Materiens Struktur. Lösningar

Transkript

1 Materiens Struktur Räkneövning 5 Lösningar 1. Massorna för de nedan uppräknade A = isobarerna är 27 Co 28 Ni 29 Cu 30 Zn 31 Ga 63,935812u 63,927968u 63,929766u 63,929146u 63,936827u Tabell 1: Tabellen räknar upp massorna för A = isobarerna Identifiera varje möjlig β-process i systemet och beräkna processens Q-värde. m e = 9, kg 27Co = 63, u 28N i = 63, u 29Cu = 63, u 30Zn = 63, u 31Ga = 63, u Lösning: β-processen kan fortgå på två sätt: β : Z (Z + 1) + e + ν e β + : Z (Z 1) + e + + ν e. För att klara uppgiften måste vi alltså ta reda på vilka av kärnorna 27Co, 28Ni, 29 Cu, 30Zn och 31Ga är stabila. Det kan vi beräkna genom att ta reda på Q-värdet för varje process. Q-värdet för β är (m 1 m 2 )c 2 och β + är (m 1 m 2 2m e )c 2. I ett sönderfall måste Q-värdet vara positivt för att processen skall kunna fortgå, dessa finns listade nedan följt av en tabell med de spontant möjliga sönderfallen. Q 1 = (m Cu m Ni 2m e )c 2 0, 65 MeV Q 2 = (m Ga m Zn 2m e )c 2 6, 1 MeV Q 3 = (m Co m Ni )c 2 7, 3 MeV Q 4 = (m Cu m Zn )c 2 0, 58 MeV

2 27 Co 28 Ni 29 Cu 30 Zn 31 Ga β β + β β + Q 3 Q 4 Q 1 Q 2 Tabell 2: Tabellen visar de möjliga β-sönderfallen bland A = isobarerna. 2. Fission av 239 Pu med termiska neutroner ger bl.a. 104 Mo Te + 3n och 94 Sr Ba + 3n. (1) Beräkna den energi som frigörs i de båda reaktionerna då massorna för Sr-, Mo-, Te- och Ba-nukliderna är 93,91523u, 103,91358u, 132,91097u och 142,92055u. m P u = 239, u m Mo = 103, 91358u m T e = 132, 91097u m Sr = 93, 91523u m Ba = 142, 92055u u = 1, kg. Lösning: Vi har två fall n Pu 104 Mo Te + 3n ger E = ( 239 Pu 104 Mo 133 Te 2m n )c 2 195, 9 Mev (2) och n Pu 94 Sr Ba + 3n ger E = ( 239 Pu 94 Sr 143 Ba 2m n )c 2 185, 4 MeV. (3) 3. Då en stråle av α-partiklar träffar en 9 Be-target ses en resonans vid energin 1,732 MeV. Beräkna energin för motsvarande excitationstillstånd i compoundkärnan. Samma resonanstillstånd fås då neutroner kolliderar med en 12 C-kärna. Vilken energi skall neutronerna ha? m α = 4, u = 9, u m13 C = 13, u K α = 1, 732 MeV m12 C = 12u

3 Lösning: Rörelsemängden i labbets koordinatsystem är p α 0 och p Be = 0, medan de i masscentrum koordinatsystemet är p α + p Be = 0. vi måste få en relation mellan dessa två system för att klara uppgiften. Detta kan man göra genom att konstatera att masscentrum koordinatsystemet rör sig med en hastighet v mclabb i förhållande till labb-systemet. Matematiskt har vi alltså v αlabb = v αmc + v mclabb v Belabb = v Bemc + v mclabb = 0. Om vi kombinerar dem kan vi räkna ut att v αlabb = v αmc v Bemc (4) och eftersom p = mv får vi p α = p α p Be = p α + p α, (5) m α m α m α där vi använt p α + p Be = 0, vilket ger oss p α = p (m α + ) α. (6) Den totala kinetiska energin i masscentrum systemet är K = p 2 α 2m α + p 2 Be 2 = I labbet är den kinetiska energin p 2 α 2m α (m α + ). (7) K α = p2 α 2m α = p 2 α (m α + ) 2 = K ( m α + ), (8) 2m α där vi använt (6) och ekvationen för K. Den totala energin i masscentrum systemet är före = efter (m α + )c 2 + K = m13 Cc 2 + E, där E är energinivån kärnan exciterats till. Vi får E = K ((m13 C m α )c 2 = ( +m α m13 C)c 2 +K α 11, 85 MeV. m α +

4 (9) I nästa fall vet vi E och vill veta K n i en likadan process K n = [ (m13 C m n m12 C)c 2 + E ] m n + m12 C m12 C 7, 48 MeV. (10) 4. Beräkna den frigjorda energin i varje steg av deuteron-fusionsprocessen 3d α + n + p. m d = 2, u m3 H = 3, u m4 He = 4, u m3 He = 3, u m H = 1, u Lösning: I deuterons fusions processen är 4 processer möjliga där d + 3 H 4 He + n + E 1 d + d 3 He + n + E 2 d + d 3 H + H + E 3 d + 3 He 4 He + H + E 4, E 1 = (m d + m3 H m4 He m n )c 2 17, 6 MeV E 2 = (2m d m3 He m n )c 2 3, 3 MeV E 3 = (2m d m3 H m H )c 2 4, 0 MeV E 4 = (m d + m3 He m4 He m H )c 2 18, 3 MeV. Om vi adderar ihop dessa reaktioner får vi där E = E 2 6d + 3 H + 3 He 2 4 He + 2n + 2H + 3 He + 3 H + E 3d α + n + H + E 2, = 21, 6 MeV, som sig bör.

5 5. En hypotetisk vätebomb med explosionsstyrkan 50 megaton TNT (trotyl) utnyttjar reaktionen 2 1H H 3 2 He + n. Den konventionella atombomben som fungerar som tändladdning har sprängstyrkan 2 megaton (ingår i de 50 som anges ovan). Ett ton TNT producerar 2, MeV energi. a.) Beräkna den energimängd som varje fusionsreaktion ger. b.) Hur mycket väte innehåller bomben? m d = 2, u m3 He = 3, u Lösning: a.) Reaktionen 2 1 H +2 1 H 3 2 He + n + Q ger energin (2m d m n m3 He)c 2 3, 27 MeV. (11) b.) Sprängstyrkan i fusionsreaktionerna är 50-2 = 48 megaton TNT. D.v.s. fusionsreaktionerna producerar en energi på , MeV = 1, MeV. (12) Detta motsvarar antalet N = 1, MeV 3, 27 MeV = 3, st, (13) deuterium reaktioner. Eftersom det totala antalet deuteriumkärnor per reaktion är 2, deltar allt som allt 2N = 7, st deuteriumkärnor i processen. Detta motsvarar M d = 7, , u 2, 6t deuterium. (14) 6. a.) Vilken är den genomsnittliga temperaturen som ett deuteriumplasma bör ha för att fusion skall kunna ske? Ledn. Den behövliga energin beräknas som storleken på Coulombvallen på avståndet för kärnkraftens räckvidd m. b.) Beräkna den energi som frigörs då två deuteriumkärnor fusioneras till en α-partikel.

6 r = m ɛ 0 = 8, F/m e = 1, C k = 1, J/K m d = 2, u m α = 4, u Lösning: a.) Coulombbarriären på avståndet r = m för två deuteroner är V C = 1 e 2 4πɛ 0 r 1, 4 MeV. (15) En partikel som är fri att röra sig åt alla håll i 3 dimensioner har 3 frihetsgrader och den kinetiska energin 1 2kT per frihetsgrad. Detta ger oss 3 2 kt = V C T = 2V C 3k 1, K. b.) Reaktionen ger energin d + d α + Q, (2m d m α )c 2 = Q 24, 9 MeV.