Vågor och Optik. Mekaniska vågor (Kap. 15) Mekaniska vågor (Kap. 15)

Transkript

1 Mekaniska vågor (Kap. 15) Vågor och Optik Mekaniska vågor (Kap. 15) D Alemberts allmäna lösning i 1D En mekanisk våg är en störning i ett medium som fortplantar sig. 1 $ 1 '$ 1 ' =& )& + ) = 0 x v t % x v t (% x v t ( om q * x ct r * x + ct Materia är uppbggd av atomer. Mellan atomerna verkar krafter. En enkel boll-och-fjäder modell. blir 1 = x v t q 1 + = x v t r Periodiska vågor: speciellt harmoniska (=sinus-) vågor Pulser! Kvasiperiodiska vågor därmed Brus Man kan definiera en vågfunktion: (x,t) Vågfunktion måste uppflla vågekvationen:! ( x, t ) 1! ( x, t ) =!x v!t 4 =0 qr! med (q,r) = g(q) + f (r) eller (x,t) = g(x ct) + f (x + ct) Som visar att den allmänna lösningen av vågekvationen kan uttrckas som! en linjärkombination av var en!godtcklig vågfunktion med utbredningsriktning +x respektive -x. OBS: vissa naturliga fsikaliska villkor existerar såsom funktionens kontinuitet m.m.

2 Vågor på en sträng: det endimensionella fallet t = mv = v t vt = v v transversell_impuls = t = v v t transversell_ rörelsemängd = (µvt)v v v t = (µvt)v v = µ våghastigheten på en sträng Lutning =!/!x!x a Härledning av vågekvationen för vågor på en sträng Våg viloläget! a Strängspänning vågutbredning x Newtons andra lag för små vinklar, konstant och positionsoberoende strängspänning (), enbart transversella rörelser ger: $ x ' 1 & ) = µ*x % x ( t 1 $ lim *x+0 *x x ' 1 & ) = % x ( x, x = µ t x = 1 c t där c - µ Allmänt hänger utbredningshastigheten ihop med mediets elastiska egenskaper.! (x,t)/!t v =! (x,t)/!x = återställningskraften i mediet tröghet i återställning till viloläget viloläget Våg Vågor transporterar energi (strängen) vågutbredning Energi överförs till strängen i vågens rörelseriktning. Vågornas intensitet (3 dim.) ör 3-dim. vågor definieras: Intensitet = medeleffekt per tenhet I= P medel /A Intensitet I 1 Intensitet I <I 1 Den momentana energiöverföring i en viss punkt på strängen är lika med den effekten P: P(x,t )= (x,t )v (x,t )= r (x,t ) (x,t ) x t Speciellt för sinusvågor ger derivering och insättning: (x,t) = Asin(t kx) P(x,t) = r ka sin (t kx) = cµa sin (t kx) $(x,t) = kasin(t kx) $x $(x,t) = Asin(t kx) $t P max = P medel = cµa och P = c de dx = cu ger _ energidensiteten U max = U medel = µa Allmänt definierar man för 3-dim. vågor (T.ex. plana ljudvågor att Intensitet = medeleffekt per tenhet OBS: Vågor transporterar energi dock ej materia I = P medel area Sfäriska vågor: I = P medel 4r punktkälla

3 Interferens och superposition A B! Två sammanfogade delar med olika linjär densitet, och µ. Spännkraft. µ P 1 0 x Vågens utbredning beskrivs med tre vågfunktioner: en infallande våg in, en transmitterad våg trans och en reflekterad våg refl : Inkommande: in (x,t) = A sin( in t - k in x) t 1 Vågen reflekteras i mittpunkten med 180 o fasskift. Situationen motsvarar reflektion med lös ände som i tidigare figur. Alltså inget fasskift. t Utgående: refl (x,t) = B sin( refl t + k refl x) trans (x,t) = C sin( trans t - k trans x) OBS tecknet i fasen! Hur bestämmer man de utgående amplituderna utifrån den ursprungliga vågfunktionen in? Randvillkor 1 (strängen kontinuerlig): Vi väljer x=0 i sammanfogningspunkten. Det första randvillkoret ger då att: in (0,t) + refl (0,t) = trans (0,t) (4) dvs. A sin( in t) + B sin( refl t) = C sin( trans t) (5) Eftersom detta ska gälla vid alla tidpunkter måste gälla: in = refl = trans = (frekvensen konstant!) (6) det betder: A + B = C (7) Randvillkor (derivatan kontinuerlig):! in (0,t)/!x +! refl (0,t)/!x =! trans (0,t)/!x (8) Våghastigheten i strängens två delar, 1 och, är olika pga. olika densitet µ: v 1 = / (10) resp. v = /µ (11) De olika vågorna har samma frekvens, se (6). Dock ändras våglängd och vågtal mellan områdena 1 och : Vågtalet bestäms av vinkelfrekvens och våghastighet: k = /v (1) k in =k refl =k 1 och k trans =k k 1 = /v 1 = / (13) resp. k = /v = µ / (14) Derivera (1), () och (3) samt sätt in i (8): -k in A + k refl B = -k trans C (9)

4 Vi kan nu utrcka (definiera) reflektions- och transmissionskoefficienterna R resp. T: R = B/A och T = C/A Vi ska definiera reflektivitet R resp. transmittivitet T som den andelen av effekten som reflekteras resp. transmitteras. (7) och (9) ger k 1 (-A + B) = -k (A + B) det ger: R = B/A = (k 1 k ) / (k 1 + k ) R P refl Vi definierar P in Z 1 Z µ c T P trans P in Som allmänt kallas för karakteristisk impedans. (7) och (9) ger också k 1 (-A + (C-A)) = -k C det ger: T = C/A = k 1 /(k 1 + k ) Reflektions- och transmissionskoefficienterna beror alltså bara på vågtalen. Eftersom spännkraften är konstant och lika över hela strängen kan vi uttrcka amplitudkoefficienterna i de linjära densiteten: r = µ + µ t = + µ R = B A = B & $ A' T = µ c C A = µ c C& $ A' = r = Z 1 ) Z & $ Z 1 + Z ' = µ c t = 4 Z 1Z Z 1 + Z ( ) Stående vågor kan uppstå i begränsade medier Den inkommande vågen och den reflekterade vågen interfererar. 1 (x,t) = A sin(t + kx) (rör sig åt vänster) (x,t) = -A sin(t - kx) (rör sig åt höger, fasskiftad 180 o ) (x,t) = A [sin(t + kx) - sin(t - kx)] Normalmoder Normalmoder är alla möjliga stående sinusvågor som kan uppstå i ett begränsat medium. Maximal våglängd: $ max = L Normalmoder uppträder med våglängderna: $ n = L/n n = 1,,3, Lägsta frekvensen (fundamentalfrekvens eller grundton och motsvarar max. våglängd):: f 1 = v/l (v = /µ) Övriga stående vågfrekvenser kallas övertoner (eng. higher harmonics) f n = n v/l n = 1,,3, Y Applet Skrivas om (med trigonometriska summaformler): (x,t) = A sin (kx) cos(t) (stående våg på en sträng fixerad i x=0) Observera att detta bildar en ourierserie, dvs. en godtcklig vågfunktion i mediet kan alltså beskrivas genom en linjärkombination av normalmoder.

5 Stående vågor i stränginstrument Vektorrepresentation av vågor Klangfärgen av ett musikinstrument bestäms av intensitetsfördelningen av normalmoderna (ourierserie): Också kallat för ljudspektrum Ergo: När man knäppar på en gitarrsträng dominerar de tre första övertonerna! (x + i) r sin! r z % r cos! Re x Re Både realdelen och imaginärdelen kan användas för att beskriva en harmonisk våg. Med Eulers formler: e i! = cos! + i sin! och kan vi skriva: z = x + i = r(cos! + i sin!) = r e i! En harmonisk våg kan därför skrivas: e -i! = cos! & i sin! (x,t) = Re [A e i(t-kx-') ] Vanligen används realdelen, vilket alltså motsvarar: (x,t) = A cos (t kx ') Komplex representation: z ~ = x + i Om pilen i Arganddiagrammet sätts att rotera med konstant hastighet kommer denna att representera en harmonisk våg. En sådan roterande vektor kallas fasvektor. A sin t r % A cos t Re Vektorrepresentation av vågor asvektorer och vågaddition Roterande pil i Argand-kallas fasvektor (eng. phasor). Vågekvationen: Sammanfattning, del 1! ( x, t) 1! ( x, t) = Med vågutbredningens hastighet v = %f! x v! t Addera vågor som vektorer. A A Harmoniska vågfunktioner: (x,t) = A sin (t-kx) (x,t) = A sin (t+kx) (rör sig i +x-riktningen) (rör sig i -x-riktningen) ( ( 1 A 1 ör dessa gäller principen för linjär superposition. Våghastigheten beror av strängens spänning och linjära densitet: v = /µ asvektorer motsvarar inte fsikaliska vektorer men de kan adderas som vektorer. De skrivs: A $ A är amplituden och $ är fasen (som är relativ och anges i förhållande till en referensvåg). Vågfunktion för stående våg: Normalmoder på en sträng (våglängd, frekvens) vid gränssnittet mellan olika strängar: Vågor transporterar energi men inte materia: (x,t) = A sin (kx) cos(t) $ n = L/n R = ( & µ ) / ( + µ ) * = / ( + µ ) f n = n v/l och P max = µ ) P medel = 0.5 µ ) Intensitet = medeleffekt per tenhet