1. Mekanisk svängningsrörelse

Transkript

1 1. Mekanisk svängningsrörelse Olika typer av mekaniska svängningar och vågrörelser möter oss överallt i vardagen allt från svajande höghus till telefoner med vibrationen påslagen hör till denna kategori. I detta avsnitt granskar vi hur en svängningsrörelse uppkommer och fortskrider, samt den matematik som vi kan förknippa med svängningar. En svängningsrörelse är en rörelse som upprepar sig, exempelvis en vikt som gungar upp och ned i en fjäder. Den enklaste formen av svängningsrörelse kallas harmonisk svängningsrörelse. Vi skall se vad som orsakar rörelsen. 1.1 Harmonisk kraft Då du töjer ut ett gummiband eller en metallfjäder märker du att de gör motstånd mot uttöjningen; motståndet blir större ju mer de töjs ut. Tydligen verkar någon kraft som gör motstånd mot uttöjningen. Genom att utföra mätningar får man följande resultat: För att töja ut fjädern mer, behövs fler vikter, dvs. mer kraft! Kraftens storlek är direkt proportionell mot avståndet från jämviktsläget, dvs. den blir desto större ju mer föremålet töjs ut från jämviktsläget. Vi kan beskriva detta beteende matematiskt: (1) Detta är Hookes lag; F är kraften, k är fjäderkonstanten (vars värde beror på materialet som töjs ut), och Δx är avståndet från jämviktsläget. Kraften strävar att återföra fjädern till sin startlängd. En kraft som följer detta beteende kallas harmonisk kraft. Beteendet gäller både uttöjning och hoptryckning. Ex 1. En fjäder som belastas med en massa av 5 kg töjs ut 6 cm. Beräkna dess fjäderkonstant. Ex 2. En fjäder med fjäderkonstanten 15 N/m töjs ut 5 cm från sitt jämviktsläge. Med hur stor kraft behöver den belastas för att töjas ut ytterligare 5 cm? Hur stort arbete utförs mot fjädern totalt?

2 1.2 Harmonisk svängningsrörelse Den harmoniska kraften orsakar en harmonisk svängningsörelse: Rörelsen upprepar sig med jämna mellanrum mellan två ytterlägen. Rörelsens hastighet är som störst i jämviktsläget, och noll i ytterlägena. Rörelsen kallas även oscillation, och kroppen som rör sig kallas oscillator. Genom att avsätta tiden på vågräta axeln och rörelsens position på lodräta axeln kan rörelsens (t,x) graf ritas. Genom att undersöka grafen kan vi ange ett antal olika begrepp som hör ihop med svängningsrörelsen: Period T = tiden att utföra en hel svängning, t.ex. från ena ytterläget tillbaka till samma ytterläge. Anges i sekunder. Frekvens f = antal svängningar per sekund, anges i enheten 1/s, eller Hz (hertz). Om vi känner till perioden kan vi beräkna frekvensen genom uttrycket (2) Amplitud A = avståndet mellan jämviktsläget och något av ytterlägena.

3 Ex. 3 Grafen beskriver en harmonisk svängningsrörelse. Ange rörelsens period, frekvens och amplitud.

4 1.3 Matematisk beskrivning av harmonisk svängningsrörelse Man kan använda sig av uttrycket för harmonisk kraft (1) för att ange perioden för svängningsrörelsen med ett matematiskt uttryck: (3) Här är m massan för oscillatorn och k fjäderkonstanten för fjädern den är fäst vid. Fjäderns egen massa beaktas inte! Uttrycket är en idealisering, och motsvarar alltså inte verkligheten exakt. Ex 3 Beräkna perioden och frekvensen för svängningen.

5 1.4 Dämpad svängning: Vi har hittills antagit att själva fjädern inte har någon massa det är förstås inte korrekt. Andra faktorer som inverkar på svängningsrörelse är friktion, mediets motstånd och värmeförluster i fjädern. Dessa kommer att orsaka att svängningarna gradvis dämpas, dvs. svängningarnas amplitud minskar stadigt. Frekvensen hålls däremot nästan konstant ända tills rörelsen avstannar. 1.5 Resonans: Då två eller flera likadana oscillatorer kommer i kontakt med varandra kan resonans uppstå. Alla oscillatorer har en egenfrekvens en naturlig frekvens för svängningen. Om en oscillator tar emot energi med samma frekvens som sin egenfrekvens, börjar den svänga allt kraftigare, dvs. amplituden ökar. Till slut kan oscillatorn uppnå ett tillstånd där svängningarna är så stora att oscillatorns material inte klarar av dem och oscillatorn går sönder. Fundera: Var kan du se ett mycket enkelt exempel på resonans? Vilka byggnader är speciellt känsliga för resonansfenomenet? Tacoma Narrows bridge Läs sid Lös uppgifter 1 8, 1 11, 1 12 (tips: momentan hastighet) 1 14, 1 17 och 1 18