KTH 2D1240 OPEN vt 06 p. 1 (5) J.Oppelstrup

Transkript

1 KTH 2D1240 OPEN vt 06 p. 1 (5) Tentamen i Numeriska Metoder gk II 2D1240 OPEN (& andra) Fredag kl Hjälpmedel: Del 1 inga, Del 2 rosa formelsamlingen som man får ta fram när man lämnar in del 1. Betygsgränser inkl. bonus: 20p trea, 27p fyra, 33p femma. Gränserna kan justeras något. Svar ska motiveras och uträkningar redovisas. Korrekt svar utan motivering eller med felaktig motivering medför poängavdrag. Del 1. Max 10 p, inga hjälmedel Namn.. (0) Ange dina bonuspoäng och den kursomgång (program och år) där poängen erhållits. (2) Om p och q har relativfel på högst 5%, vad kan sägas om relativfelen i pq resp. p+q? Är någon av beräkningarna illakonditionerad för vissa p och q? Om ja, ange vilken, och ge ett exempel. (2) En formel f med indata x, y och z ger resultatet w = f(x,y,z). Indata med felgränser är x = a ± 0.01, y = b±0.02, z = c±0.03. Beskriv med formler hur man får en uppskattning av maximalfelet i w.

2 KTH 2D1240 OPEN vt 06 p. 2 (5) Namn.. (1) Vad menas med att n x n-matrisen A är tri-diagonal (skiss!)? Arbetet vid Gauss-elimination av A är proportionellt mot n p - vilket p? (3) Man vill anpassa ett polynom P(x) av gradtal n till en given uppsättning punkter (x k, y k ), k = 1, 2,...,m, n+1 m med minsta kvadratmetoden. Vad är det som minimeras i minsta-kvadratmetoden? Ett precist svar, t.ex. en formel, krävs! Problemet kan formuleras som lösning av det överbestämda systemet Ac y. Hur stor är A? Vad menas med normalekvationerna och vilken ortogonalitetsegenskap uttrycker de? (2) Beskriv detaljerat Newtons metod för lösning av icke-linjära ekvationssystem, säg f(x) = 0,x = (x 1,x 2,...,x n ) T,f = ( f 1 (x), f 2 (x),..., f n (x)) T Definiera Jacobian-matrisen och avbrottskriteriet. Vad vet man om konvergensordningen?

3 KTH 2D1240 OPEN vt 06 p. 3 (5) Tentamen i Numeriska Metoder gk II 2D1240 OPEN (& andra) Fredag kl Hjälpmedel: Del 1 inga, Del 2 rosa formelsamlingen som man får ta fram när man lämnar in del 1. Betygsgränser inkl. bonus: 20p trea, 27p fyra, 33p femma. Gränserna kan justeras något. Svar ska motiveras och uträkningar redovisas. Korrekt svar utan motivering eller med felaktig motivering medför poängavdrag. Del 2. Max 25 p, rosa formelsamlingen P1. Kvadratur (8p) Man vill beräkna integralen ( dt I = ) " $ 1+ t # 3.5 % 0 ' t & som är besvärlig på två olika sätt: a. (1p) Integranden blir oändlig vid t = 0. Visa hur man blir av med det bekymret med substitutionen t = s 2 och skriv upp den så erhållna integralen. " A # b. (1p) Intervallet är oändligt, och vi ersätter # f (t)dt med " f (t)dt + " f (t)dt A4 243 R( A) Visa, att R < 1/3 A -3 (*) (tips: försumma 1:an). Använd detta till att välja ett lämpligt A för beräkning av integralen med fel < Du får använda (*) även om du inte härlett det, och kan arbeta med den substituerade integralen om du vill; det blir liknande formler men andra siffror. c. (4p) Skriv ett MATLAB-program som beräknar integralen med trapetsregeln med N och 2N steg och skriver ut N, de två trapets-värdena T(N) och T(2N), och det extrapolerade värdet Extr. d. (2p) Osquar har gjort just ett sådant program för den substituerade integralen och testkört det några gånger med A = 3 (som är för litet) och N = 8, 16, etc. : N T(N) T(2N) Extr Kontrollera, om trapets-värdena tycks ha rätt nogrannhetsordning. Vilken noggrannhetsordning ska de extrapolerade värdena ha? Stämmer det med tabellvärdena?

4 KTH 2D1240 OPEN vt 06 p. 4 (5) P2 Elektronbanor (10p) Elektroner skjuts med hastighet v och riktningsvinkel α in vid origo i (x,y)-planet i en cirkulär kammare med radie R där de påverkas av ett elektriskt fält riktat längs x-axeln och ett magnetiskt fält i z-led. Med lämpligt val av enheter blir rörelse-ekvationerna α 2R x " =1# B y ",x(0) = 0, x "(0) = v cos$ y " = B x ",y(0) = 0, y "(0) = v sin$ #% /2 < $ < % /2 där B är magnetiska fältstyrkan. Med givna värden på v, B, R och α vill man räkna ut träffpunkten (X,Y) på motsatt vägg. a. (2p) Skriv ekvationerna som ett första ordningens system med tillhörande begynnelsevillkor och en matlab-function dudt = electr(t,u) som definierar det för numerisk lösning med t ex ode45. Magnetfältet definieras som global B och har redan ett värde. b. (1p) Visa, att elektronen är inuti kammaren så länge x2 + y 2 < 2xR. c. (4p) Använd den relationen i ett matlab-program som med Runge-Kutta-metoden av ordning 4 löser begynnelsevärdesproblemet med tidssteg h och stannar efter det steg där elektronen passerar väggen. Plotta elektronbanan, sätt en ring om sista stegets (x,y) som vi tar som (X,Y). Du får använda funktionen RK4steg som ges nedan (ingen ändring behövs!). Observera användningen av feval som antyder vilken typ argumentet fun ska ha! Se till att ge värden åt alla parametrar! (global B, initialvärden beräknade ur v och α, etc.) function [t1,u1]=rk4steg(fun,t,u,h) f1 = feval(fun,t,u); f2 = feval(fun,t+h/2,u+h/2*f1); f3 = feval(fun,t+h/2,u+h/2*f2);f4 = feval(fun,t+h,u+h*f3); u1 = u + h/6*(f1 + 2*f2 + 2*f3 + f4); t1 = t + h; d. I tabellen finns resultat av körningar med parametervärdena v=1, R=1, B = 2, α = 30 o. Den visar hur X och Y konvergerar då h minskar. h X Y (2p) Varför är tabellen så hackig? Felet är inte alls proportionellt mot h 4! (1p) Motivera varför den bästa feluppskattningen man kan ge är att den exakta träffpunkten ligger inom ungefär vh ifrån X(h),Y(h). P3. Berg-och-dal-bana (7p) En brant dal i berg-och-dal-banan beskrivs av z = f(x), 0 x 40 med inmätta punkter z (X,Y) x z H (20,H) Man ska bestämma H så att det inte skumpar. Osquar föreslår att man ska välja H så att krökningsradien ρ(x) ska variera snällt för x = 10, 20, och 30. (forts.) x

5 KTH 2D1240 OPEN vt 06 p. 5 (5) Det blir en ekvation att lösa: Bestäm H så att ρ(20) = 1/2(ρ(10) + ρ(30)) (*) Vi har z # " = $ 1+ ( z #) 2 ' & ) 3/2 % ( x-värdena ligger med samma avstånd x = 10. a. (3p) Approximera derivatorna med centrala differenskvoter och ställ upp den icke-linjära ekvation man får av (*). Ekvationen ska skrivas i alla detaljer så att man ser att alla symboler (utom H) har fått ett värde, men du behöver inte räkna ut krångliga uttryck. Osquar vill använda Newtons metod och behöver ett startvärde. Det får han genom att interpolera ett polynom genom punkterna för x = 0, 10, 30, och 40. b. (1p) Visa, att det för givna data räcker med ett andragradspolynom p(x) = H + b(x " 20) 2 (**) c. (2p) Bestäm H på det viset; du får använda (**) även om du inte bevisat det. d. (1p) Osqulda säger att hon kan lösa problemet mycket enklare genom att använda en cirkel istället för en parabel. Beskriv hur och beräkna H och krökningsradien!