Fysiska institutionen april 1983 Hans Linusson, Carl-Axel Sjöblom, Örjan Skeppstedt januari 1993 FY 2400 april 1998 Distanskurs LEKTION 25.

Transkript

1 GÖTEBORGS UNIVERSITET Fysiska institutionen april 1983 Hans Linusson, Carl-Axel Sjöblom, Örjan Skeppstedt januari 1993 FY 2400 april 1998 Distanskurs LEKTION 25 Delkurs 4 KVANTMEKANIK: GRUNDER, TILLÄMPNINGAR I detta häfte ingår övningsuppgifter som Du skall lösa och sända in för rättning. Lösningar till uppgifterna Kv 18 och Kv 34 i övningskompendiet skall vara kursledaren tillhanda senast

2 Kapitel 36. Kvantmekanikens grundvalar Inledning. Läs igenom. Det är en kort rundmålning ungefär som i inledningen till brev Partiklar och fält Kapitlet handlar om den s.k. våg-partikeldualismen, som vi redan behandlat i den historiska översikten. Författarna lägger stor möda på att vänja läsaren vid att våra vardagliga erfarenheter kanske inte alltid är tillämpbara, t.ex. i mikrokosmos. De ställer t.ex. upp formeln för den s.k. de Broglievåglängden λ = h p (36.1) som det naturligtvis är mycket viktigt att Du behärskar. Ett vanligt skrivsätt, som Du redan känner till, är h = h 2π Att uttrycka kvantmekaniken på ett symmetriskt sätt verkar kanske inte så viktigt när det introduceras nederst på sidan 956 i ekvationerna (36.2) men det visar sig att man kan få betydelsefulla uppslag på detta sätt! Som exempel på de Broglievåglängd skall vi räkna exemplet Kv12: Beräkna våglängden för en elektron som utsändes från en elektronkanon av accelerationsspänningen U Lösning: Vi skall alltså använda formeln för de Broglievåglängd, dvs λ = h p (1) Eftersom vi inte vet hur stor spänningen U är måste vi för säkerhets skull räkna relativistiskt,: E 2 = (pc) 2 + m 2 0 c 4 (2) E = E k + m 0 c 2 (3) E k = e U (4) Insättning av (4) i (3) ger E = eu +m 0 c 2

3 och detta insatt i (2) ( eu +m 0 c 2 ) 2 =(pc) 2 + m 2 0 c 4 e 2 U 2 + 2eUm 0 c 2 +m 2 0 c 4 =(pc) 2 + m 2 0 c 4 Förenklat blir detta ( ) 12 = 2m 0 eu eu p = 1 c e 2 U 2 + 2eUm 0 c 2 2m 0 c och slutligen λ = h p = h 2m 0 eu eu 2m 0 c Du kan själv räkna uppgifterna Kv13 (där hastigheterna är relativt låga!) och Kv Spridning av partiklar mot kristaller Braggs lag, (35.11 på sidan 949 och 36.4), är viktig i detta sammanhang. I boken är den formulerad m.hj.a. den s.k. glansvinkeln θ men det förekommer, t.ex. i TEFYMA, att man istället använder infallsvinkeln i. Bokens formulering är den vanligaste. Glansvinkel är en dålig översättning av engelskans glancing angle. Avsnittet beskriver ett viktigt experiment (elektrondiffraktion) som Du även kan se i kurslaboratoriet. Det visar med all önskvärd tydlighet att elektronerna även har vågegenskaper. Läs också igenom Ex för att få en uppfattning om de Broglievåglängden hos termiska neutroner. Räkna uppgift Kv34. Den är en av insändningsuppgifterna Partiklar och vågpaket Läs igenom. Det är tänkt att bli en inledning till nästa två avsnitt, men någon ordentlig diskussion är det ingalunda. För en sådan krävs en noggrann behandling av Schrödingerekvationen som faller utanför denna kurs. Du bör dock observera att utbredningshastigheten hos en partikel motsvaras av grupphastigheten hos det vågpaket som beskriver partikeln Heisenbergs osäkerhetsrelation Läs igenom kapitlen och försök få en bild av hur våg-partikeldualismen gör det omöjligt att ange ett föremåls läge och rörelsemängd med godtyckligt hög noggrannhet: x p h (ibland h) (36.5) På liknande sätt kan man (genom att tolka lösningen till Schrödingerekvationen) visa, att E t h (ibland h) (36.6)

4 Författarna försöker med viss framgång ge en känsla för varför osäkerhetsrelationen är en nödvändig följd av materiens vågnatur. De som så småningom går vidare till 60-poängsnivån och lär sig att lösa Schrödingerekvationen kommer även att kunna härleda dessa ekvationer. Läs igenom avsnittet noggrant. Du behöver inte kunna genomföra de härledningar som ingår i "tankeexperimenten" men Du skall förstås känna till och kunna använda osäkerhetsrelationen. Man kan också dra intressanta slutsatser med dess hjälp som Du ser i Ex Medan detta exempel behandlar ett område där relationen ligger nära till hands (dvs elektronbanor i atomen) så tar Ex 36.4 upp mycket stora system - stjärnors massor! Läs också igenom Ex 36.5, som beskriver en effekt som spelar in när man vill bestämma energinivåer med mycket hög noggrannhet Stationära tillstånd och materiefältet Om en partikel beskrivs av en materievåg och denna är begränsad till t.ex. en endimensionell potentiallåda så är det rimligt att tänka sig att vågen reflekteras mot lådans väggar. Den infallande och den reflekterande vågen kommer att interferera med varandra, och kravet på konstruktiv interferens (dvs att vågen inte skall utsläcka sig själv) är, som vi fann i vågrörelseläran, att λ = 2a där n = 1, 2, 3,... (36.8) n Lite enkla räkningar ger vid handen, att detta medför att bara vissa energier är tillåtna, dvs E = n 2 π 2 h 2 (36.10) 2ma 2 Energin är alltså kvantiserad. Man kan på motsvarande sätt ta fram Bohrs postulat för banrörelsemängdsmomentet L hos elektronen i väteatomen. Redan där bryter dock vår enkla bild samman, vilket vi kunde vänta oss av osäkerhetsrelationen. Det korrekta kvantiseringsvillkoret ges istället av ekvation (36.13) Exempel 36.6 påpekar det viktiga resultatet att en partikel i en potentiallåda har en nollpunktsenergi som är skild från noll! Ex 36.7 varnar å sin sida än en gång för att ta de beräknade våglängderna alltför allvarligt Vågfunktion och sannolikhetstäthet Kapitlet inför begreppet vågfunktion och argumenterar för att denna beteckning istället borde vara materiefältets amplitud. Detta må så vara, men den vedertagna benämningen är trots allt vågfunktion, så det är lika bra att hålla fast vid denna om man vill bli förstådd av någon (utöver Alonso och Finn, förstås). Läs noga, och lägg särskilt på minnet begreppen sannolikhetstäthet, Eq (36.20), och normering eller normalisering, Eq (36.15 och 36.21). Figur visar ett exempel på en vågfunktion för en partikel som befinner sig mellan två punkter, A och B. Det faktum att vågfunktionen inte är identiskt noll utanför dessa punkter anger att potentiallådan inte har oändligt höga väggar (den beskriver alltså ett tänkbart verkligt fall). Exempel 36.8 och figur visar några roliga figurer som beskriver sannolikhetstätheten för ett vågpaket som funktion av läge och tid. Medan den fria partikelns "läge" beskrivs av en rak streckad linje (den har konstant hastighet) så beskrivs den partikel som påverkas av en konstant kraft av en

5 krökt linje (kan Du se om hastigheten ökar eller minskar?). Du ser också att det är störst sannolikhet att finna den harmoniska oscillatorn i närheten av vändlägena (hastigheten är minst där). Kapitel 37 Kvantmekanik: tillämpningar 37.1 Inledning Läs igenom Schrödingerekvationen Som boken noga påpekar är detta inte en sträng härledning av Schrödingerekvationen (37.1) och (37.4) utan ett sätt att göra den intuitivt acceptabel innan vi börjar se vilka resultat den ger när vi tillämpar den på olika fysikaliska problem, dvs sådana fall där den potentiella energin E p har ett bestämt värde eller beskrivs av en bestämd funktion. Du skall känna till hur Schrödingerekvationen är formulerad och betydelsen hos de olika termerna i den. Vi skall nu gå över till att tillämpa den på några fysikaliska problem Fri partikel Avsnittet är en enkel introduktion till de beräkningar vi skall göra längre fram. Läs igenom Potentialsprång Läs igenom tillräckligt noga för att Du skall hänga med i hur man får fram lösningarna i de olika fallen. (Du behöver inte kunna återge dem.) Ett tips: Vid härledning av (37.8) har Eulers formler använts: i e = cos + isin 37.5 Partikel i en potentiallåda Studera avsnittet ingående. Detta är det första exemplet i denna kurs när man verkligen löser Schrödingerekvationen och påvisar att endast vissa energinivåer är tillåtna. Du skall kunna beräkna dessa nivåer (37.10) utgående från Schrödingerekvationen, kunna ta fram vågfunktionerna (37.11) och kunna normalisera dem (sidan 982 överst). Figur 37.3 visar de tre första vågfunktionerna, dvs för n = 1, n = 2 och n = 3. Av dessa är 1 och 3 jämna (de är symmetriska kring linjen x = a/2) medan 2 är udda (symmetrisk kring punkten x = a/2; 0) Fenomenet energidegeneration är viktigt (sid 983). Läs exempel 37.1 kursivt Potentialgrop I de flesta framställningar av kvantfysik (och även denna) brukar man försöka sig på problem som är av principiellt samma slag men som har ökande svårighetsgrad. Vi låter nu potentiallådan som i

6 37.5 hade två oändligt höga väggar istället ha en oändligt hög vägg (vid x = 0) och en ändligt hög (vid x = a) En potentialgrop med detta utseende är ofta en användbar approximation av partiklar som är bundna till en atom eller molekyl. Du skall därför studera avsnittet noga, så att Du känner till vågfunktionens allmänna utseende för positiv energi (figur 37.6) och negativ energi (figur 37.7). Lägg särskilt märke till att vågfunktionen är skild från noll till höger om x = a även i det senare fallet. (Den går dock snabbt mot noll i det klassiskt förbjudna området.) Detta innebär dock inte att det går en partikelström in i området - däremot om högra väggen är ändligt tjock finns en viss sannolikhet att partikeln skall tunnla igenom till området till höger om väggen (avsnitt 37.9) Avsnittet är viktigt, även om en kvantitativ behandling av schrödingerekvationen för detta fall inte ingår i kursen. Läs i alla fall igenom och begrunda Not 37.1 som visar hur man finner sådana lösningar, och då speciellt hur man påvisar att vågfunktionen existerar även för x > a Partiklar i en allmän potential Även om potentialfunktionens exakta form inte är känd kan man dra viktiga slutsatser ur dess allmänna utseende och de randvillkor som gäller. Läs igenom avsnittet ingœende, och lägg villkoren för bundna och obundna tillstånd på minnet Den harmoniska oscillatorn Läs noggrant, eftersom den harmoniska oscillatorn ofta är en bättre modell än potentiallådan för partiklar som rör sig under inverkan av en potentialfunktion. Även här existerar en s.k. nollpunktsenergi, dvs lägsta energinivån 0. Om Du fortsätter till 60-poängskursen kommer Du att få ta fram lösningen till Schrödingerekvationen för den harmoniska oscillatorpotentialen (så svårt är det inte!). Figur visar bl.a. att vågfunktionerna antingen är symmetriska (jämna) eller antisymmetriska (udda), något som vi såg redan för potentiallådan Genomträngning av potentialbarriärer En av de mera överraskande, men därför också mest välkända slutsatserna av Schrödingerekvationen är den s.k. tunneleffekten. Denna följer av att vågfunktionen inne i en ändligt hög potentialbarriär inte omedelbart blir noll utan istället faller gradvis mot detta värde. Om dessutom barriärens bredd är liten kommer detta att resultera i att det finns en viss sannolikhetstäthet för partikeln även utanför barriären(!) Boken diskuterar några olika sådana fall. Tyvärr faller det utanför kursen att lösa Schrödingerekvationen kvantitativt och på så sätt få en riktigt känsla för vad effekten innebär. Läs igenom avsnittet kursivt. Några räkneuppgifter har ännu inte föreslagits till kapitel 37. Detta är avsiktligt, eftersom denna del av kursen har en kvalitativ inriktning. Icke desto mindre bör Du pröva Dina krafter på uppgiften Kv18, som är en insändningsuppgift. Den är ganska svår, men de andra uppgifterna av samma typ i kompendiet är ännu värre!

7 Kapitel 38 Atomer, molekyler och fasta ämnen Detta kapitel ger exempel på vad man kan få fram m.hj.a. lösningar (ibland numeriska) till Schrödingerekvationen. Vad gäller enkla system som väte och helium, så ligger de inom räckhåll för Dina studier på 60-poängsnivån, dock inte här. Kapitlet ingår inte i kursen, men om Du har tid till Ditt förfogande så kan Du läsa igenom det kursivt, om inte annat så för att se att det finns mycket mer att lägga till och modifiera i den teori vi försökt redogöra för. (De fullerener som nämns på sidan 1019 är föremål för intensiv forskning på många håll i världen, bl.a. vid Fysiska institutionen.) Inlämningsuppgifter till detta brev är Kv18 och Kv34 som skall vara kursledaren tillhanda senast det datum som står på försättsbladet.