Tentamen i FEM för ingenjörstillämpningar (SE1025) den 15 mars 2011 kl

Transkript

1 KTH HÅFASTHETSÄRA Tentamen i FEM för ingenjörstiämpningar (SE5) den 5 mars k. -9. Resutat kommer att finnas tigängigt senast den 5apri. Kagomå på rättningen ska vara framförda senast en månad därefter. OBS! Tentand är skdig att visa egitimation. Skriv endast på en sida av badet. Skriv tdigt namn och personnummer på varje bad. ösningar som är otdiga och svåra att föja kommer inte att bedömas. Hjäpmede: Formesaming i Håfasthetsära, TEFYMA, BETA eer iknande och räknedosa. Eaminator: Jonas Faeskog, te Betgsgränser: F(underkänd) p ; FX(möjighet ti kompetteringstentamen) p ; E p ; D p 5 ; C p 7 ; B p ; A p, där (p tentamen+bonus).. [5 poäng] En struktur bestående av tre fjädrar beastas av två punktkrafter P och P, se Figur. Fjädrarna och har fjäderkonstanten k och fjäder har fjäderkonstanten k. Bestäm k, så att strukturens stvhet i -ed är η gånger stvheten i -ed ( η > ), dvs P δ ηp δ ska gäa. Beräkna dessutom normakraften i fjäder som funktion av ttre punktkrafter och parametern η. Fig. P, δ 9 o ϕ P, δ Fig. α P β. [ poäng] Ett fackverk bestående av stänger och en fjäder beastas med en punktkraft P, se Figur. Visa med hjäp av virtuea arbetets princip att jämviktsekvationerna för fackverket bir N + N cosα Pcosβ, N sinα + N Psinβ där N i är eementens normakrafter. edning: samband mean stängernas förängningar och kraftangreppspunktens förskjutning i - respektive -ed behövs.. Stången i Figur (a) är koppad ti omgivningen via en kontinuerig injäreastisk fjäder med en fjäderkonstant per ängdenhet k [(N/m) / m]. Stången har easticitetsmoduen E, tvärsnittsarean A, densiteten ρ och utsätts för en acceeration a() i -riktningen. Stångens förskjutningen u() ges av ösningen ti differentiaekvationen - d EA du - k d d u + aρa där N EAu gäer vid en rand med föreskriven normakraft ( N Aσ ). (a) [ poäng] Ta fram den svaga formen ti differentiaekv. ovan och häred FEM-ekvationen (anv. Gaerkins metod) för ett eement, dvs identifiera storheterna i ekvationen k e d e f e. (b) [ poäng] Figur (b) visar ett enket mekanisk sstem för att mäta acceeration som består av en eastisk stång fastsatt i en eastisk cinder. Cinderns stvhet modeeras här som en kontinuerig eastisk fjäder med k ηea ( η > ). Antag att stången är utsatt för en konstant acceereration a (inverkan av cinderns densitet försummas här). Antag vidare att E, A och ρ är konstanter. Dea in stången i två injära eement och ta fram ett uttrck för acceerationen a som funktion av förskjutningen vid höger ände, Δ u ( ), för faet η. Jämför med den eakta ösningen a ηeδ ( ρ ). OBS! tröghetskraften som acceerationen ger upphov ti är den enda ttre kraft som beastar stången, dvs stångens ändar är fria., Tentamen i FEM för ingenjörstiämpningar (SE5) den 5 mars k. -9.

2 KTH HÅFASTHETSÄRA Fig. E, A K aρ stång k (a) (b). [ poäng] Figuren ti höger visar ett eement med injär interpoation i -ed och kvadratisk interpoation i η- ed. Eementet används i en värmeedningsanas där temperaturen uppvisar starkt variation i η-ed och svag variation i -ed. Formfunktionerna för noderna och är: N ( + ) η( η). N ( + )η( + η) Ta fram formfunktionen för nod 5 och bestäm temperaturen i punkten {, η.5}, där eementets temperaturvektor, T e, är given i Figuren (nodernatemperaturernas position i T e föjer nodnumreringen och där T är en referenstemperatur). 5. En kvadratisk påt ( ) med tjockeken h beastas med en kombination av norma- och skjuvspänningar på ränderna. En eakt anas av påten kan utföras med hjäp av ett enda injärt -sidigt pant CST-eement enigt FEM-modeen i figuren nedan. I modeen införs asterna som spänningsvektorer t verkande på respektive eementsida. Materiaet är isotropt, injärt eastiskt med easticitetsmoduen E och Poissons ta ν. Eementets formfunktioner N i och eementstvhetsmatris k e (pant spänningstistånd) är givna i figuren. (a) [ poäng] Ta fram bidraget från spänningsvektorn verkande på sidan mean noderna och ti nodastvektorn f s. Vid beräkning av de konsistenta nodkrafterna kan med förde den normerade dimensionsösa koordinaten utnttjas, där i nod och nod, viket ger sambanden ( ) och (OBS! notera att ( d) + ( d) d ). (b) [ poäng] Beräkna samtiga nodförskjutningar d e (OBS! astvektorn från utbredda aster verkande på eementets ränder, f s, är given i figuren.) (c) [ poäng] Beräkna töjningarna i eementet och visa att de överensstämmer med den eakta ösningen, d.v.s. Eε σ σ, Eε σ σ och Eγ 8. σ σ σ σ t T σ f s T t σ + + t T h - ( σ + ) ( σ + ) σ σ σ σ 6 η 5 T e T Formfunktioner: N N,, N Eementstvhetsmatris: k e d e T Eh - 6 d d d d d d Tentamen i FEM för ingenjörstiämpningar (SE5) den 5 mars k. -9.

3 KTH HÅFASTHETSÄRA FORMEBAD (kompement ti kap.. i Formesaming i Håfasthetsära) GOBA BESKRIVNING FÖR ENDIMENSIONEA EEMENT D k D D φ D K e k a a a a aternativt a där m m m a c sc sc s c s cosφ sinφ cosφ ( ) m cosφ ( ) ( ) + ( ) OIKA FINITA EEMENT D: D: φ φ Användbara integraer: φ N φ ( ) N N dn B φ N d N N T, Nd, N T d 6 B T Bd -sidigt triangeeement: d d d Förskjutningar: u (, ) v (, ) N N N d e Nd e d e N N N d d d d A e d d d N [( A )( ) + ( )( )] e N [( A )( ) + ( )( )] e N [( A )( ) + ( )( )] e d d Töjningar: ε ε Bd e N i B B B B B i N i γ N i N i Spänningar: σ σ σ Cε σ C E ( ν ) ν ν ( ν) (P.S) C ν E( ν) - ( + ν) ( ν) ν (P.D) ( ν) FEM Ekv. (ett eement): B T CBdV d e N T tds + N T KdV V e S e V e t spänningsvektor K vomskraft Tentamen i FEM för ingenjörstiämpningar (SE5) den 5 mars k. -9.

4 KTH HÅFASTHETSÄRA D 8 D 7 ÖSNINGSFÖRSAG: FEM FÖR INGENJÖRSTIÄMPNINGAR, 5 MARS, e D e D D 6 9 o ϕ D5 Randvikor: F P, F P ; D D D 5 D 6 D 7 D 8 Eementstvhetsmatriser: K i k a a i, a i a a, cosφ sinφ e D D e: k k, a { φ 9 } e& e: k k k a { φ ϕ} Reducerat Ekv. sst. med D δ, D δ c ϕ s ϕ c ϕ s ϕ c ϕ s ϕ a φ ϕ π + s, ϕ s ϕ c ϕ s ϕ c ϕ c ϕ [ ka + k ( a + a )] δ δ P k δ P k + k δ P P Vikor: P - η P - k ( η )k δ δ Normakraft i eement : N kδ k P - + k k ( η ) P η δu δu cosα α + δu sinα u u δu δu Kompatibiitet: δu δu, δu δu cosα + δu sinα δu δu Inre virt. arb.: Yttre virt. arb.: δa i δu N + δu N + δu N δa e δu cosβ P + δu sinβ P Virtuea arbetets princip: δa i δa e med kompatibiitet insatt ger δu ( N + N cosα Pcosβ) + δu ( N sinα + N Psinβ) Då δu och δu är godtckiga fås jämviktsekvationerna N + N cosα Pcosβ ; N sinα + N Psinβ Tentamen i FEM för ingenjörstiämpningar (SE5) den 5 mars k. -9.

5 KTH HÅFASTHETSÄRA (a) Svag form (mutipicera ODE med godtckig viktfkn. v(), åt vara eementets ängd): v [ ( EAu ) k u + aρa ]d () Partiaintegrera : termen: v( EAu ) d [ v( EAu )] v ( EAu )d () (b) Ek. (), där b e EAu [ v ( EAu ) + vk u]d Aσ k e [ vaσ ( )] + vaρad FEM-Ekv. ett eement (approimativ ösning av svag form): Förskjutningsansats: u ( ) Nd e u Bd e där B dn (d d e, eementets nodförskjutningsvektor) Viktfkn. (va en. Gaerkin): v ( ) Nb e T T b e N v Bb e T T b e B (b e, en vektor med Insatt i svag form ger: godtckiga komp.) B T EABd + N T k Nd d e b e [ N T ( Aσ) ] + N T aρad Då b e är en godtckig vektor fås: k e d e f s + f b f e D gäer vid ränderna, insatt i () ger den svaga formen enigt D f b f b N T aρad aρa - Ekvations- D D 6EA aρa D - aρ D Δ sstem: D E EΔ a - D D ρ Samma som den eakta ösningen! OBS! notera att du/d, dvs det är fråga om stekroppsrörese! Kommentar: för godtckiga η fås med η η Eementmatriser: k k B T EABd N T EA + k Nd k + 6 D f s f b ηea, k EA ηea + { η } 6EA FEM-anas, två ika ånga injära eement: N, B Diskretisering: R.V.: F S F S (inga ttre punktkrafter på randen) EA η + η η η + η η η + D D D aρa - D D D aρ - ηe aρ ηe Tentamen i FEM för ingenjörstiämpningar (SE5) den 5 mars k

6 KTH HÅFASTHETSÄRA För nod 5 gäer att: N 5 (, η) N 5 (, η ) N 5 (, η ) N 5 C( + ) ( η ) N 5 (, η ) C N 5 ( + ) ( η ) Temperaturen i pkt., η.5: T(, η.5) N, η.5 T e N T + N T + N 5 T 5 T - ( ).8T 8 5 (a) Bidrag ti nodastvektorn f s från spänningsvektorn verkande på sidan mean noderna och : ds h d ( N T N t) ds σ + N S σ + h d N (b) Randvikor: d d d Reducerat ekvationssstem (Ekv.,5,6): Eh - 6 d d d σ h - d σ d d E h - σ σ σ σ σ σ 8 σ σ (c) Töjningar: d T ε Bd e B B B d d d d T d d d där B i N i, d T N i, B, B N i, N i, B d + B d d ε d + d d d d E σ σ σ σ 8 Stämmer med den eakta ösningen! Tentamen i FEM för ingenjörstiämpningar (SE5) den 5 mars k