Numerisk lösning till den tidsberoende Schrödingerekvationen.

Transkript

1 Numerisk lösning till den tidsberoende Schrödingerekvationen. Det är enbart i de enklaste fallen t ex när potentialen är sträckvis konstant som vi kan lösa Schrödingerekvationen analytiskt. I andra fall får man använda datorn för att bestämma vågfunktionen. Man räknar då ut vågfunktionens värde enbart i vissa diskreta punkter. Normalt ligger dessa med konstant avstånd från varandra. Om de punkter där vågfunktionen beräknas kallas så gäller det att. är alltså avståndet mellan de diskreta x-värdena. Hur ska väljas får avgöras från fall till fall. Ska man t ex representera en våg med med en diskret lösning måste man välja betydligt mindre än våglängden. Exempel på analytisk lösning:. Numerisk lösning även kallad diskret lösning: Vågfunktionen representeras av en vektor i t ex MATLAB. Elementen i vektorn som beskriver funktionen blir då. För att beräkna derivator använder man approximativa uttryck. Som bekant definieras derivatan genom uttrycket. För den numeriska lösningen användes uttrycket. Ett sådant uttryck kallas för differenskvot. Man får då ett approximativt uttryck för derivatan i punkten. Approximationen för derivatan blir naturligtvis bättre ju mindre är. Den streckade linjens lutning ger en approximation till derivatan i mittpunkten. En approximation till andraderivatan i punkten ges av.

2 För att bestämma diskreta lösningar till den tidsberoende Schrödingerekvationen gäller det att finna en algoritm som ger vågfunktionen vid tiden om man känner vågfunktionen vid tiden t. Låt oss först se på ett exempel med vanliga differentialekvationer. Exempel. Differentialekvationen är given med begynnelsevillkoret. Bestäm lösningen som funktion av t samt ge ett uttryck för hur funktionen ändrar sig under ett kort tidsintervall. Lösningen ges av. Det gäller att. Den tidsberoende Schrödingerekvationen kan skrivas där H står för en s k differentialoperator:. I analogi med uttrycket ovan för hur den vanliga differentialekvationen ändras under ett kort tidsintervall skriver vi:. Det är tyvärr inte så enkelt bl a därför att exponentialfunktionen i denna formel representeras av en matris men i princip gäller denna formel även i detta fall. Tyvärr är det en ganska besvärlig härledning som ges i appendix. Projektet går ut på att Använd uttrycken i appendix för att skriva en kod i MATLAB som beräknar vågfunktionen vid olika tidpunkter. Göra beräkningar på ett fysikaliskt exempel som väljs i samråd med din handledare.

3 Tillämpningar på programmet tidsberoende vågfunktion. Här följer 3 förslag på fysikaliska tillämpningar. Diskutera med handledaren innan ni väljer. 1 Breddning och reflektion av pulser. Låt en fri våg utbreda sig och visualisera denna med en film som visar t ex realdelen av vågfunktionen. Välj vågpaket med olika bredd och studera hur de utbreder sig. Det är även lämpligt att låta en av dessa vågor infalla mot ett potentialsteg som ger både transmission och reflektion. 2 Tunneleffekten 3 Resonans Låt en fri våg infalla mot en tunn barriär och studera om någon del av vågen tunnlar genom barriären. Eftersom tunneleffekten är en liten effekt så måste du förstora den del av vågen som passerar barriären ordentligt. Gör en film som visar detta för några olika barriärer. Låt en våg passera en potentialgrop av fyrkantig standardform. Undersök analytiskt för vilka värden som det kan finna resonanser. Visa sedan hur vågen beter sig för detta energivärde samt jämför med energier då vi inte har resonans. 4 Fördröjning Låt en våg infalla mot en potential enligt figuren. Potentialen för stora x har värdet. Om energin för en våg som infaller från vänster är mindre än så kommer hela vågen att reflekteras. Men om det uppstår resonans så blir reflektionen fördröjd genom att vågen tillbringar lång tid i brunnen där den studsar fram och tillbaka. Studera detta fenomen!

4 Tidsutveckling av vågpuls i endimensionella potentialer I det här projektet ska man definiera en initial vågpuls som får symbolisera elektronens vågfunktion, som man sedan propagerar i tiden m.h.a. den tidsberoende Schrödingerekvationen. Man kan då följa hur vågpulsen utbreder sig längs rumsaxeln och även se vad som händer då vågen stöter på någon form av potentialhinder. Den tidsberoende Schrödingerekvationen i en dimension skrivs: Ψ(x, t) i h = ( h2 t 2m 2 ) x 2 + V (x) Ψ(x, t) = (H 0 + V (x))ψ(x, t) = HΨ(x, t) där vi har infört beteckningarna H 0 = h 2 /(2m) 2 / x 2 samt H = H 0 +V (x). Denna första ordningens differentialekvation (m.a.p. tid) har lösningen Ψ(x, t) = e iht/ h Ψ(x, 0) från vilken man kan se att följande gäller för vågfunktionen Ψ(x, t) vid tiden t och vid tiden t + t: Ψ(x, t + t) = e ih t/ h Ψ(x, t) Om man vet vågfunktionens utseende vid tiden t kan man alltså beräkna hur den ser ut vid den senare tidpunkten t + t. Av numeriska skäl kommer vi dock att vara tvungna att skriva om ovanstående uttryck till e ih t/2 h Ψ(x, t + t) = e ih t/2 h Ψ(x, t) För små tidssteg t kan vi Taylor-utveckla exponetialuttrycken enligt e x = 1+x+x 2 /2!+... och får då, efter lite omflyttning, Ψ(x, t + t) = ( 1 + ih t ) 1 ( 1 ih t ) Ψ(x, t) 2 h 2 h och vi har därmed ett receptför attberäknavågfunktionenvid tiden t+ t från vågfunktionen vid tiden t. För att kunna göra detta behöver vi veta hur H = H 0 + V (x) verkar på vågfunktionen. HΨ(x, t) = (H 0 + V (x))ψ(x, t) = h2 2m 2 Ψ(x, t) + V (x)ψ(x, t) x2 För att kunna uttrycka andraderivatan m.a.p. x i MatLab måste man diskretisera derivatan. Generellt kan andraderivatan för en funktion f(x) i punkten x n approximeras med f (x n ) = f(x n 1) 2f(x n ) + f(x n+1 ) ( x) 2 där x är avståndet mellan två x-punkter. 1

5 I MatLab kan man systematisera beräknandet av andraderivatan genom att multiplicera vågfunktionsvektorn med följande tridiagonala matris från vänster 1 ( x) Resultat blir en vektor som innehåller andraderivatan i varje x-punkt i tur och ordning. Matrisen ovan har alltså effekten att den, multiplicerad på en vågfunktionsvektor, ger den diskretiserade andraderivatan. För att studera spridning (reflektion/transmission) mot något potentialsteg eller potentialbarriär eller hinder av valfri form, behöver man inkludera ett V (x) som är skilt från noll. V (x) ska multipliceras med Ψ(x, t) (se Schrödingerekvationen) och kan också skrivas om till en matris att multiplicera med vågfunktionen. För att få ett fungerande program behöver man göra följande: Definiera en initial vågfunktion, Ψ(x, 0), förslagsvis en gaussisk funktion som ger en snygg och samlad pulsform. Ψ(x, 0) ser då ut som Ψ(x, 0) = Ne (x x0)2 /(4W 2) e ik0x där k 0 är relaterat till elektronens energi på samma sätt som vi har diskuterat i kursen för fria elektroner. Vågfunktionen är inte automatiskt normerad, utan man får välja ett lämpligt N om man vill ha en normerad puls. Den sista termen exp(ik 0 x) är nödvändig för att ge vågfunktionen en rörelse framåt. För att få reda på Ψ(x, t) behöver vi beräkna Ψ(x, t) = ( 1 + i t ) 1 ( 2 h H 1 i t ) 2 h H Ψ(x, 0) där H nu är en matris och 1:an en enhetsmatris av samma storlek som H. Nästa steg, för att få reda på Ψ(x, 2 t), blir Ψ(x, 2 t) = ( 1 + i t ) 1 ( 2 h H 1 i t ) 2 h H Ψ(x, t) Det är viktigt att ta ganska små steg i tiden (annars blir den Taylorexpansion vi gjorde en alltför dålig approximation). Av numeriska skäl är det också viktigt att ha ganska liten steglängd i rummet, dvs att definiera en ganska tät x-axel i MatLab. MatLab-tips: Det kan ta lång tid att invertera stora matriser i MatLab. Ett alternativt sätt att beräkna inv(a)b, där A och B är matriser, är att skriva A\B i MatLab, vilket är mycket snabbare. Tecknet \ kallas slash i MatLab och finns förstås beskrivet i MatLab-hjälpen. MatLab-funktionerna eye och diag kan också vara till hjälp. Börja t.ex. med att titta på en helt fri elektron, d.v.s sätt V (x) till noll, innan ni börjar experimentera med olika potentialer. Lämpliga storleksordningar på energier, x och t är 1 ev, 0.1 nm respektive 1 fs. 2

6 Studera (dvs plotta) sedan tidsutvecklingen av vågfunktionens sannolikhetstäthet när den faller in mot några olika potentialer. Exempel är positivt/negativt potentialsteg, potentialbarriär/potentialgrop eller något liknande strukturerna i uppgift 3.7. Ändra elektronens energi och studera hur detta påverkar t.ex tunnling genom en potentialbarriär eller reflektion från ett potentialsteg. Stämmer resultaten med vad som har diskuterats i kursen? För att kunna göra mer exakta jämförelser behöver ni beräkna transmissions-och reflektionssannolikhet. Hur skulle ni i det här sammanhanget vilja definiera dessa sannolikheter? 3