Andra föreläsningen kapitel 7. Patrik Lundström

Transkript

1 Andra föreläsningen kapitel 7 Patrik Lundström

2 Kvantisering i klassisk fysik: Uppkomst av heltalskvanttal För att en stående våg i en ring inte ska släcka ut sig själv krävs att den är tillbaka som den började efter ett helt varv. Ett annat sätt att beskriva detta är att säga att det krävs ett helt antal våglängder får plats på ringens omkrets. Vågfunktionen måste därför innehålla kvanttal som är heltal.

3 Kvantisering i klassisk fysik: Uppkomst av halvtalskvanttal För att en linjär stående våg (t.ex. en svängande gitarrsträng) inte ska släcka ut sig själv krävs att den har värdet noll i början och slutet på strängen. Ett annat sätt att beskriva detta är att säga att det krävs en multipel av halva antal våglängder får plats på strängen. Vågfunktionen måste därför innehålla kvanttal som är hel- eller halvtal.

4 Två namn ni bör känna till Erwin Schrödinger: Mest känd för Schrödingerekvationen som bland annat kan användas för att beräkna elektroners energier i godtyckliga atomer. Werner Heisenberg: Mest känd för sin osäkerhetsrelation.

5 Schrödingerekvationen En ekvation som utgående de Broglies hypotes beskriver materievågor, till exempel för elektroner som är bundna till atomkärnor. Schrödingerekvationen kan skrivas: H ψ n = E n ψ n Hamiltonoperatorn Elektronens energi I ord säger ekvationen: Om vi verkar på vågfunktionen med Hamiltonoperatorn får vi tillbaka samma vågfunktion multiplicerad med elektronens energi Vågfunktionen

6 Mer om Schrödingerekvationen Hamiltonoperatorn är exempel på en operator, ett annat ord för matematisk instruktion. Hamiltonoperatorn är den operator som beskriver energi och dess utseende är ungefär: derivera två gånger (för att få den kinetiska energin) och addera den potentiella energin. Det exakta utseendet är beroende av vilket system som studeras. Schrödingerekvationen är ett exempel på ett egenvärdesproblem.

7 Schrödingerekvationens lösningar När Schrödingerekvationen löses erhålls 1) Elektronens energi (E n ) 2) Vågfunktionen (ψ n ) Normalt finns flera lösningar, det vill säga elektronen tillåts ha olika energier där varje energi är associerad med en viss vågfunktion.

8 Styrkor och svagheter med Schrödingerekvationen + Duplicerar Bohrs resultat för väteatomen ooch förser dem med ytterligare detaljer + Fungerar bra för atomer med godtyckligt antal elektroner - Kan vara mycket svår att lösa och ofta omöjlig att lösa exakt

9 Vad betyder vågfunktionen??? Schrödingers första tolkning var att den beskrev att elektronen inte var en partikel utan var utsmetad som vågen. Den tolkningen var inte användbar. En bättre tolkning kom något år senare av Max Born och som är den som gäller än idag är att kvadraten på vågfunktionen beskriver sannolikheten att hitta elektronen på ett visst ställe. (Anledningen att det är kvadraten på vågfunktionen och inte vågfunktionen själv som ska användas är att en vågfunktion kan vara negativ, vilket inte sannolikheter kan vara.)

10 Borns tolkning av vågfunktion Det betyder att den relativa sannolikheten att hitta elektronen på platserna x 1, y 1, z 1 och x 2, y 2, z 2 ges av ψ x 1, y 1, z 1 2 ψ x 2, y 2, z 2 2 = N 1 N 2 Det går också att beräkna sannolikheten att elektronen ska befinna sig i området mellan x 1, y 1, z 1 och x 2, y 2, z 2 som ψ x 1, y 1, z 1 2 dd x 2,y 2,z 2 x 1,y 1,z 1

11 Exempel: Antag att en vågfunktion kan skrivas ψ x = A x 1 x, 0 x 1. Beräkna relativa sannolikheten att finna elektronen i punkterna x=0.2 och x=0.5! Lösning: ψ = A = A 2 ψ = A = A 2 Relativa sannolikheten blir därför / =

12 Varför pratar vi om sannolikheter??? Heisenbergs osäkerhetsrelation Det går aldrig att samtidigt säga exakt var en partikel befinner sig och hur snabbt den färdas. Relationen mellan hur mycket osäkerhet det är i de två storheterna ges av Heisenbergs osäkerhetsrelation Δx Δ mm = h 4π där Δx är osäkerheten i position och Δ mm är osäkerheten i produkten av dess massa och hastighet (rörelsemängd). Detta är ett mycket viktigt resultat och är essensen av skillnaden mellan klassisk mekanik och kvantmekanik.

13 Begreppet orbital En orbital är en beteckning för det område där det är 90% sannolikhet att hitta en elektron som beskrivs av en viss vågfunktion. Olika orbitaler har olika utbredning och olika form (mer om det senare).

14 Egenskaper hos lösningarna till Schrödingerekvationen När Schrödingerekvationen löses får inte bara ett utan tre kvanttal. De är Huvudkvanttalet (energikvanttalet) som beskriver energin. Bikvanttalet (rörelsemängdsmomentskvanttalet). Magnetiska kvanttalet

15 Huvudkvanttalet Huvudkvanttalet (energikvanttalet) som beskriver energin. För väteatomen är det endast huvudkvanttalet som avgör energin. Detta kvanttal betecknas n och kan anta heltalsvärdena n = 1,2,3,4 När kvanttalet ökar, ökar elektronens energi. Elektroner som har ett visst huvudkvanttal sägs ibland tillhöra ett visst atomskal. Ibland ges atomskalen beteckningarna K, L, M, N

16 Bikvanttalet Bikvanttalet (rörelsemängdsmomentskvanttalet). Detta kvanttal har också heltalsvärden men de kan inte variera fritt utan de tillåtna värdena beror på kvanttalet n. De tillåtna värdena är l = 0,1,2, (n 1). Bikvanttalet avgör formen på orbitalerna.

17 Bikvanttalet Det är vanligt att ge bikvanttalet bokstavsbeteckningar i stället för siffror enligt l Beteckning 0 s 1 p 2 d 3 f 4 g

18 Det magnetiska kvanttalet Magnetiska kvanttalet som kan anta heltalsvärden. Kvanttalet betecknas m l och de tillåtna värdena beror på kvanttalet l och beroendet är m l = l, l + 1,, l 1, l. Kvanttalet avgör hur orbitalerna är orienterade. Det avgör också hur energin påverkas vid interaktion med magnetfält.

19 Exempel: Vilka bikvanttal är tillåtna för en elektron som har huvudkvanttalet a) n=1? b) n=3? Vilka magnetiska kvanttal är tillåtna för en elektron med huvudkvanttalet a) n=1? b) n=3?

20 Vågfunktionens egenskaper De flesta typer av orbitaler har områden där det är exakt noll sannolikhet att finna elektronen. Sådana områden kallas noder. Notera dock att elektronen kan röra sig mellan områden som separeras av noder. Nod

21 Vågfunktionens egenskaper: s-orbitaler En orbitals form och riktning beror av kvanttalen n, l och m l. Orbitaler med l = 0 (och därför med nödvändighet m l = 0), s-orbitaler, är lättast att beskriva eftersom de ser likadana ut i alla riktningar. Endast radien från origo som avgör elektrontätheten Eftersom l = 0 för finns bara en 1s, en 2s etc. orbital. s-orbitaler i olika skal skiljer sig genom att de har olika många noder.

22 Vågfunktionens egenskaper: p-orbitaler För n=2 finns en s-orbital och 3 p-orbitaler (l = 1 m l = -1, 0, 1) För väteatomen har alla orbitaler med ett givet värde på n samma energi. Vi säger att de är degenererade. Däremot har de inte samma form. Det finns en 2s orbital och tre 2p orbitaler, nämligen 2p x, 2p y och 2p z.

23 s- och p-orbitaler p z orbital där elektrontätheten är färgkodad p-orbitaler där endast gränsytan för 90% sannolikhet är indikerad

24 d-orbitaler

25 Vågfunktioner vs. orbitaler Väteatomens fem vågfunktioner med lägst energi: Röda områden har positiva värden på vågfunktionen och blå områden har negativa värden. Varför kan inte vågfunktionen själv användas som ett mått på sannolikheten att finna elektronen i ett visst område?

26 Kvantmekanisk beskrivning av väteatomen 1. Elektronen beskrivs som en stående våg. Dess beteende ges av lösningarna till Schrödingerekvationen som avgör tillåtna energier och orbitaler. 2. Modellen gör inte anspråk på att kunna säga exakt var elektronen befinner sig, och Heisenbergs osäkerhetsprincip visar faktiskt att det är fundamentalt omöjligt. I stället utgör kvadraten på vågfunktionen ett relativt mått på sannolikheten att finna elektronen på en viss plats. 3. Storleken på en orbital definieras som den yta inom vilket det är 90% chans att finna elektronen. 4. Väteatomen har många tillåtna orbitaler. I sitt grundtillstånd ockuperas orbitalen 1s. Elektronen kan exciteras till orbitaler med högre energi om energi tillförs.

27 Ett fjärde kvanttal: spinn Klassisk beskrivning av spinn: En elektron roterar inte bara runt atomkärnan utan även runt sin egen axel. Rotationen runt egna axeln beskrivs av kvanttalet m s som kan vara +½ (elektronen spinner åt ena hållet) eller -½ (elektronen spinner åt andra hållet). Obs!! Denna beskrivning stämmer illa med verkligheten på många punkter men kan trots det användas för att hjälpa till att tänka sig hur spinn fungerar.

28 Ett fjärde kvanttal: spinn Den klassiska förklaringen till att en elektron som spinner får magnetiska egenskaper som beror på vilket håll den spinner åt och orsaken till uppkomsten till begreppet spinn. Det kan inte nog understrykas att den här bilden är stämmer illa med verkligheten. Begreppet spinn har dock levt kvar.

29 Pauliprincipen Två elektroner i en given atom kan inte ha samtliga fyra kvanttal, n, l, m l och m s likadana. Alternativ formulering: Det bara kan finnas två elektroner i samma orbital.

30 Atomer med fler än en elektron Interaktioner som behöver beskrivas i Schrödingerekvationen för en atom med två elektroner: 1. Interaktionen mellan elektron 1och kärnan 2. Interaktionen mellan elektron 2 och kärnan 3. Interaktionen mellan elektron 1 och elektron 2 4. och förstås elektronernas rörelseenergi

31 Svårigheten med att flerelektronatomer Hur ska vi kunna beskriva interaktionen mellan två elektroner om vi inte vet exakt var de befinner sig på Heisenbergs osäkerhetsprincip? Problemet kallas elektronkorrelationsproblemet och innebär att vi inte lösa Schrödingerekvationen exakt utan måste göra approximationer. En sådan approximation är att en elektron rör sig i ett laddningsfält som är summan av kärnans attraktion och medelvärdet av de andra elektronernas repulsion.

32 Skärmning Totala attraktionen till kärnan minskas genom närvaro av andra elektroner. Det får till följd att en given elektron binds svagare till kärnan än om elektronen varit ensam. Fenomenet kallas skärmning.

33 Schrödingerekvationens lösningar för flerelektronatomer Eftersom approximationer gjorts lösningarna också approximationer Dock: Lösningarna är mycket lika de för väteatomen Således: 1s, 2s, 2p, 3s, 3p, 3d orbitaler även i detta fall

34 Viktig skillnad mot väteatomen För flerelektronatomer har INTE elektroner i s, p, d orbitaler i samma atomskal (samma huvudkvanttal) samma energi. (mer om detta i morgon)

35 En förklaring till olika energier för s-, p-, och d- orbitaler i atomer med flera elektroner Det är större att sannolikhet att hitta en 2s elektron nära kärnan än en 2p elektron. Samma resonemang gäller för andra orbitaler.