x p,1 = X 1 sin ωt + C 1 x p,2 = X 2 sin ωt + C 2, m 1 =20.0 kg m 2 =1.0 kg F 0 =10N k 1 = 4000 N/m m 1 =20.0 kg k 1 = 4000 N/m l 01 =0.

Transkript

1 Linköpings tekniska högskola IEI/Mekanik och hållfasthetslära Peter Christensen Datorsimuleringsuppgift i Mekanik Y del 1 (TMME12) Syftet med denna uppgift är att simulera hur ett mekaniskt system rör sig i tiden. Rörelseekvationerna för systemet ska först härledas och därefter lösas numeriskt med hjälp av MATLAB. I[1] beskrivs användandet av MATLAB. Uppgiften löses i grupper om maximalt två personer och redovisas i form av en skriftlig rapport, se nedan. Rapporten ska inlämnas till lektionsledaren senast torsdag 17 december. Referens [1] Peter Christensen, Mekanik med MATLAB en minimanual. 1 Massdämpare Figur 1: En kropp med en massdämpare. En kropp 1 med massan m 1 är förbunden med marken via en fjäder och en dämpare. Läget på kroppen ges av koordinaten x 1 mätt från marken. På kroppen verkar en tidsberoende kraft F = F 0 sin ωt. P.g.a. resonans blir kroppens amplitud mycket stor för en viss vinkelfrekvens ω. För att minska amplituden kan man montera en massdämpare på kroppen. Denna består av en kropp 2 med massan m 2 vilken är förbunden med kropp 1 via en fjäder och en dämpare. Läget på kropp 2 anges m.h.a. koordinaten x 2 mätt från den övre kanten av kropp 1 (x 2 mäts alltså inte från en fix punkt). Uppgift 1 Härled rörelseekvationerna, d.v.s. de styrande differentialekvationerna, för kropparna ur Newtons andra lag. 1

2 Uppgift 2 Låt c 1 = c 2 =0och bestäm amplituderna för kropparna i fortvarighet, d.v.s. steady-state (se kompendiet sid. 139). Ledning: ansätt partikulärlösningarna på formen x p,1 = X 1 sin ωt + C 1 x p,2 = X 2 sin ωt + C 2, där X 1, C 1, X 2 och C 2 är konstanter. Visa att man för givna värden på ω och m 2 kan bestämma k 2 så att kropp 1 inte oscillerar alls i fortvarighet. Med andra ord: man kan dämpa, ja t.o.m. helt döda, en kropps vibrationer genom att montera en lämpligt vald fjäderförsedd tyngd på kroppen utan att behöva använda en dämpare! Plotta amplituderna för kropparna som funktion av ω för 0 ω 2ω n,1, där ω n,1 är egenvinkelfrekvensen för kropp 1 utan massdämpare monterad (se kompendiet sid. 118). Data: m 1 =20.0 kg m 2 =1.0 kg F 0 =10N k 1 = 4000 N/m k 2 = 200 N/m. Utan massdämpare har kropp 1 en resonansvinkelfrekvens, nämligen ω n,1 (se kompendiet sid. 142). Monterar man en massdämpare på kroppen får man i stället två resonansvinkelfrekvenser vilket beror på att systemet har två frihetsgrader. Bestäm dessa. Uppgift 3 Verkliga massdämpare använder en dämpare, d.v.s. c 2 0. Motivera varför den dämparlösa massdämparen som härleddes i förra uppgiften har begränsad tillämpbarhet. Man kan bestämma amplituderna i fortvarighet analytiskt även då dämpningen är nollskild, men det kräver ganska långa räkningar. Vi ska därför här nöja oss med att bestämma amplituderna i fortvarighet genom att lösa rörelseekvationerna numeriskt. Data: m 1 =20.0 kg k 1 = 4000 N/m l 01 =0.3 m c 1 =0Ns/m l 02 =0.1 m F 0 =10N. Låt systemet starta från vila då fjädrarna är ospända. Du ska lösa rörelseekvationerna upp till en viss tidpunkt t max för 200 vinkelfrekvenser ω mellan 0.2ω n,1 och 2ω n,1. För en viss vinkelfrekvens ω kommer x 1 likna kurvan i figur 2. Figur 2: x 1 på väg mot fortvarighet. 2

3 Kurvan närmar sig en fortvarighetslösning som är oberoende av begynnelsevillkoren. För varje vinkelfrekvens ska amplituden för x 1 i fortvarighet beräknas. Amplituden fås bekant som hälften av maxvärdet minus minvärdet. Du måste se till att välja t max tillräckligt stor så att x 1 hunnit svänga in sig mot fortvarighetslösningen redan efter, säg, 90% av t max. Amplituden i fortvarighet kan därmed fås genom att bestämma min- och maxvärdena för x 1 iintervallet 0.9t max t t max,sekoden nedan: w=linspace(0.2*wn1,2*wn1,200); % Vinkelfrekvenser. x1_ampl=zeros(length(w),1); % Allokera en nollvektor med 200 element. for jj=1:length(w) [t_vek,y]=ode45(@lab_2015_ekv,[0 t_max],[x1_0 x1_dot_0 x2_0 x2_dot_0],... options,m1,m2,k1,k2,l01,l02,c1,c2,f0,w(jj),g); % I funktionsfilen lab_2015_ekv.m definieras % de styrande differentialekvationerna. x1=y(:,1); n=length(t_vek); n_90=round(0.9*n); % Antal element i t_vek. % Elementet som motsvarar tiden 0.9*t_max x1_ampl(jj)=(max(x1(n_90:n))-min(x1(n_90:n)))/2; end a) Låt m 2 =1kg, k 2 = 200 N/m och c 2 =3Ns/m. Plotta x 1 som funktion av tiden för några olika värden på ω. Plotta även amplituden för x 1 i fortvarighet som funktion av ω. Om du valt t max för liten kommer kurvan se hackig ut. b) Välj en hög dämpning: låt m 2 =1kg, k 2 = 200 N/m och c 2 =10Ns/m. Plotta amplituden för x 1 i fortvarighet som funktion av ω. För stora dämpningar som denna fås bara en topp i kurvan. Varför? Varför ligger toppen vid just det ω-värde den gör (bestäm läget på toppen analytiskt då c 2 är oändligt stor)? c) Välj en låg dämpning: låt m 2 =1kg, k 2 = 200 N/m och c 2 =0.2 Ns/m. Plotta amplituden för x 1 i fortvarighet som funktion av ω. Jämför resultatet med plotten i uppgift 2. (Vi kan inte sätta c 2 =0eftersom vår metod att ta fram partikulärlösningen bygger på att den homogena lösningen har dött ut efter en viss tid. Om c 2 =0gör den ju inte det.) 3

4 d) Om man studerar det analytiska uttrycket för x 1 :s amplitud, kan man visa att man minimerar topparna genom följande optimala val av massdämparens fjäderkonstant k 2 och dämpningskonstant c 2 : ( ) 2 ωn,1 k 2,opt = m 2 c 2,opt =2m 2 ω n,1 1+κ κ ( 3 ) κ 2+κ, 8(1 + κ) 3 där κ = m 2 /m 1 (du behöver inte visa detta!). Uttrycket för fjäderkonstanten innebär att ω n,2 = 1 ω n,1 1+κ, (1) där ω n,2 är den egenvinkelfrekvens massdämparen skulle ha om den placerades på marken i stället för på en vibrerande kropp. I praktiken är m 2 mycket mindre än m 1, så (1) ger att massdämparens fjädrar ska väljas så att dess egenvinkelfrekvens ligger i närheten av egenvinkelfrekvensen för kroppen vars vibrationer ska dämpas. Låt m 2 =1kg, k 2 = k 2,opt och c 2 = c 2,opt. Plotta amplituden för x 1 i fortvarighet. e) Låt m 2 =1kg, k 2 =1.2k 2,opt och c 2 = c 2,opt. Plotta amplituden för x 1 i fortvarighet. f) Låt m 2 =1kg, k 2 =0.8k 2,opt och c 2 = c 2,opt. Plotta amplituden för x 1 i fortvarighet. g) Låt m 2 =1kg, k 2 = k 2,opt och c 2 =1.2c 2,opt. Plotta amplituden för x 1 i fortvarighet. h) Låt m 2 =1kg, k 2 = k 2,opt och c 2 =0.8c 2,opt. Plotta amplituden för x 1 i fortvarighet. Vad är viktigast vid design av en massdämpare: att välja en bra styvhet eller en bra dämpning? i) Massdämparens massa m 2 brukar i regel väljas som 0.04m 1 m m 1. En mycket liten massa gör självfallet ingen nytta, och en stor vore oekonomisk. Låt m 2 =1.2 kg, k 2 = k 2,opt och c 2 = c 2,opt. Plotta amplituden för x 1 i fortvarighet. j) Låt m 2 =0.8 kg, k 2 = k 2,opt och c 2 = c 2,opt. Plotta amplituden för x 1 i fortvarighet. 4

5 2 Massdämpare för konstruktioner Massdämpare används bl.a. för att dämpa byggnaders vibrationer. Det finns två huvudtyper av massdämpare: passiva och aktiva. En passiv massdämpare genererar dämpning av sig själv, medan en aktiv massdämpare använder ett reglersystem och en motordriven aktuator för att styra en tyngd på ett sådant sätt att en dämpande kraft genereras. Aktiva massdämpare kan göras mindre (lättare) än passiva, men har nackdelen att de kräver energi för att kunna drivas. Figur 3: En passiv och en aktiv massdämpare. 2.1 Passiva massdämpare Fjäder-dämparsystem Massdämpare med fjädrar och dämpare som de i figur 3 och 4 används exempelvis för att undvika stora vibrationer av gångbroar orsakade av vinden eller av att många personer rör sig i takt med en frekvens i närheten av en resonansfrekvens för bron. Exempelvis är den 370 m långa Millennium Bridge i London utrustad med 50 massdämpare på mellan 1 och 2 ton för att minska vertikala vibrationer, och 8 massdämpare på 2.5 ton för att minska horisontella vibrationer (dessutom används 37 oljedämpare för att dämpa vibrationer i sidled och vridning kring brons längdaxel). Figur 4: Massdämpare med fjäder-dämparsystem. Just denna dämpare finns i olika standardstorlekar från 250 kg till 6 ton, men dämpare på upp till 30 ton kan tillverkas. 5

6 Figur 5: Millennium Bridge Pendel-dämparsystem I stället för att använda fjädrar för att tillse att massdämparen får en egenvinkelfrekvens som ligger nära egenvinkelfrekvensen ω n,1 för den kropp vars vibrationer man önskar dämpa, kan man låta massdämparen bestå av en tyngd upphängd i vajrar med lämplig längd så att den pendlar fram och tillbaks med en egenvinkelfrekvens nära ω n,1. Figur 6: Taipei 101. Den 509 m höga skyskrapan Taipei 101 är försedd med en pendel med en stålkula på 660 ton för att minska skyskrapans svajning i hård vind och vid jordbävningar. Dämpning erhålls av oljedämpare placerade mellan kulan och ett våningsplan. Figur 7: Skorstensdämpare. 6

7 Höga och slanka skorstenar dämpas ofta med pendlar. Dämpningen kan erhållas genom att pendeln rör sig i olja eller mot ett underlag med hög friktion. De två figurerna längst till höger visar en 90 m hög skorsten där massdämparen består av tre stycken 3.5 m långa tyngdförsedda kedjor som rör sig mot ett underlag med hög friktion Vattenbehållare Ytterligare en variant av passiv massdämpare är en vattenfylld U-formad behållare, en så kallad TLCD (tuned liquid column damper). Längden L i av dämparen, se figur 8, ställs in så att vattnet rör sig fram och tillbaka med en frekvens som ligger nära den egenfrekvens för byggnaden där man vill dämpa byggnadens vibrationer. Dämpningen kan varieras genom att ändra strypningen mellan U-rörets två delar. Genom att forma U-röret som en ring i horisontalplanet kan vridning av byggnaden kring vertikalaxeln dämpas. Vid en jordbävning kan den exciterande kraften F på byggnaden variera mycket kraftigt, ungefär som en stöt. För att i detta fall få en effektiv dämpning kan man använda tryckluft för att m.h.a. ett reglersystem styra vattenflödet på ett optimalt sätt. I detta extremfall ersätts alltså den passiva dämparen av en aktiv. Figur 8: Vatten som dämpare. Den 150 m höga skyskrapan One Wall Centre ivancouver är utrustad med två TLCD:er à 230 m 3 som upptar delar av fyra våningsplan högst upp i byggnaden. Den för närvarande största installerade TLCD:n är den i det 297 m höga Comcast Center, Philadelphia, vilken rymmer drygt 1200 m 3 vatten. Figur 9: One Wall Centre. 7

8 2.2 Aktiva massdämpare I figur 10 visas en aktiv massdämpare där två elmotorer via kulskruvar driver två vikter längs två vinkelräta riktningar i ett våningsplan. Rörelsen styrs av ett reglersystem. Figur 10: En aktiv dämpare. Om strömmen går, vilket ju är högst sannolikt vid en kraftig jordbävning, fås ingen dämpning överhuvudtaget (utan reservkraftaggregat). Av den anledningen kombineras ofta aktiva massdämpare med en passiv till en så kallad hybrid massdämpare. I den 487 m höga skyskrapan Shanghai World Financial Center används två hybrida massdämpare. Varje massdämpare består av pendlande ramar med oljedämpare samt en tyngd på 150 ton som m.h.a. elmotorer kan röra sig längs två vinkelräta riktningar i ett våningsplan. Figur 11: Shanghai World Financial Center. 3 Redovisning Den skriftliga rapporten, gärna handskriven, ska innehålla: 1. Personnummer och e-postadress. 2. Fullständiga härledningar till uppgifterna 1 och 2. Alla ingående storheter ska vara noggrant definierade. Alla steg i härledningarna ska kunna följas. Dimensionskontroll av svarsuttrycken ska redovisas. 3. MATLAB-filerna till uppgift Resultatplottar till uppgifterna 2 och Svar/kommentarer till uppgifterna 2 och 3. Rapporten lämnas direkt till lektionsledaren eller i facket utanför dennes kontor (Y2b:s och Y2c:s lärare har sina fack på det grå skåpet utanför examinatorns kontor se kursinfot). Där hämtas även rättade rapporter ut: både godkända och de som måste kompletteras. 8