Vågrörelselära. Christian Karlsson Uppdaterad: Har jag använt någon bild som jag inte får använda så låt mig veta så tar jag bort den.

Transkript

1 Vågrörelselära Christian Karlsson Uppdaterad: Har jag använt någon bild som jag inte får använda så låt mig veta så tar jag bort den. [14]

2 1 Elasticitet (bl.a. fjädrar) kraft på fjäder Ospänd fjäder: F Utdragen fjäder: förlängning x 2.0 I många fall gäller att (32, 33, 35) F = kx (Hookes lag) [jfr Ohms lag] F (N) 1.5 kraft på/från fjäder 1.0 fjäderkonstant Dragtest av stålstav: x (m) [1]

3 Elastisk energi 2 En fjäder kan lagra energi. Elastisk energi i en fjäder* med fjäderkonstanten k som förlängts (eller tryckts ihop) avståndet x: W fj = kx2 2 x Härledning: Arbetet som uträttas på en fjäder som följer Hookes lag och som dras ut (eller trycks ihop) avståndet x ges av A = Fs = 0 + kx 2 medelkraften x = kx2 2 kx F F x Fjäderns elastiska energi ökar med lika mycket. Om elastiska energin sätts till noll när x = 0 ges således elastiska energin av W fj = kx2 2 * Egentligen vilket föremål som helst som följer Hookes lag.

4 Svängningar (periodisk rörelse mellan två ytterlägen) 3 utslag, elongation (avstånd från jämviktsläget) y y Jämviktsläge 0 amplitud (största utslaget) t Återförande resultant* Frekvens (antal svängningar per sekund (tidsenhet)) svängningstid, period T (tiden för en hel svängning) f = 1 T SI-enhet: 1 s -1 = 1 Hz * vektorsumman av tyngdkraft och kraft från fjäder

5 Svängningar h (m) h = 0, ,0358sin(8,02t + 3,97) t (s)

6 Matematisk beskrivning av harmonisk svängningsrörelse

7 Resonans (frekvensen systemet har vid fria svängningar) 5 Varje system (t.ex. vikt i fjäder, pendel, ben, bilmotor, Ullevi) har en eller flera egenfrekvenser (f egen ) Tillförs energi med samma frekvens som f egen stora svängningar (resonans). Ex: Matematisk pendel (små utslagsvinklar, mkt lätt snöre, mkt liten kula) [2] [3] f egen = 1 2π g l Ex: Svängande rätblock 3gR l a vridningsaxel R masscentrum f egen = 1 π 4a 2 + b 2 b [1] [4] [5]

8 Resonans

9 Vågor 6 Puls: störning som (via svängningsrörelser) utbreder sig i ett medium eller fält. Våg: periodisk störning som (via svängningsrörelser) utbreder sig i ett medium eller fält. Longitudinell puls/våg Transversell puls/våg vågens utbredningsriktning vågens utbredningsriktning partiklar svänger parallellt med utbredningsriktningen partiklar svänger vinkelrätt mot utbredningsriktningen Demos/waves/wavemotion.html En puls eller våg transporterar energi! (Ingen materietransport.) [6]

10 Transversell vågrörelse (1D) 7 partiklarnas svängningsriktning vågberg vågens utbredningsriktning f (eller T) bestäms av vågkällan. v (och därmed λ) vågdal bestäms av mediet. våglängd λ (avståndet mellan två partiklar som svänger i fas) En partikels elongation: y Vågens utbredningsfart t v = λ T = λ f Härledning: På tiden T förflyttar sig vågen λ. (Observera att perioden T alltså är både tiden för en hel svängning för en partikel och tiden det tar mellan det att två vågberg/förtätningar passerar.)

11 Longitudinell vågrörelse (1D) 8 Ej klart!

12 Andra vågrörelser (2D) 9 Vattenvågor Ljudvågor Kan antas vara transversell (även om rörelsen i själva verket är mer komplicerad). Vågberg och vågdalar. v = λ T = λ f Longitudinell Förtätningar och förtunningar.

13 Exempel på olika vågrörelser 10 Vågfenomen Transversell/ longitudinell? Vad svänger? Klassrumsvågen Transv. / Long. Elever ca 3 m/s Utbredningsfart Tryckvåg i Slinky Long. Fjädervarv Beror på spännkraft och massa per längdenhet [?] Våg på sträng eller snöre eller fjäder Transv. Små sträng- eller snörsegment eller fjädervarv Ullevivågen Transv. Fotbollssupportrar ca 10 m/s Ljudvågor (i luft) Long. Små luftvolymer (eg. molekyler) Ljudvågor (i stål) Long. Små materialvolymer (eg. atomer) Beror på spännkraft och massa per längdenhet 340 m/s (vid rumstemperatur) 5180 m/s Vattenvågor Varken eller Små vattenvolymer [?, får återkomma om detta] Ljus (i vakuum) Transv. Elektriska och magnetiska fält m/s [7]

14 Att rita vågor i 2D 11 Plan våg λ Vågberg Cirkulär våg Förtätningar

15 Huygens princip en modell för vågutbredning 12 Varje punkt på en vågfront tänkes fungera som en källa för cirkulära sekundärvågor. Enveloppen till sekundärvågorna (kurvan som tangerar samtliga sekundärvågor) ger den nya vågfronten vid någon senare tidpunkt. Christian Huygens [9]

16 13 Reflektion och brytning Medium 1 V1 λ1 Gränsyta Samma frekvens! V2 (< V1) λ2 f beror på vågkällan v och λ beror på medium Medium 2 Reflektion Inkommande våg Brytning (refraktion) Inkommande våg Reflekterad våg luft Utbredningsfart v1 Gränsyta i r λ i r λ Gränsyta i=r grunt vatten i i λ2 Bruten våg b d λ1 b varmare luft sin i v = 1 sin b v2 glas djupare vatten Utbredningsfart v2 (<v1) kallare luft

17 Böjning (diffraktion) 14 λ λ d d Poissons fläck [10] Enkelt observerbart om d ~ λ Avböjning åt sidorna! Laser [11] Stålkula Skärm Ljus fläck i mitten av skuggan!

18 Superposition (överlagring) 15 Då två pulser överlagras (möts) adderas utslagen. (Superpositionsprincipen) y tot = y 1 + y 2 [12]

19 16 Interferens (1D) Jag hör en ton! [OBS Stillbild! Ljud egentligen long. vågrörelse! Amplituden avtar eg. med avståndet!]

20 17 Interferens (1D) 1,5λ vägskillnad (skillnad i avstånd från örat till de två högtalarna) Jag hör inget! Destruktiv interferens (utsläckning) (om vägskillnaden är 0,5λ, 1,5λ, 2,5λ, ) λ Aj, aj, mitt öra! Konstruktiv interferens (förstärkning) (om vägskillnaden är λ, 2λ, 3λ, ) [OBS Stillbilder! Ljud egentligen long. vågrörelse! Amplituden avtar eg. med avståndet!]

21 Interferens (2D) P (godtycklig punkt) Vad händer i P? ) PS 2 PS 1 = helt antal våglängder: Konstruktiv interferens 0 λ 2λ 3λ (svängningar med maximal amplitud) 2) PS 2 PS 1 = udda antal halva vågl: 0,5λ 1,5λ 2,5λ 3,5λ Destruktiv interferens (utsläckning) S 1 S 2 3) PS 2 PS 1 = nåt annat: Svängningar med amplitud < maximala S 1 och S 2 är två vågkällor (samma frekvens, samma amplitud, svänger i fas) vägskillnad (skillnad i avstånd från P till resp. vågkälla)

22 Interferens (2D) F 2 Δs = 2λ N 3 Δs = 2,5λ N 2 Δs = 1,5λ F 1 Δs = λ N 1 Δs = 0,5λ F 0 Δs = 0 N 1 Δs = 0,5λ F 1 Δs = λ N 2 Δs = 1,5λ F 2 Δs = 2λ N 3 Δs = 2,5λ Konstruktiv interferens i P om Δs = PS 2 PS 1 = ±nλ, n = 0,1,2,... Destruktiv interferens i P om 19 Δs = PS 2 PS 1 = ±(2n 1) λ 2, n =1,2,3,... A B Nodlinjer (om vågkällorna svänger i fas) (punkter där villkoret för destruktiv interferens är uppfyllt) Förstärkningslinjer (punkter där villkoret för konstruktiv interferens är uppfyllt)

23 Reflektion av pulser/vågor Reflektion mot fast punkt: Pulsen vänds 20 [15] Reflektion mot fri ände: Pulsen vänds ej Puls/våg når gränsskikt mellan två medier: Reflektion och transmission

24 Stående vågor [14] 21 [13] Två vågor med samma frekvens som rör sig i motsatta riktningar stående våg Ingen energitransport! A B I praktiken: T.ex. spänd sträng bukar noder urspr. λ/2 (λ är delvågornas våglängd) refl. 2 ggr refl. Måste vara i fas! Stående våg i sträng/rör bara för vissa frekvenser!

25 Källor [1] Formelsamling för Teknologi och Konstruktion M av S. Lönnlid och R. Norberg (Stockholm, 1986), s. 12 [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] Fe-atomer på Cu(111). [15]