Extrauppgifter som kompletterar uppgifterna i Foot:

Transkript

1 Extrauppgifter som kompletterar uppgifterna i Foot: K1.1 a) Beräkna vågtal och våglängd för Balmer-α (H α ), Balmer-β (H β ) och Paschen-α i väte. b) Jämför skillnaden mellan vågtalen för H α och H β med vågtalet för Paschen-α. Gör sedan samma jämförelse för våglängderna. K1.2 Vilken är den kortaste respektive längsta våglängd som teoretiskt kan emitteras från en väteatom? Vilka är motsvarande värden för strålningens frekvens? K1.3 Visa att en liten ökning i energiskillnad mellan två nivåer i en atom ger, relativt sett, lika stor minskning i våglängd för den strålning som emitteras vid en övergång mellan nivåerna. K1.4 Antag, som en första approximation, att σ K och σ L i ekvation 1.21 (i Foot) båda är lika med 1.0. Visa att man då kan skriva energin för K α -strålningen som E Kα = 13,6( ev ) ( Z 1) Beräkna med denna approximation fotonenergi och strålningsvåglängd för K α -strålning från järn. (Det experimentella värdet för Fe E Kα =6.4 kev.) K1.5 Räkna uppgift F1.13 (i Foot) med följande tillägg: Beräkna, enligt Bohr, elektronens rotationsfrekvens i banan med n=51, och jämför med svaren i uppgift a och b. K2.1 Hur stor är sannolikheten, per m 3, att vid origo hitta en 1s- respektive 2s, respektive 2pelektron i vätelikt Li? K2.2 Vilka av följande övergångar i He + är (E1) tillåtna: 1s-2s, 1s-2p, 2s-3d, 3d-5f, 3s-18p? K2.3 Visa att om man vill beräkna finstrukturuppsplittringen för en vätelik jon med kärnladdningen Z, så ska ekvation 2.56 i Foot multipliceras med Z 4. K3.1 Beräkna med 1:a ordningens störningsräkning (dvs precis som i kap 3.1) jonisationsenergin för C 4+. Med andra ord, beräkna hur mycket energi som krävs för att frigöra en elektron från en 4 gånger joniserad kolatom i sitt grundtillstånd. (Ledning: Notera att uträkningen av integralen 3.7 på sidan 46 i Foot ges i 3.24 på sid 54.) K4.1 Beräkna, med hjälp av de kvantdefekter som är givna i kap 4.2, våglängden för övergången 4s- 6p i neutralt Na. Försumma finstrukturuppsplittringen. (Det experimentellt uppmätta värdet är 865 nm.) K4.2 Beräkna värden (uttryckta i ev och i cm -1 ) för finstrukturuppsplittringen E FS i 3p konfigurationen i neutralt väte, i enkelt joniserat He och i neutralt Na. Fundera över skillnaden i överensstämmelse med experimentella värden i de olika fallen. De experimentellt värdena för E FS är i H 13,4 µev, He µev och i Na 2,13 mev

2 K4.3 Räkna uppgift F4.3 (i Foot), men byt Foots energivärden till följande mer exakta experimentella värden , 1,9476, 1,0227 och 0,6294 ev. K5.1 Vilka LS-termer förekommer i följande konfigurationer (i konfigurationsangivelsen utelämnas fulla underskal): 2p, 2s2p, 3s 2, 3s5d, 3s4s, 3p5d, 4d5f? K5.2 Studera 3 P-termen i konfigurationen 3s3p i neutralt Mg: Vilka olika finstrukturnivåer delas denna term upp i? Hur många magnetiska sub-nivåer delas dessa olika finstrukturnivåer upp i när atomen placeras i ett externt magnetfält? Är energiuppsplittringen hos 3 P 1 -nivån större eller mindre än i 1 P 1 -nivån för samma konfiguration? (Ledning: beräkna g J -faktorerna) K6.1 Ungefär hur starkt är B-fältet vid kärnan i en väte- respektive heliumatom om atomen befinner sig i sitt grundtillstånd, dvs 1s 2 S 1/2 respektive 1s 2 1 S 0? K6.2 a) Vilka F-kvanttal finns för 85 Rb när atomen befinner sig i sitt grundtillstånd? ( 85 Rb har I=5/2) b) A-faktorn för grundtillståndet i 85 Rb är ca 1 GHz. Hur stor är då energiuppsplittringen av grundtillståndets energi? c) Hur stor kan motsvarande energiuppsplittring förväntas vara i det exciterade tillståndet 7s 2 S 1/2 hos 85 Rb? K6.3 Kalium förekommer naturligt med tre isotoper, A=39, 40 och 41. När man studerar övergången 4p 2 P 1/2-5d 2 D 3/2 finnar man att våglängden är något olika i de olika isotoperna. Domineras detta isotopskift av mass- eller volymseffekt, eller kan båda effekterna förväntas vara lika viktiga? 2

3 Svar till utvalda extrauppgifter: K1.1 λ(h α )=656,5 nm, λ(h β )=486,3 nm, λ(paschen-α)=1,875 µm Skillnaden i vågtal mellan H α och H β är 5334 cm -1, som Paschen-α, men skillnaden i våglängd 170,1 nm λ(paschen-α!! n=4 n=3 n=2 H α H β Paschen-α K1.2 f max =3, Hz, f min 0 K1.3 Differentiera! λ/λ= - E/E K2.1 Ekvation (2.22) ger för 1s: 5, m -3, för 2s: 7, m -3, för 2p: 0. K2.2 1s-2p, 3d-5f, 3s-18p K3.1 E bind =387 ev (att jämföra med det experimentella värdet som är 392,1 ev) (1: ordningens räkning ger E(1s 2 )=-877 ev för C 4+ ) K4.1 λ=872 nm K4.2 Använd ekv I a och b får man väldigt god överensstämmelse mellan teori och experiment, vilket är vanligt för vätelika system. I uppgift c blir avvikelsen något större: E FS = 4,5 mev = 36 cm -1 K5.1 2 P 1 P, 3 P 1 S 1 D, 3 D 1 S, 3 S 1 P, 1 D, 1 F, 3 P, 3 D, 3 F 1 P, 1 D, 1 F, 1 G, 1 H 3 P, 3 D, 3 F, 3 G, 3 H K5.2 J=0, J=1 och J=2 3 P 0 en (M J =0) 3 P 1 tre (M J = -1, 0, +1) 3 P 2 fem Energiuppslittringen i 3 P 1 är 50 % större än i 1 P 1 K6.1 Ledning: utnyttja Foot ekv 6.6 och Svar i väte: B e 17 T, i He: B e =0. K6.2 F=3 och 2, E=3A 3 GHz. Ledning för uppgift c utnyttja Foot ekv Svar E 0,3 GHz. K6.3 Masseffekt. (Vad krävs av valenselektronens vågfunktion för att volymseffekten ska bli betydelsefull?) 3

4 Svar till utvalda uppgifter i Foot: F1.1 Våglängdsskillnaden ca 1.8 Å F1.9 T=10400 K, strålningstätheten 1.4x10-15 Js/m 3 F1.13 b) 5,1 x Hz, c) radien för n=51 i väte är ca 140 nm F2.4 P(r<rb)=4/3 (rb/a0) 3, laddningstätheten i origo =e/(π a 0 3 ) F2.6 b) För en övergång med våglängden 1000 nm (infrarött) ger en "klassisk" räkning τ=46 ns. F4.1 1s2 2s2 2p6 3s2 3p6 3d10 4s2 4p6 4d10 4f14 5s2 5p6 5d10 6s2 6p6 7s F4.2 Experimentella data att jämföra med: E(jonisation) = cm-1 = ev Ledning: Starta med värden för kvantdefekten för p-elektroner i Na givna i kap 4.2, och prova olika n för att bestämma vilka nivåer som de experimentellt bestämda linjerna går till. Utnyttja t.ex. MatLab för att beräkna energinivåer och vågtal. Jämför med experimentella värden (ev. diagram?) och bestäm optimala värden på kvantdefekterna...). F4.3 Det experimentella värdet för bindningsenergin för Na 8s är ev. F4.4 Våglängden är ca 770 nm. F4.5 a) n=2 till 3 i He har λ ca 625,3 nm b) t.ex. 1s4p har bindningsenergin 6958 cm -1 F4.6 Experimentella värdena är : λ 321,8 nm, och energiuppslittringen 4.48 cm -1 F4.8 b) Linjerna har relativa styrkorna 20:1:14 (Vilken linje svarar mot vilken intensitet?) F5.4 Jämför med fig 5.9. Du kan kontrollera dina svar medföljande information: Våglängderna för de linjer som observeras mellan dessa nivåer är: 213,93 nm, 468,14 nm, 472,34 nm, 481,19 nm och nm. F5.5 Jämför med Exempel 5.1 på sid ,726 nm vid 3 P 1 till 1 S 0 övergång i Fe 14+ kräver S =1, förbjuden vid LS-koppling (som i neutralt Mg). F5.6 b) Se figur 5.3. Kvoten mellan finstrukturuppsplittringarna är 1,72, och inte 2.0 som vid ren LSkoppling. S=0 vid ren LS-koppling. c) d 1 2 D, d 2 3 F, d 3 4 F, d 4 5 D, d 5 6 S, d 6 5 D, d 7 4 F, d 8 3 F, d 9 2 D (notera att 1 och 9 d-elektroner ger samma term, liksom 2 och 8, 3 och 7, 4 och 6). F5.7 Jämför med figur spinn-ban växelverkan ges av 3p-elektronen, som är ungefär lika i de två konfigurationern, men det elektrostatiska bidraget beror på överlappet mellan 3p och s orbitalerna som är olika i de två konfigurationena. F5.10 E= 29 µev = 0,233 cm -1 = 6,99 GHz vid B=1,0 T. 4

5 F5.11 Delsvar: 6 linjer: avståndet i frekvens mellan de två pi-linjerna är u B B/h, och mellan de två yttersta sigmalinjerna 4 u B B/h. F5.13 a) g J = 2, 2/3, 4/3 i det tre fallen b) f=9.33 GHz c) 4 linjer. Avståndet, i frekvens, mellan de två pi-linjerna är (4/3) u B B/h och mellan de två sigma-linjerna (8/3) u B B/h. B ca 50 T F6.1 Se ekv (6.6) för s-elektroner och ekv (2.47) och (2.50) för p-elektroner. Med maximal projektion av s-vektorn i given riktning lika med 1/2, fås maximal projektion av B-fältet i denna riktningen 17 T för 1s-elektronen och 2 T för 2s-elektronen. Om vi i vektormodellen tänker oss en "fiktiv längd" på s-vektorn sqrt(s(s+1)), så blir B-vektorn, i samma modell, roten ur 3 längre än ovan, dvs 29 T och 3,6 T. En 2p-elektron känner ett B-fält med maximal projektion i given riktning 0.5 T ("längden" B=0,7 T). F6.2 Notera att från Landés intervallregel framgår att strukturen i J=3/2 tillståndet är inverterad (energin ökar med minskande F-kvanttal), men enligt texten i uppgiften är den inte inverterad i de två J=1/2 -tillstånden, dvs här har högst F-kvanttal högst energi. Notera vidare att det magnetfält som elektronerna ger upphov till vid kärnan INTE beror på vilken isotop det är (beror endast på den elektroniska vågfunktionen). Man kan alltså få kunskap om kvoten mellan de magnetiska momenten hos 6 Li och 7 Li genom att jämföra hyperfinstrukturkonstanterna för uppsplittringen i grundtillståndet hos de båda isotoperna. Svar: Litium 6 har kärnspinnet I=1, och Li 7, har I=3/2. X=92 MHz. F6.4 Kvoten i a) blir 4.34 och i b) (-) F6.5 b) I=5/2 c) A=8.9 MHz (egentligen A/h) (Ledning: kvoten mellan A-faktorerna hos de båda isotoperna ges av kvoten mellan g I -faktorerna.) F6.7 Ledning: studera diskussionen om relativa intensiteter i finstrukturfallet, i avsnitt 4.6.1, och tänk efter hur resonemanget blir i hyperfinstrukturfallet. Svar: Kärnspinnet =3/2 för båda isotoperna, och kvoten mellan deras magnetiska moment 1,8. F6.8 a) I=3/2, c) Ledning: jämför absolutbeloppet av g J -faktorn i de två fallen. e) Ledning: läs ingressen till kap B ca 0,25 T F6.9 För övergången 5s-5p blir vågtalet för 85 Rb ca cm-1 större än för 87 Rb, om hänsyn tas till både normalt mass-skift och volymskift. För 5p-7s blir vågtalet för 85 Rb 0,0027 cm mindre än för 87 Rb. (Ledning, använd ekv (6.26), med effektiva kvanttal enligt kap 4.2) F6.11 A ca 100 F6.13 r 1 =23,3 fm, Energin för övergången n=2 till n=1 är 256 kev (ger en våglängd om ca 4,8 pm, dvs i röntgenområdet), de volym /E övergång = ca 3,8% (Ledning: anv. ekv (6.24)) 5

6 F8.1 a) 2,8 pm, b) 0,47 pm F8.2 Dopplerbredden 2,1 GHz. För att upplösa Zeemankomponenterna, måste alltså uppsplittringen mellan dessa vara ungefär minst så stor, dvs 2,1 GHz. Då är Zeemanuppsplittringen endast ca 1/5 av finstrukturuppsplittringen, som här är 10 GHz, så det går alltså att studera "svagt fält" utan att tillgripa Dopplerfria metoder. F8.3 Mäter i figuren och får Dopplerbredden (FWHM) i atomstrålen ca 24,5 MHz. Dopplerbredden i Sr-ånga vid T=900 K är ca 2,9 GHz, så den kollimerade atomstrålens divergensvinkel vinkeln är således endast ca 0,01 rad. F8.5 a) Då vi ökar n från 1 till 2, så minskar hyperfinstrukturuppsplittringen med en faktor 2 3 =8, vilket stämmer bra med figurtexten. I uppg. B) ska man bara bekräfta att resultatet stämmer, vilket det gör. 6