Lennart Edsberg Nada,KTH Mars 2003 LABORATIONSHÄFTE NUMERISKA METODER GRUNDKURS 1, 2D1210 LÄSÅRET 02/03. Laboration 3 4. Elmotor med resonant dämpare

Transkript

1 Lennart Edsberg Nada,KTH Mars 2003 LABORATIONSHÄFTE NUMERISKA METODER GRUNDKURS 1, 2D1210 M2 LÄSÅRET 02/03 Laboration 3 4. Elmotor med resonant dämpare 1

2 Laboration 3. Differentialekvationer Elmotor med resonant dämpare Sista dag för 2 bonuspoäng: fredag 11/4, 2003 I denna laboration har du nytta av lösningen till de deluppgifter som presenterades i laboration 2. Resultaten från denna laboration ska sammanställas till en skriftlig rapport författad av en 2-,3- eller 4-personsgrupp Problembeskrivning I denna laboration ska du med matematiska och numeriska verktyg undersöka de vibrationer som uppstår i en elmotor på grund av obalans samt analysera hur vibrationerna kan dämpas genom att montera en s.k. resonant dämpare på motorn. Den matematiska modellen av detta mekaniska system är baserad på nedanstående idealiserade figur: I ovanstående mekaniska system är två massor i svängning. Ett sådant system kallas ett tvåfrihetsgradssystem. Som framgår av figuren vilar motorn med massan m 1 via vibrationsisolering på ett oeftergivligt betonggolv. Själva dämparen består av ett massa-fjädersystem där massan m 2 ofta är mycket mindre än motorns massa. Obalansen i systemet modelleras med en vertikal störkraft F 1 (t) = ˆF 1 sin (ω m t), därω m är motorns rotationshastighet i rad/s. En fjäder med fjäderkonstanten k 2 sitter mellan dämparen och motorn. Motorn står på en vibrationsisolering på ett betonggolv. Denna isolering har en fjäderkonstant k 1 och dämpkonstanten d ν1. Det vertikala rörelsemönstret för detta tvåfrihetsgradssystem system är entydigt bestämt om vi känner lägeskoordinaterna x 1 (t) och x 2 (t) för m 1 resp m 2. Med Newtons kraftekvation kan följande system system av två andra ordningens diffe- 2

3 rentialekvationer ställas upp ( ): m 1 d 2 x 1 dt 2 + κ 1x 1 + κ 2 (x 1 x 2 )+d ν1 dx 1 dt = ˆF 1 sin (ω m t) m 2 d 2 x 2 dt 2 κ 2(x 1 x 2 )=0 Vid tiden t =0är systemet i vila, varför vi har begynnelsevillkoren: x 1 (0) = 0, dx 1 dt (0) = 0, x 2(0) = 0, dx 2 dt (0) = 0 Genom att införa matris- och vektorbeteckningar kan ( ) skrivas på kompakt form: M d2 x dt + D dx 2 dt + Kx = F(t), x(0) = 0, dx dt (0) = 0 där M, D och K är 2 2-matriser och x och F är 2 1-vektorer. ( ) Uppgift 1: AngeM, D, K och F med sina komponenter. Slut uppgift 1. För att undvika kraftiga vibrationer i motorn vill man välja resonant dämpare med den fjäderkonstant κ 2 som ger bästa dämpning vid driftsvarvtalet 600 varv/min. De odämpade egenvinkelfrekvenserna för tvåfrihetsgradssystemet, ω 1 och ω 2,gesav lösningen till egenvärdesproblemet Ku = λmu där λ kallas egenvärde och u egenvektor. Detta linjära ekvationssystem har lösningar u 0 endast för de λ-värden som satisfierar karakteristiska ekvationen det(k λm) =0 Eftersom K och M är 2 2-matriser är den karakteristiska ekvationen en andragradsekvation, med de två rötterna λ 1 och λ 2. Tillhörande egenvektorer är u 1 och u 2. Sambandet mellan egenvärde och egenvinkelfrekvens visar sig vara ω = λ. Uppgift 2: För att bestämma egenvinkelfrekvenserna sätter man D = 0 och F = 0. Som lösning ansätts x = u sin (ωt), där ω är en egenvinkelfrekvens (den vinkelfrekvens som systemet helst vill svänga i) och komponenterna i vektorn u (ej t-beroende) är motsvarande amplituder. Stoppa in ansatsen i ( ) så erhålles egenvärdesproblemet där λ = ω 2. Slut uppgift 2. Den fysikaliska tolkningen av en egenvektor är att den beskriver systemets rörelse vid vibratorvinkelfrekvenser i närheten av motsvarande egenvinkelfrekvens. Kvoten mellan u s komponenter är nämligen förhållandet mellan de två amplituder som massorna m 1 och m 2 3

4 svänger med. Om de bägge komponenterna har samma tecken, svänger massorna i fas med varandra, om komponenterna har olika tecken svänger de i motfas. Egenvärdesproblem löses enkelt i Matlab genom att använda funktionen eig. Gekommandot help eig så ser du hur λ och u kan bestämmas. Systemet ska även studeras för andra vinkelfrekvenser än egenvinkelfrekvenserna. Vibrationerna kan simuleras genom att lösa differentialekvationerna numeriskt med Matlabfunktionen ode45 och sedan beräkna amplituden för den stationära svängningen för olika vinkelfrekvenser. För att kunna anropa denna Matlabfunktion måste differentialekvationssystemet ( ) först skrivas om som ett system av första ordningen. Uppgift 3: Skriv om differentialekvationssystemet ( ) som ett system av första ordningen. Slut uppgift 3. Programmeringsuppgift Skriv Matlabprogram som ger värden åt problemets indataparametrar Som numeriska värden på parametrarna används de som anges i följande tabell: i m i kg κ i N/m d νi Ns/m F i (t) N ˆF i N F 1 sin (ωt) κ κ 2 är ett av värdena k 10 3,därk =1.25, 1.75, 2.25 eller beräknar egenvinkelfrekvenser ω 1 och ω 2, egenvektorer och amplitudförhållanden för tvåfrihetsgradssystemet, samtliga κ 2 -värden. beräknar lösningen till differentialekvationssystemet med Matlabfunktionen ode45 och sedan ritar grafer över motorns och dämparens läge som funktion av tiden för de olika k 2 -värdena under lämpliga tidsintervall dels för ω = ω 1 dels för ω = ω 2.Bestäm amplituden för motorns läge är då stationärt tillstånd uppnåtts. Vilket k 2 -värde ger den minsta amplituden? för det k 2 -värde som du valt, rita grafer över lägesamplituden som funktion av ω, 0 ω 100 hos motorn. för det k 2 -värde som du valt, hur känslig är motorns lägesamplitud för små störningar av varvtalet 600 varv/min? Ändra varvtalet 0.1, 1 och 10 procent och räkna fram hur många procent motsvarande lägesamplitud ändras. 4

5 DEN SKRIFTLIGA RAPPORTEN, KRAV OCH TIPS Målsättningen med detta kursmoment är att du både ska lära dig numerisk behandling av differentialekvationer och få träning i att skriva en teknisk rapport. Alla tekniska rapporter har en viss disposition och det är meningen att du ska följa nedanstående för det här aktuella fallet när du redogör för de resultat du fått fram i den matematiska och numeriska behandlingen av problemet. Följ därför följande disposition vid författandet: Försättssida innehållande titel författarnas namn, linje+inskrivningsår, personnummer och adresser inlämningsdatum kursens namn: Numeriska metoder gk1 för M2, vt-2003 antal timmar du lagt ner på laboration 3. gärna en illustration En sammanfattningssida med sammanfattning i ord på svenska (7-15 rader) (inga formler i denna del!) ett engelskt abstract, som är en översättning av den svenska sammanfattningen. En bra svensk-engelsk ordlista för begrepp inom mekaniken hittar du på mekanikinstitutionens hemsida Innehållsförteckning med sidhänvisningar första sidhänvisningen ska vara till problembeskrivningen Problembeskrivning redogörelse i ord och med figurer för det mekaniska problem som rapporten behandlar (nyckelbegrepp: egenvinkelfrekvenser, lägesamplitud i stationärt tillstånd, design av fjäderkonstant) Matematiska och numeriska metoder det matematiska problemet presenteras (uppgifterna 1-3) den numeriska behandlingen av problemet (egenvärdesproblem, begynnelsevärdesproblem för ODE-system, bestämning av amplitud i stationärt tillstånd med numerisk metod) Presentation av resultaten på lämplig form (löpande text, grafer, tabeller, etc) Slutsatser 5

6 Referenser Bilagor, främst Matlabprogram, snyggt editerade och kommenterade Rapporten ska alltså följa ovanstående mall och bl a följande moment ska alltså finnas med i olika avsnitt av rapporten: Behandling av problemet det matematiska problemet uppställning av det ursprungliga differentialekvationssystemet omskrivning på matrisform (uppgift 1) egenvärdesproblemet (uppgift 2) omskrivning som system av första ordningen (uppgift 3) det numeriska problemet numerisk lösning av egenvärdesproblemet numerisk lösning av differentialekvationssystemet beräkning av amplituder Presentation av resultaten redovisning av egenvinkelfrekvenserna och amplitudförhållandena grafer som visar lägen för olika κ 2 -värden som funktion av tiden för ω = ω 1 och ω = ω 2 på lämpliga tidsintervall redovisning av den grafsom visar lägesamplituden som funktion av ω hos motorn grafsom visar lägesamplitudens känslighet vid små varvtalsstörningar Det är en fördel om hela rapporten skrivs med något ordbehandlingsprogram som klarar av matematiska formler, men det är även tillåtet att användare en enklare texteditor och skriva in de matematiska formlerna för hand. Alla kurvor ska vara ritade med Matlab och försedda med 1) tydliga rubriker och 2) axelbeteckningar med storheter och enheter. Sträva efter en rapport som (förutom bilagor) inte blir mer än 5-6 sidor lång. Det viktigaste är att rapporten är klar och tydlig. En god språkbehandling bidrar till detta. Se till att du korrekturläst rapporten innan du lämnar in den! Som målgrupp för rapporten kan du tänka dig en civilingenjör från M med till hälften glömda kunskaper i numeriska metoder, dvs du själv om några år. 6