Transportfenomen i människokroppen

Storlek: px

Starta visningen från sidan:

Download "Transportfenomen i människokroppen"

Anders Månsson
för 5 år sedan
Visningar:

1 Transportfenomen i människokroppen Kapitel 8-9. Porösa medier och Transvaskulär transport

2 Porösa medier Glatt muskelvävnad Nanomaterial Grus (granulat) Svampliknande Fibermatris i polymergel Obs! Vitt representerar hålrum eller fluid medan svart är fast material!

3 Definitioner Specifik area: s = total gränsarea total volym Porositet: ε = fluid volym total volym Tortusitet (tortuosity, slingrighet):! T = L min # " L (den blå sträckan delat med den röda) $ & % 2

0 << L Då kan fluidhastigheten betraktas som ett medelvärde över en REV med

4 Darcys lag v = K p Man vill betrakta det porösa mediet som ett kontinuum. Det är möjligt om man kan finna en representativ elementarvolym (REV): δ << l 0 << L Då kan fluidhastigheten betraktas som ett medelvärde över en REV med storleken l 0 3 Henry Darcy

5 Darcys lag Kontinuitetsekvationen: v = φ B φ L Termer pga massutbyte med blod och lymfkärl (källterm resp. sänka) För ett homogent och isotropt material gäller Darcys lag: v = K p K hydraulisk konduktivitet ( K p) = φ B φ L Om φ L = φ B = 0 så 2 p = 0

6 Darcys lag, hydraulisk konduktivitet Kan beräknas för enkla geometrier. Exempel cirkulära cylindriska porer. Utgå ifrån q = πd 4 dp 128µ dx (Poiseulles lag Kap.2. s ) K = n Aπd 4 128µ och k = n Aπd k specifik hydraulisk permeabilitet

Darcys lag, hydraulisk konduktivitet För icke-cirkulära cylindriska porer: K = cε 3 där ε är porositeten, s är specifika ytan och c, Kozenys konstant,

7 Darcys lag, hydraulisk konduktivitet För icke-cirkulära cylindriska porer: K = cε 3 där ε är porositeten, s är specifika ytan och c, Kozenys konstant, ges ur tabellen eller K = µs 2 ε 2 Gµs 0 2 (1 ε) 2 Kozeny-Carmans ekvation, s 0 Carmans specifika area G Kozeny konstant, G = 1, där T är tortusiteten Tc

8 Darcys lag, hydraulisk konduktivitet För en fibermatris med fiberradien r f : K = r f2 ε 3 4Gµ(1 ε) 2 ε Notera att G här är en funktion av Obs! Darcys lag kan ej utnyttjas då: Fluiden är icke-newtonsk Höga hastigheter (även om fluiden kan betraktas som newtonsk) Gaser vid väldigt låg eller väldigt hög hastighet.

9 Brinkmans ekvation I Darcys lag försummas det viskösa motståndet i fluiden. Giltigt då permeabiliteten är låg. Om permeabiliteten är hög användes istället Brinkmans ekvation µ 2 v 1 K v p = 0 Kan härledas från ekv (Stokes ekvation, kommer ur impulsekvationen)

10 Transport av löst substans Skillnad i hastighet kan uppstå beroende på att den lösta substansen hindras mer av det porösa mediet än lösningsmedlet! Retardationskoefficienten f = hastighet för löst substans hastighet för lösningsmedlet = v s v f Konvektiv flux N s = v s C = fv f C Reflektionskoefficienten σ =1 f

11 Transport av löst substans i poröst medium Transportekvationen: Randvillkor: N 1 = N 2 och C t + fv f C C 1 K AA1 = C 2 K AA2 ( ) = D eff 2 C +φ B φ L +Q Notera att koncentrationen kan vara diskontinuerlig på gränsytan mellan en lösning och ett poröst medium och mellan två porösa medier. Därför modifieras randvillkoren. K AA är andelen av gränsytans area som är tillgänglig för transport.

12 Transvaskulär transport Transport från kapillärer till omgivning Strukturen hos ett litet blodkärl, kapillär Tre typer av cellförbindningar

13 Transvaskulär transport, tre typer av kapillärer Kontinuerliga Finns bl.a. i muskler och huden. Fenestrerade Finns bl.a. i lever och njurar Diskontinuerliga Nybildade kärl, t.ex. vid sårläkning Diskontinue Nybildade vid sårläkn

14 Transport genom kärlvägg Fenestrerade kapillärer Kontinuerliga kapillärer Diskontinuerliga kapillärer

15 Transport genom kärlvägg, osmotiskt tryck Osmotiskt tryck π = p A p B = ρ f g Δh Osmotiskt tryck beror på koncentrationen och temperaturen, i.e. π = CRT Starlings filtreringslag J v = L p S( Δp σ s Δπ ) J v fluidflödet genom kärlväggen, S - ytan L p kärlväggens hydrauliska konduktivitet, σ s - osmotisk reflektionskoefficient

16 Transport genom kärlvägg, flöde av lösta molekyler Kedem-Katchalskys ekvation J s = J v ( 1 σ f )C S + PS ΔC J s - flöde av de lösta molekylerna C S - medelkoncentrationen i membranet σ f - filtreringskoefficient P - permeabilitet

17 Transport genom kärlvägg, fenomenologiska konstanter " Hydraulisk konduktivitet: L P = J / S % v $ ' # Δp & Δπ=0 " specifikt flöde % = $ ' # hydrostatisk tryckskillnad & Δπ=0 " Permeabilitet: P = J / S % s $ ' # ΔC & J v =0 " specifikt flöde av löst substans = $ # koncentrationsskillnad % ' & Jv=0 " Osmotisk reflektionskoefficient: σ s = Δp % $ ' # Δπ & J v =0 " = $ # Hydrostatisk tryckskillnad Osmotisk tryckskillnad % ' & J v =0 " J Filtreringsreflektionskoefficient: σ f =1 s / S % $ ' #(J v C 0 ) / S & ΔC=0 " Specifikt flöde över kärlväggen = $ # Specifikt flöde % ' & ΔC=0

18 Idag: Transport i porösa medier - Darcys lag - Hydraulisk konduktivitet Transvaskulär transport - Osmotiskt tryck - Starlings filtreringslag - Kedem-Katchalskys ekvation Hoppa över: 8.5, 9.5

19 S5.2 Newtonsk vätska i ett rör med poröst medium 1 r v ' = r v' r r r 0 1 k v' = at r = 0 v ' = kb at r = R µ 0 Lösning: v' = kb µ I 0 r / k ( ) I 0 ( R / k ) er modified Bessel function of ( ( ) I 0 ( R / k )) v x = kb µ 1 I 0 r / k

20 S5.2 forts. q = 0 = kb µ R v x 2πrdr 0 R ( 1 I 0 ( r / k ) I 0 ( R / k )) 2πrdr ( ( ) I 1 ( r / k ) I 0 ( R / k )) = kb µ π r 2 2k r / k ( ( ) I 0 ( R / k )) = kb µ πr k / R I 1 R / k R 0 Extra term pga viskositeten, dvs Brinkman. Termen minskar när R / k ökar. När Darcy R / k = 20 så är resultatet från Brinkmans ekvation bara 9.7% mindre än det resultat som erhålles med Darcys lag.

21 Besselfunktioner I 0 Obs! Ibland betecknar man Besselfunktioner med J 0, J 1 och ibland med I 0, I 1 Men man menar samma sak! Lösningar till Bessels differentialekvation 2 u r r u r + # λ υ 2 % $ r 2 & (u = 0 ' Ger ordningen. Här 0 alltså J 0

22 Bra att ha: Differentiering i cartesiska koordinater: r r 2 Differentiering i cylindriska r = ˆr c ˆ c r r 2 = 1 c r + ˆ + ˆ r r 2 = r 2 r @r r 2 = 1 r (r 2 r 2 c + 1 r Differentiering i sfäriska koordinater: 1 r 2 sin 2 2 r 2 sin q 2

Relevanta dokument

Porösa medier Transvaskulär transport

Porösa medier Transvaskulär transport Porösa medier Kontinutitetsekvationen v = φ B φ L Källtermer pga. massutbyte med blodoch lymfkärl Definitioner Specifik area: s = total gränsarea total volym Porositet: