FEM FÖR INGENJÖRSTILLÄMPNINGAR OH-MATERIAL

Transkript

1 FEM FÖR INGENJÖRSTILLÄMPNINGAR OH-MATERIAL Jonas Faleskog, KTH Hållfasthetslära Januari 3

2 FEM för Ingenjörstillämpningar, VT3 / J.Faleskog SE5, FEM för ingenjörstillämpningar (6 hp) fortsättningskurs i hållfasthetslära Mål: att lära sig grunderna för Finita ElementMetoden (FEM) och att kunna använda FEM som ett analysverktyg i ingenjörstillämpningar. Kursupplägg 7 Föresläsningar (teori, problemlösn. & fallstudier) Jonas Faleskog (kursansvarig/eaminator) 8 Övningar (problemlösning i 3 parallella grupper) Rickard Shen Rami Mansour Michal Sedlak Obligatoriska datorlaborationer (3+ tillfällen/lab) Hui Huang Andrii Grytsan problemlösning m.h.a. finita elementprogrammet ANSYS (studentversion kan erhållas från KTHB) hålls i datorsalen Glader, M-byggnaden utförs i grupper om till 3 teknologer 3 Hemuppgifter (HEM,.5 hp) utförs i grupper om till 3 teknologer ger bonuspoäng vid den skriftliga tentamen godkänd tentamen ger med automatik G på HEM. (3)

3 FEM för Ingenjörstillämpningar, VT3 / J.Faleskog Literatur Grundläggande hållfasthetslära (5) av H. Lundh The finite element method A practical course (3) av G.R. Liu & S.S. Quek (tillgänglig som E-bok via KTHB:s hemsida, kan köpas via nätet för ca: 66 SEK) Eempelsamling i FEM för ingenjörstillämpn. (Jan., ) av Jonas Faleskog > Ett kurspaket innehållande:. Eempel i FEM för ingenjörstillämpningar. OH-material till föreläsningarna (även på kurshemsidan) kan köpas på hållfasthetsläras epedition, Osquars backe (plan ), pris: kr. (Må-Fr: :3-5:) Kurshemsida: Hemuppgifter Instruktioner till datorlaborationerna OH-material till föreläsningarna Matlabprogram: fjäder/stång strukturer endimensionella balkstrukturer Ramverk av balk/stångelement Gamla tentamina. (3)

4 FEM för Ingenjörstillämpningar, VT3 / J.Faleskog Finita ElementMetoden (FEM) Många fysikaliska fenomen i ingenjör/vetenskapliga sammanhang kan modelleras mha partiella differentialekvationer (PDE). Dessa är i allmänhet omöjliga att lösa mha klassiska analytiska metoder Stationär värmeledning i D (skalärt fältproblem: T) q, q y PDE: T D T + s T s y D k k y k y k yy Primär variabel Temperatur Linjär elasticitet i D (vektor fältproblem: u & u y ) PDE: T S D S u + b Primära variabler förskjutningar E, u y u K y K t, t y S y y D E u b u u y K K y Andra eampel: Diffusion, Strömming, Electromagnetism, etc. FEM är en numerisk metod för att approimativt lösa en PDE, som resulterar i ett linjärt (olinjärt) ekvationssystem med diskreta värden av primära variabler som obekanta, vilket löses numeriskt mha en dator..3 (3)

5 FEM för Ingenjörstillämpningar, VT3 / J.Faleskog FEM grundläggande idé! Soliden/strukturen delas in i sk. finita element (diskretisering), kopplade till noder. Därefter tas en approimativ lösning fram för varje element (ofta baserad på linjära/kvadratiska funktioner). Den diskretiserade soliden/strukturen bildar ett sk. finita elementnät (mesh) och processen att göra nätet kallas nätgenering. Eampel: plåt med circulärt hål utsatt för enalig dragning. Noder Element Finita elementnät Förfinat Finita elementnät Den approimativa lösningen i varje element uttrycks mha den/de primära variabelns/variablernas nodvärden, som erhålls genom lösning av ekvationssystemet. Noggrannheten beror av elementens storlek och valet av approimationsfunktioner. Ekvationssystemet (FEM-Ekv.) kan formuleras genom att PDE:n (stark form) skrivs om på en integralform (svag form). För linjärelastiska problem ger Virtuella arbetets princip direkt den svaga formen!.4 (3)

6 FEM för Ingenjörstillämpningar, VT3 / J.Faleskog FEM i praktiken Används rutinmässigt i industrin för att analysera strukturer, mekaniska, termiska, elektriska och kemiska system osv. med avseende på dimensionering (konstruktion) och prestanda. FEM i konstruktionsprocessen för ingenjörssystem: Konstruktionskoncept Definera problemet, samla information, generera konceptet, och utvärdera konceptet Modellering Fysikaliska, * matematiska, * numeriska, driftmässiga, ekonomiska aspekter,... Simulering Eperimentella, analytiska, och numeriska * metoder Analys Utvärdering och postprocessing av resultat,... * * virtuell prototyptillverkning Konstruktion/dimensionering Prototyptillverkning Provning Tillverkning * Välj ett FEM-program, där FEM-Ekv. för det fysikaliska fenomen som skall modelleras finns implementerad. Eempel på komersiella program: ANSYS, ABAQUS, NASTRAN,....5 (3)

7 FEM för Ingenjörstillämpningar, VT3 / J.Faleskog E.: Stora system analyserade med FEM Jas Gripen militärt flygplan (SAAB) Av: H. Ansell (998), Mekanisten 998:3 Krocksimuleringar av en personbil Av: Z.Q. Cheng (), Finite Elem. Anal. Design (3)

8 mer eempel i vetenskap... FEM för Ingenjörstillämpningar, VT3 / J.Faleskog Mikromekanisk 3D FEM analys på mikroskala I syfe att utveckla brottmekaniska modeller för stål (I. Barsoum, J. Faleskog and M. Stec, KTH Solid Mechanics, 8) Deformerat nät av sk. klyvplan Crack speed - km/s svag punkt i materialet Deformerat nät som visar isokonturer av effektivspänning I. Klyvbrott: visar en microspricka som väer över en korngräns II. Duktilt brott genom tillvät och sammanväning av mikrohål Odeformerat FEMnät Deformrat FEMnät visande isokonturer av plastisk töjning sfäriskt hål.7 (3)

9 FEM för Ingenjörstillämpningar, VT3 / J.Faleskog FEM historiskt perspektiv 943 Tidig variant av metoden formulerades av matematikern Richard Courant, men uppmärksammades aldrig av ingenjörer. 95-talet Metoden utvecklas och används praktiskt i datorberäkningar i mitten av 5-talet av flygingenjörer: M.J. Turner, R.W. Clough, H.C. Martin, L.J. Topp (Boing and Bell Aerospace), USA, och av J.H. Argyris, S. Kelsey (Rolls Royce), UK. 96-talet och senare: Teoretisk grund för FEM tas fram och matematiker börjar studera olika aspekter av FEM, konvergens, noggrannhet, etc. Utveckling av mjukvara för FEM påbörjas: E. Wilson (freeware), D. MacNeal at NASA (generellt program känt som NASTRAN), J. Swanson vid Westinghouse (utvecklare av ANSYS), J. Hallquist vid Livermore Nat. Lab. (LS-DYNA), ABAQUS utvecklas av HKS (978), och många många fler... Utveckling & forskning idag: Olika aspekter av olinjära problem, avancerade materialmodeller, modellering av brott, modellering av topologi (automatisk nätgenerering), multi-fysik (koppling av olika fysikaliska fenomen, t.e. väelverkan strömning/struktur), osv... Men, den stora spridningen bland ingenjörer och vetenskapsmän hade aldrig varit möjlig utan den eponentiella ökningen av datorkraft och den ännu större minskningen av kostnaden för datorkraft!.8 (3)

10 FEM för Ingenjörstillämpningar, VT3 / J.Faleskog Kursens innehåll. Energimetoder (~ 3 Fö., Övn. & HU) Grundläggande koncept Analys av statiskt obestämda problem Formulering för analys med numeriska metoder W F F. Finita ElementMetoden FEM (~ 4 Fö., 7 Övn., lab. & HU, HU3) Formulering av FEM-ekvationer för hållf- och termiska problem Approimativa ansatser för stänger, balkar, D- och 3D solider Matrisformulering lämplig för datoranalys Problemlösning med industriell FEM-programvara Fackverk (stänger) P P Linjära ekvationssystem D-solid (kontinuum) k k n u P Ku P k n k nn u n P n.9 (3)

11 FEM för Ingenjörstillämpningar, VT3 / J.Faleskog Elastiskt lagrad energi Fleraliga tillstånd z y zz Spänningsmatrisen anger spänningstillståndet i en materiell punkt z yz S y z y yy yz y yy z yz zz Normaltöjningar (volymändring): y y v y u u u v v u v yy w y zz z Skjuvtöjningar (vinkeländring-formänd.): y v u w y z yz Elastisk töjningsenergi / volymsenhet: W w y v z d + yy d yy + zz d zz + + y d y + z d z + yz d yz u z För ett linjärt elastiskt material gäller att: W -- + yy yy + zz zz + y + y z + z yz W yz. (3)

12 Laster & snittstorheter Deformation FEM för Ingenjörstillämpningar, VT3 / J.Faleskog Deformation av en Stång K () u() Odeformerad förskjutning kraft volymenhet N A normalkraft normalspänning Tvärsnitt: A() area Material: E() elasticitetsmodul d u Deformerad d du Töjning: (Kompatibilitet) Konstitutiv Ekv.: (Hookes lag) N d + du d du u d d Hooke A EA E () EAu () Jämvikt: dn AK d Ekv. () & (3) ger stångekvationen: (3) d -----EA du AK d d > lösningen till diff. ekv. ger u(). (3)

13 Laster & snittstorheter y z FEM för Ingenjörstillämpningar, VT3 / J.Faleskog Deformation av en Balk kraft / längdenhet q() w() Material: E() (Elasticitetsmodulen ) Deformation T M N M v A z Tvärsnitt y Tyngdpunkt zda A da I z da A A Deformerad medellinje Positiv töjning R w() z Odeformerad medellinje Renodla! för fallet att N & M v erhålls: Töjning: (Kompatibilitet) z -- R w w 3 z R w z Negativ töjning () Konstitutiv Ekv.: (Hookes lag) M z da ze w z da A A EIw () Jämvikt: dm dt T q (3) d d d Ekv. () & (3) ger elastiska linjens ekv d EI d w d q > lösningen till diff. ekv. ger w(). (3)

14 FEM för Ingenjörstillämpningar, VT3 / J.Faleskog Elastisk energi lagrad i en stång/balk z w() u() T N M v M Om bara normaltöjningar beaktas (normalkraft & moment): Konstitutiva samband: N EAu M EIw W EA u + EI w d d EA EI L L N M W Om även skjuvtöjningar beaktas (tvärkraft & vridmoment): h W W z b L y N EA M M v T d EI GA GK bh 3 I y K bh f b 3 h -- b a z y ab 3 I y K 4 9 a 3 b a + b.3 (3)

15 FEM för Ingenjörstillämpningar, VT / J.Faleskog Föreläsning Rep. Deformationsarbete Elastisk Energi När en elastisk solid deformeras av yttre krafter utförs ett visst arbete. Detta arbete lagras i materialet i form av elastisk energi I en materiell punkt: Enaligt, σ Εε σ Eempel: linjärt elastiskt material W W Fleraligt, σ ij C ijkl ε kl W W Hela soliden: ε W σdε W εdσ Eε σ E här är W W Elastisk energi: W W dv Komplementär Elastisk Energi: W W dv V V --σε -- ( σ ε + σ y ε y + σ z ε z + τ y γ y + τ z γ z + τ yz γ yz ) För elastiska material gäller generellt i en punkt: Enaligt: Fleraligt: σ σ ij dw ε dε dw dσ W W ε ij ε ij σ ij.(5)

16 FEM för Ingenjörstillämpningar, VT / J.Faleskog Summering Diskreta system System med diskreta frihetsgrader q Linjärt elastiska material Fleibilitetsform: q n Q n Q Arbete Q i q i q q i n Q n i [ P δ] [ Nm] P, δ M, θ [ M θ] [ Nm] α ij Q Q j Styvhetsform: k q i ij j j n j Mawells reciprocitetssats: α ij α ji och k ij k ji ( α ij och k ij är alltså koefficienter i symmetriska matriser!) Elastisk energi: Castiglianos :a sats: Komplementär elastisk energi: Castiglianos :a sats: W -- q i k q ij j i W Q q i i W -- Q i α Q ij j j i W q Q i i j.(5)

17 FEM för Ingenjörstillämpningar, VT / J.Faleskog FYSIKALISK TOLKNING AV MAXWELL S RECIPROCITETSSATS α ij α ji k ij k ji u u u α α P u α α P P Studera de två fallen: P P & P P P P & P u α P u u eftersom α P α P u α P OBS! koefficienten α ij bestämmer kraften P j :s influens (inverkan) på förskjutningen u i Alternativt Fleibiliteten i förskjutningen u i :s riktning för en kraft P j bestämms av koefficienten α ij α ij kallas både influenskoefficient och fleibilitetskoefficient.3(5)

18 FEM för Ingenjörstillämpningar, VT / J.Faleskog Statiskt obestämda problem (minsta arbetets princip) P L L snitta! R A P R B Jämvikt: : R A + R B P M A A : M A + PL R B 3L > 3 obekanta jmv. Ekv. statiskt obestämd, t.e R B Lösning: P R B δ b (enligt randvillkor) δ B W Ekvation för bestämning av R R B B Generalisering godtycklig inre snitta vid : I P W I ( P, R) δ I R δ I snittstorhet! δ II R W I W R II ( PR, ) δ II II W II R men kompatibilitet kräver att δ I δ II δ I + δ II Alltså: δ I + δ II W I W II ( W R R R I + W II ) W R W Ekvation för bestämning av R R.4(5)

19 FEM för Ingenjörstillämpningar, VT / J.Faleskog Minsta arbetets princip generellt Låt Q,..., Q n vara n st. yttre krafter och R,..., R m vara m st. statiskt obestämda storheter. W WQ (,, Q n ; R,, R m ) då gäller W , k,, m m st. Ekv. för de R k obekanta R,..., R m Lösningen erhålls på formen: R k R k ( Q,, Q n ) Tillämpning av Castiglianos :a sats ger sedan: q k m W W R l W Q k R l Q k Q k l W Q k R l konstant.5(5)

20 FEM för Ingenjörstillämpningar, VT / J.Faleskog Föreläsning 3 & 4 Matrisformulerad Solidmekanik Q Q Styvhetsformulering k ij q j q j q Q q n k n k n q Q n SYM. k nn q n Q n Q i K q Q Hur väljs antalet förskjutningsfrihetsgrader (q,..., q n ) och hur bestäms styvhetsmatrisen K?. Dela in strukturen i element. Använd eakta eller approimativa metoder för att beskriva tillståndet i ett element 3. Tillståndet i ett element kan beskrivas med ett fåtal förskjutningsparametrar (frihetsgrader, D.O.F.) Eempel: D.O.F Fjäder F F F kδ δ styvhet D.O.F Stång N N δ N EA δ L 3.()

21 FEM för Ingenjörstillämpningar, VT / J.Faleskog Solider Strukturer Fackverk led P Ramverk böjstyvt hörn Stångelement Balkelement - och 3-dimensionella solider P Spänningsvektor Spänningsmatris t Sn Normalvektor D och 3D kontinuumelement 3.()

22 FEM för Ingenjörstillämpningar, VT / J.Faleskog Ett element i planet (D) Lokalt koordinatsyst. {,y} > Globalt koordinatsyst. {X,Y} Y X y { X, Y } u, f φ Y Förskjutningar: { X, Y } l e φ X X X Y Y u u, f D Y k k k k f f ku ( u ) u f u f k e d e f e Givet D X och D Y, D X bestäm u D X D Y φ X cos cos φ Y u D X cosφ X + D Y cosφ Y u bestäms på samma sätt! u D X cosφ X + D Y cosφ Y u D X cosφ X + D Y cosφ Y Riktningsvinklar där cosφ X ( X X ) l e l cosφ Y ( Y Y ) l e m Riktningscosiner där + l m l e ( X X ) + ( Y Y ) 3.3()

23 FEM för Ingenjörstillämpningar, VT / J.Faleskog Matrisform: u l m u l m D X D Y D X d e T Transformationsmatris D Y D e Nodkrafter: 4 D.O.F. Y { X, Y } X F Y f F X Uttryck elementets aialkraft f i komponenter i det globala koordinatsystemet (projicera f på koordinatalarna). F X f cosφ X f l F Y f cosφ Y f m F X l Matrisform: F Y m f F X l f F Y m f e F e T T 3.4()

24 Sammanfattning: FEM för Ingenjörstillämpningar, VT / J.Faleskog lokal >global transformation d e f e F e TD e k e d e f e T T f e k e TD e F e Elementstyvhetsmatris i lokalt koordinatsystem T T k e T D e K e Elementstyvhetsmatris i globalt koordinatsystem F e K e D e l där K e m l k k k k l m l m m K e k a a a a symmetrisk matris! där a l l m l m m 3.5()

25 D Y Y u D X FEM för Ingenjörstillämpningar, VT / J.Faleskog Alternativ form för plant problem (D) φ Y D Y φ X ϕ u D X k e k l m Global elementstyvhetsmatris i planet: X cos cosϕ T φ X π cosφ Y cos -- ϕ sinϕ s cs cs a c K e c T T k e T s k cs c cs s k c cs c cs cs s cs s c cs c cs cs s cs s Global elementstyvhetsmatris kan även härledas med energimetod Elastisk energi: W k -- ( u u ) k -- [ ( cd X + sd Y ) ( cd X + sd Y ) ] u u Castiglianos :a sats ger nodernas kraftkomponenter enligt: F X F Y F X F Y W D X W D Y W D X W D Y k c cs c cs cs s cs s c cs c cs cs s cs s D X D Y D X D Y F X F Y F X F Y K e D e F e 3.6()

26 FEM för Ingenjörstillämpningar, VT / J.Faleskog Ett element i rymden (3D) Lokalt koordinatsyst. {,y,z} > Globalt koordinatsyst. {X,Y,Z} Z Förskjutningar: D Z u X Y { X, Y, Z } D Z { X, Y, Z } u D Y l e D X D Y Riktningsvinklar D X u D X cosφ X + D Y cosφ Y + D Z cosφ Z u D X cosφ X + D Y cosφ Y + D Z cosφ Z där cosφ X ( X X ) l e l cosφ Y ( Y Y ) l e m cosφ Z ( Z Z ) l e n där l m n + + l e ( X X ) + ( Y Y ) +( Z Z ) Matrisform: u l m n u l m n D X D Y D Z D X d e T Riktningscosiner Transformationsmatris 6 D.O.F. D Y D Z D e 3.7()

27 Nodkrafter: { X, Y, Z } Z X Y F Z F X f F Y Matrisform: FEM för Ingenjörstillämpningar, VT / J.Faleskog F X F Y F Z F X F X f cosφ X f l F Y f cosφ Y f m F Z f cosφ Z f n l m n l f f F Y F Z m n f e Sammanfattning: lokal >global transformation i 3D d e f e F e TD e k e d e f e T T f e k e TD e F e F e T T k e T D e Elementstyvhetsmatris i lokalt koordinatsystem K e T T Elementstyvhetsmatris i globalt koordinatsystem F e K e D e Där K e T T k e T k a a a a symmetrisk matris! där a l l m m l m l n m n l n m n n 3.8()

28 Ekvationsnumrering FEM för Ingenjörstillämpningar, VT / J.Faleskog Totala antalet ekvationer ( frihetsgrader) är lika med [D.O.F. per nod] N totala antalet noder i modellen Numerisk analys kräver systematisk numrering av Ekv. (t.e. för hantering randvillkor osv.) Assemblering av styvhetsmatrisen och lastvektor kräver dessutom samband mellan lokal och global numrering av frihetsgraderna Bokföringsproblem! Z Y X D Z Lokalt D X E. -nodselement, 3 D.O.F. per nod D Y D Z D X D Y globala nodnummer I D 3I D 3I- J D 3I- D 3J D 3J- D 3J- Globalt Frihetsgrader Lokal D X D Y D Z D X D Y D Z Global D 3I- D 3I- D 3I D 3J- D 3J- D 3J Ekv. nummer (e. I & J8) ()

29 E. -nodselement, D.O.F. per nod Y X D Y D Y D X FEM för Ingenjörstillämpningar, VT / J.Faleskog globala nodnummer D I J D J D J- D X I D I- Lokalt Globalt E.: plant fackverk (stång alternativt fjäderelement) element 8 noder > 6 D.O.F P Element nr. I 5 global nr. Frihetsgrader Lokal Global Ekv. nummer (e. I5 & J8) lokal nr. J 8 D X D Y D X D Y D I- D I D J- D J Randvillkor: D D 3 D 4 (F, F 3 och F 4 reaktionskrafter) F F 5 F 6 F 5, F 6 P 3.()

30 Lokal FEM för Ingenjörstillämpningar, VT / J.Faleskog Assembleringsalgoritm Global numrering Nod I D Y D I D Y D J D X D I Nod J D X D J Assemblering: elementstyvhetsmatriserna adderas till globala styvhetsmatrisen k k k 3 k 4 k e k k k 3 k 4 k 3 k 3 k 33 k 34 k 4 k 4 k 43 k 44 K Algoritm: for end e N el Beräkna elementstyvhetsmatrisen k e for Ekv( ) I Ekv( ) I Ekv( 3) J Ekv( 4) J for end end i 4 j 4 Ekvationsnummer bestäms av elementens nodnummer addera k e till K K ( Ekv() i, Ekv() j ) K ( Ekv() i, Ekv() j ) + k e ( ij, ) Se Matlabprogrammen: springd & trussd under kurshemsidan! rad kolumn 3.()

31 FEM för Ingenjörstillämpningar, VT / J.Faleskog Sammanfattning: fackverkseempel D D D 6 D 5 K e -- k Ekv.: () () (3) (4) k P 45 o k D 4 D 3 K e -- k Ekv.: (3) (4) (5) (6) Randvillkor: D D D 5 D 6 ; F 3, F 4 P Ekvations system k -- Beräkningssteg: 3 D D D 3 D 4 D 5 D 6 R R P R 5. Beräkna elementstyvhetsmatriser och assemblera den globala styvhetsmatrisen R 6 Okända Kända. Lös ut de okända förskjutningarna (Ekv. 3, 4) > D 3, D 4 -- k 3 D 3 D 3 D 4 P D 4 P -- k 3. Beräkna de okända reaktionskrafterna (Ekv.,, 5, 6) Ekv. (): R k ( D D 4 ) P Ekv. (5): R 5 k ( D 3 D 4 + D 5 + D 6 ) Ekv. (6): R 6 3.()

32 FEM för Ingenjörstillämpningar, VT / J.Faleskog Föreläsning 5, 6 & 7 Introduktion till approimativa lösningsmetoder inom solidmekaniken. Virtuella arbetets princip (VAP). Approimativa metoder baserade på VAP 3. Generell metod för härledning av FEM-Ek. baserad på svag form (en generalisering av VAP, som kan tillämpas på PDE i allmänhet) 4. Procedur för FEM-analys applicerad på enaliga problem (stänger och plana fackverk) 5.(8)

33 FEM för Ingenjörstillämpningar, VT / J.Faleskog Virtuella arbetets princip vid jämvikt gäller att yttre krafters virtuella arbete Enalig tillämpning (stång): δa e ( ) δa () i inre krafters virtuella arbete Nödvändigt och tillräckligt villkor för jämvikt Jämvikt: N K () kraft/vol.enhet N u() dn AK d Kompatibilitet: ε Inför en godtycklig förskjutningsändring δu() från jämviktsläget med den kompatibla töjningsändringen δε dδu / d u() + δu() måste uppfylla geometriska randvillkor och tvång, allstå måste δu() där u() är föreskriven Yttre krafter {N, N & K } utför då arbetet δa (e) enligt δa ( e) N δu ( ) + N ( δu ( )) + δuk A d du d [ Nδu] d [ Nδu] d d dn δu d + N dδu d d Alltså: δa e δa ( e) σδεad σδε dv ( ) N d + K d A δu d + N δεd ty jämvikt! σa V δa () i inre virtuellt arbete volymsenhet OBS! inga antaganden för materialet har gjorts! δε 5.(8)

34 FEM för Ingenjörstillämpningar, VT / J.Faleskog Illustration av virtuell förskjutning i VAP Eempel: Stång som rotaterar med en konstant vinkelhastighet ω ω E, A, L, ρ Lasten (centrifugalkraft) modelleras som en volymkraft K ρω Jämvikt: R.V.: d ( σa) + K d A σ( L) σ() ρω L L Yttre Kompatibilitet: R.V.: K () ρω L du ε d -- σ E u ( ) u () L σ() ρω L ρω L E L -- 3 Inre -- L Studera förskjutningsvariation δu() (virtuell förskjutning), kring u(), given som δu αsin( βπ L), α, β > Inre virtuellt arbete: δa i () L δ δε αβπ cos( βπ L) L ε( )σ()a d AL ρω ( sinβπ βπcosβπ) α β π Yttre (eternt) virtuellt arbete: δa e ( ) L δ u ( )K ()A d AL ρω ( sinβπ βπcosβπ) α β π Alltså, δa (i) δa (e), oberoende av α och β i enlighet med VAP 5.3(8)

35 FEM för Ingenjörstillämpningar, VT / J.Faleskog Approimativ lösningsmetod baserad på Virtuella Arbetets Princip Allmänna egenskaper för lösningar: (i) Kompatibilitet och material samband kommer att uppfyllas i varje materiell punkt! (ii) Jämvikt kommer inte att uppfyllas i varje materiell punkt, utan i medeltal! Beräkningssteg (stångeempel):. Välj en approimativ ansats (trial function), ũ(), för förskjutningen. Krav: ũ() måste uppfylla kinematiska (geometriska) randvillkor & tvång. En relativt allmän ansats är: ũ() φ () + α j φ j () Uppfyller kinematiska R.V. & tvång n j Okända koefficienter som skall bestämmas Basfunktioner som antar värdet noll vid ränder med förskjutnings-r.v.. Bestäm α i m.h.a. Virtuella Arbetets Princip (VAP). Ett lämpligt val av virtuell förskjutning (test function) δu() är därför: n δu() β i φ i () β i i, godtyckliga koefficienter δε() du β d i φ i () n i (kompatibel virtuell töjning) 5.4(8)

36 FEM för Ingenjörstillämpningar, VT / J.Faleskog Inre virtuellt arbete δa () i δε()σ ()A d σ E dũ d n i β i φ i EA φ () + α j φ j () d n j Yttre (eternt) virtuellt arbete δa ( e) [ δu ()N] + δu ()K ()A d n i β i [ φ i N] + φ i K ()A d Tillämpa VAP, d.v.s. att skall vara uppfyllt för ett godtyckligt val av β i. Detta ger oss ett system av n ekvationer för de n obekanta koefficienterna α j. δa i () δa ( e) φ i EA φ () + α j φ j () d n j Omskrivet på matrisform [ φ i N] + i φ i K ()A d,, n A A n A n A nn α α n b lös m.a.p. α b n φ n EAφ d [ φ n N] + φ n K Ad φ n EAφ d 5.5(8)

37 Enaligt eempel: aialbelastad stång g ρ E A FEM för Ingenjörstillämpningar, VT / J.Faleskog En linjärelastisk stång (E) belastas av egentyngden K ρg. Bestäm förskjutningen i stången med approimativ metod baserad på virtuella arbetets princip (V.A.P.) Randvillkor: u() & u(l) V.A.P.: δa () i δεσad [ Nδu] + δuk A d δa e ( ) Approimativ ansats: ũ( ) c + c -- + c L -- L R.V.: u( ) ul ( ) c, c c Alltså: ũ( ) c L L ε ( dũ c ) d ---- L L -- Val av funktion för variationen δu (måste satisfiera kinematiska R.V.): (i) Hookes lag: Lösning: δu d L dδu δε L d σ E ε ( ) E dũ ( ) d d L -- L -- OBS! ansatsen kommer in här! δa () i d δεσad L -- L -- c E ---- L L -- Ad d EA c 3L δa ( e) d L ρga d d ρgal L 6 δa i () δa e ( ) d EA ρgal c 3L c 6 ρgl E ũ( ) ρgl E L L Eakt lösning i detta fall! 5.6(8)

38 FEM för Ingenjörstillämpningar, VT / J.Faleskog Härledning av FEM-Ekvationer Generell metod för fysikaliska problem som kan beskrivas m.h.a. PDE Stark form (ODE, PDE) Svag form (integralform) Approimativa ansatsfunktioner (primära variabler) FEM-Ekv. (diskret ekv.- system) Eempel: Stång (D) u u( ) E(),A() u() K () L primär variabel N N( L) ( Aσ) L ( AEu ) L Stark form: O.D.E.: Randvillkor: d EA du K d d A för < < L : u u (väsentligt) L: AEu N (naturligt) 5.7(8)

39 FEM för Ingenjörstillämpningar, VT / J.Faleskog Svag form (integralform, även variationsform):. Multiplicera O.D.E. och R.V. med en godtycklig viktfunktion, v(), och integrera över stångens längd: L v ( ) d EA du K d d A d [ v ( )( N AEu )] L Lämplig restriktion på v( ) välj v( ) (a) (b) (c). Partialintegrera :a termen i (a), d.v.s. sänk u till u : L v ( ) insatt i (a) ger L dv -----E du -----Ad d d d EA du d d d v ( )EA du d L L dv EA du d d d veau ( ) L veau ( ) + vk Ad N (b) (c) L Svag form, definition: Finn u() bland alla tillåtna funktioner som satisfierar u( ) u, så att L dv -----E du -----Ad vn d d ( ) + vk L Ad L för godtyckligt v() med v() SVAG FORM STARK FORM FYSIKALISK TOLKNING VIRTUELLA ARBETETS PRINCIP 5.8(8)

40 FEM för Ingenjörstillämpningar, VT / J.Faleskog FEM - Approimativ lösning av svag form Det diskreta FEM-ekvationssystemet resulterar efter val av Approimativ lösningsansats Viktfunktion v ( ) ũ( ) (test functions) (trial functions) I FEM används styckvisa funktioner, giltiga i respektive subdomän, kallad element, som är ihopkopplade via noder. ũ( ) e. styckvist linjära fkn. noder element u k- u k l e nodvärden och ũ( ) v ( ) måste uppfylla kraven: (i) Kontinuitet över elementgränser, (ii) Fullständighet (completeness), d.v.s. funktionerna själva samt dess derivator upp till den högsta ordning som uppträder i den svaga formen måste kunna anta konstanta och nollskilda värden. Kraven (i) och (ii) är nödvändiga villkor för konvergens, d.v.s. att ũ( ) u ( ) då l e Eempel på giltiga/inte giltiga ansatser i stångeemplet ovan: ũ c + c ũ c konst., d.v.s. OK! ũ c + c ũ c inte konst., d.v.s. INTE OK! 5.9(8)

41 FEM för Ingenjörstillämpningar, VT / J.Faleskog Approimativa ansatsfunktioner Formuleras m.h.a. formfunktioner, N I, och nodvärden för den/de primär/a variabeln/lerna. En formfunktion, vanligtvis ett polynom, är en funktion av dimensionslös/a naturlig/a koordinat/er inom varje element. E. enaligt problem med linjär ansats Ν ξ Ν ξ ξ ξ ξ ũ( ξ) N ( ξ)u + N ( ξ)u u N N Nd e u För ett element med en ansatsfkn. av ett polynom av gradtal n, behövs n + noder, d.v.s. en nod för varje koefficient i polynomet, vilket ger interpolationen: Egenskaper hos formfunktioner: (i) (ii) ũ( ξ) N I u I n I Formfkn. för nod I Koordinat för nod J om I J N I ( ξ J ) δ IJ om I J n N I I Formfunktioner Nd e Viktfunktioner v(): Välj styckvisa fkn. med samma elementvisa interpolation som för ũ (Galerkins metod). E. enaligt problem med linjär ansats (gäller ej problem med rotationsfrihetsgrader, t.e. balkar) β v( ξ) N ( ξ)β + N ( ξ)β N N Nβ e β 5.(8)

42 FEM för Ingenjörstillämpningar, VT / J.Faleskog Globalt Assemblering av alla n element Nodnummer: Elementnummer: D.O.F. (förskjutningsfrihetsgrader) Ansatsfkn. & viktfkn. ũ N G D v N G β β T T N G 3 m m e e e n D D D 3 D m D m D D D D 3 e e β β β 3 godtyckliga koefficienter β OBS! innehåller formfkn. för alla element! D m D m e n β m β m Derivator: dũ d dn G D d B G D dv d β TdN G β T T B d G T Insatt i den svaga formen ger FEM-ekvationen β T T B G EBG Ad D T T [ N GN] + N GK Ad K styvhetsmatris F etern lastvektor Global förskjutningsvektor 5.(8)

43 FEM för Ingenjörstillämpningar, VT / J.Faleskog Detta kan uttryckas som ekv. ekv. β β β m m st. ekvationer för m st. obekanta! ekv. m Då β i är godtyckliga, måste alla ekvationer vara lika med noll, alltså: [ KD F] KD F I praktiken räknas K och F ut genom elementvis integration, d.v.s. Alltså, K B T EABd + + B T EABd F n n n B T EABl e dξ n e N T K Al e dξ + F s e Volymkrafter e e n e n e K e Punktkrafter verkande i noder införs här! [ F b ] e + F s K erhålls genom summering av alla elementstyvhetsmatriser F erhålls genom summering av elementlaster plus punktkrafter som angriper direkt i noderna. Denna summeringsprocedur kallas assemblering. 5.(8)

44 Summering: FEM-analys av stång (D) FEM för Ingenjörstillämpningar, VT / J.Faleskog. Diskretisering: dela in stången i element & noder och ansätt enkel förskjutningsapproimation i varje element! ũ( ) noder e. styckvis linjär element elasticitetsmodul area elementlängd. Ta fram elementmatriser, givet A, E, l e (konstanter): formfunktioner Ν ξ Ν ξ u ũ( ) N N u Nd e ξ ξ ξ u, f u, f k e f b B T EBAl e dξ ε ( ) EA l e N T Eempel: K Al e dξ K q + q ξ Al e 3. Assemblering: Styvhetsmatris & lastvektor K N e K F F e + F b s e dũ d Nd d d e d l e l e e e 4. Lös Ekv. Systemet: KD F (inför R.V.) N e Β q + q 3 q + q 3 Punktkrafter verkande i noder 5. Utvärdera resultatet (postprocessing): (t.e. spänningar) 5.3(8)

45 FEM för Ingenjörstillämpningar, VT / J.Faleskog Eakt lösning: Eempel: u ( ) PL EA -- L K q E, A q L E L L -- L P σ( ) E du d P A -- + q L -- L FEM lösning (ett linjärt element): D D Ekv. system (D ) EA L Ekv. () Utvärdera resultatet! EA K k e L F ALq b F R s P D R+ ALq D D P+ ALq R D ũ( ) N N + --D D L PL EAL PL EA EA ALq ( D L ) P ALq q L E L -- Reaktionskraft q L E P -- + q A L q P L A P A σ σ L D σ ( ) E B B D Eakt P -- A Approimativ q L (8)

46 FEM för Ingenjörstillämpningar, VT / J.Faleskog Eempel resultat:..5.. σ u [ q L E] eakt ( q L) element Förskjutning. element (N e ) element (N e ) Spänning /L 4 element (N e 4). /L felmått σ ( ) σ( ) σ( ) 5 %.. σ ( q L) element. /L σ ( ) σ( ) σ( ) 5 %.. σ ( q L) fel 4 element. /L σ ( ) σ( ) σ( ).5 % Elementlängd N e N e log( fel) log( ) log( N e ) Linjär logaritmisk konvergens i spänning! en slump? 5.5(8)

47 FEM för Ingenjörstillämpningar, VT / J.Faleskog Högre ordningens (stång)element i D (se LQ sid ) Beskriv positionen i elementet med en naturlig koordinat ξ (dimensionslös) Element Approimativ förskjutningsansats med polynom av gradtal n ũ( ξ) a + a ξ + + a n ξ n ξ Uttryck m.h.a. nodförskjutningar d i & tillhörande formfunktioner N i För bestämning av de n + koeff. a i krävs n + noder ũ( ξ) N ( ξ)d + + N n + ( ξ)d n + Nd e Formfunktioner har bl.a. egenskaperna: (se LQ sid. 4 5) (i) (ii) N i ( ξ j ) i j i j N + + N n + Lagrangeinterpolation uppfyller dessa egenskaper, d.v.s. formfkn. n för nod k (position ξ ξ k ) kan bestämmas enligt: N k l k( ξ) i n+ n ( ξ ξ l k( ξ) i ) ( ) i i k ξ k ξ i ( ξ ξ ) ( ξ ξ )( ξ ξ k ) k + ( ξ ξ n + ) ( ξ k ξ ) ( ξ k ξ )( ξ ξ k ) ξ k k + ( ξ k n + ) Eempel: kvadratiskt element: n & noder i pkt.: ξ k,, { } Nod Nod 3 Nod n ( ξ ) ( ξ ) N l k ( ξ) ( ) ( ) ξξ ( ) ξ n ( ξ ( ) )( ξ ) N l k ( ξ) ( ( ) )( ) ξξ ( + ) n ( ξ ( ) )( ξ ) N 3 l k 3 ( ξ) ( ( ) )( ) ξ 5.6(8)

48 FEM för Ingenjörstillämpningar, VT / J.Faleskog Procedur för FEM-analys av fackverk. Diskretisering: dela fackverket i element & noder och ansätt en enkel förskjutningsapproimation i varje element! Noderna överför inte moment! Utbredd last element noder Punktkraft elasticitetsmodul area elementlängd. Ta fram elementmatriser, givet A, E, l e (konstanter): formfunktioner Ν ξ Ν ξ u ũ( ) N N u Nd e ξ ξ ξ u, f u, f k e f b B T EBAl e dξ ε ( ) EA l e N T Eempel: K Al e dξ K q + q ξ Al e dũ d Nd d d e d l e l e e Β q + q 3 q + q 3 5.7(8)

49 FEM för Ingenjörstillämpningar, VT / J.Faleskog 3. Transformation: lokalt {,y} globalt koord. syst. {X,Y} y u u D y Y D X D y D d e TD e T l m l m F b T T f b l l m l l m K e T T k e T EA l e l m m l l m l l m m l m l m m l m m 4. Assemblering: Styvhetsmatris & lastvektor K N e N e K F F e + F b s e e Punktkrafter verkande i noder 5. Lös Ekv. Systemet: KD F (inför R.V.) 6. Utvärdera resultatet: (t.e. spänningar) ( σ ( ) Eε ( ) EBd e E u u ) l e 5.8(8)

50 FEM för Ingenjörstillämpningar, VT / J.Faleskog Föreläsning 8 & 9 FEM-Ekvation för Balkar y z w() kraft / längdenhet q() u() M K () kraft / volymenhet T N Tvärsnitt: I(), A() Material: E() Stark form (lokal form): Jämvikt: Konstitutiva samband: töjning T M N M N q T K A EIw EAu O.D.E.: Randvillkor: w StångEkv ( EAu ) + AK BalkEkv ( EIw ) q w eller ( EIw ) T w w eller ( EIw ) M krökning: w d w d -- R R Kontinuitetsvillkor: utböjningen, w(), och dess derivata, dw/d, måste vara kontinerliga funktioner 8.(9)

51 FEM för Ingenjörstillämpningar, VT / J.Faleskog Svag form (integralform, variationsform):. Multiplicera O.D.E. och R.V. med en godtycklig viktfunktion, v(), och integrera över balkens längd: v( ) [( EIw ) q]d (a) [ v ( ) ( M+ EIw )] N.R.V (b) [ v ( )( T + ( EIw ) )] N.R.V (c) Välj v på ränder med väsentliga R.V. (d). Partialintegrera första termen i (a), d.v.s. sänk utnyttja att [ vf] veiw ( ) d insatt i (a) ger [ veiw ( ) ] [ vf ] d v fd + vf d [ veiw ( ) ] 8.(9) [ v ( EIw )] v ( EIw ) d v ( EIw )d v EIw d+ [ v( EIw ) ] [ v ( EIw )] vqd Alltså, den approimativa ansatsen för balkens utböjning, w(), och viktfunktionen, v(), måste vara minst ggr. deriverbara! v( T) (c,d) v ( M) (b,d) w iv w Svag form, definition: Finn w() bland alla tillåtna funktioner som satisfierar väsentlliga R.V. ( w w, w w ), så att v EIw d [ vt] [ v M] + vqd för godtyckligt v(), med v på ränder med väsentliga R.V.

52 FEM för Ingenjörstillämpningar, VT / J.Faleskog FEM-Ekvationer dela in i element (diskretisering): utböjning w ( ) noder balkelement minst ett :a gradspolynom formfunktioner Förskjutningsansats i varje element: Viktfunktion (Galerkin): :a derivator: w ( ) N( )d e v ( ) N( )β β T N T ( ) w ( ) N d e Bd e Sätt in w() och v() i svag form: v ( ) β T ( N ) T β T B T godtycklig koefficientvektor β T B T EIBd de N T T [ ] ( N ) T [ M] + N T qd Men β T är godtycklig > FEM-Ekv för ett balkelement blir B T EIBd d e N T T [ ] ( N ) T [ M] + N T qd Styvhetsmatris n n generaliserad nodförskjutningsvektor Förskjutningsvektor n Lastvektor n 8.3(9)

53 FEM för Ingenjörstillämpningar, VT / J.Faleskog -noders balkelement (3:e-gradspolynom för utböjningen) w, P w, P θ, M θ, M ξ Elementlängd: a Yttröghetsmoment: I Elasticitetsmodul: E w w ( ξ) N ( ξ) N ( ξ) N 3 ( ξ) N 4 ( ξ) Formfunktioner: OBS! N( ξ) N -- 3ξ ξ 3 ( + ) N 4 -- ( ξ ξ + ξ 3 )a 4 N ξ ξ 3 ( + ) N ( ξ + ξ + ξ 3 )a 4 N i ( ξ j ) θ w θ d e i j 3, N i j i ( ξ j ) N N 3 θ ( ξ) dn d a dξ e i j 4, i j.5 dn d dn d ξ 8.4(9)

54 FEM för Ingenjörstillämpningar, VT / J.Faleskog Insatt i svag form ger FEM-Ekv. EI a 3 ( N ) T N dξ d e P M P M + a N N N 3 N 4 q( ξ)dξ Elementstyvhetsmatris: k e k e f e EI ( N ) T N dξ a EI a 3 Elementlastvektorn, bidrag från utbredd last: f s + f b 3 3a 3 3a 3a 4a 3a a 3 3a 3 3a 3a a 3a 4a Eempel: f b a N T q( ξ)dξ a N ( ξ) N ( ξ) N 3 ( ξ) N 4 ( ξ) q( ξ)dξ q q q Lastvektorn blir: q ξ ξ + ξ + + q ξ ( ξ) q q f b aq a 3 a 3 9 aq aq 4a a a 8 a kraft ξ moment 8.5(9)

55 FEM för Ingenjörstillämpningar, VT / J.Faleskog FEM-analys: Beräkningssteg Repetition. Diskretisera: inför noder (frihetsgrader) och dela in strukturen i element (prepocessing). (a) Ta fram en elementstyvhetsmatris, k e, och en elementlastvektor, f b, för varje element (b) Koordinattransformation: lokalt globalt K e F b T T k e T T T f b 3. Assemblering av alla elements (antal N e ) styvhetsmatriser & lastvektorer K N e N e K F F e + F b s e e Punktkrafter verkande i noder 4. Inför randvillkor & lös ekvationssystemet: KD F 5. Utvärdera resultatet (postprocessing) * Reaktionskrafter, snittstorheter, etc. * Spänningar 8.6(9)

56 Utböjning: w ( ) Q EI FEM för Ingenjörstillämpningar, VT / J.Faleskog Eempel: konsolbalk q Q ( L) PL EI L L 3 P Eakt Ett element Två element M L L Böjmoment: M ( ) EI d w d M QL 8.7(9) w QL EI θ( ) Eakt Ett element Två element ML EI L --.5 OL EI -- L L L θ L -- QL EI Vinkeländring: dw d Eakt Ett element Två element L

57 FEM för Ingenjörstillämpningar, VT / J.Faleskog Stång/Balkproblem: Egenskaper hos FEM-lösningar Betrakta FEM-lösningar baserade på -noders element: Stång u, f u, f Balk w, P w, P θ, M θ, M d e T u u d e T w θ w θ För fall med konstanta drag/böjstyvheter (stång: EA konstant; balk: EI konstant) kommer nodförskjutningsvektorn vara identiska med den eakta lösningen. Orsak:. De approimativa ansatserna satisfierar de homogena lösningarna till problemens differentialekvationer Stång: ( EAu ) u ( ) c + c Balk: ( EIw ) w ( ) c + c + c + c 3 3. Utbredd last ersätts med konsistenta nodlaster vilket ger ett helt ekvivalent problem vad gäller nodförskjutningarna Ekvivalent Problem Q (total utbredd last) δ θ EI, L QL EI -- QL EI konsistenta nodkrafter δ θ EI, L M Q P --- QL ; M δ -- PL ML QL EI EI EI θ PL ML QL EI EI 3 EI P δ θ 8.8(9)

58 FEM för Ingenjörstillämpningar, VT / J.Faleskog Utvärdering av normalspänning, σ Stång E, A, L d e T u u u, f u, f Formfkn. för stång ( ) σ Eε E du E----- d ( Nd d d e ) E dn d d e EBd e där B B B -- L L -- σ EB ( u + B u ) E u u L Balk w, P w, P E, I, L T d e w θ w θ θ, M θ, M ξ, ( dξ d L) z z e + Formfkn. för balk M ( 4) EIw σ Eε E( w z) E d N d d e z EBde z σ ma Ee ma B w + B θ + B 3 w + B 4 θ e σ e ma ma{ e +, e } 3ξ där B B B B 3 B L ( ξ ) L 3ξ L ( ξ + ) L 8.9(9)

59 FEM för Ingenjörstillämpningar, VT / J.Faleskog Föreläsning Balkstrukturer-Introduktion ring δ/ δ/ P P R Styvhet: k P/δ? Modellering? Analysmetod? Modellering: utnyttja symmetri! > räcker att modellera /4-del Q P / > q δ / R Kan t.e. analyseras m.h.a.. Energimetod, P k -- Q --- δ q WQ ( ) Q W ( Q). FEM: kombinerat balk-stång element med 3 dof/nod.()

60 FEM för Ingenjörstillämpningar, VT / J.Faleskog. Energimetod: (i) frilägg (för in reaktionskrafter, statiskt obekanta?) (ii) snitta (ta fram uttryck för momentet s.f.a. läget) Q, q Enkelkrökt balk Böjstyvhet EI om h << R! h R M B H B (Jmv.) Q (yttre last) M A H A (R.V.) V A Q (Jmv.) Jmv.: M A + M B QL > statiskt obestämd! Jmv.: M(ϕ) M A -QR(-cos(ϕ)) Q M(ϕ) ϕ M A W π M( ϕ) Rdϕ EI W M M A QR ( π ) A π q Komplementär elastisk energi: Castiglianos :a sats: W QR 3 ( π 8) k Q EI 8π q --- Q EI π R 3 ( π 8).()

61 FEM för Ingenjörstillämpningar, VT / J.Faleskog. FEM: Q, q h R Diskretisering: indelning i noder & element Q, q w u θ w u Kombinerat balk-stång element med 3 frihetsgrader per nod! θ.3()

62 Z globalt koord. X FEM för Ingenjörstillämpningar, VT / J.Faleskog. Ramverk (balkar) i planet (D) θ y, M y w, f z z u, f θ y, M y w, f z u, f ξ Totalt 6 D.O.F. Utnyttja att deformation i dragning och böjning är okopplade för en rak balk! u w Böjdeformation: w( ξ) b b b b N ( ξ) N( ξ) N3( ξ) N4( ξ) θ y u k e b 3 3a 3 3a EI a 4a 3a a b a 3 f e 3 3a 3 3a 3a a 3a 4a f z M y f z M y + a b N b N b N 3 b N 4 u w w θ y q( ξ)dξ Dragdeformation: u( ξ) d d N ( ξ) N( ξ) ( ξ) ( + ξ) θ y u w θ y k e d EA a f e d f f + N d N d K ( ξ)a( a)dξ.4()

63 FEM för Ingenjörstillämpningar, VT / J.Faleskog Totalt erhålls i det lokala koordinatsystemet: Elementstyvhetsmatris: k e d b k e + k e EA EA 3EI EI a a a a 3EI 3EI a a 3EI EI a EI EI a a a EA EA a a 3EI 3EI a a 3EI EI a a 3EI EI a EI EI a a a EA a EI a 3 3EI a 3EI a EI a EA a 3EI 3EI a a 3EI a EI a EA a 3EI a 3 3EI a 3EI a EI a EA a 3EI a 3 3EI a 3EI a EI a Elementlastvektor: f e f e d + f e b.5()

64 FEM för Ingenjörstillämpningar, VT / J.Faleskog Transformation: lokalt > globalt koordinatsystem (D) {X, Z } {X, Z } a X X w φ zx ϕ Z Z u φ X D X Givet D X, bestäm u och w : -w l φ X l z X X cos cosϕ a Z Z cosφ zx sinϕ a z {X, Z } Z {X, Z } a w X D Z φ zz φ Z Z ϕ Z u m m z u D X l, w D X l z Givet D Z, bestäm u och w : cosφ Z Z Z a sinϕ cosφ zz X X a cosϕ u D Z m, w D Z m z X X Totalt fås u D X l + D Z m w D X l z + D Z m z l m l z m z D X D Z Med rotation ( ) θ y θ Y u w θ y l m l z m z D X D Z θ Y cosϕ sinϕ sinϕ cosϕ D X D Z θ Y.6()

65 FEM för Ingenjörstillämpningar, VT / J.Faleskog Med båda noderna u w θ y u w θ z l m l z m z TD e ; T l m l z m z D X D Z θ Z D X D Z θ Z T T D Transformationsmatrisen är ortogonal T T T T T T I enhetsmatris, dimension 6 6 Ekvationer i globala koordinatsystemet (D) Elementstyvhetsmatris i lokalt koordinatsystem d e f e F e TD e k e d e f e T T f e k e TD e F e T T k e T D e K e Elementstyvhetsmatris i globalt koordinatsystem F e K e D e.7()

66 FEM för Ingenjörstillämpningar, VT / J.Faleskog. Ramverk i rymden (3D) Antag att huvudalarna för balkens yttröghetsmoment ligger orienterade längs den lokala y- respektive z-aeln. Böjdeformationerna {w(), v()} blir för ett sådant fall okopplade. I rymden tillkommer böjning kring z-aeln samt vridning kring -aeln { θ, θ }, d.v.s. 6 D.O.F tillkommer. Totala antalet frihetsgrader (D.O.F.) i elementet blir. Låt yttröghetsmomenten kring y-aeln respektive z-aeln ges av I y respektive I z v, f y y Böjning kring v, f y z-aeln: θ z, M z (helt analogt med böjning kring y-aeln) θ z, M z θ, M { v, θ z, v, θ z } θ, M Vridning kring -aeln är okopplad från all annan deformation! ξ θ, M a θ, M ξ Vridanalysen är helt analog med den aiella analysen! θ ( ξ) Samband mellan vinkeländring och vridande moment: θ θ ( ξ) ( + ξ) N v ( ξ) N v ( ξ) a M GK θ θ lokal elementstyvhetsmatris Skjuvmodul k e v GK a Vridstyvhetens tvärsnittsfaktor.8()

67 FEM för Ingenjörstillämpningar, VT / J.Faleskog Total elementstyvhetsmatris i lokalt yz-koordinatsyst. (3D) d e T u v w θ θ y θ z u v w θ θ y θ z EA a EA a 3EI z a 3 3EI z a 3EI z a 3 3EI z a 3EI y a 3 3EI y a GK a 3EI y 3EI y a a GK a EI y a 3EI y a EI y a k e EI z a 3EI z a EA a EI z a 3EI z a 3 3EI z a SYMMETRISK 3EI y a 3 3EI y a GK a EI y a EI z a OBS! en variant av matrisen finns i FS i hållfasthetslära, sid. 7.9()

68 FEM för Ingenjörstillämpningar, VT / J.Faleskog Transformation: lokalt > globalt koordinatsystem (3D) d e TD e J d e u v w θ θ y θ z u v w θ θ y θ z, D e D X D Y D Z θ X θ Y θ Z D X D Y D Z θ X θ Y θ Z D 6I 5 D 6I 4 D 6I 3 D 6I D 6I D 6I D 6J 5 D 6J 4 D 6J 3 D 6J D 6J D 6J, T I 6 D.O.F./nod D.O.F. totalt T 3 T 3 T 3 T 3 l m n T 3 l y m y n y l z m z n z riktningscosiner 3D Transformationsmatrisen är ortogonal T T T T T T I enhetsmatris, dimension Ekvationer i globala koordinatsystemet (3D) d e f e F e TD e k e d e T T f e F e K e D e K e T T k e T.()

69 Fö. : FEM för Ingenjörstillämpningar, VT / J.Faleskog FEM-Ek. för Solider (kontinuum) D: N K () kraft/vol.enhet u() N 3D: z Svag form Virtuella Arbetets Princip Viktfunktionen v ( ) δu( ) Störning från jämviktsläge Inre (virtuell förskjutning) δε σdv [ δu N] + δu K dv Yttre y V K z Ky K t t t y t z V δw (töjningsenergi / volymsenhet) Spänningsvektor verkande på solidens yta, S [Kraft / Ytenhet] u u u y u z u v w f v K K y K z Förskjutning på randen Virtuella Arbetets Princip i 3D: Kraft verkande i solidens volym, V [Kraft / Volymsenhet] Storheterna { u, t, f v } är alla funktioner av, y, z skalärprodukter δw d V δu T tds + δu T f v dv V S V Inre Virt. Arb. Yttre Virt. Arb..(9)

70 FEM för Ingenjörstillämpningar, VT / J.Faleskog Fleraliga spännings- & töjningstillstånd: z y σ zz Spänningsmatrisen anger spänningstillståndet i en materiell punkt σ σ z σ y σ yz σ yy S σ σ y σ z σ y σ yy σ yz σ σ z σ yz σ zz σ yy σ zz σ y σ z σ vektorform σ yz Normaltöjningar (volymändring): y Δy Δv Δy Δu Δ Δ Δu Δu Δv Δv ε u v w ε yy ε y zz z Skjuvtöjningar (enbart formändring): γ y v u w γ y z γ yz w y v z Lagrade i vektorform: ε T ε ε yy ε zz γ y γ z γ yz u z Ändring (virtuell) av töjningsenergi / volymsenhet δw δε σ + δε yy σ yy + δε zz σ zz + δγ y σ y + δγ z σ z + δγ yz σ yz δw δε T σ.(9)

71 FEM för Ingenjörstillämpningar, VT / J.Faleskog Konstitutivt samband linjärt elastiskt material D: σ ε -- alternativt σ Eε E Elasticitetsmodul 3D: Eempel: linjärt elastiskt isotropt material Poissons tal (tvärkontraktion) ε -- ( σ E ν( σ yy + σ zz )) ε yy ε zz γ y ---σ G y γ z ---σ G z γ yz ---σ G yz Skjuvmodul Matrisform: σ C C C ε σ yy C C C ε yy σ zz σ y C C C ( C C ) ε zz γ y σ z ( C C ) γ z σ yz ( C C ) γ yz σ C ε E( ν) Ev C C ( ν) ( + ν) ( ν) ( + ν) C C E ( + ν) G Elastisk styvhetsmatris Ändring (virtuell) av töjningsenergi / volymsenhet δw δε T σ δε T C ε.3(9)

72 Kompatibilitet: (samband mellan töjning & förskjutning): Töjning: ε ε ε yy ε zz γ z γ yz u v y w z FEM för Ingenjörstillämpningar, VT / J.Faleskog v γ y u v w y y u z v z w w y Partiell differentialoperator y ---- z z ---- z L y u u L u Virtuella Arbetets Princip i 3D kan formuleras som med erhålls δw δε T C ε δ( Lu) T C ( Lu) δ ( Lu ) T C ( Lu) dv δu T tds + δu T f v dv V S V Inre Virt. Arb. Yttre Virt. Arb. Jämvikt kan också uttryckas med L-operatorn! -led: y-led: z-led: σ σ yy y σ zz z σ y σ z f y z σ y σ yz f z y σ z σ yz f y z L T σ + f v.4(9)

73 FEM för Ingenjörstillämpningar, VT / J.Faleskog Approimativa förskjutningsansatser i D/3D Dela in soliden i volymelement (N e antalet) Använd enkla förskjutningsansatser i varje element och uttryck dessa m.h.a. formfunktioner Välj samma formfunktioner för förskjutningarna i varje riktning: u, v och w (lämpligt val, dock ej nödvändigt). Om elementet har n d noder behövs enbart n d olika formfunktioner E. 3D element med 8 noder (n d 8) z y w 6 v u w 6 v 6 u 6 Nodförskjutningar Förskjutningarna i hela elementet kan uttryckas m.h.a. nodernas förskjutningar och 8 st. formfunktioner enligt: u(, y, z) N (, y, z)u + + N 8 (, y, z)u 8 v(, y, z) N (, y, z)v + + N 8 (, y, z)v 8 wyz (,, ) N (, y, z)w + + N 8 (, y, z)w 8 Förskjutningsvektorn på matrisform: u u(, y, z) vyz (,, ) wyz (,, ) 3 Elementförskjutningsvektor Nod Nod 8 N N 8 N N 8 N N 8 N 3 3n d 3 4 u v w u 8 v 8 w 8 d e Nod d Nod 8 d 8 3n d 4.5(9)

74 FEM för Ingenjörstillämpningar, VT / J.Faleskog Töjningar från approimativ förskjutningsansats: ε ε yy ε zz γ yz γ z γ y ε ( 6 ) y u z v w z y z LNd e y L u Nod Nod 8 N N y B N N y N z N N N z y z N N N z z N N y N z N y N N N y u v w u 8 v 8 w 8 d e 6 3n d 6 4 3n d 4 Töjningarna kan uttryckas på den kompakta formen d ε Lu Bd e B B 8 3 B d + + B 8 d d 8 Nod Nod 8 Ändring (virtuell) av töjningarna erhålls som δε T δ( Lu) T δ( Bd e ) T T T δd e B.6(9)

75 z FEM för Ingenjörstillämpningar, VT / J.Faleskog FEM-Ekv. m.h.a. Virtuella Arbetets Princip: y K z Ky t t t y Inre Virt. Arb. u u u y u z K f v u v w K K y K z t z δε T C ε d V V S δu T tds + δu T f v dv V Yttre Virt. Arb. FEM-Ekv för ett element: godtycklig Elementstyvhetsmatris δd e T V e B T T CBdV d e δd e V e k e kraft ytenhet B T CBdV d N T t ds e S e Elementlastvektor f s S e N T t ds fe V e N T f v dv kraft volymsenhet V e N T f v dv FEM-Ekv för hela soliden (summera bidragen från alla element): f b E. vänsterledet: ( )dv ( )dv + + ( )dv k e V V V Ne N e e K Styvhetsmatris för hela soliden.7(9)

76 FEM för Ingenjörstillämpningar, VT / J.Faleskog Plana problem (D) Plan töjning ( tjocka strukturer): w, ( ) z ε zz γ z γ yz Stryk kolumn/rad 3, 4 och 5 C (oberoende av z) y σ σ yy σ y E( ν) ( + ν) ( ν) ν ( ν) ν ( ν) ( ν) ( ν) ε ε yy γ y Plan spänning ( tunna strukturer, t.e. plåtar): σ zz σ z σ yz σ ε C Stryk kolumn/rad 3, 4 och 5 i C. Elastiska styvhets- matrisen för plan spänning fås y y z sedan som inversen till den reducerade C -matrisen. σ σ yy σ y E ( ν ) ν ν ( ν) ε ε yy γ y.8(9)

77 FEM för Ingenjörstillämpningar, VT / J.Faleskog Anisotropa Material E. Ortotropt material plan spänning (4 mat. par.) y Beskrivning i det lokala koordinatsystemet : ϕ T.e. en komposit uppbyggd av två vinkelräta set av fibrer: Två olika elasticitetsmoduler i planet E, E och en skjuvmodul G. En oberoende parameter som beskriver tvärkontraktionen enligt ν E ν E. (I 3D tillkommer 5 parametrar: E 3, G 3, G 3 och två tvärkontraktionstal) ε σ ε E ν E ε ν E E σ γ G τ Sσ σ Cε där C S E ν ν ν E ν ν ν E ν ν E ν ν G Transformation till det globala koordinatsystemet y: σ Lσ σ L σ ε L T ε σ L T σ L Cε L CL ε Cε där L c s cs s c cs L cs cs c s c s cs s c cs cs csc s c cosϕ s sinϕ Se FS. Ek..7,.8,. &. OBS! I en FEM-analys måste förrutom materialparam.: E, E, G & ν även materialorienteringen, ϕ, ges som indata. Anv. i FEM.9(9)

78 Fö. : REP. Nod 3 v y u Nod N 3 N FEM för Ingenjörstillämpningar, VT / J.Faleskog FEM-element för plana problem (D) Constant Strain Triangle -Element v 3 Nod N 3 N N 3 u 3 v N N Förskjutningsansats (linjär): u u N uy (, ) N N N 3 vy (, ) N N N 3 Formfunktioner: N N [ y A 3 ( ) + 3 ( y y )] e N [ y A 3 ( 3 ) + 3 ( y y 3 )] e N [ y A ( ) + ( y y )] e u v u v u 3 v 3 d e N där A e elementarea, kl k l y kl y k y l Töjning: B ε N N y N N y ε ε yy Lu LNd e Bd e γ y N N y N N y N N N N y y A e Nod Nod Nod 3 B B B 3 y 3 y 3 y y 3 3 y 3 y OBS! konstant matris.(7)

79 FEM för Ingenjörstillämpningar, VT / J.Faleskog Elementmatriser/vektorer: CST-element Elementstyvhetsmatris: k e B T CB d V ha e B T CB ha e 6 6 V e symmetrisk! tjocklek B T CB B T CB B T CB3 B T CB B T CB B T CB3 B 3 T CB B 3 T CB B 3 T CB3 Elastiska styvhetsmatriser i D C ν ( ν) E( ν) ν ( + ν) ( ν) ( ν) ( ν) ( ν) Plan deformation (ε zz γ z γ yz ) C E ( ν ) ν ν ( ν) Plan spänning (σ zz σ z σ yz ) Yttre krafter: f 3y > Räkna ut konsistenta nodkrafter f 3 f e f p + f s + f b f y f f y Punktkrafter verkande i noder f f y Kraft ytenhet f f y f Kraft volymsenhet f f y f p f f y f s f f y S e N T tds f b f f y V e N T f v dv f 3 f 3 f 3 f 3y Punktkraft f 3y s f 3y b.(7)

80 FEM för Ingenjörstillämpningar, VT / J.Faleskog Eempel: FEM-lösning med ett CST-element y Hydrostatiskt tryck, p(y) g, ρ l E, ν Fördämning p p y - där p l gρl l D 3y D 3 FEM-analys: A e l Randvillkor: D D y D D y D y D D y D > Reaktionskrafter: R, R y, R, R y Formfunktioner: N y - - ; N l l - ; N l 3 y - l Elementstyvhetsmatris: B-matris: Elastisk styvhetsmatris : C E (antag plan deformation) B T B k e B T hl CBhA e T B C B B B 3 B 3 T Eh l 3 3.3(7)

81 forts. CST-eempel Lastvektor: p(y) > Spänningsvektor: t FEM för Ingenjörstillämpningar, VT / J.Faleskog p p Verkar på ytan:, dvs mellan Nod & 3 där är N y l; N ; N 3 y l y - l f s f f y N l l f [ N T N t] f hdy y - y p l hdy N N 3 f 3 f 3y ytelement N N 3 p hl Kraft / volymsenhet: f b, ty volymskrafterna K, K y antages vara noll! Ekvationssystem: Eh D D y D D y D 3 D 3y R R y R R y + p hl Lös ekvationerna (5) & (6): Eh D 3 D 3y p hl D 3 6 D 3y -- p ----l 3 E.4(7)

82 forts. CST-eempel FEM för Ingenjörstillämpningar, VT / J.Faleskog Postprocessing: Reaktionskrafter (fås från ekvationerna -4): Ekv. (): R Eh p hl ( D 4 3 ) Ekv. (): R y Eh ( D 4 3 ) Ekv. (3): R Ekv. (4): R y Eh D 4 3 p hl p hl p hl utbredd last verkande i kraftcentrum Spänningar: OBS! Total jämvikt är uppfylld p hl l 3 p hl p hl p hl σ σ d σ yy Cε CBd e C B B B 3 d d σ y d d 3 CB 3 d 3 E -- l -- p ----l 3 E p enbart skjuvspänning!.5(7)

83 FEM för Ingenjörstillämpningar, VT / J.Faleskog FEM-resultat från programmet: ABAQUS.6(7)

84 FEM för Ingenjörstillämpningar, VT / J.Faleskog.7(7)