TENTAMEN VEKTORANALYS ED1110 Vektoranalys SI1143 MatematiskFysik, del 1

Transkript

1 Fusionplasmafysik Skolan fö Elekto- och Systemteknik KTH, Teknikingen Loenzo Fassinetti - Jan Scheffel TENTAMEN VEKTORANALYS ED Vektoanalys SI4 MatematiskFysik, del kl tosdagen 9 oktobe 9 (+ egenättning 6. ca 7.) i sal M Utdelade fomelblad ä tillåtna hjälpmedel. Miniäknae ä ej tillåten. Anteckna namn, utbildnings-pogam, åskus och poblemnumme på vaje blad. Skivtiden ä te timma. Vaje utföd uppgift ge maimalt p. Den teoetiska delen utgös av uppgiftena och och beäkningsdelen utgös av uppgiftena till 6. Vaje del kan tillsammans med motsvaande poäng fån undevisningen HT 9 ge maimalt 9 poäng. Fö godkänt kävs minst 9p sammanlagt. () Bevisa att i koodinatsystemet (u,u,u ) kan gadienten av en skalä φ skivas gadφ h φ eˆi, dä h i ä skalfaktoe. (Sats.) i i ui () Bevisa att flödet av vektofältet V) ä: (Sats.) S A q e genom en sluten yta S (andyta till volymen ˆ om oigo ligge utanfö V A ds 4π q om oigo ligge inuti V () Beäkna linjeintegalen A d A av vektofältet L + y + 5z, 5yz + y + z, e sin y + ln yz längs vägen L definiead av: L + y 4 z fån punkten P (,,) till punkten P (,,) V. G. Vänd!

2 (4) Använd indeäkning fö att bevisa identiteten ( a b) ( a) b ( b) a (5) Oionnebulosan ä sfäfomad med adie R. Antag att hastigheten hos heliumatomena inuti nebulosan beskivs av vektofältet v cosϕ eˆ ( sin sin ) ˆ + θ ϕ e ϕ Beäkna flödet av heliumatome ut u nebulosan. R kan antas vaa konstant. (6) Gavitationsfältet uppfylle Poisson-ekvationen φ 4πGm dä G ä gavitationskonstanten och m ä masstätheten. Tyngdacceleationen g fås fån g φ Antag att Oionnebulosan ä sfäfomad med adie R och ha masstätheten m() m R Beäkna: a) Gavitationsfältet φ inuti nebulosan. b) Tyngdacceleationen g inuti nebulosan.. Ledning: ) Det gälle att. ) Tyngdacceleationen i nebulosans centum ä g().

3 PROBLEM L ϕ d A d A( ( ϕ) ) dϕ dϕ ϕ SOLUTIONS 5yz e sin y A,, y 5z y z ln ( yz) cosϕ sinϕ 5 e sin y,, ( cosϕ) ( sin ϕ) 5() ( cosϕ) ( sin ϕ) () + ln ( yz) cosϕ sinϕ 5 e sin y cosϕ e sin y,,, sin ϕ, ln ( yz) + ln ( yz) PROBLEM 4 L + y 4 L z Paameteization of L : cosϕ d ( ϕ) y sin ϕ L: ( ϕ) cos ϕ,sin ϕ, sin ϕ,cos ϕ, dϕ z P(,,) ϕ π P(,,) ϕ π / cosϕ e sin y A d, sin ϕ, ( sin ϕ,cos ϕ,) du + ln ( yz) π / π / π / 4 8 sinϕcosϕ+ 4sinϕcosϕ du sinϕcosϕ du π / 4 4 cos ϕ 4 sin ϕ du [ ] ( a b) ( εijkab j k ) ε, ijkaj, ibk εijkab i j k. i ( εkij j, i ) k ( ε jik k, i ) j k j + a b b a a b b a a b b a k j PROBLEM 5

4 S v ds V div( v ) dv Gauss theoem v v + v + v sinθ θ sinθ ϕ ( ) ( sinθ θ) ( ϕ) Spheical cood. 4 div cos ϕ,, sinθsinϕ cos ϕ + ( sinθsinϕ) sinθ ϕ sinθ 4 cos ϕ + ( sinϕ) cosϕ+ cosϕ sinθ ϕ S 4π v ds dv R 4π R PROBLEM 6 V 4 m () m R Spheical coodinates. Due to symmety, thee is no θ and ϕ dependence in the solution. Theefoe, we must solve: d dφ φ πgm with 4π Gm d d R multiplying by d dφ 4π Gm d d R integating in and then dividing by φ d c 4π Gm + d 4R integating in c φ 4πGm + d 6 R φ φ φ φ φ g gadφ,, g,, eˆ θ sinθ ϕ Bounday condition : c g 4 πgm g() c 4R FINAL SOLUTION πgmr φ 4πGm + d 6 R R R πgmr g 4π Gm ˆ ˆ e 4 e 4R R R :

5 Fusionplasmafysik Skolan fö Elekto- och Systemteknik KTH, Teknikingen Loenzo Fassinetti - Jan Scheffel TENTAMEN VEKTORANALYS ED Vektoanalys SI4 Matematisk Fysik, del kl fedagen 9 oktobe (+ egenättning 6. ca 7.) i Studio C, Osquas Backe Anteckna namn, utbildningspogam, åskus och poblemnumme på vaje blad. Skivtiden ä te timma. Vaje utföd uppgift ge maimalt p. Den teoetiska delen utgös av uppgiftena och och beäkningsdelen utgös av uppgiftena till 6. Vaje del kan tillsammans med motsvaande poäng fån undevisningen HT ge maimalt 9 poäng. Fö godkänt kävs minst 9p sammanlagt. Miniäknae ä ej tillåten. () Bevisa att i koodinatsystemet (u,u,u ) kan gadienten av en skalä φ skivas gadφ h φ eˆi, dä h i ä skalfaktoe. i i ui (4) Bevisa att om f ha kontinueliga andadeivato i omådet V samt ä kontinuelig i V och S så gälle: φ φ φ i V och på S i V () Beäkna cikulationen av vektofältet A yeˆ + yeˆ y längs vägen L definiead av: y + L z + y V. G. Vänd!

6 (4) (a) Använd indeäkning elle nablaäkning fö att bevisa identiteten (b) Beäkna ( A ) ( A B) ( B ) A B( A) ( A ) B+ A( B) dä A ä en konstant (5) Vattenhastigheten i en flod beskivs av vektofältet v y eˆ + ( ze ) ˆ Beäkna flödet av vatten genom ett fisknät med fomen definiead av: + > ne ˆ ˆ > z y y (6) Heliumatomena i solen esultea fån fusion mellan väteatome. I stationäa fallet fås densiteten av heliumatome appoimativt av Poissonekvationen: nhe Antag att (inuti solen) källan beskivs av: S S R (R ä solens adie) och i R ä heliumatomsdensiteten n He N. Beäkna densiteten av heliumatome inuti solen och utanfö solytan. Ledning: - På gund av symmeti ä densitetens deivata noll i. - Långt fån solen ä densiteten noll. S

7 SOLUTIONS 9-okt- () Beäkna cikulationen av vektofältet A yeˆ + yeˆ y längs vägen L definiead av: y + L z + y - (change of cood. To have the cylinde ais along the z ais) Solution. The path is closed and the field is continuous. We can apply the Stokes theoem. ota (,, y + ) S Sz Sz Sρ Sρ ota ds (,, y + ) ds L A d ota ds (,, y + ) ds + (,, y + ) ds (,, y + ) eˆ ds ( y + ) ds ( y + ' + ) ds ( ρsinθ + ρcosθ + ) ds ds ± π z S z Sρ z z z Sz z Sρ S ρ z (+ o depending on the oientation of L)

8 (4) (a) Använd indeäkning elle nablaäkning fö att bevisa identiteten (b) Beäkna ( A ) ( A B) ( B ) A B( A) ( A ) B+ A( B) dä A ä en konstant Solution: (a) ( A B) ( A B) + ( A B) [ n ( a b) + n ( a b) ( n b) a ( n a) b + ( n b) a ( n a) b ( b n) a b( n a) + a( n b) ( a n) b ] ( B ) A B( A) ( A ) B+ A( B) (b) ( A ) ( ) A ( A) ( A ) A + ( A ) A ( A ) A A ( ) ( A) (5) Vattenhastigheten i en flod beskivs av vektofältet v y eˆ + ( ze ) ˆ Beäkna flödet av vatten genom ett fisknät med fomen definiead av: + > ne ˆ ˆ > z y y Solution:

9 y ρcosθ z ρsinθ z y ρ ( ρθ, ) ρ, ρcos θ, ρsinθ ( ρ,cos θ,sinθ) ρ ρ θ (, ρsin θ, ρcosθ) θ ( ρ cos θ, ρsin θ, ) v ( ρ,ρ cos θ,ρ sinθ) s v ds v ( ( ρθ, )) dρdθ ρ θ π ρ ρ cos θ + s ( cos sin cos ) ρ θ ρ θ θ dρdθ π 4 (6) Heliumatomena i solen esultea fån fusion mellan väteatome. I stationäa fallet fås densiteten av heliumatome appoimativt av Poissonekvationen: nhe Antag att inuti solen källan beskivs av: S S R (R ä solens adie) och i R ä heliumatomsdensiteten n He N. Beäkna densiteten av heliumatome inuti solen och utanfö solytan. Ledning: - På gund av symmeti ä densitetens deivata noll i. - Långt fån solen ä densiteten noll. S Solution:

10 nhe S n n n n sin + S θ + sinθ θ θ sin θ ϕ due to the symmety, deivative in θ and ϕ ae zeo: n S inside the sun: R n S integating: R 4 n S + c 4R + 4R Then integating: n c S 6 R n S + d but c because the deivative is zeo in the cente. R nr N N S R + d d N + S 6 R outside the sun: n b n a + since the density is zeo vey fa fom the sun, b R a n( R) N N a RN R

11 Fusionplasmafysik Skolan fö Elekto- och Systemteknik KTH, Teknikingen Loenzo Fassinetti - Jan Scheffel TENTAMEN VEKTORANALYS ED Vektoanalys SI4 Matematisk Fysik, del kl lödagen oktobe (+ egenättning 6. ca 7.) sal E Anteckna namn, utbildningspogam, åskus och poblemnumme på vaje blad. Skivtiden ä te timma. Vaje utföd uppgift ge maimalt p. Den teoetiska delen utgös av uppgiftena och och beäkningsdelen utgös av uppgiftena till 6. Vaje del kan tillsammans med motsvaande poäng fån undevisningen HT ge maimalt 9 p. Fö godkänt kävs minst 9 p sammanlagt. Miniäknae ä ej tillåten. (5) Bevisa att: om φ ha kontinueliga andadeivato i omådet V samt ä kontinuelig i V och S så gälle: φ φ φ () Bevisa Gauss sats: i V och på S i V ( p) a) Skiv ne de logiska stegen i beviset i od (.5 p) b) Bevisa satsen med matematiska fomle (.5 p) () Beäkna linjeintegalen av vektofältet A längs vägen L definiead av: fån punkten z y z + + eˆ + y + z z L y P,, till P (,, ) ( p) V. G. Vänd!

12 (4) Använd indeäkning elle nablaäkning fö att bevisa identiteten ( p) dä p ä en konstant vekto. ( ) p p p 5 (5) Beäkna flödet av vektofältet (.5 p) genom ytan definiead av A eˆ + yeˆ + ln eˆ y y z 4 y > z < ne ˆ ˆy < + y Rita en bild av ytan och nomalvekton. (.5 p) (6) Kolven I en bilmoto ha fomen av en cikulä cylinde med adie ρ och höjd z. Nä moton ä igång, födela sig tempeatuen I cylinden enligt: T ( ϕ)( z ) + ρ + + cos a) Beäkna tempeatugadienten. Beäkna den stösta tempeatuvaiationen som funktion av ρ fö φπ/ och z. ( p) b) Betakta punkten P: (, π/, ) i cylindekoodinate. Beäkna iktningen v M (i cylindekoodinate) I vilken tempeatuen öka snabbast (.5 p) c) Beäkna I punkten P en iktning ˆv i planet z längs vilken tempeatuändingen ä. Beäkna vinkeln mellan ˆv och v M. (.5 p)

13 SOLUTIONS: () Beäkna linjeintegalen av vektofältet A längs vägen L definiead av: + y + z z L y P,, fån punkten z y z + + eˆ till P (,, ) (poäng) SOLUTION: Tanslation of coodinates: z z- Then: A z ' + + y + z' eˆ + y + z L y ' fån punkten P,, till P (,,) Paameteization of L: sin θ π y sin θ with θ : z ' cosθ ( θ) sin θ, sin θ,cosθ d A d A( θ) dθ dθ d cos θ, cos θ, sinθ dθ

14 d A( θ) dθ (cosθ,, ) cos θ, cos θ, sinθ dθ dθ + sin θ θ π + 8 ( cos θ cosθ) dθ sinθ π / (4) Använd indeäkning elle nablaäkning fö att bevisa identiteten: dä p ä en konstant vekto. SOLUTION p c c + ( ) p p p 5 n ( ca) + n ( ca) ( nc) a + cna ( p ) + ( p ) ( ) eˆ p p ( p + pz y + pz z ) ( p ) 4 5

15 (5) Beäkna flödet av vektofältet (.5 poäng) genom ytan definiead av: A eˆ + yeˆ + ln eˆ y y z 4 y > z < ne ˆ ˆy < + y Rita en bild av ytan och nomalvekto SOLUTION cosϕ y sinϕ < ϕ < π < u < z u ( ϕ, u) cos ϕ,sin ϕ, u ( sin ϕ,cos ϕ,) ϕ ϕ u (,,) u cosϕ A( ϕ, u) cos ϕ,sin ϕ,ln sin ϕ ( cos ϕ, sin ϕ,) π A ds A ϕu dϕdu ϕ ϕdϕdu ϕ u dϕ du 4π (, ) ( cos + sin ) But we must change sign, since ne ˆ ˆ sinϕ > y

16 (6) The piston of a ca engine has cylindical shape, with adius ρ and height z., When the engine is on, the tempeatue inside piston is descibe by the field: T ( ϕ)( z ) ρ cos 6a- calculate the maimum incease of the tempeatue at φπ/ and z. At which adius the tempeatue incease is maimum at φπ/ and z? ( poäng) 6b- Conside the point P: (, π/, ) in cylindical coodinates. Calculate the diection v M (using cylindical coodinates) of the maimum tempeatue incease. (.5poäng) 6c- Calculate in P a diection ˆv on the plane z along which the tempeatue incease is. Calculate the angle between ˆv and v M (.5poäng) SOLUTION (a) T + ρ + cosϕ z+ T T T T,, + cos z+, sin z+, + cos ρ ρ ϕ z at ϕ π /, z : ( ρ( ϕ) ρ ϕ ρ ( ϕ) ) 4 T ρ, ρρ, maimum incease: T 5ρ + ρ the maimum is at ho ν M P (,,) T since we ae on the plane z: ˆ ν (a,b,) ( ab,,) ˆ,, a + b T ν P a b a + b a ab + b a + b a ab a possible solution is a ˆ ν (,, ) ˆ e ϕ ˆ,, (,, ) νm ν α accos ν ˆ ν ν ˆ ν α α 6 M cos 6 cos

17 Fusionplasmafysik Skolan fö Elekto- och Systemteknik KTH, Teknikingen Richad Fidstöm - Loenzo Fassinetti TENTAMEN VEKTORANALYS ED Vektoanalys kl fedagen 4 mas 4 (+ egenättning. ca.) sal L Anteckna namn, utbildningspogam, åskus och poblemnumme på vaje blad. Skivtiden ä te timma. Vaje utföd uppgift ge maimalt p. Den teoetiska delen utgös av uppgiftena och och beäkningsdelen utgös av uppgiftena till 6. Vaje del kan tillsammans med motsvaande poäng fån undevisningen VT 4 ge maimalt 9 p. Fö godkänt kävs minst 9 p sammanlagt. Miniäknae ä ej tillåten. () Bevisa, i cylindekoodinate (ρ,φ,z), att: L k e ˆϕ d π kn ρ dä L ä en sluten kuva, N antalet vav som L gå unt z-aeln. ( p) () Bevisa att: a) Vädet av gad(φ) i punkten P peka i den iktning i vilken φ väe snabbast då man utgå fån P. ( p) b) Den maimala ökningen av φ pe längdenhet gad(φ) P. ( p) () Bevisa, i sfäiska koodinate (,θ,φ), att φ ( φ() ) φ+ ( p) V. G. Vänd!

18 (4) Ett vektofält och en kuva definieas av: z y y A ye eˆ + eˆ + ze eˆ y z y z L z y > a) Rita en bild av kuvan. (. p) b) Beäkna linjeintegalen av vektofältet längs kuvan. (.6 p) c) Ä linjeintegalen positiv elle negativ? Motivea. (. p) (5) The electic field of a dipole is: ( p) ( ) p p E + 5 dä p pe ˆz ä en konstant vekto. Calculate the flu of the electic field ove a semi-sphee centeed in the oigin with adius R and z>. ρ ρc R. (6) The chage density in an infinitely long cylinde with adius R is Solve the Poisson equation to calculate the potential and the electic field inside and outside the cylinde; thus use ρ c E φ φ ε Assume that the potential on the cylinde suface is V and that the electic field is zeo on the cylinde ais. (p)

19 SOLUTIONS () φ() φ() + φ() φ φ,, (,,) + φ φ + (4) ϕ d A d A( ( ϕ) ) dϕ dϕ L ϕ Paameteization of L : cosϕ d ( ϕ) y 4sin ϕ L: ( ϕ) cos ϕ,4sin ϕ, sin ϕ,4cos ϕ, dϕ z ϕ: π z y y sin ϕ A ye eˆ ˆ ˆ + ey + ze ez 4sin ϕ,8, cosϕ L ϕ π d sin ϕ A d A( ( ϕ) ) dϕ 4sin ϕ,8, ( sin ϕ,4cos ϕ,) dϕ dϕ cosϕ ϕ π π π 8sin sin d 4 sin d 4 sin ϕ+ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ π 4

20 (5) ( p ) p p p p p cosθ cosθ sinθ E + eˆ ˆ ˆ ˆ 5 z + e e + e note that eˆ cosθeˆ sinθeˆ z θ θ pcosθ pcosθ E ds E eˆ sinθdθdϕ sinθdθdϕ sinθdθdϕ p p p π / cosθ sinθdθdϕ π cosθ sinθdθ π c os p θ π (6) inside the cylinde: d dφ ρ ρ ρ ρ ρ dρ dρ R multiplying by ρ d dφ ρ ρ ρ ρ ρ d dρ R integating in ρ and then dividing by ρ: φ ρ ρ ρ ρ d R ρ R d c c ρ + E gadφ ρ + on the cylinde ais the field must be zeo c so: ρ ρ φin ρ + a 4 9R E in ρ ρ ρ ˆ e R,, ρ

21 outside the cylinde thee is no chage, so we need to solve the Laplace equation assuming cylindical simmety. We know that the solution is (see week 6): φ E out out cln ρ+ d c eˆ ρ to calculate the a,c and d we need to use the bounday conditions: φ ( R) φ ( R) V in out E ( R) E ( R) in out 5 a V ρr c ρr d V ρr ln R 6 6 6