Dagens teman. Linjära ODE-system av ordning 1:

Transkript

1 Dagens teman Linjära ODE-system av ordning 1: Egenvärdesmetoden. Lösning av homogena system x 1 (t) = a 11 x 1 (t) + + a 1n x n (t) x 2 (t) = a 21 x 1 (t) + + a 2n x n (t) x n (t) = a n1 x 1 (t) + + a nn x n (t) (ZC 8.2.2) Variation-av-parametermetoden för lösning av allmänna linjära 1:a ordningens ODE-system. x 1 (t) = a 11 x 1 (t) + + a 1n x n (t) + f 1 (t) x 2 (t) = a 21 x 1 (t) + + a 2n x n (t) + f 2 (t) x n (t) = a n1 x 1 (t) + + a nn x n (t) + f n (t) (ZC 8.3) Högre ordningens system som specialfall av 1:a ordningens. (Tillägg)

2 Lösningmängdernas struktur: (ZC 8.1) Allmän lösning till (H): (Th 8.5) X h = c 1 X 1 + c 2 X c n X n, där X 1, X 2,, X n är n st linjärt oberoende lösningar till (H) och där c 1, c 2,, c n är godtyckliga konstanter. Allmän lösning till (A): (Th 8.6) X = X p + X h där X p är någon (vilken som helst) lösning till (A) och X h är den allmänna lösningen till motsvarande homogena ekvation.

3 Kriterium för linjärt oberoende. ZC Th 8.3 Om n st (vektor-)funktioner x 11 x 12 x 1n x X 1 (t) = 21 x, X : 2 (t) = 22 x,, X : n (t) = 2n, : x n1 x n2 x nn alla är lösningar till det homogena systemet X (t) = AX(t), där a:na är kontinuerliga funktioner av t i ett intervall I, så är de linjärt oberoende i detta intervall om och endast om determinanten W för matrisen Φ = x 11 x 12 x 1n x 21 x 22 x 2n : : : : x n1 x n2 x nn är 0 för något t i intervallet. En sådan uppsättning av systemets lösningar kallas en fundamentalmängd av lösningar och matrisen Φ är en fundamentalmatris.

4 En lösningsmetod (egenvärdesmetoden) för homogena system med konstanta koefficienter (ZC 8.2) Metoden bygger på ansatsen: X = k e λt, där k är en konstant vektor 0 och λ en konstant skalär (reell eller komplex). Ansatsen leder till följande villkor på λ: det(a λi) = 0, dvs. till polynomekvationen a 11 λ a 12 a 1n a 21 a 22 λ a 2n = 0 a n1 a n2 a nn λ (Egenvärdesekvationen, karakteristiska ekvationen, λ-rötterna kallas egenvärden.)

5 Och följande villkor på k: (A λi)k = 0, dvs. det linjära ekvationssystemet a 11 λ a 12 a 1n k 1 0 a 21 a 22 λ a 2n k 2 = 0 a n1 a n2 a nn λ k n 0 (k-lösningarna 0 kallas egenvektorer). Med hjälp av egenvärdesbestämningar kan alltid n st linjärt oberoende lösningar till (H) bestämmas. Typiska exempel: (i) ZC 8.2, ex.2 (reella enkla rötter till egenvärdesekvationen), (ii) ZC 8.2, ex. 6 (icke-reella enkla rötter till egenvärdesekvationen), och de mera ovanliga fallen: (iii) ZC 8.2, ex. 3 5 (multipla rötter till egenvärdesekvationen).

6 Multipelrotsfallen: För dubbelrötter (λ 0 ) till egenvärdesekvationen kan man visa att det alltid finns två linjärt oberoende lösningar av formen X = (k 1 t + k 0 ) e λ 0t, där k 1 och k 0 är konstanta vektorer. Dessa kan bestämmas ur sambanden: (A λ 0 I) 2 k 0 = 0, k 1 = (A λ 0 I)k 0. (ZC, sid 344) Allmänt, för rötter av multiplicitet m så fungerar en liknande ansats med ett polynom av grad m 1 som koefficient för e λ 0t, X = (k m 1 t m k 1 t + k 0 ) e λ 0t. [Villkoren som bestämmer k-vektorerna lyder då (A λ0 I) m k 0 = 0, k ν = 1 ν (A λ 0I) k ν 1, ν = 1, 2,, m 1. (ZC, sid 345, behandlar trippelrotsfallet.)]

7 Variation-av-parametermetoden: (ZC 8.3) En metod för lösning av allmänna linjära ODEsystem: X (t) = AX(t) + f(t), f godtyckligt. (A) Metoden förutsätter att man känner (eller kan ta reda på) den allmänna lösningen till motsvarande homogena ekvation: X (t) = AX(t), men förutsätter inget annat om koefficienterna i A- matrisen än att de är kontinuerliga funktioner av t.

8 Förberedelser: Lös först motsvarande homogena system: X (t) = AX(t) (H) Lösningsmängden, som för de fall då A är konstant kan bestämmas med egenvärdesmetoden, kan alltid skrivas: X h = c 1 X 1 + c 2 X c n X n, där X 1, X 2,, X n är n st linjärt oberoende lösningar till (H), c:na konstanter. (ZC 8.1, th 8.5). På matrisform blir detta: x 11 x 12 x 1n c 1 X h = x 21 x 22 x 2n c 2 x n1 x n2 x nn c n = Φc Φ kallas fundamentalmatris (ZC 8.3) och den karakteriseras av att kolonnvektorerna är n olika lösningar till (H), och kolonnvektorerna är linjärt oberoende, dvs det(φ) 0 Φ är inverterbar. Man har också att Φ (t) = AΦ(t).

9 Metoden går ut på att man i ekvationen X (t) = AX(t) + f(t) ansätter X(t) = Φ(t) U(t). Man får (ZC sid ), U (t) = Φ 1 (t) f(t), och som allmän lösning: t X(t) = Φ(t) C + Φ 1 (s) f(s) ds, a där C är en konstant vektor. Med känt begynnelsevillkor X(a) = X 0 ger detta: t X(t) = Φ(t)Φ 1 (a)x 0 + Φ(t) a Φ 1 (s) f(s) ds.

10 Högre ordnings system Varje system av differentialekvationer av högre ordning är ekvivalent med ett 1:a ordningens system. Konstgrepp: Om systemet innehåller funktionen dn x dt n så införs nya obekanta funktioner x 1 = dx dt, x 2 = x 1, = d2 x dt 2, x 3 = x 2, = d3 x dt 3, x n 1 = x n 2, = dn-1 x dt n-1. Dessa ekvationer tillförs systemet. Sedan ersätts alla förekomster av derivatorna upp till ordning n 1 med dessa nya funktioner och n:te derivatan med 1:a-derivatan x n 1.