Vågrörelselära & Kvantfysik, FK januari 2012

Transkript

1 Räkneövning 10 Vågrörelselära & Kvantfysik, FK januari 20 Problem 42.1 Vad är det orbitala rörelsemängdsmomentet, L, för en elektron i a) 3p-tillståndet b) 4f-tillståndet? Det orbitala rörelsemängdsmomentet låter sig beräknas med hjälp av det orbitala kvanttalet, l, som L l(l + 1) h (1) Huvudkvanttalet, (n 1, 2, 3, 4), svarar mot vilket elektronskal (K, L, M, N,...) elektronen befinner sig i. Det orbitala kvanttalet ( ban-kvanttalet, l 0, 1, 2, 3,...) svarar mot underskal (s, p, d, f,...) och bestämmer elektronens rörelsemängdsmoment. Alltså: a) 3p (n, l) (3, 1) L 1(1 + 1) h 2 h b) 4f (n, l) (4, 3) L 3(1 + 3) h h Problem 42.4 Vilka värden för L z är möjliga för en elektron i ett p-underskal? p-underskal svarar mot det orbitala kvanttalet l 1. I ett pålagt yttre magnetfält är z-komponenten av det orbitala rörelsemängdsmomentet, L z m l h, där det orbitala magnetiska kvanttalet antar värdena m l 0, ±1,..., ±l. Vi får { 0 L z m l h (2) ± h 1

2 Problem Lista alla möjliga kvanttal för en Syre-atom i dess grundtillstånd Syre har Z 8, alltså är möjliga kvanttillstånd (n, l, m l, m s ), Skal Kvanttillstånd Elektronuppsättning K : (1, 0, 0, ± 1 2 ) (2 elektroner) 1s2 L : (2, 0, 0, ± 1 2 ) (2 elektroner) 2s2 L : (2, 1, 1, ± 1 2 ) (2 elektroner) 2p2 L : (2, 1, 0, ± 1 2 ) (2 elektroner) 2p2 (Notera att u µ B e 2mL B är lägst då L är antiparallell med B, vilket innebär att lägsta energi-tillstånd fås för m l < 0) Problem Det orbitala rörelsemängdsmomentet för en silver-atom är noll. a) Vad är energierna för elektronens två spinn-riktningar i ett yttre magnetfält B 0.4ẑ T? b) Vilken frekvens bör en foton ha, så en övergång mellan de två spinn-tillstånden är möjlig? Med elektronernas inre magnetiska momentet (spinn) µ s ± e h 2m och magnetiska energin u µ B får vi u ± ± e h 2m B ± [J] ± J (3) Vi får att energiskillnaden mellan de två spinn-tillstånden E u + u J J (4) En foton bör ha frekvens f E h två spinn-tillstånden, för att åstadkomma en övergång mellan de f E h [J] [Js] Hz (5) 2

3 Problem Beräkna den genomsnittliga bindningsenergin per nukleon för a) 20Ca och b) 79 Au. Den totala bindningsenergin för en kärna A Z X är E b (Z m H + N m n m X )c 2 (6) där Z är antalet protoner (men multiplicerat med massan hos en Väte-atom m H u, för att inkludera elektronmassan), N A Z är antalet neutroner (multiplicerat med neutronens massa m n u) och m X är massan för den sammansatta kärnan. Den genomsnittliga bindningsenergin per nukleon, E b /A, blir för 20Ca (som har Z 20 och N A Z 20) samt med m Ca u (från Physics Handbook) E b A (20 m H + 20 m n m Ca )c 2 (0.366 [u]) c2 {1 u Mev/c 2 } ( )c2 MeV 8.53 MeV (7) På samma sätt får vi den genomsnittliga bindningsenergin per nukleon, E b /A, för 79 Au (som har Z 79 och N A Z 118) samt m Au u (från Physics Handbook) E b A (79 m H m n m Au )c 2 ( [u]) c2 {1 u Mev/c 2 } 1561 ( )c2 MeV 7.92 MeV (8) Svar: Den genomsnittliga bindningsenergin per nukleon är a) 8.53 MeV för 20Ca och b) 7.92 MeV för 79 Au. (Kalcium-kärnan är alltså mer stabil...) 3

4 Problem a) Hur mycket energi krävs för att ta bort en proton från 6 C? b) Jämför resultatet med bindningsenergin per nukleon. Att ta bort en proton från 6 C (kol), kvar blir 11 5 B (bor) kräver energin E, 6 C 11 5 B + 1 1p (9) Med massorna (från Physics handbook) m C u, m B u och m p u får vi E mc 2 (m B 11 + m p m C )c 2 ( u u u)c u c MeV Svar a) (10) Den genomsnittliga bindningsenergin per nukleon, E b /A, för 6 C E b A (6 m H + 6 m n m C )c 2 ( u) c2 Problem ( )u c2 MeV 7.68 MeV Svar b) (11) Radon Rn har halveringstid T 1/ dagar. Om man mäter aktiviteten R Bq (sönderfall per sekund), hur många radon-kärnor är kvar efter en dag? Vi söker antalet kärnor N(t) efter t 1 dag. Vi kan beräkna antalet kärnor då mätningen startade, N 0, från sambandet R 0 λn 0 N 0 R 0 λ R 0T 1/2 ln 2 () Antalet kärnor N(t), vid tiden t 1 dag, blir då N(t) N 0 e λt R ln 2 0T 1/2 ln 2 e T t 1/2 320 ( ) e 1 ln ln 2 (13) 4

5 Problem En uråldrig benknota skall dateras med hjälp av Kol-14-metoden. Vi vet att benet innehåller 80 gram kol, och mäter sönderfallshastigheten med ett instrument som ger R(t) 45 counts/min. Hur gammalt är benet, under antagandet att det ursprungliga mängdförhållandet mellan isotoperna var 14 C C ? Sönderfallshastigheten ( aktiviteten ) uppmäts till R(t) 45 min s 1, och beskrivs av R(t) R 0 e λt t 1 ( ) λ ln R0 (14) R(t) Sönderfallshastigheten R 0 vid tiden t 0 ges av R 0 λn 0 med sönderfallskonstanten, Antalet C-kärnor (i 80 gram) är N C λ ln 2 T 1/ T 1/2 (15) m C [g] M C [g/mol] N A [mol 1 ] (16) Antalet 14 C-kärnor bör (enligt antagandet) från början ha varit ( ) 80 [g] N [g/mol] [mol 1 ] (17) Vi får slå upp halveringstiden för 14 C (T 1/ år) för att beräkna sönderfallshastigheten vid tiden t 0, R 0 λn 0 ln N 0 T 1/ [s 1 ] 20.0 [s 1 ] (18) Nu återstår att beräkna åldern på benet, vilket är tiden t t 1 ( ) ( λ ln R [år] 20.0 [s 1 ) ] ln R(t) [s år (19) ] 5

6 Problem 43. Isotopen Po kan sönderfalla genom α eller β -strålning. Hur mycket energi frigörs i de båda fallen? Alfa-partiklar är helium kärnor 4 2He. Vi söker alltså energin som frigörs i sönderfallet P o P b + 4 2He (20) Beta-sönderfall är när en neutron sönderfaller till en proton inuti kärnan under utstrålning av en elektron och en anti-elektronneutrino (n 0 p + + e + ν 0 e) P o At + 0 1e + ( 0 0ν e ) (21) Massorna m P o u, m P b u, m At u, m He u, m e u och m ν 0 används (det antas att neutrinon är masslös. Kolla gärna in KATRIN-experimentet som försöker mäta neutrinomassan!). Mass-skillnaden för de båda fallen blir α : m m P o 218 (m P b m He 4 ) u (22) β : m m P o m e (m At 218 +m e ) u (23) }{{}}{{} 85e 85e Med E mc 2 och 1u Mev/c 2 får vi α : E [u] [MeV/u] 6.11 MeV (24) β : E [u] [MeV/u] 0.27 MeV (25) Figur 1: Feynman-diagram för Beta-sönderfall 6