1. Allmänt vågrörelser mekaniska vågrörelser

Transkript

1 1. Allmänt vågrörelser mekaniska vågrörelser Definition En mekanisk vågrörelse utgörs av en regelbundet upprepad (periodisk) störning i en del av ett medium (material) som fortplantas (utbreder sig) genom mediet (materialet) p.g.a. att det finns krafter/ kontakt mellan mediets atomer/ molekyler (partiklar). En mekanisk vågrörelse sprider sig (utbreder sig) alltså genom att det finns kontakt/ krafter som verkar mellan partiklarna i materialet vågen rör sig genom. Exempel I Av erfarenhet vet vi att om man tar tag i ena änden av ett lite längre rep och rör repänden upp och ner ganska hastigt så kommer repets övriga delar också att successivt börja röra sig upp och ner efter en liten stund, ju längre bort på repet desto längre tid innan de börjar röra sig upp och ner (se Fig. 1.1 nedan) F A Kraft på repdelen Repdelens rörelseriktning t = t 0 A A F t = t 1 t = t 2 A A t = t 3 t = t 4 Vågrörelsens utbredningsriktning Fig. 1.1 När man drar änden på repet uppåt med en viss kraft F kommer änden att börja röra sig uppåt. Eftersom änden av repet hänger ihop med nästa lilla del av repet kommer också den delen av repet efter en liten stund att börja röra sig uppåt (den påverkas av en kraft F uppåt

2 från änden då änden rör sig uppåt). Det blir en liten fördröjning då det tar en liten, liten stund för påverkan att nå nästa repdel, det finns en viss tröghet i systemet. När så denna del börjar röra sig uppåt kommer den i sin tur att påverka nästa lilla del framför den med en kraft uppåt så att den också börjar röra sig uppåt. Om man sedan börjar dra ner änden på repet igen med en viss kraft så kommer änden att börja röra sig neråt och påverka nästa del av repet med en kraft neråt (efter en liten stund) så att denna del också börjar röra sig neråt o.s.v. Resultatet blir att delarna på repet i tur och ordning börjar röra sig först uppåt och sedan neråt så att rörelsen upp/ner sprider sig längs hela repet och sist kommer fram till andra änden. Observera hur punkten/delen A på repet först rör sig rakt uppåt och sedan rakt nedåt och sedan rakt uppåt mot sin ursprungliga position igen när vågrörelsen fortskrider. I exemplet stör man alltså en del av mediet/ materialet rep nämligen ena änden genom att dra den upp och ner och eftersom denna del är i kontakt/ hänger ihop med (d.v.s. det finns krafter som håller samman repets delar) nästa del som hänger ihop med nästa så kommer störningen att fortplantas genom repet (mediet/ materialet). Exempel II Vågrörelsens utbredningsriktning F F Fig. 1.2 Atomerna i t.ex. en bit metall sitter på regelbundet avstånd från varandra, som illustrerat i en dimension i Fig Om man påverkar de yttersta atomerna med en kraft inåt kommer de

3 att börja röra sig inåt. Efter en väldigt kort stund kommer då dessa ytatomer att krocka (egentligen finns det krafter mellan atomerna som gör att nästa atomlager skjuts på innan de krockar med varandra, se Fig. 1.3) med atomerna som finns precis innanför som då i sin tur kommer att börja röra sig inåt och strax krocka med nästa atomlager, som sedan börjar röra sig och kollidera med nästa o.s.v. Vid kollisionen kommer ytatomerna att studsa tillbaka och därför röra sig bakåt mot sitt ursprungsläge igen. Samma sak gäller för de andra atomerna vid deras kollisioner. I exemplet stör man alltså en del av mediet/ materialet metall nämligen atomerna i ytan genom att lägga på en kraft inåt på dem och eftersom det finns krafter som verkar mellan atomerna i metallen kommer nästa lager atomer att röra sig inåt, vilket i sin tur hänger ihop med nästa, och så vidare, så att störningen kommer att fortplantas genom metallen (mediet/ materialet). Fig. 1.3 Atomerna i t.ex. en bit metall sitter ihop på ett sådant sätt att det kan illustreras som i figuren till vänster, med atomkulor som är sammanbundna med fjädrar, eftersom det finns krafter som både vill dra atomerna mot varandra (om de är längre ifrån varandra) och skjuta dem mot varandra (om de är längre från varandra). Mer om det i kapitel 9. De två exemplen illustrerar två olika fall; ett där repets delar rör sig lite upp och sedan ner då vågrörelsen utbreder sig framåt (repets delar rör sig vinkelrätt mot vågrörelsens utbredningsriktning) och ett där metallatomerna rör sig lite framåt och sedan bakåt när vågrörelsen utbreder sig framåt (atomerna rör sig fram och tillbaka i samma riktning som vågrörelsens utbredningsriktning). Dessa utgör varsitt exempel på det man kallar transversella och longitudinella vågrörelser

4 Definitioner I en transversell vågrörelse svänger (rör sig) mediets/ materialets partiklar vinkelrätt mot vågrörelsens utbredningsriktning I en longitudinell vågrörelse svänger (rör sig) mediets/ materialets partiklar i samma riktning som vågrörelsens utbredningsriktning I de båda exemplen kan man också se att repets delar rör sig lite upp och sedan ner och atomerna först lite framåt och sedan bakåt när vågen sprider sig framåt men att de i genomsnitt är kvar på samma plats som från början, d.v.s. i medeltal förflyttar de sig inte någonstans. Men vad är det då som rör sig framåt i vågens utbredningsriktning? Det har ju kunnat konstateras att vågen rör sig framåt. Det som utbreder sig/ transporteras genom mediet/ materialet är energi. I båda exemplen ser man att änden av repet och ytatomerna ges rörelseenergi när de påverkas av en kraft uppåt/ inåt. Denna energi överförs sedan till nästa del/ atomlager när denna/detta fås att röra sig uppåt/ inåt som sedan överför energin till nästa del/ atomlager etc. Att en vågrörelse transporterar energi i vågens utbredningsriktning gäller generellt för alla typer av vågor, vilket är en anledning till att vågrörelser är så viktiga i naturen såväl som inom tekniken (och fysiken). Utan vågrörelser skulle informationsöverföring via radio eller mobiltelefon inte fungera. Fast, som avhandlas inom kort, skulle vi utan vågrörelser ändå inte höra ljudet från radion eller mobiltelefonen och inte heller kunna tillgodogöra oss informationen från en vanlig dagstidning. En mekanisk vågrörelse består av två olika rörelser; dels mediets/ materialets partiklars svängningar runt ett jämviktsläge ( medelläge ), dels en transport av energi genom mediet/ materialet i vågrörelsens utbredningsriktning Att beskriva en vågrörelse En vågrörelse utgörs ju av en periodisk (regelbundet upprepad) störning av en del av ett medium/ material som fortplantar sig genom mediet/ materialet. Om man fortsätter dra repet i exempel I upp och ner kommer det efter en viss tid att se ut som i (b) i Fig. 1.4 nedan. Repänden har hunnit dras upp, ner och upp en gång till, så att repänden (x = 0 i Fig. 1.4) finns i sitt högsta läge (innan den börjar dras ner igen). Avståndet mellan vågrörelsens (repets) högsta läge och jämviktsläget (y = 0) kallas för vågrörelsens amplitud och brukar betecknas med A, se Fig. 1.4(b). Avståndet mellan vågrörelsens (repets) läge på y-axeln och jämviktsläget (y = 0) i en viss punkt x vid en viss tidpunkt t kallas för vågens elongation i x. En viss sträcka in på repet har en lite del av repet (en punkt på vågen) också sitt högsta läge

5 (y = A). Den sträckan (mellan två närliggande toppar på vågen) kallas för vågrörelsens våglängd och betecknas med den grekiska bokstaven λ (lambda). Den tid som hinner passera från det att repänden dragits upp till sitt högsta läge, sedan ner till sitt lägsta läge och upp till det högsta läget igen, d.v.s. tiden från att en vågtopp passerar en viss punkt till dess att nästa vågtopp passerar samma punkt, kallas för periodtiden och brukar betecknas T. I Fig. 1.4 (b) har det gått tiden T sedan vågen (repet) såg ut som i Fig. 1.4 (a) y t = 0 (a) y t = T (b) elongationen i x A B A X x x Fig. 1.4 λ De två punkterna A och B på repet i Fig. 1.4(b) befinner sig i samma ögonblick på samma avstånd över jämviktsläget, har samma rörelseriktning (uppåt) och, eftersom de befinner sig i samma vågrörelse, samma frekvens i svängningarna. Två (eller fler) sådana punkter som svänger i takt sägs vara i fas. Om två (eller flera) punkter inte i varje ögonblick rör sig åt samma håll, med samma frekvens, så säger man att det finns en fasskillnad mellan dem. Vågors utbredningshastighet Hastigheten som en vågrörelse utbreder sig med genom ett material kan man få från sambandet mellan sträcka och tid: v = x / t (sträckan vågen rört sig framåt / tiden som gått då den rört sig framåt) Från Fig. 1.4 kan man se att vågen rört sig sträckan λ (våglängden) framåt under tiden T (periodtiden), vågens utbredningshastighet fås alltså som: v = x / t = λ / T

6 Ofta pratar man också om hur många gånger man drar repänden upp till sitt högsta läge, ner till det lägsta och sedan upp till det högsta igen på en viss tid, d.v.s. hur många gånger en vågrörelse når sitt toppvärde i en punkt under en viss tid, normalt under en sekund (eller om man så vill, hur många vågtoppar som passerar en viss punkt under en sekund när vågrörelsen utbreder sig framåt, om man börjar räkna tiden precis då en vågtopp passerar punkten). Detta mått kallas för vågrörelsens frekvens och betecknas ibland med f (men ofta också med ν, den grekiska bokstaven ny ). Eftersom periodtiden T talar om hur lång tid det tar för en vågrörelse att ha toppvärde i en viss punkt till nästa gång vågen har sitt toppvärde i samma punkt, så kommer vågen under en sekund att ha sitt toppvärde 1/T gånger i denna punkt. Sambandet mellan frekvens och periodtid ges alltså av f = 1/T och enheten för frekvens blir då s -1 (per sekund) eller som det oftast betecknas [Hz] (Hertz). Motsvarande samband mellan vågrörelsers utbredningshastighet och frekvens fås då från: v = x / t = λ / T = λ (1/T) = λ f V = λ f v = λ f är ett mycket viktigt samband inom vågfysiken! Även om de här definitionerna och sambanden exemplifierades med en transversell vågrörelse så gäller precis samma definitioner och samband också för longitudinella vågor, som man kan se i följande exempel: Exempel III Det som vi upplever som ljud utgörs av en eller flera vågrörelser som fortplantar sig genom luften (och/eller ev. andra material) från ljudkällan fram till våra öron. Fig. 1.5 på nästföljande sida beskriver vad som händer med luftens molekyler framför en högtalare när högtalarens membran börjar svänga fram och tillbaka.

7 Fig. 1.5 (a) (b) (c) (d)

8 En luftmolekyls rörelseriktning bestäms bara av kollisioner med andra luftmolekyler och det gör att fler molekyler skulle ha en rörelseriktning bort från ett område där tätheten (densiteten) av molekyler är högre eftersom det blir färre kollisioner som ändrar deras riktning om de rör sig bort från det området. Om luften inte störs kommer alltså luftens molekyler att fördela sig jämnt. Innan membranet börjar röra sig ut och in är luftens molekyler därför jämnt fördelade och rör sig slumpmässigt, där alla riktningar för molekylernas rörelse är lika vanliga (lika sannolika) i varje litet område i luften (Fig. 1.5 (a)). När så högtalarmembranet rör sig utåt för första gången (Fig. 1.5 (b)) störs det lilla område av luften som finns precis framför högtalaren på så sätt att molekylerna närmast membranet tvingas att röra sig utåt från högtalaren (de ges extra rörelseenergi i riktning ut från högtalaren). Alla rörelseriktningar för luftmolekylerna närmast membranet kommer givetvis inte att vara lika sannolika längre. Kortvarigt kommer det då att vara lite högre täthet av luftmolekyler precis framför det utbuktande membranet. De molekyler som tvingades utåt kommer givetvis att kollidera med de molekyler som finns framför dem och överföra sin extra rörelseenergi till dessa vid kollisionen. I framkanten på området med högre täthet av molekyler kommer det alltså att finnas fler molekyler som har en rörelseriktning utåt än molekyler som har en annan rörelseriktning, eftersom det finns i genomsnitt fler molekyler bakom dem (som rör sig utåt) att kollidera med än molekyler framför dem (som rör sig inåt). När så membranet rör sig inåt kommer det att uppstå ett område närmast membranet där det finns färre luftmolekyler än i luften i genomsnitt, d.v.s. molekyltätheten kommer att vara lägre där. För de molekyler som befinner sig i bakkanten av området med lite högre täthet och som kolliderat/ kolliderar med molekyler framför dem kommer nu sannolikheten vara högre att de har en rörelseriktning bakåt, inåt mot membranet, se Fig. 1.5 (c), eftersom de i medeltal kan röra sig längre åt det hållet innan de kolliderar med en annan molekyl än om de rör sig framåt (eftersom det finns färre molekyler att kollidera med i området med lägre molekyltäthet bakom dem än i det med högre täthet framför dem). I framkanten på området (framför området) med högre täthet kommer alltså tätheten att öka eftersom det finns fler molekyler som har rörelseriktning framåt än bakåt och i bakkanten att minska eftersom fler molekyler rör sig bakåt i bakre delen av området med högre täthet än molekyler som rör sig framåt från området med lägre täthet. Området med lite högre täthet kommer därför att förflytta sig genom luften ut från högtalaren och i framkanten av området kommer dess molekyler att kollidera med molekyler framför dem och ge dem lite extra rörelseenergi framåt (energi transporteras genom materialet). När så högtalarmembranet börjar röra sig utåt igen (Fig. 1.5 (d)) kommer de molekyler som nu börjat fylla upp området närmast membranet att tvingas utåt igen och proceduren upprepas, d.v.s. ett nytt område med lite högre täthet bildas som förflyttar sig genom luften, åtföljt av ett med lägre täthet när membranet rör sig inåt.

9 När så omväxlande områden med högre och lägre täthet av molekyler når våra öron kommer membranet i våra öron (trumhinnan) att börja svänga fram och tillbaka när det först tvingas inåt av att fler molekyler med rörelseriktning framåt (inåt) än vanligt når örat och sedan utåt när färre molekyler med rörelseriktning framåt (inåt) når örat (omväxlande större och mindre tryck vid lufthinnan än vanligt). Vi ser också att molekylerna i genomsnitt kommer att få lite rörelseneergi framåt, kollidera med molekyler framför dem och sedan efter en liten stund i genomsnitt röra sig lite bakåt mot området med lägre täthet för att snart få en liten knuff framåt igen, precis som i exemplet med atomerna i metallbiten (kristallen). Vågrörelsen skulle kunna åskådliggöras på följande sätt, se Fig. 1.6 nedan, om man betraktar vågrörelsen som en rums- och tidsvarierande täthet av luftens molekyler; ρ (skillnad i luftens täthet mot normalt) A x λ Fig. 1.6 Man kan se att även fast ljud utgörs av en longitudinell vågrörelse så kan man använda sig av begrepp som amplitud, våglängd, periodtid, frekvens, etc, precis som för en transversell vågrörelse. Och precis samma regler och samband gäller för longitudinella vågor.

10 En annan viktig regel är att: BFL122/BFL111 Fysik för Tekniskt/ Naturvetenskapligt Basår/ Bastermin Mekaniska vågors utbredningshastighet är alltid densamma (i en och samma riktning*) i ett och samma material under samma yttre förutsättningar (d.v.s. samma tryck, temperatur etc.) * i de allra flesta material är utbredningshastigheten också densamma oavsett riktning Generellt kan man säga att utbredningshastigheten är högre i material där kraften/ kopplingen mellan delarna (atomer, molekyler, etc.) är större eftersom förflyttningen av en del (atom/molekyl) från jämviktsläget snabbare påverkar nästa till att börja röra på sig. Generellt kan man också säga att utbredningshastigheten är lägre i material där massan hos delarna (atomer/molekyler etc.) som svänger är större (om kraften och avståndet dem emellan annars är lika), då trögheten är större och det tar lite längre tid av påverkan för att få nästa del att börja förflytta sig. Om avståndet mellan delarna är mindre eller om de rör sig snabbare, vilket för det senare fallet t.ex. gäller om partiklarna är lättare eller temperaturen högre, kommer också utbredningshastigheten att vara högre. I fasta material är kopplingen mellan partiklarna mycket starkare än i t.ex. luft och avståndet mellan dem mindre varför utbredningshastigheten för de mekaniska vågorna är högre i fasta material än i luft (och andra gaser). Som visats i exempel III ovan är Ljud en form av longitudinell mekanisk vågrörelse som består av förtätningar och förtunningar av luftens molekyler som rör sig framåt i ljudvågens utbredningsriktning. Ljudets utbredningshastighet i luft kommer därför under normala förhållanden att öka/minska när temperaturen ökar/minskar, eftersom luftens molekyler då rör sig snabbare/långsammare över avståndet mellan kollisioner och kollisionerna mellan luftens molekyler därmed också sker oftare/mer sällan. Även lufttrycket har en viss betydelse eftersom medelavståndet mellan luftens molekyler är mindre om trycket är högre. Exempel IV Om man lägger örat mot järnvägsrälsen kan man faktiskt höra ett ankommande tåg mycket tidigare än om man bara lyssnar efter ljud som färdas genom luften, helt enkelt genom att de mekaniska vågorna ljudvågorna - utbreder sig mycket snabbare i den fasta järnvägsrälsen än genom luften.

11 Vågutbredningshastigheten i ett och samma material är också inom rimliga gränser oberoende av frekvensen (eller våglängden) hos den mekaniska vågrörelsen i materialet. När frekvensen för vågrörelsen börjar bli så stor att våglängden närmar sig samma storleksordning eller t.o.m. blir kortare än avståndet mellan partiklarna (atomerna/ molekylerna) i materialet gäller dock inte att utbredningshastigheten är oberoende av frekvensen längre (exempel på detta ges i kapitel 4). Däremot kommer våglängden alltid att variera med frekvensen enligt sambandet v = λ f. Exempel V I Fig. 1.7 nedan ges ett exempel på ett material grafit (det som utgör mitten av blyertspennor och alltså är det som hamnar på papperet när man skriver med dylika pennor) för vilket mekaniska vågor har olika utbredningshastighet i olika riktning i materialet. Som kan ses från Fig. 1.7 består grafit av två-dimensionella flak, sammansatta av sexkanter med en kolatom i varje hörn, som sedan är staplade ovanpå varandra i z-led. Förutom att kolatomerna sitter olika i förhållande till varandra rent geometriskt i x-y-planet jämfört med i z- led så är också kraften de är sammanbundna med större och avståndet mellan dem kortare än kolatomerna i z-led. Utbredningshastigheten för en mekanisk vågrörelse genom grafit kommer därför att vara större i x-y-planet än i z-riktningen. Fotnot: Ett ensamt lager kolatomer i x-y-planet utgör det material som låg bakom nobelpriset i fysik för några år sedan och som benämns grafen. Fig. 1.7

12 Matematisk beskrivning av vågor Ett vanligt sätt att matematiskt beskriva många olika naturligt förekommande vågrörelser är med hjälp av en sinus- eller cosinus-funktion (dels eftersom många vågrörelser följer ett sinus- eller cosinus-samband dels eftersom sinus- och cosinus-funktionen ofta ger en bra approximation av den verkliga vågrörelsen) enligt: y(x,t) = A sin(kx ωt) där y är elongationen i punkten x vid tidpunkten t A är amplituden och k = 2π/λ och ω = 2π/T Vi vet ju sedan tidigare att vågrörelsen upprepar sig då x = λ, d.v.s. efter sträckan som är lika med våglängden och även efter tiden T, d.v.s. efter periodtiden, precis som sinus-funktionen gör varje 2π. Så om man tittar på vågrörelsen i en viss tidpunkt, d.v.s. håller tiden konstant (se exempel i Fig. 1.8 nedan, där t=0), och sätter in x = 0 och sedan x = λ, så ska man få samma resultat. Och om man tittar på vågrörelsen i en och samma punkt, d.v.s. håller x konstant, och sätter in t = 0 och sedan t = T ska man också få samma resultat. Detta får man om k = 2π/λ och ω = 2π/T, se Fig. 1.8 nedan t = 0 x = 0 y π 2π -2π -π y x t = 0 t = T x x = λ/2 x = λ Fig. 1.8 y(x) = A sin(kx) = A sin(2πx/λ) y(0) = A sin(2π 0/λ) = A sin(0) = 0 y(λ) = A sin(2π λ /λ) = A sin(2π) = 0 Sinus-funktionen som beskriver vågrörelsen upprepar sig efter sträckan λ om k = 2π/λ y(t) = A sin(-ωt) = A sin(-2πω/t) y(0) = A sin(-2π 0/T) = A sin(0) = 0 y(t) = A sin(-2π T /T) = A sin(-2π) = 0 Sinus-funktionen som beskriver vågrörelsen upprepar sig efter tident om T = 2π/λ

13 Extra uppgifter för den som vill öva 1.1 Figuren nedan visar vid tiden t = 0 en puls som utbreder sig åt höger i ett material med utbredningshastigheten 2 cm/s. Hur långt kommer punkten P i figuren att ha förflyttat sig från utgångsläget (a) i x-led vid tiden t = 2 sekunder? (b) i y-led vid tiden t = 2 sekunder? (c) i x-led efter att hela pulsen passerat? (d) i y-led efter att hela pulsen passerat? 1.2 Figuren nedan visar i ett visst ögonblick utseendet för en vågrörelse som rör sig åt höger längs ett rep. (a) Bestäm rörelseriktningen för var och en av de korta bitarna A, B, C och D av repet i det här ögonblicket. (b) Märk ut den eller de punkter på repet som svänger i fas med A. Gör om möjligt samma sak med B, C och D. (c) Vågrörelsen har frekvensen 2,5 Hz. Hur lång tid behöver repdelen A på sig för att genomföra en full svängning (från jämviktsläget, ner till lägsta punkten, upp till jämviktsläget, upp till högsta läget och ner till jämviktsläget igen)? Hur lång tid behöver de andra delarna, B, C och D?

14 1.3 Figuren nedan visar en ögonblicksbild av en våg som rör sig åt höger med utbredningshastigheten 6 m/s. Bestäm vågrörelsens amplitud, våglängd, frekvens och periodtid. 1.4 En våg har frekvensen 40 Hz och våglängden 0,25 m. (a) Hur lång tid behöver vågen för att förflytta sig 500m? (b) En annan våg med samma frekvens rör sig 30 m på 5,0 s. Bestäm våglängden. 1.5 En viss våg som utbreder sig på vattenytan i en sjö kan approximativt beskrivas med sambandet y = 0,6sin(2x 4t), där alla storheter givits i SI-enheter. Beräkna vågens utbredningshastighet. 1.6 En hemmagjord s.k. burktelefon består av ett långt snöre som i vardera änden är fastsatt i en burk av något slag. När snöret är sträckt och någon pratar i den ena burken kan meddelandet höras av någon annan som lyssnar i den andra burken. Förklara hur ljudet kan höras i den andra burken. 1.7 Dyningar rullar in mot en strand med 4,5 sekunders mellanrum. Avståndet mellan dyningarna är 12 m. Beräkna vågrörelsens utbredningshastighet.

15 1.8 Figuren nedan visar en ögonblicksbild av vågtopparna i en våg som rör sig åt höger. Vågtopp A hade 0,50 s tidigare samma position som vågtopp F har nu. Beräkna våglängden, våghastigheten och frekvensen. 1.9 En våg med våglängden 48 cm och frekvensen 0,45 Hz utbreder sig med amplituden 4,4 cm längs en fjäder. Ställ upp en beskrivning av vågrörelsen på formen y = Asin(kx ωt) och beräkna när vågen når fram till en punkt 0,96 m från startpunkten En vågrörelse fås att utbreda sig längs en sträng. På strängen sätts ett väldigt litet föremål fast. Föremålets läge som funktion av tiden ges i figuren nedan. Vilket eller vilka av nedanstående påståenden är korrekt(a)?

16 Vid tiden t 1 har föremålet: i) Positiv hastighet och positiv acceleration ii) iii) iv) Positiv hastighet och ingen acceleration Positiv hastighet och negativ acceleration Negativ hastighet och positiv acceleration v) Negativ hastighet och ingen acceleration vi) vii) Negativ hastighet och negativ acceleration Ingen hastighet och ingen acceleration