Lösningsförslag till tentamen i 5B1107 Differential- och integralkalkyl II för F1, (x, y) = (0, 0)

Transkript

1 Institutionen fö Matematik, KTH, Olle Stomak. Lösningsföslag till tentamen i 5B117 Diffeential- och integalkalkyl II fö F1, Funktionen f(x, y) = xy x 2 +y 2 (x, y) (, ), (x, y) = (, ) ä snäll och väluppfostad öveallt utom möjligen i oigo. Visa att f ä kontinuelig i oigo, att de patiella deivatona f/ x och f/ y finns dä, samt undesök om f ä diffeentieba i oigo. (4p) Lösning: Då (x, y) (, ) kan man använda poläa koodinate: cos θ sin θ (x, y) = ( cos θ, sin θ) = f = = cos θ sin θ då = f ä kontinuelig i (, ). Eftesom f ä identiskt noll på x- och y-axlana, så ä f ä diffeentieba i oigo om f f (, ) = (, ) =. x y f(h, k) f(, ) h f f (, ) k (, ) x y då (h, k) (, ). h2 + k 2 Hä ä detta uttyck lika med hk h h k 2 +k 2 = hk = poläa koodinate } h2 + k 2 h 2 + k2 = cos θ sin θ, som inte gå mot då = h 2 + k 2. Slutsats: f ä inte diffeentieba i oigo. 1

2 2. Beäkna dubbelintegalen I = D y dxdy, dä D ä omådet mellan kuvona y = 1 x, y = 1 + x och linjen y =. Lösning: y = 1 x x = 1 y 2 och y, y = 1 + x x = y 2 1 och y ; dessa kuvo skä vaanda då x = 1 y 2 = y 2 1 y 2 = 1 y = 1 (eftesom y ). Dämed bli I = = 2 y=1 y= 1 ( x=1 y 2 3. Beäkna tippelintegalen I = x= 1+y 2 dx ) [ y (y y 3 2 ) dy = 2 D y dy = 2 y4 4 y=1 y= ] 1 2(1 y 2 )y dy = = 1 2. x 2 dxdydz, (x 2 + y 2 + z 2 ) 5/2 dä D = (x, y, z) R 3 : 1 x 2 + y 2 + z 2 4}. Lösning: Med sfäiska koodinate fås I = = 2 ρ=1 2 π ρ=1 π = ln 2 2π φ= θ= π dρ ρ φ= 1 ρ 2 sin 2 φ cos 2 θ ρ 2 sin φ dρdφdθ ρ 5 sin 3 φ dφ 2π θ= cos 2 θ dθ (1 cos 2 φ) sin φ dφ π = u = cos φ, du = sin φdφ} = π ln 2 (1 u 2 ) ( du) = π ln ( = 2π ln ) 4π ln 2 = (1 u 2 ) du

3 4. Visa att 3xy > då x 2 + 2y 2 1. Lösning: Vi ska visa att minsta vädet fö f(x, y) = 3xy i D = (x, y) R 2 : x 2 + 2y 2 1} ä >. D:s ine: = f/ x = 3y 2 y =, = f/ y = 6xy; då y = fås att x ä godtycklig. D.v.s., om f anta sitt minsta väde i D:s ine, så ske det på x-axeln, dä f = 1 >. D:s and: Hä ä vafö y 2 = 1 2 (1 x2 ) då 1 x 1, f = 3x 1 2 (1 x2 ) + 1 = 3 2 (x x3 ) + 1 då 1 x 1, och = df dx = 3 2 (1 3x2 ) x = ± 1 3. Så möjliga x-väden dä f kan anta sitt minsta väde ä ±1 och ±1/ 3. Då x = ±1 = f = 1 och x = ±1/ 3 = f = 1 ± 1/ 3 se man att f:s minsta väde då x 2 + 2y 2 1 ä lika med 1 1/ 3, som ä >. 5. Ekvationssystemet xy + yz + zx = 3, x 2 y 2 + z 2 = 1 definiea en kuva C i R 3, vilken gå genom punkten (1, 1, 1). Visa att näa (1, 1, 1) kan C skivas på fomen x = f(z), y = g(z), samt beäkna f (1) och g (1). 3

4 Lösning: Diffeentieing av ekvationena ge (y + z) dx + (x + z) dy + (x + y) dz =, x dx y dy + z dz = som då x = y = z = 1 educeas till dx + dy + dz = (1) ( ) dx dy + dz = (2) (1) + (2) = dx = dz och (1) (2) = dy =. Eftesom man således kan lösa ut dx och dy som multiple av dz u ( ), så säge implicita funktionssatsen att man näa punkten (1, 1, 1) kan lösa ut x och y som funktione av z: x = f(z), y = g(z). Och dx = dz = f (1) = 1, dy = = g (1) =. 6. Låt S vaa en yta i ummet med andkuvan C och låt ˆN vaa en enhetsnomal till S som ä positivt oientead med avseende på C. Låt vidae v = (a, b, c), dä a, b och c ä konstante. Visa att (v ) d = 2 v ˆN ds. C Lösning: Eftesom e x e y e z v = a b c = (bz cy, cx az, ay bx) x y z och e x e y e z ot (v ) = x y z = (a + a, b + b, c + c) = 2v, bz cy cx az ay bx så säge Stokes sats att (v ) d = C S ot (v ) ˆN ds = 2 4 S S v ˆN ds.

5 7. Låt D = (x, y, z) R 3 : x 2 + y 2 + z 2 1 och z x 2 + y 2 }, och låt S vaa D:s begänsningsyta. Beäkna flödet av vektofältet F = (zy 4, x 3, z 2 ) ut genom S. Lösning: Divegenssatsen säge att I = F ˆN ds = S D div F dxdydz, dä div F = ( / x, / y, / z) (zy 4, x 3, z 2 ) = 2z. I sfäiska koodinate ges D av ρ 1, φ π/4 och θ 2π, så att I = 2 = 2 1 ρ= 1 ρ= = 4π 1 4 π/4 2π φ= ρ 3 dρ θ= π/4 [ 1 2 sin2 φ ρ cos φ ρ 2 sin φ dρdφdθ φ= ] π/4 sin φ cos φ dφ 2π = π 2 ( 1 2 ) 2 = π Beäkna aean av den del av fösta kvadanten som ligge innanfö kuvan x 3 + y 3 = 3xy (= Descates blad ). Ledning: Kuvan kan paametiseas genom att man till vaje punkt (x, y) på kuvan associea lutningen t fö den linje som gå genom (, ) och (x, y). Gö man detta fås y = tx = x 3 + t 3 x 3 = 3tx 2 = x(1 + t 3 ) = 3t = ( ) 3t (x, y) = 1 + t, 3t 2, dä t < t 3 Lösning: Enligt en känd fomel (som följe omedelbat u Geens sats) ges aean innanfö en sluten kuva C av A = ( y) dx = x dy = 1 y dx + x dy. C C 2 C Hä ä y dx + x dy = tx dx + x d(tx) = tx dx + x(x dt + t dx) =x 2 dt = 9t 2 (1 + t 3 ) 2 dt, 5

6 så att A = 1 2 = Tansfomea Laplaces ekvation till poläa koodinate. Lösning: x = cos θ = y = sin θ ( ) ( d cos θ sin θ = dθ sin θ cos θ vau man läse ut att = cos θ, x y 1 9t 2 (1 + t 3 ) dt = u = t3, du = 3t 2 dt} du u = 3 [ 1 ] = u u x + 2 u 2 y = 2 ( ) dx = dy = sin θ, θ Med hjälp av kedjeegeln fås nu ( ) ( ) cos θ sin θ d = sin θ cos θ dθ ) ( ) ( cos θ sin θ dx = dy ) 1 ( dx dy sin θ cos θ x = sin θ, θ y = cos θ. u x = u u cos θ + θ sin θ och ( 2 u 2 x = u 2 cos θ + 2 u 2 θ sin θ ) cos θ + u ( 2 u + θ cos θ + 2 u θ sin θ ) sin θ 2 + u ( cos θ θ sin θ + sin θ ) cos θ 2 = 2 u 2 cos2 θ + 2 u 2 sin θ cos θ + 2 u θ θ sin2 θ u sin2 θ + u 2 cos θ sin θ. θ 2 6 ), (5p) ( sin θ) sin θ

7 På pecis samma sätt se man att 2 u y = 2 u 2 2 sin2 θ + 2 u 2 sin θ cos θ + 2 u θ 2 θ cos2 θ u cos2 θ + u 2 sin θ cos θ. 2 θ 2 Addea man uttycken fö 2 u/ x 2 och 2 u/ y 2 så se man med hjälp av tigonometiska ettan att 2 u x + 2 u 2 y = 2 u u 2 2 θ + 1 u Bestäm de kuvo i ummet som ha konstant kökning κ och konstant tosion τ genom att integea Fenetfomlena ˆT κ ˆT d ˆN = κ τ ˆN. ds ˆB τ ˆB Ledning: Böja med att titta på d 2 ˆN/ds 2. Lösning: Eftesom κ och τ ä konstanta ge deivation av (5p) att elle d 2 ˆN ds 2 d ˆN ds = κ ˆT + τ ˆB = κ κ ˆN + τ ( τ ˆN) d 2 ˆN ds 2 + (κ2 + τ 2 ) ˆN =, det vill säga den beömda svängningsekvationen fån mekaniken, med den välkända lösningen ˆN = C 1 cos( κ 2 + τ 2 s) + C 2 sin( κ 2 + τ 2 s), 7

8 dä C 1 och C 2 ä godtyckliga konstanta vektoe. Integation av ge hänäst att d ˆT ds = κ ˆN ˆT = C 1κ κ2 + τ sin( κ 2 + τ 2 s) C 2κ 2 κ2 + τ cos( κ 2 + τ 2 s) + C 3, 2 med en ny konstant vekto C 3. Till slut fås = (s) genom att integea d/ds = ˆT : = C 1κ κ 2 + τ cos( κ 2 + τ 2 s) C 2κ 2 κ 2 + τ sin( κ 2 + τ 2 s) + C 2 3 s + C 4, med ännu en ny konstant vekto C 4. 8