Finita Elementmetoden

Transkript

1 Finita Elementmetoden Bilder: Elena Kabo Anders Ekberg Teknisk mekanik / CHARMEC anders.ekberg@me.chalmers.se

2 Bakgrund Allmängiltighet Geometri Last Material Datorbaserat CAD -> CAE -> CAM Beräkningsintensivt Skalbart Små / stora modeller Modulärt Portabla data Parallelldatorer Historia Matematisk kuriositet 1900 Ingenjörsmodell, Boeing 1950 Kommersiellt standardverktyg 2000 I Sverige: Byggnadsstatik, Chalmers (SO Asplund) Verkstadsindustrin 1980 Byggindustrin 1990 Dagsläget Allmänt accepterat Hyfsat användarvänligt Snygg resultatredovisning

3 Teori exempel, stångbärverk P A Elementarfall L P B A = P A L EA EA L A = P A P A A =1 B = 0 L P B P B = P A EA L A = P B B = P B L EA EA L B = P B A = 0 B = 1 P A = P B EA L B = P A EA L 1 1 A = P A 1 1 B P B Elementstyvhetsmatris För ett element K e d e = P e Hur översätta till en struktur?

4 Assemblering För varje element K e d e = P e För strukturen K d = P där K =" K e ", d =" d e " och P =" P e " L 1 L 2 P A1 = P a P B1 = P A2 = P b 1 2 P B2 = P c A1 = a För element 1: E 1 A A1 = P A1 L B1 För element 2: P B1 E 2 A A2 = P A2 L B2 P B2 B1 = A2 = b B2 = c För hela stången: EA L a b c = P a P b P c (om vi antar L 1 = L 2 = L, etc)

5 Styvhetsmatrisen Noder och element Element är de delar den totala strukturen (stången) är indelad i. Elementnätet kallas mesh Noder är där element möts Symmetri Elementstyvhetsmatriserna är symmetriska > den globala styvhetsmatrisen blir symmetrisk Bandning Varje element ger ett styvhetstillskott enbart till ett par noder > styvhetsmatrisen blir gles Om numreringen av noderna är hyfsat smart, så kommer detta att resultera i en bandad styvhetsmatris Symmetri och bandning kan utnyttjas vid lagring av K och lösning av ekvationssystemet Element = 0 Element 0 Element = 0

6 Laster och randvillkor Laster Yttre laster läggs på i högerledet av ekvationssystemet EA L a b c 0 = 0 P c a b c P Randvillkor, i form av föreskrivna förskjutningar, läggs på i förskjutningsvektorn. Om dessa är noll, kan motsvarande laster och styvhetselement helt enkelt strykas. EA L b = c P c P EA L b 1 1 = 0 P c a b c

7 Beräkning av resultat Ekvationssystem FEM formulering resulterar i ett ekvationssystem som - alltid är lösbart - innehåller många obekanta - byggs upp av en gles matris Datorberäkning måste (i princip) alltid till Statiska, elastiska problem är snabba att beräkna (även om de kan ha hundratusentals obekanta) Resultatet blir normalt bättre ju fler element man använder (meshberoende) Komplicerande faktorer Dynamiska (eller tidsberoende, kvasistatiska) problem Olinjära problem - plasticitet - kontaktproblem Adaptivitet (lösningskvalitet)

8 Problemtyper Balkar o stänger Enligt exemplet ovan Knäckning (2:a ordningens teori) Differentialekvation: w IV N w = q EI EI K + n2 K 2 = P Styvhetsmatrisen K + n 2 K 2 vekare ju högre tryckande normalkraft (representerad av n 2 ) Vid kritiskt värde blir styvheten 0 (det[ K + n 2 K 2 ]= 0) Balksvängning (dynamik) Differentialekvation w IV + A EI w = q EI K + a2 K 2 = P Detta är helt analogt med knäckningsekvationen, men den andra termen beror av svängningsfrekvensen (accelerationen) Vid kritiskt värde (det K + a 2 K 2 [ ]= 0 har vi en egenfrekvens)

9 Exempel Materialdefekt i järnvägshjul } 5-25 mm Picture by courtesy of Johan Marais, Spoornet

10 Modell Idealiseringar Tvådimensionell Circulär (cylindrisk) defekt Analytisk kontaktlast ( cylinder på ett plan ) Friktionslös kontakt med rörlig räls Moving direction

11 Finit elementmodell Moving Hertzian load element noder ca obekanta löses för 105 lastplaceringar i varje lösning itereras en plastisk respons fram lösningstid ca 7 timmar 120 elements in the area around the defect node elements in the FE mesh 100 mm 200 mm

12 Trescas effektivspänning

13 Residualspänningar Viewport: 1 Model: Model-1 Module: Visualization S, Pressure (Ave. Crit.: 75%) e e e e e e e e e e e e e+08 Max e+08 at elem node Min e+08 at elem 7657 node 18 Step: 63 Frame: Step: 63 Frame: SF: +2 Step: 63 Frame: 2 el.-plast.problem with round defect, 10 passes load., d=1mm, z=15mm, F=12MN/m ODB: Z odb ABAQUS/Standard Mon Mar 06 15:24:55 MET Step: Step 63 Increment 1: Step Time = Primary Var: S, Pressure Deformed Var: U Deformation Scale Factor: e+01 SF: SF:

14 Strukturdynamik Egensvängning och egenfrekvenser För vissa lastfrekvenser (som ger motsvarande accelerationer) hamnar strukturen i egensvängning Matematiskt kan man se detta som att strukturens styvhetsmatris är noll För en böjsvängande balk visas de lägsta egenmoderna nedan Ökad styvhet -> högre egenfrekvens Ökad massa -> lägre egenfrekvens Jämför med ett enfrihetsgradssystem: f = 1 k m 2 De högre frekvenserna ger normalt ett mindre tillskott till total deformation = 2 = 4 2 EI ml 4 EI ml 4

15 Strukturdynamik Analys av dynamiska problem Dynamiska problem kännetecknas av att diffekvationen innehåller en accelerationsterm Detta innebär att man får en tidsberoende lösning. Det finns, i princip, två sätt att bestämma denna: Tidsintegration Här stegar man sig fram i tiden och bestämmer en lösning vid varje tidssteg Generell, men beräkningskrävande metod Modanalys Här bestämmer man egenfrekvenser och egenmoder Last, styvhet och massa relateras till strukturens egenfrekvenser och responsen summeras från samtliga egenmoder Snabbt men mindre generellt

16 Dämpning Viskös dämpning Dämpningen kopplas här till hastigheten Den kan väljas som styvhets- och eller massproportionell. Detta innebär att den kopplas mot olika termer i differentialekvationen. För balksvängning blir detta: EIw IV + aeiw IV + m w + bmw = q där w = wx,t ( ) och där m och EI antagits konstanta över balkens längd Ickeviskös dämpning Man låter här dämpningen vara proportionell mot styvheten. Detta kan man göra m.h.a. en komplex E-modul E(1 + i)iw IV + mw = q Här är förlustfaktorn. Man kan även ha icke-viskös massproportionell dämpning För icke-harmonisk svängning är diffekvationen ovan olämplig

17 Laster Dynamiska laster Uppmätning: - givarplacering (jmfr egenmoder) - samplingsintervall (jmfr egenfrekvenser) - slumpmässighet och brus Redovisning - lastkollektiv - tidsserier - frekvensinnehåll Statiska laster Säkerhet kontra ekonomi (statistisk spridning) Uppskattning av lastnivå och placering (exempel: snölast) Samverkan (broupplagsbyte & storm?)

18 Dimensionerande lastfall Lastplacering q 2 q 1 q 2

19 Konstruktionsfilosofi Totalhållfasthet Redundans