Vågrörelselära och optik

Transkript

1 Vågrörelselära och optik Kapitel 16-1 Vågrörelselära och optik Kurslitteratur: University Physics by Young & Friedman (14th edition) Harmonisk oscillator: Kapitel Mekaniska vågor: Kapitel och hörande: Kapitel Elektromagnetiska vågor: Kapitel 32.1 & 32.3 & 32.4 Ljusets natur: Kapitel & 33.7 Stråloptik: Kapitel Interferens: Kapitel Diffraktion: Kapitel &

2 Vågrörelselära och optik 3 & Tryckvågor Del 1. som tryckvågor 4

3 & Tryckvågor Longitudinell sinus våg Amplitud y x 5 & Tryckvågor En kolv rör sig in och ut: Luft molekylernas rörelse: y x Trycket: p x 6

4 & Tryckvågor Givet Vågfunktionen: Mål Härled en funktion för trycket! Hur Se hur ett tryckändring orsakar en volymändring i ett litet cylindriskt volymelement. 7 Bulk modulen & Tryckvågor Mått på hur svårt det är att pressa ihop ett material Definition av bulk modulen: Enhet: N/m 2 Tryckändringen som orsakas av en volymändring: 8

5 & Tryckvågor Anta: En ljudvåg passerar ett cylinder format volym element: Area = S Volymen: V = S Δx Hur ändras denna volym av en ljudvåg? Hur ändras trycket? 9 & Tryckvågor Tryckändring: Volymen: Volym ändringen: V = S Δx ΔV = Sy 2 Sy 1 ΔV = S[ y(x+δx,t) y(x,t) ] Momentana tryck variationer: 10

6 & Tryckvågor Momentana tryck variationer: + Vågfunktionen: = Tryckfunktionen: 11 & Tryckvågor Sammanfattning - tryckfunktionen Amplituden: Den maximala tryck variationen 12

7 & Tryckvågor y x p x 13 & Tryckvågor Mänskligt hörande Hörbart frekvens område: khz Högljudhet: Större tryck amplitud Ändrad frekvens Större högljudhet (vid samma frekvens) Ändrad högljudhet (vid samma amplitud) Tonhöjd: Högre frekvens Högre Tonhöjd Högre tryck amplitud Vanligtvis högre tonhöjd Klangfärg: Instrument med samma grundfrekvens kan ha olika innehåll av övertoner d.v.s. olika klangfärg. 14

8 Del 2. lösning 15 En sinusformad ljudvåg har frekvensen 1000Hz och en tryck amplitud på 3.0 x 10-2 Pa. Luft: v = 344 m/s, B = 1.42 x 10 5 Pa Vad blir den maximala förflyttningen av luften p.g.a. denna ljudvåg? 16

9 Hastighet Del 3. Hastigheten av ljud i en vätska 17 Hastighet Givet Tryckändring från en volymändring: Mål Härled en formel för ljudhastigheten i en vätska! Hur Se hur en tryckändring orsakar en volymändring i ett litet cylindriskt volymelement. 18

10 Hastighet Härledning av formel för ljudhastigheten i en vätska Anta: En kolv skjuts in i en cylinder med hastigheten v y och skapar en tryckvåg Kolv med area A Kraften på kolven = Tryck x Area Cylinder fylld med vätska med bulkmodulen B och densiteten ρ Hastighet Variabler F 1 = Tiden = 0: p = Trycket i vätskan A = Kolvens area F 1 = Kraften på kolven ρ = Vätskans densitet F 2 = Tiden = t: ν y = Kolvens hastighet ν = Vågens hastighet ν y t = Avståndet kolven rört sig νt = Avståndet vågen rört sig Δp = Tryck ökningen F 2 = Kraften på kolven 20

11 Hastighet A: Kolvens area Volymen ΔV V Volymen minskar Volymändringen Tryckändring: Kolvens hastighet Vågens hastighet 21 Rörelsemängd: Hastighet Repetition Kinematik Impuls: Rörelsemängd-Impuls teoremet: Impulsen är lika med ändringen av rörelsemängden! 22

12 Hastighet Impulsen om en kolv skjuts in i en cylinder med hastigheten v y och sätter volymelementet V i rörelse A: Kolvens area Metod 1: F 1 = Metod 2: F 2 = P 2 Tryck Rörelsemängd av vattnet i volymelementet 23 Metod 1: Hastighet Metod 2: F 1 = Metod 1 = Metod 2 F 2 = 24

13 Hastighet Allmänt: Sträng: Vätska: Fasta material: Gas: F: Spänn kraft μ: Massa per längdenhet B: Bulk modulen ρ: Densiteten Y: Young modulen ρ: Densiteten γ: Adiabatiskt index P: Tryck = nrt / V ρ: Densitet = m/v R: Gas konstanten = 8.31 J/mol per K T: Absoluta temperaturen i K M: Molmassa = m / n 25 Del 4. lösning 26

14 Ett sonar system skickar ut ljudvågor med frekvensen 262 Hz. Vad blir hastigheten och våglängden av denna ljudvåg? B = 1.42 x 10 5 Pa för luft B = 2.18 x 10 9 Pa för vatten 27 Räkna ut ljudhastighten i luft om temperaturen är 20 grader, molmassan är 28.8 x 10-3 kg/mol och adiabatiska index är 1.40! 28

15 En människa kan höra frekvenser mellan 20 och Hz. Vilka våglängder motsvarar detta? Anta att v = 344 m/s 29 Effekt & Intensitet Del 5. effekt och ljudintensitet Det högsta ljud som någonsins uppmätts: När vulkanen på Krakatoa exploderade år 1883 hördes ljudvågen i Perth på 310 mils avstånd. Explosionen motsvarade atombomber. 30

16 Mekaniska vågor Effekt Repetition mekaniska vågor Vågens effekt (P): Den momentana hastigheten med vilken energi transporteras av vågen. (P = energi per tidsenhet) Unit: W or J/s Våg intensitet (I): Medeleffekten som passerar en yta vinkelrät mot vågens riktning. (I = effekt per ytenhet). Unit: W/m 2 Allmänt för effekt: Vågens effekt (P): 31 Effekt & Intensitet Vågens effekt (P): Tryckfunktionen: Vågfunktionen: Tryck = kraft per ytenhet Vågeffekt per ytenhet: Effekt per m 2 Tryck 32

17 Effekt & Intensitet Vågeffekt per ytenhet: Intensitet = 33 Effekt & Intensitet Kombinera ljudintensitet med tryck: Intensitet = Tryck amplitud p max = B A ω / A 2 ω 2 = p max2 / (ρb) intensiteten är proportionell mot kvadraten av tryck amplituden! 34

18 Effekt allmänt: Effekt & Intensitet Jämför effekt för sträng och ljud: Våg effekt - sträng: Våg effekt - ljud: Enhet: N Intensitet: Enhet: N/m 2 35 Del 6. lösning 36

19 Räkna ut ljudintensiteten om tryck amplituden är 3.0 x 10-2 Pa, luftens densiteten är 1.20 kg/m 3 och ljud hastigheten är 344 m/s! ν ρ = 37 Vad är tryck och förflyttnings amplituden hos en ljudvåg med f = 20 Hz om den har samma intensitet som en ljudvåg med f = 1000 Hz och p max = 3.0 x 10-2 Pa, ρ = 1.20 kg/m 3, ν = 344 m/s, I = 1.1 x 10-6 W/m 2 Våg 1: f = 1000 Hz, p max = 3.0 x 10-2 Pa, ρ = 1.20 kg/m 3, ν = 344 m/s, I = 1.1 x 10-6 W/m 2 Våg 2: f = 20 Hz, p max =???????????, ρ = 1.20 kg/m 3, ν = 344 m/s, I = 1.1 x 10-6 W/m 2 Eftersom ρb = konstant och I 1 = I 2 blir p max2 = p max1 = 3.0x10-2 Pa = p max2 /2I I = (p max2 /2I) ω 2 A 2 /2 I 2 = p max2 ω 2 A 2 /4 I = p max ωa/2 A= 2I / p max ω = 2 x 1.1 x 10-6 / (3.0 x 10-2 x 2π x 20) = 0.58 μm 38

20 Vid en konsert vill man ha en ljudintensitet som är 1 W/m 2 på ett avstånd av 20 m från högtalarna. Vilken utgångseffekt behöver högtalarna ha? Instensitet är medeleffekt per ytenhet: Intensiteten genom en sfär med radien r: Intensiteten genom en halvsfär med radien r: 39 Decibel Del 7. Decibel skalan Saturn V raket: 220 decibel Krakatoa: 310 decibel 40

21 Decibel Intensitetsnivån (β) med decibel (db) som enhet: 0 / I 0 = W/m 2 är en referensnivå. I 0 = gränsen för mänskligt hörande (approximativt). β = 0 db för I = I 0 β = 120 db för I = 1 W/m 2 41 Decibel Saturn V raket: miljoner gånger högre intensitet än ett jetflygplan 42

22 Del 8. lösning 43 Efter 10 minuter med 120 db ändras gränsen för mänskligt hörande tillfälligt från 0 db till 28 db om f = 1000 Hz. Efter 10 år med 92 db ändras gränsen för mänskligt hörande permanent från 0 db till 28 db om f = 1000 Hz. Vilken ljudintensitet motsvaras av 28 db och 92 db? 0 / med I 0 = W/m 2 44

23 En fågel skickar ut fågelsång med konstant effekt. Hur många decibel går ljudnivån ner om lyssnaren dubblar avståndet till fågeln? 4 r 2 =2r 1 β 2 I 2 r 1 β 1 I 1 45 Stående våg Del 9. och stående våg 46

24 Stående våg Kundts tub 47 Stående våg Förflyttnings antinod Maximal rörelse Minimal tryck ändring Förflyttnings nod Minimal rörelse Maximal tryck ändring λ 48

25 Mekaniska vågor: Stående vågor på en sträng L = längden av strängen L= λ / 2 L= λ L= 3λ / 2 f = 1ν / 2L f = 2ν / 2L f = 3ν / 2L L= 2λ f = ν / λ f = 4ν / 2L Nod Antinod Nod Antinod Nod 49 Stående våg Stående våg i en öppen pipa: Atmosfärstryck Förflyttnings anti-nod Tryck-nod Anti-nod Anti-nod 50

26 Stående våg Hur kan man få en stående våg dvs en reflektion i en öppen pipa? Utanför pipan är trycket konstant = atmosfärstrycket. När tex vågens tryckminima når slutet av pipan strömmar luft in och skapar en motriktad våg. En del av vågen kommer ut ur pipan som orgelmusik. 51 Stående våg Stående våg i en stängd pipa: Atmosfärstryck Förflyttnings anti-nod Tryck-nod 52

27 Öppen-öppen pipa f = 1ν / 2L Stående våg Öppen-stängd pipa f = 3ν / 4L f = 2ν / 2L 53 Stående våg Orgelpipa: Luftström underifrån. tid = 0 tid = T/2 Stående våg: Uppstår om lufthastighet och pipans längd är valda korrekt. Mynning: Pipan är öppen i bottnen och detta ger en tryck-nod (förflyttnings anti-nod). Luftström: Går varierande in i pipan och ut genom mynningen. 54

28 Stående våg Jämför öppen-öppen med öppen-stängd pipa: 55 Notera: Avståndet mellan två noder är λ/2!!! 55 Del 10. lösning 56

29 Räkna ut ljudhastigheten från den här mätningen. 475 mm λ = 2 x = 0.95 m ν = λ f = 0.95 x 357 = 339 m/s 57 En högtalare skickar en ljudvåg mot en vägg med våglängden λ. På vilket avstånd från väggen hör man ingenting? Örat detekterar tryck variationer. Inget ljud = tryck nod! Väggen = förflyttnings nod! Förflyttnings noder Tryck noder A N A N A N A 58

30 Grundfrekvensen i en stängd orgelpipa är 220 Hz. Hur lång är pipan om ljudhastigheten är 345 m/s? 59 Den andra övertonen av en stängd pipa har samma våglängd som den tredje harmoniska frekvensen av en öppen pipa. Hur lång är den öppna pipan? Grundfrekvens Första övertonen Andra övertonen Grundfrekvens Andra harmoniska f Tredje harmoniska 60

31 Resonans Del 11. och resonans Tacoma brige år Resonans Resonans i en sträng 62

32 Resonans Många mekaniska system har en egenfrekvens. Om de sätts i svängning med denna frekvens så svänger alla delar av systemet med harmonisk svängning. Om systemet utsätts för en kraft som varierar med egenfrekvensen kan systemet hamna i resonans och svängningarnas amplitud ökar och ökar. Kraften på systemet ger kontinuerligt mer energi till föremålet. 63 Del 12. lösning 64

33 et från en stängd orgelpipa får strängen i en gitarr att svänga med hög amplitud. Både orgelpipan och strängen svänger med sina grundfrekvenser. Vad är v sträng /v pipa om längden av strängen är 80% av pipans längd? 65 Interferens Del 13. och interferens 66

34 Konstruktiv interferens: Punkt där avståndet till ljudkällorna skiljer sig med nλ (n=0,1,2,3...). Resultat: Fördubblad amplitud. Interferens Huvudtyper av Interferens Destruktiv interferens: Punkt där avståndet till ljudkällorna skiljer sig med nλ/2 (n=1,3, 5...). Resultat: Amplituden = Interferens Interferens mellan två sinus vågor med samma frekvens 68

35 Interferens Interferens mellan två sinus vågor med olika frekvens Lyssna på svävning: 69 Interferens SVÄVNING: Två ljudvågor med lite olika frekvens adderas upp till en ny ljudvåg som går upp och ner i intensitet. Två vågor med olika frekvens Deras överlagring et uppfattas som pulserande endast of frekvensskillanden är < 7 Hz 70

36 T beat = 9T red = 8T blue Interferens Vad blir svävningsfrekvensen? T beat = nt a = (n-1)t b Doppler effekt Del 14. Doppler effekt 72

37 Doppler effekt Tiden det tar för en ljudvåg att nå lyssnaren (L) blir längre om källan (S) rör sig bort. L S f s λ ν ν s L Om källan (S) rör sig mot lyssnaren (L) tar det kortare tid för ljudvågen att nå lyssnaren. λ behind längre λ in front kortare 73 Doppler effekt Vid tiden t=t s når våg 1 lyssnaren. Samtidigt skickas våg 2 ut. Vid tiden t=0 skickas våg 1 ut med hastigheten ν. ν ändras inte av ν s utan beror bara på mediumet. Tiden det tar för lyssnaren att detektera våg 2 blir T L = sträckan/hastigheten: T f 1 f S 74

38 Mer komplicerat: Doppler effekt Lyssnaren rör på sig också Allmänt gäller: Vågen närmar sig L med ν + ν L ändring av frekvensen 75 Doppler effekt Denna formel fungerar alltid om positiv riktning av hastigheten är definierad från lyssnaren mot källan! positiv riktning positiv riktning L S S L L S S L L S S L L S S L 76

39 Doppler effekt Elektromagnetiska vågor som ljus har också en Doppler effekt. Den kan beräknas med relativitetsteori: f S = ljuskällans frekvens f O = frekvensen som en observatör detekterar c = ljushastighten v = Den relativa hastigheten av ljuskällan med avseende på observatören v är positiv om observatören avlägsnar sig från källan. v är negativ om observatören närmar sig ljuskällan. 77 Del 15. lösning 78

40 f = 300 Hz ljudhastigheten = 340 m/s Vilken frekvens hör lyssnaren? 79 En polisbil med en siren på f = 300 Hz kör mot ett hus med hastigheten 30 m/s. Vilken frekvens hör en lyssnare i huset? 80

41 En polisbil med en siren på f = 300 Hz kör mot ett hus med hastigheten 30 m/s. Vilken frekvens hör en lyssnare i polisbilen om ljudet reflekteras tillbaka till den? Huset blir nu en ny ljudkälla med frekvensen som vi beräknat tidigare: f s =f W =329 Hz 81 chockvåg Del 16. Chockvåg Chockvågen ändrar luftens densitet och gör att solens strålar bryts så att man kan se vågen. 82

42 chockvåg Chockvåg ν: hastigheten ν s : Planets hastighet ν s > ν Chockvåg bildas (inte bara när ν s = ν) ν s > ν Ingen ljudvåg framför planet 83 chockvåg En konisk chockvåg bildas när planet flyger fortare än ljudhastigheten. En serie av circulära vågtoppar från planet interfererar konstruktivt längs en linje som ges av vinkeln α. ν: hastigheten ν s : Planets hastighet Planets hastighet i Machtal: Ν Μ s 1 84

43 chockvåg sin 1 F35 Lightning J39 Gripen SR-71 Blackbird Mach 1.6 Mach 2.0 Mach 3.2 α = 39 o α = 30 o α = 18 o Chockvågsvinkeln minskar när hastigheten ökar! 85 Del 17. lösning 86

44 Ett flygplan flyger ovanför dig med Mach 1.75 på 8000 meters höjd. Hur lång tid efter att det har passerat hör man chockvågen om ljudhastigheten är 320 m/s? Ν Μ = ν s /ν = 1.75 sin α = ν / ν s = 1 / N M = 1 /