftlag) Elektrisk potential V E = V (gäller i elstatiken) 1. från punktladdning med laddning q i r V (r) = 1 q 4πε 0 r r. från volymladdningstäthet ρ i volymen V V (r) = 1 4πε 0 3. från ytladdningstäthet ρ S på ytan S V (r) = 1 4πε 0 V S ρ(r ) r r dv ρ S (r ) r r ds 4. från linjeladdningstäthet ρ l på kurvan C V (r) = 1 4πε 0 C ρ l (r ) r r dl 5. från punktdipol p = pẑ i origo V (r) = p r 4πε 0 r 3 = p cos θ 4πε 0 r V (r) = ρ l ln 1 πε 0 r c 6. från linjeladdning ρ l Gauss lag på differential- respektive integralform E = ρ/ε 0 D = ρ f eller E ˆn ds = ρ dv/ε 0 D ˆn ds = ρ f dv där ˆn är den från volymen utåtriktade enhetsnormalvektorn.

7 Elstatik 3 Polarisation P P = p v Samband mellan polarisation P, E och D { D = ε0 E + P (gäller allmänt) D = ε r ε 0 E Polarisationsladdning, även kallad bunden laddning, { ρp = P bunden volymladdningstäthet ρ ps = ˆn 1 (P 1 P ) bunden ytladdningstäthet där enhetsnormalvektorn ˆn 1 är riktad från område 1 till område. Randvillkor { Et kontinuerlig { Et kontinuerlig ρ S = ˆn (D 1 D ) ρ S = ˆn ε 0 (ε r1 E 1 ε r E ) där ρ S är fri ytladdningstäthet, enhetsnormalvektorn ˆn är riktad från område till område 1. Elektrostatisk energi W e 1. för system med diskreta laddningar Q i W e = 1 Q i V i i. för kontinuerlig laddningsfördelning ρ W e = 1 ρv dv 3. beräknad ur E och D W e = ε 0 E dv eller W e = 1 E D dv Vridmoment T e på elektrisk dipol p T e = p E Kraft F på elektrisk dipol p F = (p )E = (p E)

8 4 Likström Spegling 1. Spegling av punktladdning q i ledande sfär med radien a. Punktladdningen q är placerad på avståndet d från centrum av sfären. Punktladdningarna q i och q m tänkes placerade i spegelpunkten respektive sfärens centrum. q i = q a d d i = a d Q s = q i + q m V s = q m 4πε 0 a. Spegling av linjeladdning ρ l i ledande cylinder med radien a och med laddning per längdenhet ρ l. Linjeladdningen ρ l är placerad på avståndet d från cylinderaxeln. ρ i = ρ l d i = a d Likström Strömtäthet J I = J ˆn ds Kontinuitetsekvationen på differential- respektive integralform J + ρ = 0 t J ˆn ds = dq dt Ohms lag Effekt P J = σe P = J E dv där σ är materialets lednigsförmåga. Randvillkor { ˆn (J 1 J ) = 0 (ingen ytström) E t1 = E t

9 Magnetostatik 5 Magnetisk flödestäthet B i vakuum Magnetostatik 1. från punktdipol m = m ẑ B(r) = µ ( 0m cos θ ˆr + sin θ 4πr ˆθ ) 3. från strömtäthet J(r ) B(r) = µ 0 4π J(r ) (r r ) r r 3 dv 3. från strömbana B(r) = µ 0 Idl (r r ) 4π r r 3 4. från cirkulär trådslinga B(x = 0, y = 0, z) = µ 0I b (b + z ) 3/ ẑ 5. från lång rak strömbana B(r) = µ 0I πr c ˆφ Vektorpotential A i vakuum 1. från strömtäthet J(r ). från strömbana A(r) = µ 0 4π A(r) = µ 0 4π J(r ) r r dv I dl r r 3. från lång rak strömbana 4. från punktdipol m A = µ 0I π ln(1 r )ẑ A = µ 0 m r 4π r 3 Magnetiskt flöde Φ Φ = B ˆn ds = A dl

10 6 Magnetostatik Självinduktans L och ömsesidig induktans M { Φ1 = L 1 I 1 + MI Magnetisk fältstyrka H Φ = L I + MI 1 Samband mellan magnetisering M, B och H { B = µ0 (H + M) (gäller allmänt) B = µ r µ 0 H Ampères lag B = µ 0 J B dl = µ 0 I eller H = J f H dl = I f Ekvivalent strömtäthet Randvillkor J m = M volymströmtäthet J ms = M ˆn ytströmtäthet { ˆn (H 1 H ) = J s B n kontinuerlig Magnetiska kraftlagen df m = I dl B Magnetiskt moment m för strömslinga m = I ˆn ds Vridmoment T m på magnetisk dipol m T m = m B Kraft F på magnetisk dipol m F = (m )B + m ( B) = (m B) Magnetisk energi W m = 1 J A dv = 1 B H dv = 1 L ij I i I j i j

11 Elektromagnetiska fält 7 Magnetisk energi, två spolar W m = 1 L 1I L I + MI 1 I Elektromagnetiska fält Induktionslagen Inducerad emk E E = R I = dφ dt E = dφ dt (E + v B) dl Induktionslagen på differential- respektive integralform E = B t B E dl = t ˆn ds Maxwells ekvationer E = B t H = J + D t D = ρ B = 0 Konstanter µ 0 = 4π 10 7 H/m ε π F/m c m/s 1 = c µ0 0 η 0 = η 0 10π Ω 377 Ω µ 0 ε 0 ε 0 Potentialer B = A E = V A t

12 8 Några vektoridentiteter V (r, t) = 1 ρ (r, t r r /c 0 ) dv 4πε 0 r r A(r, t) = µ 0 J (r, t r r /c 0 ) dv 4π r r Poyntings vektor S(r, t) = E(r, t) H(r, t) Tidsharmoniska fält Plan, tidsharmonisk våg E ˆx = E x = E 0x cos(k r ωt + φ), E = E 0 e ik r, komplexvärde E 0 ˆx = E 0x e iφ ögonblicksvärde för komponent Utbredningshastighet v = 1 µr µ 0 ε r ε 0 = ω k k = k Vågimpedans, oledande rymd µr µ 0 η = ε r ε 0 Komplexa strålningsvektorn S(r) = 1 [E(r) H (r)] Några vektoridentiteter 1. A (B C) = B (C A) = C (A B). A (B C) = B(A C) C(A B) 3. (ψv ) = ψ V + V ψ 4. (ψa) = ψ A + A ψ 5. (ψa) = ψ A + ψ A 6. (A B) = B ( A) A ( B) 7. V = V = V

13 Koordinatsystem 9 8. A = ( A) A 9. V = ( A) = A dv = A ˆn ds Gauss sats V S 1. V (ψ ϕ ϕ ψ) dv = (ψ ϕ ϕ ψ) ˆn ds Greens formel S 13. ( A) ˆn ds = A dl Stokes sats S C ( ) ( ) = 1 = r r r r r r r r 3 Kartesiska koordinater (x, y, z) Koordinatsystem Ortsvektor Linjeelement r = x ˆx + y ŷ + z ẑ dl = dx ˆx + dy ŷ + dz ẑ Volymelement dv= dx dy dz Differentialoperatorer V = ˆx V x + ŷ V y + ẑ V z A = A x x + A y y + A z z ( Az A = ˆx y A ) ( y Ax + ŷ z z A ) ( z Ay + ẑ x x A ) x y V = V x + V y + V z Cylinderkoordinater (r c, φ, z) Ortsvektor Linjeelement Volymelement r = r c ˆr c + z ẑ dl = dr c ˆr c + r c dφ ˆφ + dz ẑ dv= r c dr c dφ dz

14 10 Koordinatsystem Differentialoperatorer V V = ˆr c + r ˆφ 1 V c r c φ + ẑ V z A = 1 (r c A rc ) + 1 A φ r c r c r c φ + A z z ( 1 A z A = ˆr c r c φ A ) ( φ + z ˆφ Arc z + ẑ 1 [ ] r c V = 1 r c r c (r c A φ ) A r c r c φ ) + 1 rc ( r c V r c V φ + V z A ) z r c Sfäriska koordinater (r, θ, φ) Ortsvektor Linjeelement Volymelement r = r ˆr dl = dr ˆr + r dθ ˆθ + r sin θ dφ ˆφ dv= r sin θ dr dθ dφ Differentialoperatorer V = ˆr V r + ˆθ 1 V r θ + ˆφ 1 V r sin θ φ A = 1 r r (r A r ) + 1 A θ (A θ sin θ) + 1 r sin θ ] A φ φ r sin θ [ 1 = ˆr r sin θ θ (A φ sin θ) A θ φ +ˆθ 1 [ 1 A r r sin θ φ ] r (ra φ) + ˆφ 1 [ r r (ra θ) A ] r θ ) + 1 ( sin θ V ) 1 V + r sin θ θ θ r sin θ φ V = 1 ( r V r r r Samband mellan basvektorer (r, θ, φ) (x, y, z) ˆr = ˆx sin θ cos φ + ŷ sin θ sin φ + ẑ cos θ ˆθ = ˆx cos θ cos φ + ŷ cos θ sin φ ẑ sin θ ˆφ = ˆx sin φ + ŷ cos φ

15 Några integraler 11 (x, y, z) (r, θ, φ) ˆx = ˆr sin θ cos φ + ˆθ cos θ cos φ ˆφ sin φ ŷ = ˆr sin θ sin φ + ˆθ cos θ sin φ + ˆφ cos φ ẑ = ˆr cos θ ˆθ sin θ (r c, φ, z) (x, y, z) ˆr c = ˆx cos φ + ŷ sin φ = ( ˆxx + ŷy)/ x + y ˆφ = ˆx sin φ + ŷ cos φ = ( ˆxy + ŷx)/ x + y ẑ = ẑ (x, y, z) (r c, φ, z) ˆx = ˆr c cos φ ˆφ sin φ ŷ = ˆr c sin φ + ˆφ cos φ ẑ = ẑ (r, θ, φ) (r c, φ, z) ˆr = ˆr c sin θ + ẑ cos θ ˆθ = ˆr c cos θ ẑ sin θ ˆφ = ˆφ (r c, φ, z) (r, θ, φ) ˆr c = ˆr sin θ + ˆθ cos θ ˆφ = ˆφ ẑ = ˆr cos θ ˆθ sin θ x n dx = xn+1 n + 1, n 1 1 dx = ln x x x + a dx = 1 dx x + a = ln (x + x + a ) dx (x + a ) 3/ = x a x + a Några integraler [ x x + a + a ln (x + ] x + a )

16 1 Några trigonometriska formler dx a x = arcsin x a dx x + a = 1 a arctan x a dx cos x = tan x dx sin x = ln tan x ln x dx = x ln x x Binomialutveckling (1 + x) n = 1 + nx + n(n 1) x +... Några trigonometriska formler 1. cos(α β) = cos α cos β + sin α sin β. cos(α + β) = cos α cos β sin α sin β 3. sin(α β) = sin α cos β cos α sin β 4. sin(α + β) = sin α cos β + cos α sin β 5. cos α = cos α sin α 6. sin α = sin α cos α 7. cos α = 8. sin α = 1+cos α 1 cos α 9. cos α + cos β = cos α+β cos α β 10. cos α cos β = sin α+β sin α β 11. sin α + sin β = sin α+β cos α β 1. sin α sin β = cos α+β sin α β a sin t + b cos t = a + b sin(t + φ) 13. sin φ = b a + b, cos φ = a a + b

17