5.7. Ortogonaliseringsmetoder
|
|
- Pernilla Vikström
- för 7 år sedan
- Visningar:
Transkript
1 5.7. Ortogonaliseringsmetoder Om man har problem med systemets kondition (vilket ofta är fallet), lönar det sig att undvika normalekvationerna vid lösning av minsta kvadratproblemet. En härtill lämplig metod är den s k QR metoden eller ortogonaliseringsmetoden (jfr qr kommandot i Matlab). QR teoremet: A må vara en given m n matris med m n och linjärt oberoende kolonner. Då existerar det en entydig m n matris Q, som har egenskapen Q T Q = D, D = diag(d 1,..., d n ), d k > 0, k = 1, 2,..., n, och en entydig övre triangulär matris R, med diagonalelementen r kk = 1, som har egenskapen A = QR. Låt oss se hur QR metoden kan tillämpas på minsta kvadratmetoden: Av ekvationen A T (b Ax) = 0 följer att R T Q T (b Ax) = 0. Vetenskapliga beräkningar III, Tom Sundius
2 Eftersom R är icke-singulär och Q T A = Q T QR = DR, så kan ovanstående ekvation också uttryckas R T (Q T b DRx) = 0 eller { Rx = y y = D 1 Q T b. Om man således känner Q och R, så kan man finna lösningen till minsta kvadratmetoden genom att lösa ett triangulärt ekvationssystem. Den modifierade Gram-Schmidt metoden för beräkning av Q, R och y: Vi beräknar en räcka matriser A = A (1), A (2),..., A (n+1) = Q, där A (k) har formen A (k) = (q 1, q 2,..., q k 1, a (k) k,..., a(k) n ). De k 1 första kolonnerna i A (k) är lika med de k 1 första kolonnerna i Q, och a (k) k,..., a(k) n är vektorer, som har ortogonaliserats mot q 1,..., q k 1 (dvs a (k)t i q j = 0, i = k,..., n; j = 1,..., k 1). I det k:te steget ortogonaliseras a (k) j, j = k + 1,..., n mot q k med följande procedur: { a (k+1) j q k = a (k) k, d k = q T k q k, r kk = 1 = a (k) j r kj q k ; r kj = q T k a(k) j /d k, j = k + 1,..., n. Vetenskapliga beräkningar III, Tom Sundius
3 Som vi ser, blir q T k a(k+1) j = q T k a(k) j r kj q T k q k = q T k a(k) j q T k a(k) j q T k q k q T k q k = 0. Vid varje steg kommer vi alltså att beräkna den k:te kolonnen av Q, samt den k:te raden av R (r kj = 0, om k > j). Vektorn b transformeras på analogt sätt: b = b (1), b (2),..., b (n+1), där b (k+1) = b (k) y k q k, y k = qt k b(k) d k. Som vi ser blir även q T k b(k+1) = q T k b(k) qt k b(k) q T k q k = 0. Här kommer b (n+1) att vara den del av b q T k q k som är ortogonal mot R(A) (det underrum, som spännes av A:s kolonner), och den kommer därför att bli lika stor som restvektorn r. Efter n steg (k = 1, 2,..., n) fås slutligen Q = (q 1, q 2..., q n ) R = (r kj ), y = (y 1, y 2,..., y n ) T och då blir Q T Q = diag(d k ), A = QR, b = Qy + r. Slutligen löses x ur ekvationen Rx = y. Vetenskapliga beräkningar III, Tom Sundius
4 Vid beräkningen av R och y krävs det approximativt 2m n (n k + 1) = 2m k=1 n(n + 1) 2 = mn(n + 1) räkneoperationer, men för att lösa Rx = y endast n(n + 1)/2 räkneoperationer. Gram Schmidt metoden kräver sålunda omkring dubbelt mera arbete än vad som behövs för att ställa upp normalekvationerna. Tidigare har vi antagit, att A:s kolonner är linjärt oberoende. Av relationen Q = AR 1, där S = R 1 är en högertriangulär matris med diagonalelementen 1, framgår att q k kan uttryckas som en linjär kombination av a 1, a 2..., a k. Antag nu, att a 1, a 2,..., a k 1 är linjärt oberoende, men att a k beror linjärt av a 1, a 2,..., a k 1 och därför även av q 1, q 2,..., q k 1. Vi finner då att a (k) k = 0, och ortogonaliseringsproceduren kan inte fortsättas. Maximalantalet linjärt oberoende kolonner (eller rader) i en matris brukar kallas matrisens rang. Om rangen för A > k 1, så måste det existera en vektor a (k) j 0 om k j n. Då kan vi låta den k:te och j:te kolonnen byta plats, och fortsätta ortogonaliseringsprocessen ända tills alla de återstående kolonnerna beror linjärt av de beräknade q-vektorerna. Vetenskapliga beräkningar III, Tom Sundius
5 Därav följer att vi kan förbättra Gram-Schmidt metoden genom kolonnpivotering. I det k:te steget väljs s som det minsta heltal för vilket gäller a (k) s 2 = max 2, varpå kolonnerna k och s kastas om. k j n a(k) j Ett annat sätt att utföra en ortogonalisering är att använda Householder transformationer (denna metod utnyttjas i MATLAB-rutinen qr). De baserar sig på elementära ortogonala matriser som är n dimensionella enhetsmatriser modifierade av enkla rotationsmatriser, såsom t.ex. ( ) cos θ sin θ, sin θ cos θ som representerar en rotation i planet omfattande vinkeln θ. Ett enkelt exempel på en dylik matris är cos θ sin θ, sin θ cos θ som också representerar en plan rotation, men i ett n dimensionellt rum. Vetenskapliga beräkningar III, Tom Sundius
6 Ett sätt att konstruera sådana matriser är att använda matriser av formen P = I 2uu T /u T u, där u 0 är en godtycklig vektor. På grund av sin konstruktion är Householders matris P symmetrisk (P = P T ) och ortogonal, emedan P T P = P 2 = I 4 uut u T u + 4uuT u T u dvs P 2 = I eller alltså P 1 = P = P T. uu T u T u = I 4 uut u T u + 4u(uT u)u T (u T u) 2 = I 4 uut u T u + 4uuT u T u = I, Hur skall Householder transformationen konstrueras, så att vi kan överföra matrisen i triangulär form? Låt oss beteckna den första kolonnen i matrisen A med a, och anta att P nollställer alla komponenter i a med undantag av den första: P a = α(1, 0,..., 0) T = αe 1 Genom att använda den allmänna formen av P får vi då P a = ( ) I 2 uut u T u a = a ( ) 2 ut a u T u u = αe 1. Vetenskapliga beräkningar III, Tom Sundius
7 Om denna ekvation skrivs i formen ( ) 2 ut a u T u u = a αe 1, så ser vi, att u är en multipel av a αe 1. Om u multipliceras med en godtycklig konstant som skiljer sig från noll, så förändras inte Householders matris, och vi kan därför välja u = a αe 1. Eftersom en ortogonal transformation skall bevara normen (eftersom det är fråga om en rotation), så är α = ± a 2, och vi får u = a a 2 e 1. Vi skall nu visa hur dylika matriser kan användas för att överföra en matris i triangulär form. Antag, att A är en 5 3 matris: x x x x x x A = x x x x x x x x x Vetenskapliga beräkningar III, Tom Sundius
8 Om vi betecknar den första kolonnen i A med a, så får vi P A = a x x 0 x x 0 x x 0 x x 0 x x Observera, att P har förändrat elementen som betecknas med x. I det följande steget väljer vi de fyra lägsta elementen i den andra kolonnen av P A och bildar en ny vektor a med fyra element på vilken vi tillämpar en Householder transformation P. Vi får då P 1 P A = ( ) P a x x 0 x x 0 x x 0 x x 0 x x = a x x 0 a x 0 0 x. 0 0 x 0 0 x Vetenskapliga beräkningar III, Tom Sundius
9 Matrisen blir fullständigt reducerad till en triangulär matris, om vi bildar en ny vektor a av de tre nedersta elementen i matrisen P 1 P A, och konstruerar en ny Householder transformation P som nollställer denna vektor utom det översta elementet: P 2 P 1 P A = a x x a x x 0 0 P 0 0 x 0 0 x = a x x 0 a x 0 0 a Eftersom både P och P är ortogonala matriser, så är också P 1 och P 2 ortogonala, liksom även P 2 P 1 P. Således har A blivit transformerad till en (övre) triangulär matris genom att den multiplicerats med en ortogonal matris. Vi får alltså A = QR, där Q = P P 1 P 2 och R = P 2 P 1 P A. Uppenbarligen går metoden att generalisera till godtyckligt stora matriser. Hur kan detta tillämpas på ett minsta ( kvadrat-problem ) Ax = b? Antag att A är en m n matris ( som ) R1 kan faktoriseras A = QR = Q, där R 0 1 är en m m matris. Då får vi Q T c1 b = c, c 2 där c 1 är en kolonnvektor med m element och c 2 en kolonnvektor med n m element. Vetenskapliga beräkningar III, Tom Sundius
10 Normen bevaras vid multiplikation med en ortogonal matris, varav följer ( ) Ax b 2 2 = QT (Ax b) 2 2 = Rx c 2 2 = R1 x c 1 2 c 2 2 = R 1 x c c Vi finner således lösningen till minsta kvadratproblemet genom att lösa ekvationen R 1 x = c 1, och det minsta värdet av kvadraternas summa blir c Det finns också fall då lösningen inte är unik (degenererat minsta kvadrat problem). Detta innebär vanligen att modellfunktionerna inte är linjärt oberoende, vilket innebär att kolonnerna i matrisen A är linjärt beroende. Ett dylikt problem har många lösningar istället för en enda. I detta fall används ofta kolonnpivotering (se ovan) vid ortogonaliseringen, varvid A uttrycks som A = QRP, där P är en permutationsmatris, som håller reda på kolonnbyten som gjorts. Matrisen R har då formen R = ( ) R1 R 2, 0 0 där R 1 är en övre triangulär matris och R 2 0 är en rektangulär matris. Antalet rader olika noll i R är lika med matrisens rang (alltså antalet linjärt oberoende kolonner). Vetenskapliga beräkningar III, Tom Sundius
11 Faktoriseringen leder till ett reducerat minsta kvadrat-problem Ax b 2 = RP x Q T b 2. Om vi nu inför beteckningarna y = P x och c = Q T b, som uppdelas på motsvarande sätt som R i två delar: y = (y 1, y 2 ) T samt c = (c 1, c 2 ) T, så får vi Ax b 2 2 = ( R1 R ) ( ) y1 y 2 ( c1 c 2 ) 2 = R 1 y 1 + R 2 y 2 c c Den andra termen c 2 påverkas inte av parametrarna y, medan den första termen kan minimeras på ett godtyckligt antal sätt. Komponenterna av y 2 kan väljas godtyckligt, sedan kan y 1 lösas ur ekvationssystemet R 1 y 1 = c 1 R 2 y 2. Systemet är högertriangulärt och kan lösas genom bakåtsubstitution. Vanligen sätter man y 2 = 0. 2 Vetenskapliga beräkningar III, Tom Sundius
12 5.8. Singulärvärdesuppdelningen Antag, att A är en m n-matris (m n) med reella element. Det existerar då en m m ortogonal matris U, en n n ortogonal matris V, och en m n diagonal matris D, vars diagonalelement d 1 d 2... d s 0 (s = min(m, n)), så att A = UDV T. Matrisen U bildas av de ortonormerade egenvektorer, som motsvarar egenvärdena av matrisen AA T, och matrisen V består av de ortonormerade egenvektorerna av A T A. Diagonalelementen av matrisen D är de icke-negativa kvadratrötterna av egenvärdena av A T A, som även brukar kallas singulära värden. Vi skall avstå från att bevisa riktigheten av detta. Man kan också visa, att matrisens rang är lika med antalet singulära värden, som skiljer sig från noll. Om A är singulär så är åtminstone d n = 0. Om matrisen är nästan singulär, så betyder det, att några av de singulära värdena är mycket små. Förhållandet d 1 /d n kan uppfattas som ett mått på konditionen för matrisen A. Om man väljer Q = U samt R = DV T, så ser man att singulärvärdesuppdelningen leder till en ortogonal faktorisering. Vetenskapliga beräkningar III, Tom Sundius
13 Lösningen till ekvationssystemet Ax = b kan då skrivas x = V D + U T b, som kan beräknas i två steg: { y = Q T b = U T b x = A + b = V D + y, där D + är en diagonal matris med diagonalelementen 1/d k om d k > 0, och 0 i annat fall. Dessa ekvationer gäller oberoende av antalet singulärvärden d k 0. För det fall att matrisens rang är okänd, kan denna metod vara nyttig att använda. För välartade matriser är den emellertid mer kostsam och något mindre noggrann. Som vi lätt inser, gäller följande ekvationer: A T A = V D T DV T, AA T = UDD T U T. Således är kvadraterna på de singulära värdena egenvärden för matriserna A T A och AA T, och man skulle därför vänta sig att singulärvärdesuppdelningen enkelt skulle kunna utföras genom diagonalisering av de symmetriska matriserna A T A och AA T. Men detta leder emellertid inte till en stabil metod att utföra singulärvärdesuppdelningen. Vetenskapliga beräkningar III, Tom Sundius
14 Singulärvärdesuppdelningen, som upptäcktes redan på 1870 talet av Beltrami och Jordan, infördes som en praktisk metod vid ekvationslösning av Gene Golub 1 på 1970 talet. Singulärvärdesuppdelningen är mycket lämplig att använda, när det gäller att studera en matris med dålig kondition. Om matrisen A är kvadratisk, så är alla matriserna U, V och D kvadratiska matriser, och man finner, att inversen av matrisen A kan uttryckas A 1 = V diag(1/d j )U T, där diag(1/d j ) betecknar en diagonalmatris, vars element består av de reciproka värdena av matrisen D:s element. Detta uttryck är korrekt, såvida inte något av D:s element är mycket litet. Detta kan inträffa, om matrisen har dålig kondition. I detta fall blir konditionstalet d 1 /d n mycket stort. Om A är singulär, blir (åtminstone) ett av dess singulära värden noll. I detta fall kan man konstruera en invers matris genom att ersätta 1/d j med noll då d j = 0. 1 G.H. Golub och C. Reinsch: Singular Value Decomposition and Least Squares Solutions, Numer. Math. 14, (1970) Vetenskapliga beräkningar III, Tom Sundius
15 Detta är ett specialfall av en pseudoinvers. En dylik invers kan definieras för en godtycklig m n-matris A som en matris X, som uppfyller Penrose s villkor: AXA = A, XAX = X, (AX) T = AX, (XA) T = XA. Man kan lätt visa, att om A + är en pseudoinvers, och A har singulärvärdesuppdelningen så kan dess pseudoinvers uttryckas som A = UDV T, A + = V D + U T, där D + = diag(d + i ), och d + i = { 1/di om d i > 0, 0 om d i = 0. Vetenskapliga beräkningar III, Tom Sundius
16 Det är lätt att visa, att de nämnda fyra villkoren är uppfyllda, och att A + inte heller beror av valet av U och V. Singulärvärdesuppdelningen kan användas i minsta kvadratmetoden på följande sätt. För normen av resttermen finner vi följande uttryck (observera, att U är ortogonal): Ax b 2 = UDV T x b 2 = U T (UDV T x b) 2 = DV T x U T b 2. Genom att beteckna U T b med c och V T x med z, får man Ax b 2 2 = Dz c 2 2 = (d 1z 1 c 1 ) (d n z n c n ) 2 + c 2 n c2 m. Om inga singulärvärden är noll, så kan man alltid välja z i (dvs x i ) så, att normen minimeras: Ax b 2 2 = c2 n c2 m. I detta fall existerar det en entydig lösning. Vetenskapliga beräkningar III, Tom Sundius
17 Om d n = 0, kan man välja vilket värde som helst av z n, och man får alltid Ax b 2 2 = c2 n + c2 n c2 m, som inte ger en entydig lösning. Om d i = 0 för något i brukar man vanligen också välja z i = 0. Små singulära värden visar att systemet har dålig kondition. Om konditionen är dålig, så är det oförmånligt att lösa normalekvationerna, och singulärvärdesuppdelningen är då att föredra. Om A är en m n matris med rangen r > 0, och singulärvärdena d 1 d 2... d r > 0, så är konditionstalet för A: cond(a) = A 2 A + 2 = d 1 /d r. Eftersom A T A = V D T DV T, så är singulärvärdena för A T A kvadraterna på singulärvärdena för A, och cond(a T A) = (cond(a)) 2. Löser man minsta kvadratproblemet med singulärvärdesuppdelning, visar sig felet bestämmas av cond(a), istället för cond(a T A), som gäller för lösningen av ett system av normalekvationer. I MATLAB kan singulärvärdesuppdelningen utföras med den inbyggda funktionen svd, som alstrar de tre matriserna U, D och V. Nedan visas som exempel singulärvärdesuppdelningen av en 2 3 matris. Som vi ser, är matrisens rang 2. Vi kan också beräkna matrisens pseudoinvers med funktionen pinv. Vetenskapliga beräkningar III, Tom Sundius
18 >> A = [1 1; 1 2 ; 1 3]; >> [U, S, V] = svd(a); U = S = V = >> pseudo=pinv(a) pseudo = >> pseudo2 = V* pinv(s) * U pseudo2 = Vetenskapliga beräkningar III, Tom Sundius
t Möjliga lösningar? b
b 12 10 8 6 4 2 0 Möjliga lösningar? 0 1 2 3 4 5 6 t b 12 10 8 6 4 2 0 Elementen i residualen r 5 r 4 r 3 0 1 2 3 4 5 6 t r 1 r 2 b 12 10 8 6 4 2 0 Minstakvadratlösningen 0 1 2 3 4 5 6 t OH-bild från Matte
12. SINGULÄRA VÄRDEN. (u Av) u v
. SINGULÄRA VÄRDEN Vårt huvudresultat sen tidigare är Sats.. Varje n n matris A kan jordaniseras, dvs det finns en inverterbar matris S sån att S AS J där J är en jordanmatris. Om u och v är två kolonnvektorer
2D1250 Tillämpade numeriska metoder II Läsanvisningar och repetitionsfrågor:
1 Axel Ruhe NADA 10 mars 2005 2D1250 Tillämpade numeriska metoder II Läsanvisningar och repetitionsfrågor: Dessa frågor är till hjälp vid inläsning av Linjär Algebra momenten i kursen. Hänvisningar till
1 Positivt definita och positivt semidefinita matriser
Krister Svanberg, april 1 1 Positivt definita och positivt semidefinita matriser Inom ickelinjär optimering, speciellt kvadratisk optimering, är det viktigt att på ett effektivt sätt kunna avgöra huruvida
Numerisk Analys, MMG410. Exercises 2. 1/33
Numerisk Analys, MMG410. Exercises 2. 1/33 1. A är en kvadratisk matris vars alla radsummor är noll. Visa att A är singulär. Låt e vara vektorn av ettor. Då är Ae = 0 A har icke-trivialt nollrum. 2/33
1. (Dugga 1.1) (a) Bestäm v (3v 2u) om v = . (1p) and u =
Kursen bedöms med betyg,, 5 eller underkänd, där 5 är högsta betyg. För godkänt betyg krävs minst poäng från uppgifterna -7. Var och en av dessa sju uppgifter kan ge maximalt poäng. För var och en av uppgifterna
Minsta kvadratmetoden
Minsta kvadratmetoden där Överbestämda ekvationssystem Det är lämpligt att uppfatta matrisen A som bestående av n kolonnvektorer: A a a a n a a a n a n a n a nn a j a j a nj a a a n j n Då kan vi skriva
Enhetsvektorer. Basvektorer i två dimensioner: 1 1 Basvektorer i tre dimensioner: Enhetsvektor i riktningen v: v v
Vektoraddition u + v = u + v = [ ] u1 u 2 u 1 u 2 + u 3 + [ v1 v 2 ] = v 1 v 2 = v 3 [ u1 + v 1 u 2 + v 2 u 1 + v 1 u 2 + v 2 u 3 + v 3 ] Multiplikation med skalär α u = α [ u1 u 2 α u = α ] = u 1 u 2
SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen 2011-06-09 DEL A (1) Betrakta ekvationssystemet x y 4z = 2 2x + 3y + z = 2 3x + 2y 3z = c där c är en konstant och x, y och z är de tre obekanta.
SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF64 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen 0-0-0 DEL A De tre totalmatriserna 0 3 3 4 0 3 0 0 0 0, 0 3 0 4 4 0 3 0 3 0 0 0 0 och 0 3 0 4 0 3 3 0 0 0 0 0 svarar mot linjära ekvationssystem
SF1624 Algebra och geometri Tentamen med lösningsförslag onsdag, 11 januari 2017
SF64 Algebra och geometri Tentamen med lösningsförslag onsdag, januari 7. (a) För vilka värden på k har ekvationssystemet (med avseende på x, y och z) kx + ky + z 3 x + ky + z 4x + 3y + 3z 8 en entydig
. (2p) 2x + 2y + z = 4 y + 2z = 2 4x + 3y = 6
Kursen bedöms med betyg, 4, 5 eller underkänd, där 5 är högsta betyg För godkänt betyg krävs minst 4 poäng från uppgifterna -7 Var och en av dessa sju uppgifter kan ge maximalt poäng För var och en av
LYCKA TILL! kl 8 13
LUNDS TEKNISK HÖGSKOL MTEMTIK TENTMENSSKRIVNING Linjär algebra 0 0 kl 8 3 ING HJÄLPMEDEL Förklara dina beteckningar och motivera lösningarna väl Om inget annat anges är koordinatsystemen ortonormerade
Norm och QR-faktorisering
Norm och QR-faktorisering Skalärprodukten på C n (R n ) hänger ihop med några viktiga klasser av matriser. För en komplex matris A betecknar vi med A H det Hermitiska konjugatet till A, dvs A H = A T.
1 Grundläggande kalkyler med vektorer och matriser
Krister Svanberg, mars 2015 1 Grundläggande kalkyler med vektorer och matriser Trots att läsaren säkert redan behärskar grundläggande vektor- och matriskalkyler, ges här i Kapitel 1 en repetition om just
ax + y + 4z = a x + y + (a 1)z = 1. 2x + 2y + az = 2 Ange dessutom samtliga lösningar då det finns oändligt många.
LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIK TENTAMENSSKRIVNING Linjär algebra 8 kl 4 9 INGA HJÄLPMEDEL. För alla uppgifterna, utom 3, förklara dina beteckningar och motivera lösningarna väl. Alla baser får antas
6.1 Skalärprodukt, norm och ortogonalitet. TMV141 Linjär algebra E VT 2011 Vecka 6. Lärmål 6.1. Skalärprodukt. Viktiga begrepp
6.1 Skalärprodukt, norm och ortogonalitet TMV141 Linjär algebra E VT 2011 Vecka 6 Skalärprodukt Norm/längd Normerad vektor/enhetsvektor Avståndet mellan två vektorer Ortogonala vektorer Ortogonala komplementet
SF1624 Algebra och geometri Tentamen Torsdag, 9 juni 2016
SF624 Algebra och geometri Tentamen Torsdag, 9 juni 26 Skrivtid: 8: 3: Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Tilman Bauer Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger maximalt fyra poäng. Del A på
TANA09 Föreläsning 5. Matrisnormer. Störningsteori för Linjära ekvationssystem. Linjära ekvationssystem
TANA9 Föreläsning Matrisnormer Linjära ekvationssystem Matrisnormer. Konditionstalet. Felanalys. Linjära minstakvadratproblem Överbestämda ekvationssystem. Normalekvationerna. Ortogonala matriser. QR faktorisering.
SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF64 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen 04-05-0 DEL A. Planet P innehåller punkterna (,, 0), (0, 3, ) och (,, ). (a) Bestäm en ekvation, på formen ax + by + cz + d = 0, för planet P. (
TMV166 Linjär Algebra för M. Tentamen
MATEMATISKA VETENSKAPER TMV66 6 Chalmers tekniska högskola 6 8 kl 8:3 :3 (SB Multisal) Examinator: Tony Stillfjord Hjälpmedel: ordlistan från kurshemsidan, ej räknedosa Telefonvakt: Olof Giselsson, ankn
1 De fyra fundamentala underrummen till en matris
Krister Svanberg, mars 2012 1 De fyra fundamentala underrummen till en matris 1.1 Definition av underrum En given delmängd M av IR n säges vara ett underrum i IR n om följande gäller: För varje v 1 M,
Övningar. MATEMATISKA INSTITUTIONEN STOCKHOLMS UNIVERSITET Avd. Matematik. Linjär algebra 2. Senast korrigerad:
MATEMATISKA INSTITUTIONEN STOCKHOLMS UNIVERSITET Avd. Matematik Linjär algebra 2 Senast korrigerad: 2006-02-10 Övningar Linjära rum 1. Låt v 1,..., v m vara vektorer i R n. Ge bevis eller motexempel till
DEL I. Matematiska Institutionen KTH. Lösning till tentamensskrivning på kursen Linjär algebra II, SF1604, den 15 mars 2010 kl
1 Matematiska Institutionen KTH Lösning till tentamensskrivning på kursen Linjär algebra II, SF1604, den 15 mars 010 kl 14.00-19.00. Hjälpmedel: Inga hjälpmedel är tillåtna på tentamensskrivningen. Betygsgränser:
Basbyten och linjära avbildningar
Föreläsning 11, Linjär algebra IT VT2008 1 Basbyten och linjära avbildningar Innan vi fortsätter med egenvärden så ska vi titta på hur matrisen för en linjär avbildning beror på vilken bas vi använder.
MATRISTEORI. Pelle Pettersson MATRISER. En matris är ett rektangulärt schema med tal, reella eller komplexa, vilka kallas matrisens
MATRISTEORI Pelle Pettersson ALLMÄN MATRISKUNSKAP MATRISER En matris är ett rektangulärt schema med tal, reella eller komplexa, vilka kallas matrisens element Exempel Matrisen 2 3 4 5 6 har två rader och
Multiplicera 7med A λ 1 I från vänster: c 1 (Av 1 λ 1 v 1 )+c 2 (Av 2 λ 1 v 2 )+c 3 (Av 3 λ 1 v 3 ) = 0
Diagonalisering Anm. Begreppet diagonaliserbarhet är relevant endast för linjära avbildningar mellan rum av samma dimension, d.v.s. sådana som representeras av kvadratiska matriser. När vi i fortsättningen
TMA 671 Linjär Algebra och Numerisk Analys. x x2 2 1.
MATEMATISKA VETENSKAPER TMA67 8 Chalmers tekniska högskola Datum: 8--8 kl - 8 Examinator: Håkon Hoel Tel: ankn 38 Hjälpmedel: inga TMA 67 Linjär Algebra Numerisk Analys Tentan består av 8 uppgifter, med
Lösningsförslag till skrivningen i Vektorgeometri (MAA702) måndagen den 30 maj 2005
VÄXJÖ UNIVERSITET Matematiska och systemtekniska institutionen Per-Anders Svensson Lösningsförslag till skrivningen i Vektorgeometri (MAA702) måndagen den 30 maj 2005 Uppgift. Bestäm samtliga vektorer
1 Linjära ekvationssystem. 2 Vektorer
För. 1 1 Linjära ekvationssystem Gaußelimination - sriv om systemet för att få ett trappformat system genom att: byta ordningen mellan ekvationer eller obekanta; multiplicera en ekvation med en konstant
Preliminärt lösningsförslag
Preliminärt lösningsförslag v4, 9 augusti 4 Högskolan i Skövde (SK) Tentamen i matematik Kurs: MA4G Linjär algebra MAG Linjär algebra för ingenjörer Tentamensdag: 4-8-6 kl 43-93 Hjälpmedel : Inga hjälpmedel
2 Matrisfaktorisering och lösning till ekvationssystem
TANA21+22/ 5 juli 2016 LAB 2. LINJÄR ALGEBRA 1 Inledning Lösning av ett linjärt ekvationssystem Ax = b förekommer ofta inom tekniska beräkningar. I laborationen studeras Gauss-elimination med eller utan
Linjär Algebra M/TD Läsvecka 2
Linjär Algebra M/TD Läsvecka 2 Omfattning och Innehåll 2.1 Matrisoperationer: addition av matriser, multiplikation av matris med skalär, multiplikation av matriser. 2.2-2.3 Matrisinvers, karakterisering
SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen 14129 DEL A 1 (a) Bestäm linjen genom punkterna A = (,, 1) och B = (2, 4, 1) (1 p) (b) Med hjälp av projektion kan man bestämma det kortaste avståndet
Linjära ekvationssystem
Föreläsning 3 Linjära ekvationssystem Gausselimination Vanlig gausselimination för det linjära ekvationssystemet Ax = b utgår från den utökade matrisen [A b] och applicerar elementära radoperationer på
Vektorgeometri för gymnasister
Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Diagonalisering av linjära avbildningar III
29 november, 2016, Föreläsning 21. Ortonormala baser (ON-baser) Gram-Schmidt s ortogonaliseringsprocess
29 november, 2016, Föreläsning 21 Tillämpad linjär algebra Innehåll: Ortonormala baser (ON-baser) Gram-Schmidt s ortogonaliseringsprocess Minsta-kvadratmetoden - exempel 1. Uppgift. Tentamen 19/1-15, uppgift
Linjära ekvationssystem
Linjära ekvationssystem Gausselimination Vanlig gausselimination för det linjära ekvationssystemet Ax = b utgår från den utökade matrisen [A b] och applicerar elementära radoperationer på denna för att
SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen Lördagen den 5 juni, 2010 DEL A
SF624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen Lördagen den 5 juni, 200 DEL A ( Betrakta det komplexa talet w = i. (a Skriv potenserna w n på rektangulär form, för n = 2,, 0,, 2. ( (b Bestäm
1. (a) Bestäm alla värden på c som gör att matrisen A(c) saknar invers: 1 0 1. 1 c 1
ATM-Matematik Mikael Forsberg 734-4 3 3 För ingenjörs- och distansstudenter Linjär Algebra ma4a 5 4 Skrivtid: :-4:. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa. Börja varje
Egenvärden och egenvektorer. Linjär Algebra F15. Pelle
Egenvärden och egenvektorer Linjär Algebra F1 Egenvärden och egenvektorer Pelle 2016-03-07 Egenvärde och egenvektor Om A är en n n matris så kallas ett tal λ egenvärde och en kolonnvektor v 0 egenvektor
MVE022 Urval av bevis (på svenska)
MVE22 Urval av bevis (på svenska) J A S, VT 218 Sats 1 (Lay: Theorem 7, Section 2.2.) 1. En n n-matris A är inverterbar precis när den är radekvivalent med indentitesmatrisen I n. 2. När så är fallet gäller
SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till modelltentamen DEL A
SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till modelltentamen DEL A (1) Vid lösningen av ekvationssystemet x 1 3x 2 +3x 3 4x 4 = 1, x 2 +x 3 x 4 = 0, 4x 1 +x 2 x 3 2x 4 = 5, kommer man genom Gausselimination
SKRIVNING I VEKTORGEOMETRI
SKRIVNING I VEKTORGEOMETRI 201-0-0 14.00-17.00 Om inget annat uttryckligen sägs, kan koordinaterna för en vektor i antas vara givna i en ON-bas. Baser i rummet kan dessutom antas vara positivt orienterade.
Subtraktion. Räkneregler
Matriser En matris är en rektangulär tabell av tal, 1 3 17 4 3 2 14 4 0 6 100 2 Om matrisen har m rader och n kolumner så säger vi att matrisen har storlek m n Index Vi indexerar elementen i matrisen genom
Inför tentamen i Linjär algebra TNA002.
Inför tentamen i Linjär algebra TNA002. 1. Linjära ekvationssytem (a) Omskrivningen av ekvationssystem på matrisform samt utföra radoperationer. (b) De 3 typer av lösningar som dyker upp vid lösning av
Modul 1: Komplexa tal och Polynomekvationer
Modul : Komplexa tal och Polynomekvationer. Skriv på formen a + bi, där a och b är reella, a. (2 + i)( 2i) 2. b. + 2i + 3i 3 4i + 2i 2. Lös ekvationerna a. (2 i)z = 3 + i. b. (2 + i) z = + 3i c. ( 2 +
LÖSNINGAR LINJÄR ALGEBRA LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIK
LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIK LÖSNINGAR LINJÄR ALGEBRA 2017-10-2 1 Om vi skriver ekvationssystemet på matrisform AX = Y, så vet vi att systemet har en entydig lösning X = A 1 Y då det A 0 Om det A
SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A. (1 p) (c) Bestäm avståndet mellan A och linjen l.
SF64 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen 5.6. DEL A. Betrakta följande punkter i rummet: A = (,, ), B = (,, ) och C = (,, ). (a) Ange en parametrisk ekvation för linjen l som går genom B
6. Matriser Definition av matriser 62 6 MATRISER. En matris är ett rektangulärt schema av tal: a 11 a 12 a 13 a 1n a 21 a 22 a 23 a 2n A =
62 6 MATRISER 6 Matriser 6 Definition av matriser En matris är ett rektangulärt schema av tal: A a a 2 a 3 a n a 2 a 22 a 23 a 2n a m a m2 a m3 a mn Matrisen A säges vara av typ m n, där m är antalet rader
TMV166 Linjär algebra för M, vt 2016
TMV166 Linjär algebra för M, vt 2016 Lista över alla lärmål Nedan följer en sammanfattning av alla lärmål i kursen, uppdelade enligt godkänt- och överbetygskriterier. Efter denna lista följer ytterligare
Föreläsningsanteckningar Linjär Algebra II Lärarlyftet
Föreläsningsanteckningar Linjär Algebra II Lärarlyftet Per Alexandersson Föreläsning I Timme I: Repetition av matriser, linjära ekvationssystem Linjärt ekvationssystem: x + y + z 3w = 3 2x + y + z 4w =
Frågorna 1 till 6 ska svaras med ett kryss för varje korrekt påstående. Varje uppgift ger 1 poäng. Använd bifogat formulär för dessa 6 frågor.
TM-Matematik Mikael Forsberg 74-4 Matematik med datalogi, mfl. Linjär algebra ma4a 6 Skrivtid: 9:-4:. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa. Börja varje ny uppgift på
SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen 2010-10-22 DEL A (1) Uttrycket (x, y, z) (1, 1, 1) + s(1, 3, 0) + t(0, 5, 1) definierar ett plan W i rummet där s och t är reella parametrar. (a)
19. Spektralsatsen Spektralsatsen SPEKTRALSATSEN
9 SPEKTRALSATSEN 9. Spektralsatsen 9.. Spektralsatsen Symmetriska avbildningar är en viktig klass av linjära avbildningar. Vi kommer nedan att formulera ett antal viktiga resultat för dessa avbildningar
Vektorerna är parallella med planet omm de är vinkelräta mot planets normal, dvs mot
Kursen bedöms med betyg,, eller underkänd, där är högsta betyg. För godkänt betyg krävs minst poäng från uppgifterna -7. Var och en av dessa sju uppgifter kan ge maximalt poäng. För var och en av uppgifterna
Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf. Sammanfattning av föreläsningarna
Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf LAoG I, 5 hp ES, KandMa, MatemA -9-6 Sammanfattning av föreläsningarna 3-7 Föreläsningarna 3 7, 8/ 5/ : Det viktigaste är här att du lär dig att reducera
November 17, 2015 (1) en enda lsg. Obs det A = 1 0. (2) k-parameter lsg. Obs det A = 0. k-kolonner efter sista ledande ettan
Fö 9: November 7, 5 Determinanter och ekvationssystem Betrakta ett linjärt ekvssystem A X = B, där A är en kvadratisk n n)-matris och X, B n )-matriser. Låt C = [A B] utökad matris ). Gausselimination
DEL I. Matematiska Institutionen KTH. Lösning till tentamensskrivning på kursen Linjär algebra II, SF1604, den 17 april 2010 kl
Matematiska Institutionen KTH Lösning till tentamensskrivning på kursen Linjär algebra II, SF604, den 7 april 200 kl 09.00-4.00. DEL I. En triangel i den tredimensionella rymden har sina hörn i punkterna
SF1624 Algebra och geometri Bedömningskriterier till tentamen Fredagen den 22 oktober, 2010
SF1624 Algebra och geometri Bedömningskriterier till tentamen Fredagen den 22 oktober, 2010 Allmänt gäller följande: Om lösningen helt saknar förklarande text till beräkningar och formler ges högst två
Chalmers tekniska högskola Datum: Våren MVE021 Linjär algebra I
MATEMATIK Hjälpmedel: inga Chalmers tekniska högskola Datum: Våren 6 Övningstentamen Telefonvakt: Thomas Bäckdahl ankn 8 MVE Linjär algebra I Tentan rättas och bedöms anonymt Skriv tentamenskoden tydligt
SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen Fredagen den 23 oktober, 2009 DEL A
SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen Fredagen den 23 oktober, 2009 DEL A (1) (a) Bestäm de övriga rötterna till ekvationen z 3 11z 2 + 43z 65 = 0 när det är känt att en av rötterna
Övningar. c) Om någon vektor i R n kan skrivas som linjär kombination av v 1,..., v m på precis ett sätt så. m = n.
Övningar Linjära rum 1 Låt v 1,, v m vara vektorer i R n Ge bevis eller motexempel till följande påståenden Satser ur boken får användas a) Om varje vektor i R n kan skrivas som linjär kombination av v
Frågorna 1 till 6 ska svaras med ett kryss för varje korrekt påstående. Varje uppgift ger 1 poäng.
ATM-Matematik Mikael Forsberg 34-4 3 3 Matematik med datalogi, mfl. Linjär algebra mag4 6 3 Skrivtid: 9:-4:. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa. Börja varje ny uppgift
Matematiska Institutionen KTH. Lösning till tentamensskrivning på kursen Linjär algebra II, SF1604, den 9 juni 2011 kl
1 Matematiska Institutionen KTH Lösning till tentamensskrivning på kursen Linjär algebra II, SF1604, den 9 juni 2011 kl 08.00-1.00. OBS: Inga hjälpmedel är tillåtna på tentamensskrivningen. Bonuspoäng
SF1624 Algebra och geometri Lösningsförsag till modelltentamen
SF1624 Algebra och geometri Lösningsförsag till modelltentamen DEL A (1) a) Definiera begreppen rektangulär form och polär form för komplexa tal och ange sambandet mellan dem. (2) b) Ange rötterna till
Determinanter, egenvectorer, egenvärden.
Determinanter, egenvectorer, egenvärden. Determinanter av kvadratiska matriser de nieras recursivt: först för matriser, sedan för matriser som är mest användbara. a b det = ad bc c d det a a a a a a a
Matriser. En m n-matris A har följande form. Vi skriver också A = (a ij ) m n. m n kallas för A:s storlek. 0 1, 0 0. Exempel 1
Matriser En m n-matris A har följande form a 11... a 1n A =.., a ij R. a m1... a mn Vi skriver också A = (a ij ) m n. m n kallas för A:s storlek. Exempel 1 1 0 0 1, 0 0 ( 1 3 ) 2, ( 7 1 2 3 2, 1 3, 2 1
Lösningar till tentan i 5B1760 Linjär och kvadratisk optimering, 17 december 2003.
Lösningar till tentan i 5B7 Linjär och kvadratisk optimering, 7 december 3 Uppgift (a) 3 Vi använder Gauss-Jordans metod för att överföra A 3 5 till trappstegsform 3 7 Addition av ( ) gånger första raden
Diagonalisering och linjära system ODE med konstanta koe cienter.
Diagonalisering och linjära system ODE med konstanta koe cienter. Variabelbyte i linjära system di erentialekvationer. Målet med det kapitlet i kursen är att lösa linjära system di erentialekvationer på
SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen 22--6 DEL A Planet H ges av ekvationen x + 2y + z =, och planet W ges på parameterform som 2t 4s, t + 2s där s och t är reella parametrar (a) Bestäm
5 Linjär algebra. 5.1 Addition av matriser 5 LINJÄR ALGEBRA
5 LINJÄR ALGEBRA 5 Linjär algebra En kul gren av matematiken som inte fått speciellt mycket utrymme i gymnasiet men som har många tillämpningsområden inom t.ex. fysik, logistik, ekonomi, samhällsplanering
GRAM-SCHMIDTS METOD ... Med hjälp av Gram-Schmidts metod kan vi omvandla n st. linjäroberoende vektorer. samma rum dvs som satisfierar
Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR GRAM-SCHMIDTS METOD Med hjälp av kan vi omvandla n st linjäroberoende vektorer vv vv nn i ett vektorrum till n st ortonormerade vektorer ff ff nn som spänner upp samma rum
Lite Linjär Algebra 2017
Lite Linjär Algebra 2017 Lektionsanteckningar och sammanfattning Johan Thim, MAI (johan.thim@liu.se) ū ū O z y ū // L : OP + t v x Ortogonalprojektion: ū // = ū v v v v, ū = ū ū //. Innehåll 1 Bakgrund
SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen 2013-10-28 DEL A 1. Vi har matriserna 1 1 1 1 1 0 3 0 A = 1 1 1 1 1 1 1 1 och E = 0 0 0 1 0 0 1 0. 1 0 0 1 0 1 0 0 (a) Bestäm vilka elementära
(d) Mängden av alla x som uppfyller x = s u + t v + (1, 0, 0), där s, t R. (e) Mängden av alla x som uppfyller x = s u där s är ickenegativ, s 0.
TM-Matematik Mikael Forsberg, 734-4 3 3 Rolf Källström, 7-6 93 9 För Campus och Distans Linjär algebra mag4 och ma4a 6 5 Skrivtid: 9:-4:. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta
Matematik med datalogi, mfl. Linjär algebra ma014a ATM-Matematik Mikael Forsberg
ATM-Matematik Mikael Forsberg 6-64 89 6 Matematik med datalogi, mfl. Linjär algebra ma4a Skrivtid: 9:-4:. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa. Börja varje n uppgift
TMV142/186 Linjär algebra Z/TD
MATEMATIK Hjälpmedel: ordlistan från kurshemsidan, ej räknedosa Chalmers tekniska högskola Datum: 2018-08-27 kl 1400 1800 Tentamen Telefonvakt: Anders Hildeman ank 5325 TMV142/186 Linjär algebra Z/TD Skriv
SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till modelltentamen DEL A
SF624 Algebra och geometri Lösningsförslag till modelltentamen DEL A () (a) Använd Gauss-Jordans metod för att bestämma lösningsmängden till ekvationssystemet 2x + 4x 2 + 2x 3 + 2x 4 = 2, 3x + 6x 2 x 3
Linjär algebra på 2 45 minuter
Linjär algebra på 2 45 minuter π n x F(x) Förberedelser inför skrivningen Den här genomgången täcker förstås inte hela kursen. Bra sätt att lära sig kursen: läs boken, diskutera med kompisar, gå igenom
Tentamen TMV140 Linjär algebra Z
Tentamen TMV40 Linjär algebra Z 307 kl. 08.30 2.30 Examinator: Peter Hegarty, Matematiska vetenskaper, Chalmers Telefonvakt: Dawan Mustafa, 0703 088 304 Hjälpmedel: Inga, ej heller räknedosa För godkänt
Preliminärt lösningsförslag
Preliminärt lösningsförslag v7, 7 januari 6 Högskolan i Skövde Tentamen i matematik Kurs: MA4G Linjär algebra MAG Linjär algebra för ingenjörer Tentamensdag: 5--7 kl 43-93 Hjälpmedel : Inga hjälpmedel
Studiehandledning till linjär algebra Avsnitt 4
Svante Ekelin Institutionen för matematik KTH 1995 Studiehandledning till linjär algebra Avsnitt 4 Kapitel 6 och 9.3 i Anton/Rorres: Elementary Linear Algebra: Applications version (7:e uppl.) I avsnitt
15 september, Föreläsning 5. Tillämpad linjär algebra
5 september, 5 Föreläsning 5 Tillämpad linjär algebra Innehåll Matriser Algebraiska operationer med matriser Definition och beräkning av inversen av en matris Förra gången: Linjära ekvationer och dess
8(x 1) 7(y 1) + 2(z + 1) = 0
Matematiska Institutionen KTH Lösningsförsök till tentamensskrivningen på kursen Linjär algebra, SF60, den juni 0 kl 08.00-.00. Examinator: Olof Heden. OBS: Inga hjälpmedel är tillåtna på tentamensskrivningen.
SF1624 Algebra och geometri
SF1624 Algebra och geometri Tjugofemte föreläsningen Mats Boij Institutionen för matematik KTH 10 december, 2009 Tentamens struktur Tentamen består av tio uppgifter uppdelade på två delar, Del A och Del
Maj Lycka till! Sergei Silvestrov. 1. a) Bestäm Jordans normalform och minimalpolynom av Toeplitzmatrisen T =
LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIK TENTAMENSSKRIVNING Matristeori Maj 2 Denna hemtentamen skall göras och redovisas enskilt. I övrigt är alla hjälpmedel tillåtna. Lösningar till uppgifterna lämnas in i
Matematiska Institutionen KTH. Lösning till tentamensskrivning på kursen Linjär algebra, SF1604, den 15 mars 2012 kl
Matematiska Institutionen KTH Lösning till tentamensskrivning på kursen Linjär algebra, SF604, den 5 mars 202 kl 08.00-3.00. Examinator: Olof Heden. OBS: Inga hjälpmedel är tillåtna på tentamensskrivningen.
Basbyte (variabelbyte)
Basbyte (variabelbyte) En vektors koordinater beror på valet av bas! Tänk på geometriska vektorer här. v har längden 2 och pekar rakt uppåt i papprets plan. Kan vi då skriva v (, 2)? Om vi valt basvektorer
8 Minsta kvadratmetoden
Nr, april -, Amelia Minsta kvadratmetoden. Ekvationssystem med en lösning, -fallet Ett linjärt ekvationssystem, som ½ +7y = y = har en entydig lösning om koefficientdeterminanten, här 7, är skild från
2s + 3t + 5u = 1 5s + 3t + 2u = 1 3s 3u = 1
ATM-Matematik Mikael Forsberg 074-4 För studenter på distans och campus Linjär algebra ma04a 04 0 5 Skrivtid: 09:00-4:00. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa. Börja
Egenvärden, egenvektorer
Egenvärden, egenvektorer Om en matris är kvadratisk (dvs n n) kan vi beräkna egenvärden och egenvektorer till matrisen. Polynomet p(λ) = det(a λi) kallas det karakterisktiska polynomet för A. Ett nollställe
SF1624 Algebra och geometri Tentamen Onsdagen 29 oktober, 2014
SF1624 Algebra och geometri Tentamen Onsdagen 29 oktober, 214 Skrivtid: 14.-19. Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Roy Skjelnes Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger maximalt fyra poäng.
SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF64 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen 533 DEL A Planet H ges av ekvationen 3x y + 5z + a) Bestäm en linje N som är vinkelrät mot H ( p) b) Bestäm en linje L som inte skär planet H ( p)
2x + y + 3z = 4 x + y = 1 x 2y z = 3
ATM-Matematik Pär Hemström 7 6572 Sören Hector 7 4686 Mikael Forsberg 74 42 För studerande i linjär algebra Linjär algebra ma4a 225 Skrivtid: 9:-4:. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga
SF1624 Algebra och geometri Tentamen Onsdag, 13 januari 2016
SF624 Algebra och geometri Tentamen Onsdag, 3 januari 206 Skrivtid: 08:00 3:00 Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Tilman Bauer Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger maximalt fyra poäng. Del
1 Ortogonalitet. 1.1 Skalär produkt. Man kan tala om vinkel mellan vektorer.
Ortogonalitet Man kan tala om vinkel mellan vektorer.. Skalär produkt Vi definierar längden (eller normen) av en vektor som ett reellt tal 0 (Se boken avsnitt.). Vi definierar skalär produkt (Inner product),
Egenvärden och egenvektorer
Föreläsning 10, Linjär algebra IT VT2008 1 Egenvärden och egenvektorer Denition 1 Antag att A är en n n-matris. En n-vektor v 0 som är sådan att A verkar som multiplikation med ett tal λ på v, d v s Av
SF1624 Algebra och geometri
Föreläsning 16 Institutionen för matematik KTH 5 december 2017 Modul 6 Veckans arbete 1. Idag: Ortonormalt, kap 7.1-7.2 a. Ortogonala och ortonormala baser b. Gram-Schmidts metod c. Ortogonala matriser
8. Euklidiska rum 94 8 EUKLIDISKA RUM
94 8 EUKLIDISKA RUM 8. Euklidiska rum Definition 8.. En skalärprodukt på vektorrummet V är en funktion som till varje par av element u och v i V ordnar ett reellt tal u v eller u v med följande egenskaper:.