m 1 =40kg k 1 = 200 kn/m l 0,1 =0.64 m u 0 =5.0 mm x p,1 = X 1 sin ωt + C 1 x p,2 = X 2 sin ωt + C 2,

Transkript

1 Linköpings tekniska högskola IEI/Mekanik och hållfasthetslära Peter Christensen Datorsimuleringsuppgift i Mekanik Y del 1 (TMME12) Syftet med denna uppgift är att simulera hur ett mekaniskt system rör sig i tiden. Rörelseekvationerna för systemet ska först härledas och därefter lösas numeriskt med hjälp av MATLAB. I [1] beskrivs användandet av MATLAB. Sidorna 1 9 i denna ska läsas igenom noggrant förelabbtillfället. Uppgiften löses i grupper om maximalt två personer och redovisas i form av en skriftlig rapport, se nedan. Rapporten ska inlämnas till lektionsledaren senast fredag 16 december. Referens [1] Peter Christensen, Mekanik med MATLAB en minimanual. 1 Kvartsbilmodell Figur 1: En fjärdedels bil på en ojämn väg. För att analysera bilars rörelse över gupp räcker det ibland att bara studera ett av hjulen samt det av chassit som hör till just det hjulet. Den del av bilen som befinner sig ovanför hjulupphängningen kallas den fjädrade massan medan den del som är under hjulupphängningen är den ofjädrade massan. Chassit är alltså fjädrad massa, medan hjulen, naven och bromsoken är ofjädrad massa. Komponenterna i hjulupphängningen (fjädrar, dämpare och länkarmar) räknas till 50 % som fjädrad massa och till 50 % som ofjädrad massa. I figur 1 är m 1 den ofjädrade massan, m 2 den fjädrade massan, k 1 fjäderkonstanten för ett däck, k 2 fjäderkonstanten för en chassifjäder och c 2 dämpningskonstanten för en dämpare. Vägens form ges av den tidsberoende storheten u = u 0 sin ωt = u 0 sin 2πft, där u 0 är en given amplitud och f en given frekvens. Läget på m 1 och m 2 ges av x 1 respektive x 2. 1

2 Numeriska data: Uppgift 1 m 1 =40kg k 1 = 200 kn/m l 0,1 =0.64 m u 0 =5.0 mm m 2 = 300 kg k 2 =20kN/m. l 0,2 =0.35 m. Härled rörelseekvationerna, d.v.s. de styrande differentialekvationerna, för kropparna ur Newtons andra lag. Härled även ett uttryck för normalkraften N som verkar på vägen. Uppgift 2 Låt c 2 = 0 och bestäm amplituderna för kropparna i fortvarighet, d.v.s. steady-state. Ledning: ansätt partikulärlösningarna på formen där X 1, C 1, X 2 och C 2 är konstanter. x p,1 = X 1 sin ωt + C 1 x p,2 = X 2 sin ωt + C 2, En masspunkt som är upphängd i en fjäder har en resonansvinkelfrekvens eftersom systemet bara har en frihetsgrad. Systemet i vår kvartsbilmodell har två frihetsgrader eftersom vi måste känna både x 1 och x 2 för att kunna beskriva systemets rörelse. Detta gör att systemet har två resonansvinkelfrekvenser. Bestäm dessa inklusive motsvarande frekvenser. Uppgift 3 Figur 2: Approximerade modeller. Låt återigen c 2 =0samt u =0. Det stora tunga chassit påverkas inte så mycket av rörelsen för det lätta hjulet. Man kan därför göra approximationen till vänster i figur 2. Bestäm m 1 :s egenvinkelfrekvens w appr n,1 och motsvarande egenfrekvens f appr n,1. När det stora tunga chassit rör sig upp och nerkan man med hygglig noggrannhet approximera det mycket lättare hjulet som en masslös, stel kropp, se den högra figuren. Bestäm m 2 :s egenvinkelfrekvens w appr n,2 och motsvarande egenfrekvens f appr n,2. Jämför de uträknade frekvenserna här med de verkliga resonansfrekvenserna enligt uppgift 2 (förhoppningsvis ser du att de verkligen är någorlunda bra approximationer av de verkliga 2

3 resonansfrekvenserna). Obs.: approximationerna i denna uppgift ska inte göras i några andra uppgifter! De görs här bara för att demonstrera att man med hygglig noggrannhet kan dela upp kvartsbilmodellen, som ju har två frihetsgrader, i två modeller med en frihetsgrad vardera: ena för att bestämma x 1, andra för att bestämma x 2. 2 Val av resonansfrekvenser För personbilar väljs resonansfrekvensen f appr n,2 för den fjädrade massan enligt framaxel: Hz bakaxel: Hz. Figur 3: En bil som kör över ett gupp. Frekvensen vid bakaxeln är alltid ca % högre än vid framaxeln. Anledningen till det är att man i regel träffar ett gupp med framhjulet först varvid chassit börjar rotera (pitcha), jämför figur 3. Genom att använda en högre frekvens på bakaxeln kommer bakänden av chassit att röra sig snabbare så att den hinner ifatt framänden så att chassit inte pitchar lika mycket. Eftersom vi är extra känsliga för pitchrörelse innebär detta att komforten höjs. Varför väljs då f appr n,2 just kring 1 Hz och inte någon annan frekvens? För att svara på det studerar vi komfortdiagrammet i figur 4. Komforten beror både på amplituden och frekvensen av svängningarna. Obehaget ökar naturligtvis med ökande amplitud av svängningarna. För frekvenser över 1 Hz, ökar obehaget upp till 4 Hz. Därefter är obehaget konstant upp till 8 Hz, men för högre frekvenser minskar obehaget! Anledningen till att obehaget är som störst mellan 4 och 8 Hz är att vissa kroppsdelar har en resonansfrekvens inom detta intervall, se figur 5. Skuldrorna har en resonansfrekvens mellan 4 och 5 Hz, så om excitationen från vägen har en frekvens i detta intervall känner man sig stel i nacken. Magen har en resonansfrekvens mellan 4 och 8 Hz varför man känner sig kräkfärdig om excitationen från vägen har en frekvens i detta intervall. Eftersom obehaget ökar upp till 4 Hz kan man tycka att det vore en bra idé att välja den fjädrade massans (chassits) resonansfrekvens så låg som möjligt. Men det visar sig att svängningar under 0.8 Hz tenderar att göra oss åksjuka. Av denna anledning väljs f appr n,2 något över 1 Hz. För den ofjädrade massan väljs f appr n,2 till mellan 10 och 14 Hz. Maxgränsen 14 Hz väljs eftersom vi inte kan höra ljud med en frekvens under 16 Hz. 3

4 Figur 4: Komfortdiagram. Figur 5: Resonansfrekvenser för den mänskliga kroppen. 4

5 3 Dämparkraften Figur 6: Dämparkraften F d som funktion av dämparhastigheten v d för olika dämpare till en Opel Kadett. Som vi såg på föreläsning 2 är bildämpare inte är linjära, jämför figur 6, där dämparkraften F d har plottas som funktion av dämparhastigheten v d, d.v.s. hastighetsskillnaden mellan dämparens ändpunkter: v d = ẋ 2 ẋ 1. Om v d 0 rör sig ändpunkterna ifrån varandra varvid dämparen sägs vara i rebound. Om v d < 0 är dämparen i bump. För att undvika att chassit får en stor uppåtriktad acceleration när man träffar ett gupp, är dämparkraften i bump av komfortskäl i allmänhet lägre än i rebound. Vi skulle naturligtvis kunna göra en splineapproximation av någon av kurvorna i figur 6, men vi nöjer oss här med att använda en styckvis linjär approximation. För N-dämparen i figuren approximerar vi dämpningskonstanten i rebound som c + 2 = 500/0.26 = 1900 Ns/m. I bump väljer vi approximationen c 2 = 180/0.26 = 690 Ns/m: c 2 = { c + 2 = 1900 Ns/m om v d =ẋ 2 ẋ 1 0 c 2 = 690 Ns/m annars. 5

6 Uppgift 4 Du ska nu lösa differentialekvationerna från uppgift 1 numeriskt. Låt systemet starta från vila då fjädrarna är ospända. Du ska lösa rörelseekvationerna upp till en viss tidpunkt t max för 100 frekvenser f mellan 0 och 25 Hz för excitationen u från vägen. För en viss frekvens f kommer x 1 likna kurvan i figur 7. Figur 7: x 1 på väg mot fortvarighet. Kurvan närmar sig en fortvarighetslösning som är oberoende av begynnelsevillkoren. För varje frekvens ska bl.a. amplituden för x 1 i fortvarighet beräknas. Amplituden fås bekant som hälften av maxvärdet minus minvärdet. Du måste se till att välja t max tillräckligt stor så att x 1 hunnit svänga in sig mot fortvarighetslösningen redan efter, säg, 90 % av t max. Amplituden i fortvarighet kan därmed fås genom att bestämma min- och maxvärdena för x 1 iintervallet 0.9t max t t max,sekoden nedan: t_max=5.0; f=linspace(0,25,100); % Höj till 100 i uppgift 4 e). % Frekvenser. x1_ampl=zeros(length(f),1); % Allokera en nollvektor med 100 element. for jj=1:length(f) [t_vec,y]=ode45(@lab_2016_ekv,[0 t_max],zeros(1,4),options,... m1,m2,g,k1,k2,c2_plus,c2_minus,u0,f(jj)); % I funktionsfilen lab_2016_ekv.m definieras % de styrande differentialekvationerna. 6

7 n=length(t_vek); n_90=round(0.9*n); % Antal element i t_vek. % Elementet som motsvarar tiden 0.9*t_max. x1=y(:,1); x1_ampl(jj)=(max(x1(n_90:n))-min(x1(n_90:n)))/2; end a) Sätt t max =5.0 s. Plotta x 1 och x 2 som funktion av tiden för en frekvens, säg 10 Hz, för att säkerställa att fortvarighet verkligen infinner sig före t =0.9 t max (plott 1 2). b) Plotta amplituderna i fortvarighet för följande storheter som funktion av frekvensen: x 1, x 2, ẋ 1, ẋ 2 (plott 3 6). c) Plotta amplituderna i fortvarighet för ẍ 2 och normalkraften N som funktion av frekvensen. Jämför lösningen som fås med de ovan angivna värdena på m 1, m 2, k 1, k 2, c + 2 och c 2,och lösningen som fås då en storhet i taget ändras från originalstorheterna enligt: m 1,ny =1.5 m 1 (plott 7 8) m 2,ny =1.5 m 2 (plott 9 10) k 2,ny =1.5 k 2 (plott 11 12) c + 2,ny =1.5 c + 2, c 2,ny =1.5 c 2 (plott 13 14). I varje plott ska både lösningen med originalvärdena och de nya värdena visas. d) Komforten är dålig om amplituden av den fjädrade massans acceleration ẍ 2 är hög. Här måste man tänka på att vi är som känsligast för frekvenser mellan 4 och 8 Hz, så fokusera på det intervallet. En stor amplitud av normalkraften N på vägen gör att väggreppet varierar kraftigt så att det blir svårt för föraren att prediktera greppet. Därmed blir säkerheten dålig. Avgör baserat på plottarna i c) huruvida en ökning av m 1, m 2, k 2 respektive c 2 ökar komforten respektive säkerheten. Kan du se någon konflikt mellan komfort och säkerhet huruvida en viss storhet bör höjas eller inte? e) P.g.a. dämpningen kan man från plottarna i b) inte se var resonansfrekvenserna ligger. Minska därför dämpningen rejält till c 2 = c + 2 =50Ns/m, men ha kvar originalvärdena på alla andra storheter. (Vi kan inte sätta dämpningen till noll eftersom vår metod att ta fram partikulärlösningen bygger på att den homogena lösningen dött ut efter en viss tid. Om dämpningen är noll gör den ju inte det.) Den lilla dämpningen gör att 7

8 lösningen konvergerar långsamt mot fortvarighetslösningen, så öka t max till t max = 100 s. Plotta amplituden av x 1 och x 2 i fortvarighet som funktion av frekvensen (plott 15 16). Jämför med resonansfrekvenserna i uppgift 2. 4 Redovisning Den skriftliga rapporten, gärna handskriven, ska innehålla: 1. Personnummer och e-postadress. 2. Fullständiga härledningar till uppgifterna 1, 2 och 3 (detta inkluderar friläggningsfigurer). Alla storheter som du fört in själv ska vara noggrant definierade. Alla steg i härledningarna ska kunna följas. Dimensionskontroll av svarsuttrycken ska redovisas. 3. MATLAB-filerna till uppgift Resultatplottar till uppgift Svar/kommentarer till uppgifterna 2, 3 och 4. Rapporten lämnas direkt till lektionsledaren eller i facket utanför dennes kontor (se kursinfot). Där hämtas även rättade rapporter ut: både godkända och de som måste kompletteras. 8