Rangordning av internetsidor - ett egenvärdesproblem för positiva matriser

Transkript

1 Rangordning av internetsidor - ett egenvärdesproblem för positiva matriser

2 Ett litet nätverk med 8 noder och ett antal länkar mellan noderna: Hur kan vi rangordna noder? Vilken är viktigast?

3 Googles modell: En nods värde beror på värdena på alla noder som länkar till den. Värdet som en nod bidrar med till andra noder genom utgående länkar delas lika mellan dessa. Låt v 1,..., v 8 vara rankingvärdena för nod 1 till 8. Noderna 3, 4 och 8 länkar till nod 1. Noderna 2, 4 och 8 har 3, 4 resp. 2 utgående länkar. Då är modellen v 1 = k( 1 3 v v v 8), där k är en proportionalitetskonstant

4 Om vi skriver upp ekvationerna för alla 8 noderna får vi v 1 = k( 1 3 v v v 8) v 2 = k( 1 3 v v 6) v 3 = k( 1 2 v v v v 8) v 4 = k(v v 7) v 5 = k 1 4 v 4 v 6 = k( 1 3 v v v 7) v 7 = k( 1 2 v v v 6) v 8 = k 1 2 v 1 Ett system med 8 ekvationer och 9 obekanta (även k!). Sätt k = 1/λ och skriv på matrisform.

5 0 0 1/3 1/ /2 v 1 v / /3 0 0 v 2 v 2 1/2 1/ /3 0 1/2 v 3 v /2 0 v / v 5 = λ v 4 v /3 1/ /2 0 v 6 v 6 0 1/2 0 1/4 0 1/3 0 0 v 7 v 7 1/ v 8 v 8 Vi har fått ett egenvärdesproblem! Obs att kolonnsumman alltid är 1 (utdelade värden från en nod). Kalla matrisen A och vektorn v, då har vi A v = λ v. Matrisen A kallas icke-negativ då alla element är 0. En positiv matris har alla element > 0 (inte samma som positivt definit matris).

6 Positiva matriser är både analytiskt och numeriskt något bättre än icke-negativa att handskas med. Därför modifierar Google matrisen A lite genom att byta den mot C = 0.85 A B där B = 1/8... 1/8.. 1/8... 1/8 Detta kan också ses som att man tar viss hänsyn till slumpsurfaren som inte bara klickar på länkar. Vi får för vårt nätverk C v = λ v med C Oba att kolonnsummorna i C fortfarande alla är 1.

7 Lös det(c λi ) = 0 (åttondegradsekvation) numeriskt. Ger 4 reella egenvärden λ 1 = 1, λ , λ , λ och 4 komplexa λ 5, ± 0.089i, λ 7, ± 0.056i. Egenvektorerna till de reella är ū , ū , ū , ū 4 = Vilket λ j och ū j ska vi ta? Alla noders värde bör vara 0. Då måste v = ū 1 och nodernas värden är v , v , v , v , v , v v och v Nod 3 har högst värde och rangordningen ges av v 3 > v 6 > v 7 > v 1 > v 2 > v 4 > v 8 > v 5 Obs också att λ 1 > λ j för j = 2,..., 8.

8 Rangordning: v 3 > v 6 > v 7 > v 1 > v 2 > v 4 > v 8 > v Verkar rimligt?

9 Fungerar denna metod alltid? Svar: Ja! Perron-Frobenius sats för positiva N N - matriser säger SATS: Om alla element i C är > 0 har C ett positivt egenvärde λ 1 med λ 1 > λ j, j = 2,..., N, alla element i egenvektorn till λ 1 är > 0 och ingen annan egenvektor med denna egenskap finns. Detta passar perfekt i modellen ovan, vi kommer alltid garanterat få precis en egenvektor med enbart positiva komponenter. 1 1 Obs: C t. = 1. (ty radsummorna i C t är 1) λ 1 = 1 för C t 1 1 ty egenvektorn (1,..., 1) t har enbart positiva element. Då C och C t har samma egenvärden är λ 1 = 1 även för C.

10 För hela internet bildar vi N N matrisen (N 10 10, 10 11, antal sidor på 1/N... 1/N internet) C = 0.85 länkmatrisen /N... 1/N Vi vet att λ 1 = 1 är till beloppet största egenvärde och motsvarande egenvektor v R N har enbart positiva komponenter. Dessa komponenter är alla sidors rankingvärden. Vid en sökning rangordnas alla sidor som innehåller det sökta ordet efter dessa rankingvärden. Egenvektorn till λ 1 = 1 fås ur C v = v (C I ) v = 0 som är det system som måste lösas. Man behöver alltså inte leta egenvärden till C och enbart egenvektorn till λ 1 = 1 behövs. Systemet är den största matematiska beräkningen som utförs regelbundet. I samband med linjära ekvationssystem i början av kursen ställde vi upp systemet (C I ) v = 0 utan att som nu kunna förklara hur det uppkommit. Mer om positiva matriser kan man lära sig i linjär algebra överkurs.