Matrismetod för analys av stångbärverk

Transkript

1 KTH Hållfasthetslära, J aleskog, September Inledning Matrismetod för analys av stångbärverk Vid analys av stångbärverk är målet att bestämma belastningen i varje stång samt att beräkna deformationen för hela strukturen Här beskrivs en matrisformulerad metod som på ett strukturerat sätt möjliggör analys av stångbärverk med hjälp av datorprogram, tex Matlab Metoden är generell och fungerar för både statiskt bestämda och statiskt obestämda problem Teoretiska grunder Ett stångbärverk är en struktur bestående av ett antal noder och element Noder är de knutpunkter som sammanbinder en stång med grunden 1 3 e6 e10 eller med en eller flera andra stänger Ett element motsvaras här av en stång Ett exempel på e7 e e9 7 en struktur som innehåller 7 noder och 11 e1 (stång-)element visa ig 1 e3 e11 e 6 En nods förflyttning i planet beskrivs med e8 7 dess förskjutning i x-led respektive y-led, dvs e med två stycken frihetsgrader ör att beskriva y 6 en kraft som angriper i en nod i planet behöver vi veta dess komposanter i x-led och y-led lltså, för varje frihetsgrad inför vi en förskjutning igur 1 Stångbärverk med nod- och x och en kraft Tillståndet i en stång kan beskrivas av normalkraften N som verkar i stången elementnumrering alternativt av dess förlängning, som här kommer att kallas för e Mellan N och e råder som bekant sambandet N ( L)e, där och L är tvärsnittsarea respektive längd och E är elasticitetsmodulen Vi skall nu systematiskt analysera ett plant (D) stångbärverk i tre steg 1 Noder och element Dela in strukturen i noder och element och numrera dessa Samla stängernas normalkrafter och förlängningar i vektorer Samla även nodernas förskjutningar och krafter i vektorer enligt: N 1 N N (1) δ 1 e δ () 1(7)

2 KTH Hållfasthetslära, J aleskog, September 010 u 1x u 1y u u x u y (3) m 1 1x 1y x y m 1 Dimensionen för e och N bestäms av antalet element, här n, och dimensionen för u och bestäms av antalet noder ggr antalet frihetsgrader per nod, här m Till exempel är n 11 och m 7 1 för strukturen visad i ig 1 Notera i vilken ordning nodernas frihetsgrader är bokförda () Samband mellan krafter och förskjutningar Ställ upp samband mellan storheterna ovan Rent principiellt förstår vi att stängernas förlängningar bestäms av nodernas förskjutningar om strukturen skall hålla ihop Dessa kompatibilitetssamband kommer att ge en linjär relation mellan e och u Om vi snittar loss noderna ur strukturen, så kan vi för varje nod ställa upp kraftjämvikt i x- och y-led Dessa jämviktssamband kan uttryckas som en linjär relation mellan N och Slutligen leder det konstitutiva sambandet (Hookes lag) för respektive stång till en linjär relation mellan e och N Hur dessa samband kan etableras följer nedan 1 Kompatibilitetssamband Beakta ett element i taget och studera bidraget till stångens förlängning från respektive nodförskjutning enlig igur Här antas att stångens rotation till följd av nodernas förskjutningar är liten och kan försummas ntagandet leder till ett linjärt samband mellan e i och nodförskjutningarna (7)

3 KTH Hållfasthetslära, J aleskog, September 010 u Jy sin u Jy u Jy cos sin Nod I element i Nod J cos igur Bidrag till stångens förlängning från nodförskjutningar Totalt fås förlängningen av stång i som summan av respektive nods bidrag enligt: e i δ i + + u Jy där cos, sin () Kompatibilitetssambandet för varje element kan nu sammanfattas på matrisform, vilket ger en linjär relation mellan e och u Till höger i ekvation (6) har enbart koefficienterna för element i infört matrisen Notera att varje rad i bara innehåller fyra termer, dvs innehåller mest nollor e i u Jy (6) e n m u m 1 Jämviktssamband Beakta en nod i taget och ställ upp de två jämviktsekvationerna för noden med hjälp av igur 3 ϕ j ϕ k Nod I igur 3 Jämvikt för en nod 3(7)

4 KTH Hållfasthetslära, J aleskog, September 010 x-led: y-led: + cos + cosϕ j + cosϕ k 0 c j c k där cos + sin + sinϕ j + sinϕ k 0 s j s k där sin (7) (8) I ekvation (9) har jämviktsekvationerna för alla noder sammanfattats på matrisform, där enbart koefficienterna kopplade till nod I införts (resterande termer i de två raderna är lika med noll) c j c k s j s k (9) m 1 B m n N Om i ekvation (6) och B i ekvation (9) är rätt uppställda fås att B Detta blir speciellt tydligt om enbart ett element studeras igur visar jämvikts- och kompatibilitetssamband för element i och av dessa samband framgår klart att B i i T T u Jy, Jy, Jx Jämvikt: Jx Nod I, element i, Nod J Kompatibilitet: δ i Jy i B i i u Jy u i igur Jämvikt- och kompatibilitetssamband för element i 3 Konstitutivt samband ör ett stångelement i gäller att ( E i i L i )e i alla element på matrisform erhålls: och om vi sammanfattar sambanden för (7)

5 KTH Hållfasthetslära, J aleskog, September 010 N 1 N N n N ( E 1 1 L 1 )e 1 ( E L )e ( E n n L n )e n E L E L E n n L n k n n e 1 e e n e (10) Eftersom normalkraften i en stång enbart beror av stångens förlängning, så måste k vara en diagonal matris De grundläggande sambanden är nu uttryckta på matrisform Sammanfattningsvis gäller Jämvikt: T N (11) Konstitutivt: N ke (1) Kompatibilitet: e u (13) Kombineras ekvation (11) och (1) erhålles: T ke Insättning av ekvation (13) i (1) ger relation (1) Ku där K T k mellan nodkrafterna och nodförskjutningarna Vi har nu erhållit ett ekvationssystem som relaterar nodernas förskjutningar med nodernas krafter Matrisen K (dimension m m ) kallas systemet styvhetsmatris och är en symmetrisk matris Vanligtvis är kraftvektorn känd och förskjutningarna i u obekanta Innan ekvationssystemet löses, så måste vi se till att strukturen ej kan rotera eller stelkroppstranslateras ör exemplet visat i ig 1 gäller tex att nod 1 och helt sitter fast och att nod bara kan röra sig i vertikalled Uttryckt i förskjutningskomponenter innebär detta att u 1x u 1y 0, u x u y 0 och u x 0 ör dessa frihetsgrader är istället krafterna (reaktionskrafter) obekanta, vilka kommer att ges av lösningen Noll-förskjutningsrandvillkoren beaktas enklast genom att de rader och kolumner som tillhör dessa frihetsgrader stryks från styvhetsmatrisen, vilket leder till ett reducerat ekvationssystem Den reducerade styvhetsmatrisen är förstås också symmetrisk, men dessutom positivt definit, vilket säkerställer att ekvationssystemet går att lösa och att lösningen är entydig ör exemplet visat i ig 1 kommer x, y, 6x, 6y, 7x och 7y vara skilda från noll och de övriga nodkrafterna lika med noll i det oreducerade systemets kraftvektor ör att ytterligare belysa styvhetsmatrisens egenskaper antar vi nu att strukturen enbart består av ett enda element, säg element i visat i igur Styvhetsmatrisen kan då uttryckas enligt (1) (7)

6 KTH Hållfasthetslära, J aleskog, September 010 K T E i i i L i i s E i i i E i i s i L i L i (16) Notera att K är symmetrisk och att matrisens komponenter enbart beror av elementets orientering i planet, dvs vinkeln, förutom parametrarna som beskriver material (E i ), tväsrsnittsarea ( i ) och längd (L i ) I en analys, som ovan diskuterats, måste möjliga stelkroppsrörelser för elementet förhindras (3 st) genom lämpligt formulerade randvillkor (K i ekv (16) är singulär) Tex är randvillkoren: u Jy 0, Jx P, väl formulerade, vilket leder till det reducerade ekvationssystemet: ( E i i L i ) P ur vilket den obekanta förskjutningen sedan kan lösas 3 Beräkning av normalkrafter och -spänningar Ekvationssystemet kan nu lösas och stängernas normalkrafter och normalspänningar kan beräknas Det reducerade ekvationssystemet löses med lämpligt datorprogram, tex Matlab Stängernas normalkrafter fås sedan via kompatibilitetssambandet och det konstitutiva sambandet som N ke ku (17) Normalspänningarna fås sedan som σ i i, där i anger elementets nummer 6(7)

7 KTH Hållfasthetslära, J aleskog, September Exempel Bestäm normalspänningarna om alla stänger har tvärsnittsarean och elasticitetsmodulen E Stängernas längder framgår av figuren Lösning enligt avsnitt 1-3 ovan Strukturens frihetsgrader samla vektorerna 1 3 3L/ L/3 e1 L/ e L P L/3 e3 e T e 1 e e 3 u T I J u 1x u 1y u x u y u 3x u 3y u x u y -matrisens koefficienter för varje element: e c cosϕ 0 J 3 s sinϕ 1 e3 ϕ L ϕ 3 L I I 1 e1 ϕ 1 J 3 c 1 cosϕ 1 -- s 1 sinϕ 1 -- L 1 L c 3 cosϕ s 3 sinϕ 3 -- L 3 L 3 Vi får matriserna: K T k L 0,6 0, ,6 0, k ,8 0,6 0,8 0,6 0,88 0, ,88 0,38 0,38 0, ,38 0, ,38 0,88 0,38 0, ,88 0,16 0,88 0,16 0,88 0, ,38 0,88 0,67 0,096 0,38 0, ,88 0,16 0,096 1, L 0, ,6 Notera att den fulla styvhetsmatrisen är singulär Reducerad del av styvhetsmatrisen! Det reducerade ekvationssystemet blir (kolumnerna 1-6 och raderna 1-6 strykes, varför då?) ,67 0,096 L 0,096 1,78 u x u x u y 0P u y PL 0,083 0,83 Normalkrafterna och normalspänningarna fås sedan som N 1 N ku P 0,333 0,83 σ 1 σ P -- 0,333 0,83 7(7)