1 Positivt definita och positivt semidefinita matriser
|
|
- Monica Blomqvist
- för 5 år sedan
- Visningar:
Transkript
1 Krister Svanberg, april 1 1 Positivt definita och positivt semidefinita matriser Inom ickelinjär optimering, speciellt kvadratisk optimering, är det viktigt att på ett effektivt sätt kunna avgöra huruvida en given matris är positivt definit eller ej Detta kapitel handlar om just detta, samt om en del relaterade ting Vi inleder med lite fakta om några speciella typer av matriser 11 Diagonalmatriser och triangulära matriser En matris säges vara kvadratisk om den har lika många rader som kolonner En kvadratisk matris H säges vara symmetrisk om H T = H, dvs om elementen i H uppfyller h = h ji för alla i och j En kvadratisk matris D säges vara diagonal om alla element som inte ligger i diagonalen är nollor, dvs om d = för alla i och j sådana att i j Diagonalelementen i en diagonalmatris D kallas ofta d i (i stället för det mer korrekta d ii ) En diagonalmatris D är alltid symmetrisk, och den är icke-singulär om och endast om samtliga diagonalelement d i är En kvadratisk matris L säges vara vänstertriangulär om elementen i matrisen uppfyller att l = för alla i och j sådana att i < j, dvs om samtliga matriselement nordost om huvuddiagonalen är nollor Den engelska termen är lower triangular En vänstertriangulär matris L är icke-singulär om och endast om samtliga diagonalelement l ii är En kvadratisk matris U säges vara högertriangulär om elementen i matrisen uppfyller att u = för alla i och j sådana att i > j, dvs om samtliga matriselement sydväst om huvuddiagonalen är nollor Den engelska termen är upper triangular En högertriangulär matris U är icke-singulär om och endast om samtliga diagonalelement u ii är En diagonalmatris D, en vänstertriangulär matris L och en högertriangulär matris U ser alltså ut på följande vis: d l 1 u 11 u 1 u 1 u 1 d l 1 l u u u D =, L =, U = d l 1 l l u u d l 1 l l l u En viktig egenskap hos diagonala och triangulära matriser är att det är enkelt att lösa ekvationssystem där dessa är inblandade Om man exempelvis ska lösa ett ekvationssystem Lx = b, med L enligt ovan, så får man lösningen x genom att i tur och ordning beräkna x 1 = b 1 l 11, x = b l 1 x 1 l, x = b l 1 x 1 l x l, x = b l 1 x 1 l x l x l Likaså om man ska lösa ett ekvationssystem Ux = b, med U enligt ovan, så får man lösningen x genom att i tur och ordning beräkna x = b u, x = b u x u, x = b u x u x u, x 1 = b 1 u 1 x u 1 x u 1 x u 11 1
2 Det allra lättaste är förstås att lösa ett ekvationssystem Dx = b, med D enligt ovan Då får man lösningen x ur x 1 = b 1 d 1, x = b d, x = b d, x = b d 1 Definition av positivt definit och positivt semidefinit matris Låt H IR n n vara en given symmetrisk matris och låt x IR n Då är x T Hx = n n h x i x j (11) i=1 j=1 Om x 1,, x n uppfattas som variabler medan matriselementen h är konstanter, så definierar (11) en kvadratisk form i x IR n En symmetrisk matris H IR n n säges vara positivt semidefinit om x T Hx för alla x IR n (1) En symmetrisk matris H IR n n säges vara positivt definit om x T Hx > för alla x IR n {} (1) Här betyder x IR n {} att vektorn x IR n inte är nollvektorn (Att man utesluter nollvektorn beror förstås på att om x = så är x T Hx =, oberoende av H Man kan alltså inte kräva att x T Hx > för alla x IR n, ty då skulle ingen matris H vara positivt definit!) Observera att om H är positivt definit så är H per definition även positivt semidefinit [ ] ( ) 1 x1 Exempel 1 Antag att H = Med x = är då 5 x T Hx = x 1 + x 1x + x x 1 + 5x = x 1 + x 1x + 5x = (x 1 + x ) + x, som alltid är, med likhet om och endast om x 1 + x = och x =, dvs om och endast om x 1 = x = Matrisen H är alltså positivt definit, och därmed även positivt semidefinit [ ] ( ) 1 x1 Exempel Antag att H = Med x = är då x T Hx = x 1 + x 1x + x x 1 + x = x 1 + x 1x + x = (x 1 + x ), som alltid är Men x T Hx = för (exempelvis) x = (, 1) T Matrisen H är alltså positivt semidefinit men inte positivt definit [ ] ( ) 1 x1 Exempel Antag att H = Med x = är då x T Hx = x 1 + x 1x + x x 1 + x = x 1 + x 1x + x = (x 1 + x ) x, som är < för (exempelvis) x = (, 1) T Matrisen H är alltså inte positivt semidefinit, och därmed inte heller positivt definit x x x
3 1 Några egenskaper hos positivt definita matriser 1) Om H är symmetrisk och positivt definit så är H icke-singulär Bevis: Om H är singulär så finns ett x sådant att Hx =, och då är även x T Hx =, vilket strider mot att H är positivt definit ) Om H är symmetrisk och positivt definit så är varje diagonalelement h ii > Bevis: Om exempelvis h 11 så är, med x = (1,,, ) T, x T Hx = h 11 ) En diagonalmatris D är positivt definit om och endast om alla d i är > Bevis: x T Dx = i d ix i som är > för alla x om och endast om alla d i > ) Om H IR n n är symmetrisk och positivt definit, medan B IR n k har linjärt oberoende kolonner, så är även G = B T HB IR k k symmetrisk och positivt definit Bevis: G T = (B T HB) T = B T H T B = B T HB = G visar att G är symmetrisk För ett godtyckligt x IR k är x T Gx = x T B T HBx = (Bx) T H(Bx), med likhet endast om Bx =, dvs endast om x =, vilket visar att G är positivt definit [ ] H11 O T 5) Antag att H IR n n är en symmetrisk blockmatris på formen H =, O H där matriserna H 11 IR n 1 n 1 och H IR n n båda är symmetriska, medan O IR n n 1 och O T IR n 1 n betecknar nollmatriser Då är H positivt definit om och endast om H 11 och H båda är positivt definita Bevis: Antag först att ( H 11 ) och H båda är positivt definita och tag ett godtyckligt x IR n x1 Då kan x skrivas x = IR n, där x 1 IR n 1 och x IR n (ty n = n 1 +n ) x Om x så är minst en av x 1 och x, varvid x T Hx = x T 1 H 11x 1 + x T H x >, vilket visar att H är positivt definit Antag nu att H 11 inte är positivt definit ( ) Då finns ett x 1 sådant att x T 1 H x1 11x 1 Med x = IR n blir då x T Hx = x T 1 H 11x 1, vilket visar att H inte är positivt definit Antag slutligen att H inte är positivt definit ( ) Då finns ett x sådant att x T H x Med x = IR n blir då x T Hx = x T H x, vilket visar att H inte är positivt definit x 6) En symmetrisk matris H är positivt definit om och endast om samtliga dess egenvärden är > (Bevisas ej här)
4 1 Några egenskaper hos positivt semidefinita matriser Vi använder här förkortningen PSD för positivt semidefinit 1) Om H är symmetrisk och PSD så är varje diagonalelement h ii Bevis: Om exempelvis h 11 < så är, med x = (1,,, ) T, x T Hx = h 11 < ) Om H är symmetrisk och PSD och ett diagonalelement uppfyller h ii =, så är h = h ji = för alla j Bevis: Om exempelvis h 11 = och h 1 = h 1 så är, med x = (x 1, 1,,, ) T, x T Hx = h + h 1 x 1, som är < för lämpligt valt värde på x 1 ) En diagonalmatris D är PSD om och endast om alla diagonalelement d i är Bevis: x T Dx = i d ix i som är för alla x om och endast om alla d i ) Antag att H IR n n är symmetrisk och PSD, och att B IR n k Då är G = B T HB IR k k symmetrisk och PSD Bevis: G T = (B T HB) T = B T H T B = B T HB = G visar att G är symmetrisk För varje x IR k är x T Gx = x T B T HBx = (Bx) T H(Bx), vilket visar att G är PSD [ ] H11 O T 5) Antag att H IR n n är en symmetrisk blockmatris på formen H =, O H där matriserna H 11 IR n 1 n 1 och H IR n n båda är symmetriska, medan O IR n n 1 och O T IR n 1 n betecknar nollmatriser Då är H positivt semidefinit om och endast om H 11 och H båda är positivt semidefinita Bevis: Antag att H 11 och ( H) båda är PSD och tag ett godtyckligt x IR n x1 Då kan x skrivas x = IR n, där x 1 IR n 1 och x IR n (ty n = n 1 +n ) x Därmed är x T Hx = x T 1 H 11x 1 + x T H x, vilket visar att H är PSD Antag nu ( att H ) 11 inte är PSD Då finns ett x 1 sådant att x T 1 H 11x 1 < x1 Med x = IR n blir då x T Hx = x T 1 H 11x 1 <, vilket visar att H inte är PSD Antag slutligen ( ) att H inte är PSD Då finns ett x sådant att x T H x < Med x = IR n blir då x T Hx = x T H x <, vilket visar att H inte är PSD x 6) En symmetrisk matris H är positivt semidefinit om och endast om samtliga dess egenvärden är (Bevisas ej här)
5 15 Matriserna A T A och AA T Låt A IR m n vara en given matris, och sätt H = A T A IR n n och G = AA T IR m m Då är både H och G symmetriska, ty H T = (A T A) T = A T (A T ) T = A T A = H och G T = (AA T ) T = (A T ) T A T = AA T = G Vidare är både H och G positivt semidefinita, ty om x är en godtycklig vektor i IR n och y är en godtycklig vektor i IR m så blir x T Hx = x T A T Ax = (Ax) T (Ax) = Ax, och y T Gy = y T AA T y = (A T y) T (A T y) = A T y Antag att A har linjärt oberoende kolonner Då är Ax för varje x IR n {} Det betyder att för varje x IR n {} är x T Hx = x T A T Ax = (Ax) T (Ax) = Ax >, vilket visar att A T A är positivt definit om kolonnerna i A är linjärt oberoende Antag att A har linjärt oberoende rader Då är A T y för varje y IR m {} Det betyder att för varje y IR m {} är y T Gy = y T AA T y = (A T y) T (A T y) = A T y >, vilket visar att AA T är positivt definit om raderna i A är linjärt oberoende Följande samband kommer ofta till användning: N (A T A) = N (A), N (AA T ) = N (A T ), R(A T A) = R(A T ), R(AA T ) = R(A) (1) Dessa visas på följande sätt: x N (A) Ax = A T Ax = x N (A T A) x N (A T A) A T Ax = x T A T Ax = Ax = Ax = x N (A) y N (A T ) A T y = AA T y = y N (AA T ) y N (AA T ) AA T y = y T AA T y = A T y = A T y = y N (A T ) x R(A T ) x N (A) x N (A T A) x R(A T A) y R(A) y N (A T ) y N (AA T ) y R(AA T ) 5
6 16 LDL T -faktorisering av positivt definita matriser Om man vill avgöra huruvida en given symmetrisk matris är positivt definit eller ej så bör man använda så kallad LDL T -faktorisering, som bygger på följande sats Sats: En symmetrisk matris H IR n n är positivt definit om och endast om det finns en vänstertriangulär matris L IR n n med alla l ii = 1 och en diagonalmatris D IR n n med alla d i > sådana att H = LDL T Vi ska i detta avsnitt ge ett konstruktivt bevis av denna sats genom att beskriva en algoritm för LDL T -faktorisering av positivt definita matriser I hela detta avsnitt används förkortningen PD = symmetrisk och positivt definit Först konstaterar vi att om L och D är enligt ovan så följer av egenskaperna i avsnitt 1 att LDL T är PD, eftersom en diagonalmatris med alla diagonalelement > är PD, och en triangulär matris med alla diagonalelement har såväl linjärt oberoende kolonner som linjärt oberoende rader I resten av detta avsnitt ska vi förutsätta att H är PD, och visa hur man då kan bestämma L och D med egenskaper enligt ovan, sådana att H = LDL T För att göra framställningen mindre teknisk (och förhoppningsvis lättare att följa) nöjer vi oss med att beskriva metodiken för specialfallet att H är en given symmetrisk matris Generaliseringen till en godtycklig symmetrisk n n matris torde sedan vara uppenbar Vårt mål är alltså att genomföra faktoriseringen H = LDL T, där h 11 h 1 h 1 h 1 h 1 h h h H = h 1 h h h h 1 h h h D = d d d d L = l 1 1 l 1 l 1 l 1 l l 1 Av orsaker som snart kommer att framgå döper vi först om elementen i H till Vi har alltså att H = där = ji för alla i och j Att H är positivt definit medför speciellt att elementet 11 > Därför kan man dra multipler av första raden i H från de övriga raderna, så att samtliga element nedanför diagonalelementet 11 i första kolonnen blir nollor Detta motsvarar att matrisen H multipliceras från vänster med matrisen E 1 nedan Första raden i H påverkas inte av dessa radoperationer, så den första raden i matrisen E 1 H är identisk med den första raden i H Övriga rader påverkas däremot, så dess element får 6
7 heta h () Man har då att l 1 1 E 1 = l 1 1 l 1 1 och E 1 H = h () h () h () h () h () h () h () h () h () där l i1 = h(1) i1 och h () = l i1 1j = h(1) i1 h(1) 1j 11 för i =,, och j =,, 11 Därefter kan man dra multipler av första kolonnen i E 1 H från de övriga kolonnerna, så att samtliga element till höger om diagonalelementet 11 i första raden blir nollor Detta motsvarar att matrisen E 1 H multipliceras från höger med matrisen E T 1 (Att det är samma matris E 1 som dyker upp en gång till, fast nu transponerad, beror på att matrisen H är symmetrisk så att 1j = h(1) j1 för j =,, Därför är det samma multipler som används vid kolonnoperationerna som vid radoperationerna) Elementen h () påverkas inte av dessa operationer eftersom första kolonnen i E 1 H enbart har nollor nedanför 11 Då är alltså 1 E 1 HE T h () 1 = h () h () h () h () h () h () h () h () h () h () h () Att H är PD medför att E 1 HE T 1 är PD, vilket medför att matrisen h () h () h () är h () h () h () PD, vilket medför att h () > Då kan man dra multipler av andra raden i E 1 HE T 1 från de två sista raderna, så att samtliga element nedanför diagonalelementet h () i andra kolonnen blir nollor Detta motsvarar att matrisen E 1 HE T 1 multipliceras från vänster med matrisen E nedan De två första raderna i E 1 HE T 1 påverkas inte av dessa radoperationer, Övriga rader påverkas däremot, så dess element får heta h () Man har då att E = l 1 l 1 och E E 1 HE T 1 = 1 h () h () h () h () h () h () h () där l i = h() i h () och h () = h () l i h () j = h () 7 h() i h() j h () för i =, och j =,
8 Därefter kan man dra multipler av andra kolonnen i E E 1 HE T 1 från de två sista kolonnerna, så att samtliga element till höger om diagonalelementet h () i andra raden blir nollor Detta motsvarar att matrisen E E 1 HE T 1 multipliceras från höger med matrisen ET Elementen h () påverkas inte av dessa operationer Då är alltså 1 E E 1 HE T 1 E T h () = h () h () h () h () h() h () Att H är PD medför att E E 1 HE T 1 ET PD, vilket medför att h () > är PD, vilket medför att matrisen h () h () Då kan man dra en multipel av tredje raden i E E 1 HE T 1 ET från fjärde raden, så att elementet nedanför diagonalelementet h () blir en nolla Detta motsvarar att matrisen E E 1 HE T 1 ET multipliceras från vänster med matrisen E nedan De tre första raderna i påverkas inte av denna radoperation, Fjärde raden påverkas däremot, så dess element får heta h () Man har då att 1 E = och E E E 1 HE T 1 E T h () = 1 h () h () l 1 h () där l = h() h () och h () = h() l h () = h () h() h() h () Slutligen kan man dra en multipel av tredje kolonnen i E E E 1 HE T 1 ET från den fjärde kolonnen, så att elementet till höger om diagonalelementet h () blir en nolla Detta motsvarar att matrisen E E E 1 HE T 1 ET multipliceras från höger med matrisen ET Elementet h () påverkas inte av denna operation Då är alltså 1 E E E 1 HE T 1 E T E T h () = h () (15) h () är Att H är PD medför att E E E 1 HE T 1 ET ET är PD, vilket i sin tur medför att h() > 8
9 Låt diagonalmatrisen i (15) heta D, dvs D = E E E 1 HE T 1 E T E T (16) Eftersom varje radoperationsmatris E k är icke-singulär, så är (16) ekvivalent med att H = E 1 1 E 1 E 1 D (ET ) 1 (E T ) 1 (E T 1 ) 1 (17) Trevligt nog är det enkelt att beräkna såväl inversmatriserna E 1 k Man får nämligen att E 1 1 = l 1 1 l 1 1 l 1 1, E 1 = l 1 l 1, E 1 = som produkten E 1 1 E 1 E 1, 1 l 1 samt l 1 1 = l 1 1 l 1 1 l 1 1 l l 1 l 1 1 l 1 l 1 l 1 l l 1 Produkten E 1 1 E 1 E 1 är alltså en nedåt vänstertriangulär matris med ettor på diagonalen Denna matris kallar vi för L, dvs Då är L T = (E 1 1 E 1 E 1 )T = (E 1 och därför övergår (17) till L = E 1 1 E 1 E 1 (18) )T (E 1 )T (E 1 LDL T -faktoriseringen av H är därmed klar 1 )T = (E T ) 1 (E T ) 1 (E T 1 ) 1, H = LDL T (19) 9
10 17 Ett exempel på LDL T -faktorisering Vi ska avgöra om följande matris H är positivt definit, eller positivt semidefinit, eller ingetdera, genom att LDL T -faktorisera den H = Addera först 1 gånger rad 1 till rad och addera sedan 1 gånger kolonn 1 till kolonn Det ger 1 1 E 1 = 1 och E 1HE T 1 = Addera nu gånger rad till rad och addera sedan gånger kolonn till kolonn Det ger E = 1 och E E 1 HE T 1 E T = 1, 1 1 Addera nu gånger rad till rad och addera sedan gånger kolonn till kolonn Det ger E = 1 och E E E 1 HE T 1 E T E T = 5 1 Därmed är LDL T -faktoriseringen klar, och man har att 1 1 H = LDL T = Eftersom alla diagonalelement i D är > kan man dra slutsatsen att H är positivt definit 1
11 18 LDL T -faktorisering och kvadratkomplettering Det finns ett nära samband mellan LDL T -faktorisering och gammal hederlig kvadratkomplettering Vi ska här illustrera detta samband på exemplet i föregående avsnitt Låt x IR och bilda den kvadratiska formen x T Hx = x 1 x 1 x + x x x + x x x + x (11) Med hjälp av LDL T -faktoriseringen erhålls att Därmed är x T Hx = x T LDL T x = (L T x) T D(L T x), 1 1 L T 1 x = 1 1 x 1 1 x x T Hx = (L T x) T D(L T x x) = x x x x T x 1 x x x där x 1 1 x = x x x x 5 x x 1 1 x x x x x, x dvs x T Hx = (L T x) T D(L T x) = (x 1 1 x ) + (x x ) + (x x ) + 5 x (111) Med hjälp av LDL T -faktorisering har alltså den kvadratiska formen x T Hx i (11) överförts till en summa av kvadrater Ett alternativt sätt att utföra detta är med kvadratkomplettering Här följer en beskrivning av hur detta går till för ovanstående exempel Först elimineras blandade termer som innehåller faktorn x 1 med hjälp av omskrivningen x 1 x 1x = (x 1 x 1x ) = ((x 1 1 x ) 1 x ) Detta ger att x T Hx = (x 1 1 x ) + x x x + x x x + x Sedan elimineras blandade termer som innehåller faktorn x med hjälp av omskrivningen x x x = (x x x ) = ((x x ) 9 x ) Detta ger att x T Hx = (x 1 1 x ) + (x x ) + x x x + x Slutligen elimineras blandade termer som innehåller faktorn x med hjälp av omskrivningen x x x = (x x x ) = ((x x ) 9 16 x ) Detta ger att x T Hx = (x 1 1 x ) + (x x ) + (x x ) + 5 x, (11) vilket är exakt detsamma som (111) 11
12 19 LDL T -faktorisering av positivt semidefinita matriser I avsnitt 16 beskrevs hur man med hjälp av LDL T -faktorisering kan avgöra huruvida en given symmetrisk matris är positivt definit eller ej En naturlig följdfråga är då om man på ett motsvarande sätt kan avgöra huruvuda en given symmetrisk matris är positivt semidefinit eller ej Svaret är att det kan man göra med hjälp av en modifierad LDL T -faktorisering, där man tillåter diagonalelement h (i) ii att vara = Sats: En symmetrisk matris H IR n n är positivt semidefinit om och endast om det finns en vänstertriangulär matris L IR n n med alla l ii = 1 och en diagonalmatris D IR n n med alla d i sådana att H = LDL T Vi ska i detta avsnitt ge ett konstruktivt bevis av denna sats genom att beskriva en algoritm för LDL T -faktorisering av positivt semidefinita matriser I hela detta avsnitt används förkortningen PSD = symmetrisk och positivt semidefinit Först konstaterar vi att om L och D är enligt ovan så följer av egenskaperna i avsnitt 1 att LDL T är PSD Antag fortsättningsvis att H är PSD, och antag för enkelhets skull att n = Då kan man försöka använda metodiken i avsnitt 16 för att LDL T -faktorisera matrisen H Det som kan inträffa om H inte är positivt definit är att något diagonalelement h (i) ii blir Men eftersom H är PSD så kan inte h (i) ii <, enligt egenskaperna i avsnitt 1 Alltså är det värsta som kan hända att något eller några h (i) ii = Antag exempelvis att h () h () = h() = h() = h() E 1 HE T 1 = = Eftersom H förutsatts vara PSD så följer då att =, enligt egenskaperna i avsnitt 1 Man har då kommit till följande läge, jämför avsnitt 16 1 h () h () h () h () h () h () h () h () h () = Då låter man helt enkelt E =, varvid E E 1 HE T 1 E T = 1 1 med h () = och h() = h () för i =, och j =, 1 h () h () h () h () 1 h () h () h () h () h () Detta uttryck kan jämföras med motsvarande uttryck i avsnitt 16 Skillnaden är att där var h () >, medan här är h() = Dessutom är matrisen E nu en enhetsmatris, vilket den typiskt inte var i avsnitt 16 (om inte l och l båda råkade bli = ) 1,
13 Sedan fortsätter processen som i avsnitt 16 När man är färdig har man kommit till läget 1 E E E 1 HE T 1 E T E T h () = h () = D, (11) h () där samtliga h (i) ii Ur detta erhålls att H = LDL T, med D enligt ovan och L = E 1 1 E 1 E 1 som i likhet med i avsnitt 16 är på formen l 1 1 L = (11) l 1 l 1 l 1 l l 1 1
14 11 Ett nytt exempel på LDL T -faktorisering Vi ska avgöra om följande matris H är positivt definit, eller positivt semidefinit, eller ingetdera, genom att LDL T -faktorisera den H = Addera först 1 gånger rad 1 till rad och addera sedan 1 gånger kolonn 1 till kolonn Det ger 1 1 E 1 = 1 och E 1HE T = Addera nu 1 gånger rad till rad och addera sedan 1 gånger kolonn till kolonn Det ger E = 1 1 och E E 1 HE T 1 E T = 1 1, Addera nu 1 gånger rad till rad och addera sedan 1 gånger kolonn till kolonn Det ger E = 1 och E E E 1 HE T 1 E T E T = Därmed är LDL T -faktoriseringen klar, och man har att H = LDL T 1 1 = Eftersom alla diagonalelement i D är kan man dra slutsatsen att H är positivt semidefinit, men inte positivt definit eftersom ett diagonalelement i D är = 1
Lösningar till SF1861/SF1851 Optimeringslära, 24/5 2013
Lösningar till SF86/SF85 Optimeringslära, 4/5 03 Uppgift (a) Inför de 3 variablerna x ij = kvantitet (i sorten ton) som fabrik nr i åläggs att tillverka av produkt nr j, samt t = tiden (i sorten timmar)
Läs mer1 De fyra fundamentala underrummen till en matris
Krister Svanberg, mars 2012 1 De fyra fundamentala underrummen till en matris 1.1 Definition av underrum En given delmängd M av IR n säges vara ett underrum i IR n om följande gäller: För varje v 1 M,
Läs mer1 Grundläggande kalkyler med vektorer och matriser
Krister Svanberg, mars 2015 1 Grundläggande kalkyler med vektorer och matriser Trots att läsaren säkert redan behärskar grundläggande vektor- och matriskalkyler, ges här i Kapitel 1 en repetition om just
Läs mer1 Kvadratisk optimering under linjära likhetsbivillkor
Krister Svanberg, april 0 Kvadratisk optimering under linjära likhetsbivillkor I detta kapitel behandlas följande kvadratiska optimeringsproblem under linjära likhetsbivillkor: xt Hx + c T x + c 0 då Ax
Läs merSubtraktion. Räkneregler
Matriser En matris är en rektangulär tabell av tal, 1 3 17 4 3 2 14 4 0 6 100 2 Om matrisen har m rader och n kolumner så säger vi att matrisen har storlek m n Index Vi indexerar elementen i matrisen genom
Läs mer1 Konvexa optimeringsproblem grundläggande egenskaper
Krister Svanberg, april 2012 1 Konvexa optimeringsproblem grundläggande egenskaper Ett optimeringsproblem är i viss mening godartat om det tillåtna området är en konvex mängd och den målfunktion som ska
Läs merLinjär Algebra M/TD Läsvecka 3
bild 1 Linjär Algebra M/TD Läsvecka 3 Omfattning och Innehåll Lay: 3.1-3.3 Determinanter. Definition, räkneregler och ett par viktiga satser. Huitfeldt: Om lösningsnoggrannhet: vektornorm, matrisnorm bild
Läs merNumerisk Analys, MMG410. Exercises 2. 1/33
Numerisk Analys, MMG410. Exercises 2. 1/33 1. A är en kvadratisk matris vars alla radsummor är noll. Visa att A är singulär. Låt e vara vektorn av ettor. Då är Ae = 0 A har icke-trivialt nollrum. 2/33
Läs merMatriser. En m n-matris A har följande form. Vi skriver också A = (a ij ) m n. m n kallas för A:s storlek. 0 1, 0 0. Exempel 1
Matriser En m n-matris A har följande form a 11... a 1n A =.., a ij R. a m1... a mn Vi skriver också A = (a ij ) m n. m n kallas för A:s storlek. Exempel 1 1 0 0 1, 0 0 ( 1 3 ) 2, ( 7 1 2 3 2, 1 3, 2 1
Läs merLinjära ekvationssystem
Föreläsning 3 Linjära ekvationssystem Gausselimination Vanlig gausselimination för det linjära ekvationssystemet Ax = b utgår från den utökade matrisen [A b] och applicerar elementära radoperationer på
Läs mer1 Duala problem vid linjär optimering
Krister Svanberg, april 2012 1 Duala problem vid linjär optimering Detta kapitel handlar om två centrala teoretiska resultat för LP, nämligen dualitetssatsen och komplementaritetssatsen. Först måste vi
Läs mer1 Ickelinjär optimering under bivillkor
Krister Svanberg, maj 2012 1 Ickelinjär optimering under bivillkor Hittills har vi behandlat optimeringsproblem där alla variabler x j kunnat röra sig fritt, oberoende av varann, och anta hur stora eller
Läs merDagens program. Linjära ekvationssystem och matriser
Dagens program Matriser Räkneoperationer och räknelagar Linjära ekvationssystem och matriser Matrisform av ekvationssystem Elementära radoperationer Trappstegsmatriser, rang och lösningsstruktur Matrisinvers,
Läs merFöreläsning 7: Kvadratisk optimering. 4. Kvadratisk optimering under linjära bivillkor
Föreläsning 7: Kvadratisk optimering 1. Kvadratisk optimering utan bivillkor 2. Positivt definita och semidefinita matriser 3. LDL T faktorisering 4. Kvadratisk optimering under linjära bivillkor 5. Minsta
Läs mer1 LP-problem på standardform och Simplexmetoden
Krister Svanberg, mars 202 LP-problem på standardform och Simplexmetoden I detta avsnitt utgår vi från LP-formuleringen (2.2) från föreläsning. Denna form är den bäst lämpade för en strömlinjeformad implementering
Läs merLinjära ekvationssystem
Linjära ekvationssystem Gausselimination Vanlig gausselimination för det linjära ekvationssystemet Ax = b utgår från den utökade matrisen [A b] och applicerar elementära radoperationer på denna för att
Läs merLinjär Algebra M/TD Läsvecka 2
Linjär Algebra M/TD Läsvecka 2 Omfattning och Innehåll 2.1 Matrisoperationer: addition av matriser, multiplikation av matris med skalär, multiplikation av matriser. 2.2-2.3 Matrisinvers, karakterisering
Läs mer5.7. Ortogonaliseringsmetoder
5.7. Ortogonaliseringsmetoder Om man har problem med systemets kondition (vilket ofta är fallet), lönar det sig att undvika normalekvationerna vid lösning av minsta kvadratproblemet. En härtill lämplig
Läs merMATRISTEORI. Pelle Pettersson MATRISER. En matris är ett rektangulärt schema med tal, reella eller komplexa, vilka kallas matrisens
MATRISTEORI Pelle Pettersson ALLMÄN MATRISKUNSKAP MATRISER En matris är ett rektangulärt schema med tal, reella eller komplexa, vilka kallas matrisens element Exempel Matrisen 2 3 4 5 6 har två rader och
Läs merDeterminanter, egenvectorer, egenvärden.
Determinanter, egenvectorer, egenvärden. Determinanter av kvadratiska matriser de nieras recursivt: först för matriser, sedan för matriser som är mest användbara. a b det = ad bc c d det a a a a a a a
Läs merNorm och QR-faktorisering
Norm och QR-faktorisering Skalärprodukten på C n (R n ) hänger ihop med några viktiga klasser av matriser. För en komplex matris A betecknar vi med A H det Hermitiska konjugatet till A, dvs A H = A T.
Läs merEnhetsvektorer. Basvektorer i två dimensioner: 1 1 Basvektorer i tre dimensioner: Enhetsvektor i riktningen v: v v
Vektoraddition u + v = u + v = [ ] u1 u 2 u 1 u 2 + u 3 + [ v1 v 2 ] = v 1 v 2 = v 3 [ u1 + v 1 u 2 + v 2 u 1 + v 1 u 2 + v 2 u 3 + v 3 ] Multiplikation med skalär α u = α [ u1 u 2 α u = α ] = u 1 u 2
Läs merBasbyten och linjära avbildningar
Föreläsning 11, Linjär algebra IT VT2008 1 Basbyten och linjära avbildningar Innan vi fortsätter med egenvärden så ska vi titta på hur matrisen för en linjär avbildning beror på vilken bas vi använder.
Läs mer1. (Dugga 1.1) (a) Bestäm v (3v 2u) om v = . (1p) and u =
Kursen bedöms med betyg,, 5 eller underkänd, där 5 är högsta betyg. För godkänt betyg krävs minst poäng från uppgifterna -7. Var och en av dessa sju uppgifter kan ge maximalt poäng. För var och en av uppgifterna
Läs merLösningar till tentan i SF1861 Optimeringslära, 1 juni 2017
Lösningar till tentan i SF86 Optimeringslära, juni 7 Lösningarna är på svenska, utom lösningen av (a som är på engelska (a The considered network is illustrated in FIGURE below, where the supply at the
Läs merLösningar till utvalda uppgifter i kapitel 8
Lösningar till utvalda uppgifter i kapitel 8 8. Alla vektorer som är normaler till planet, d v s vektorer på formen (0 0 z) t, avbildas på nollvektorn. Dessa kommer därför att vara egenvektorer med egenvärdet
Läs merFöreläsningsanteckningar Linjär Algebra II Lärarlyftet
Föreläsningsanteckningar Linjär Algebra II Lärarlyftet Per Alexandersson Föreläsning I Timme I: Repetition av matriser, linjära ekvationssystem Linjärt ekvationssystem: x + y + z 3w = 3 2x + y + z 4w =
Läs merTMV166 Linjär Algebra för M. Tentamen
MATEMATISKA VETENSKAPER TMV66 6 Chalmers tekniska högskola 6 8 kl 8:3 :3 (SB Multisal) Examinator: Tony Stillfjord Hjälpmedel: ordlistan från kurshemsidan, ej räknedosa Telefonvakt: Olof Giselsson, ankn
Läs merSF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen Fredagen den 23 oktober, 2009 DEL A
SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen Fredagen den 23 oktober, 2009 DEL A (1) (a) Bestäm de övriga rötterna till ekvationen z 3 11z 2 + 43z 65 = 0 när det är känt att en av rötterna
Läs merSF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF64 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen 0-0-0 DEL A De tre totalmatriserna 0 3 3 4 0 3 0 0 0 0, 0 3 0 4 4 0 3 0 3 0 0 0 0 och 0 3 0 4 0 3 3 0 0 0 0 0 svarar mot linjära ekvationssystem
Läs merLösningsförslag till tentamen i SF1861 Optimeringslära för T. Torsdag 28 maj 2010 kl
Lösningsförslag till tentamen i SF86 Optimeringslära för T. Torsdag 28 maj 2 kl. 4. 9. Examinator: Per Enqvist, tel. 79 62 98. (a) Inför variablerna x = (x sr, x sm, x sp, x sa, x sd, x gr, x gm, x gp,
Läs merDagens program. Linjära ekvationssystem och matriser
Dagens program Matriser Räkneoperationer och räknelagar Linjära ekvationssystem och matriser Matrisform av ekvationssystem Elementära radoperationer Trappstegsmatriser, rang och lösningsstruktur Matrisinvers,
Läs merMVE022 Urval av bevis (på svenska)
MVE22 Urval av bevis (på svenska) J A S, VT 218 Sats 1 (Lay: Theorem 7, Section 2.2.) 1. En n n-matris A är inverterbar precis när den är radekvivalent med indentitesmatrisen I n. 2. När så är fallet gäller
Läs merBasbyte (variabelbyte)
Basbyte (variabelbyte) En vektors koordinater beror på valet av bas! Tänk på geometriska vektorer här. v har längden 2 och pekar rakt uppåt i papprets plan. Kan vi då skriva v (, 2)? Om vi valt basvektorer
Läs merNågra saker som jag inte hann: Ur trigonometriska ettan kan vi uttrycka och i termer av. Vi delar båda led i trig. 1:an med :
1 Onsdag v 1 Några saker som jag inte hann: Ur trigonometriska ettan kan vi uttrycka och i termer av Vi delar båda led i trig 1:an med : Detta ger också att vi kan uttrycka : Formeln ger också en formel
Läs merA. Grundläggande matristeori
A. Matristeori A. Grundläggande matristeori A.1 Definitioner A.1.1 Matriser och vektorer En matris är en rektangulär tabell av element ordnade i rader och kolonner (kolumner). Elementen i en matris kan
Läs merDiagonalisering och linjära system ODE med konstanta koe cienter.
Diagonalisering och linjära system ODE med konstanta koe cienter. Variabelbyte i linjära system di erentialekvationer. Målet med det kapitlet i kursen är att lösa linjära system di erentialekvationer på
Läs merUppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf. Sammanfattning av föreläsningarna
Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf LAoG I, 5 hp ES, KandMa, MatemA -9-6 Sammanfattning av föreläsningarna 3-7 Föreläsningarna 3 7, 8/ 5/ : Det viktigaste är här att du lär dig att reducera
Läs merLösningsförslag till tentamen i SF1861 Optimeringslära för T. Onsdag 25 augusti 2010 kl
Lösningsförslag till tentamen i SF86 Optimeringslära för T. Onsdag 25 augusti 2 kl. 4. 9. Examinator: Per Enqvist, tel. 79 62 98. (a) Vi har ett nätverksflödesproblem med 5 noder. Låt x = (x 2, x 3, x
Läs merLösningar till tentan i 5B1760 Linjär och kvadratisk optimering, 17 december 2003.
Lösningar till tentan i 5B7 Linjär och kvadratisk optimering, 7 december 3 Uppgift (a) 3 Vi använder Gauss-Jordans metod för att överföra A 3 5 till trappstegsform 3 7 Addition av ( ) gånger första raden
Läs merLÖSNINGAR TILL UPPGIFTER TILL RÄKNEÖVNING 1
STOCKHOLMS UNIVERSITET MATEMATISKA INSTITUTIONEN Linjär algebra II LÖSNINGAR TILL UPPGIFTER TILL RÄKNEÖVNING Lös ekvationssystemet x + y + z 9 x + 4y 3z 3x + 6z 5z med hjälp av Gausselimination Lösning:
Läs merKonsten att lösa icke-linjära ekvationssystem
Konsten att lösa icke-linjära ekvationssystem Andreas Axelsson Vi beskriver här de grundläggande teknikerna för att lösa icke-linjära ekvationssystem. Detta är en nödvändig kunskap för att kunna lösa diverse
Läs merSF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till modelltentamen DEL A
SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till modelltentamen DEL A (1) Vid lösningen av ekvationssystemet x 1 3x 2 +3x 3 4x 4 = 1, x 2 +x 3 x 4 = 0, 4x 1 +x 2 x 3 2x 4 = 5, kommer man genom Gausselimination
Läs merLösningsförslag till övningsuppgifter, del V
Lösningsförslag till övningsuppgifter, del V Obs! Preliminär version! Ö.1. (a) Vi kan lösa uppgiften genom att helt enkelt räkna ut avståndet mellan vart och ett av de ( 7 ) = 1 paren. Först noterar vi
Läs merPreliminärt lösningsförslag
Preliminärt lösningsförslag v4, 9 augusti 4 Högskolan i Skövde (SK) Tentamen i matematik Kurs: MA4G Linjär algebra MAG Linjär algebra för ingenjörer Tentamensdag: 4-8-6 kl 43-93 Hjälpmedel : Inga hjälpmedel
Läs merNovember 17, 2015 (1) en enda lsg. Obs det A = 1 0. (2) k-parameter lsg. Obs det A = 0. k-kolonner efter sista ledande ettan
Fö 9: November 7, 5 Determinanter och ekvationssystem Betrakta ett linjärt ekvssystem A X = B, där A är en kvadratisk n n)-matris och X, B n )-matriser. Låt C = [A B] utökad matris ). Gausselimination
Läs merVektorerna är parallella med planet omm de är vinkelräta mot planets normal, dvs mot
Kursen bedöms med betyg,, eller underkänd, där är högsta betyg. För godkänt betyg krävs minst poäng från uppgifterna -7. Var och en av dessa sju uppgifter kan ge maximalt poäng. För var och en av uppgifterna
Läs merVektorgeometri för gymnasister
Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Linjära avbildningar IV Innehåll Nollrum och
Läs mer. (2p) 2x + 2y + z = 4 y + 2z = 2 4x + 3y = 6
Kursen bedöms med betyg, 4, 5 eller underkänd, där 5 är högsta betyg För godkänt betyg krävs minst 4 poäng från uppgifterna -7 Var och en av dessa sju uppgifter kan ge maximalt poäng För var och en av
Läs merVektorgeometri för gymnasister
Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://w3.msi.vxu.se/users/pa/vektorgeometri/gymnasiet.html Institutionen för datavetenskap, fysik och matematik Linnéuniversitetet Vektorer i planet
Läs merSKRIVNING I VEKTORGEOMETRI
SKRIVNING I VEKTORGEOMETRI 201-0-0 14.00-17.00 Om inget annat uttryckligen sägs, kan koordinaterna för en vektor i antas vara givna i en ON-bas. Baser i rummet kan dessutom antas vara positivt orienterade.
Läs merSKRIVNING I VEKTORGEOMETRI
SKRIVNING I VEKTORGEOMETRI 2014-11-25 1400-1700 Om inget annat uttryckligen sägs, kan koordinaterna för en vektor i antas vara givna i en ON-bas Baser i rummet kan dessutom antas vara positivt orienterade
Läs merSF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till modelltentamen DEL A
SF624 Algebra och geometri Lösningsförslag till modelltentamen DEL A () (a) Använd Gauss-Jordans metod för att bestämma lösningsmängden till ekvationssystemet 2x + 4x 2 + 2x 3 + 2x 4 = 2, 3x + 6x 2 x 3
Läs merVektorgeometri för gymnasister
Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Diagonalisering av linjära avbildningar I Innehåll
Läs mer6.1 Skalärprodukt, norm och ortogonalitet. TMV141 Linjär algebra E VT 2011 Vecka 6. Lärmål 6.1. Skalärprodukt. Viktiga begrepp
6.1 Skalärprodukt, norm och ortogonalitet TMV141 Linjär algebra E VT 2011 Vecka 6 Skalärprodukt Norm/längd Normerad vektor/enhetsvektor Avståndet mellan två vektorer Ortogonala vektorer Ortogonala komplementet
Läs merSKRIVNING I VEKTORGEOMETRI Delkurs
SKRIVNING I VEKTORGEOMETRI Delkurs 1 2015 Om inget annat uttryckligen sägs, kan koordinaterna för en vektor i antas vara givna i en ON-bas. Baser i rummet kan dessutom antas vara positivt orienterade.
Läs merMer om analytisk geometri
1 Onsdag v 5 Mer om analytisk geometri Determinanter: Då man har en -matris kan man till den associera ett tal determinanten av som också skrivs Determinanter kommer att repeteras och studeras närmare
Läs mer6. Matriser Definition av matriser 62 6 MATRISER. En matris är ett rektangulärt schema av tal: a 11 a 12 a 13 a 1n a 21 a 22 a 23 a 2n A =
62 6 MATRISER 6 Matriser 6 Definition av matriser En matris är ett rektangulärt schema av tal: A a a 2 a 3 a n a 2 a 22 a 23 a 2n a m a m2 a m3 a mn Matrisen A säges vara av typ m n, där m är antalet rader
Läs merSF1624 Algebra och geometri Lösningsförsag till modelltentamen
SF1624 Algebra och geometri Lösningsförsag till modelltentamen DEL A (1) a) Definiera begreppen rektangulär form och polär form för komplexa tal och ange sambandet mellan dem. (2) b) Ange rötterna till
Läs merVectorer, spannet av vektorer, lösningsmängd av ett ekvationssystem.
Vectorer, spannet av vektorer, lösningsmängd av ett ekvationssystem. Begrepp som diskuteras i det kapitlet. Vektorer, addition och multiplikation med skalärer. Geometrisk tolkning. Linjär kombination av
Läs mert Möjliga lösningar? b
b 12 10 8 6 4 2 0 Möjliga lösningar? 0 1 2 3 4 5 6 t b 12 10 8 6 4 2 0 Elementen i residualen r 5 r 4 r 3 0 1 2 3 4 5 6 t r 1 r 2 b 12 10 8 6 4 2 0 Minstakvadratlösningen 0 1 2 3 4 5 6 t OH-bild från Matte
Läs merUppsala Universitet Matematiska Institutionen Thomas Erlandsson
Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Thomas Erlandsson MATRISER MED MERA VEKTORRUM DEFINITION Ett vektorrum V är en mängd av symboler u som vi kan addera samt multiplicera med reella tal c så
Läs merDEL I. Matematiska Institutionen KTH. Lösning till tentamensskrivning på kursen Linjär algebra II, SF1604, den 17 april 2010 kl
Matematiska Institutionen KTH Lösning till tentamensskrivning på kursen Linjär algebra II, SF604, den 7 april 200 kl 09.00-4.00. DEL I. En triangel i den tredimensionella rymden har sina hörn i punkterna
Läs merTMV166/186 Linjär Algebra M/TD 2011/2012 Läsvecka 1. Omfattning. Innehåll 2012-01-20. Lay, kapitel 1.1-1.9, Linjära ekvationer i linjär algebra
TMV166/186 Linjär Algebra M/TD 2011/2012 Läsvecka 1 Omfattning Lay, kapitel 1.1-1.9, Linjära ekvationer i linjär algebra Innehåll Olika aspekter av linjära ekvationssystem 1. skärning mellan geometriska
Läs merUppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf. Sammanfattning av föreläsningarna 1-4.
Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf LAoG I, 5 hp ES, KandMa, MatemA -9-6 Sammanfattning av föreläsningarna -. Föreläsningarna, 6/9 /9 : I sammanfattningen kommer en del av det vi tagit
Läs mer2D1250 Tillämpade numeriska metoder II Läsanvisningar och repetitionsfrågor:
1 Axel Ruhe NADA 10 mars 2005 2D1250 Tillämpade numeriska metoder II Läsanvisningar och repetitionsfrågor: Dessa frågor är till hjälp vid inläsning av Linjär Algebra momenten i kursen. Hänvisningar till
Läs merAlgebraiska egenskaper hos R n i)u + v = v + U
Underrum till R n, nollrum, kolonnrum av en matris, rank, bas, koordinater, dimension. Påminnelse om R n s egenskaper: Algebraiska egenskaper hos R n i)u + v = v + U v) c(u + v) = cu + cv ii) ( u + v)
Läs merAvsnitt 4, Matriser ( =
Avsnitt Matriser W Beräkna AB då ( a A ( - b A B B ( 8 7 6 ( - - - och Först måste vi försäkra oss om att matrismultiplikationen verkligen går att utföra För att det ska gå måste antalet kolumner i den
Läs merAvsnitt 2. Matriser. Matriser. Vad är en matris? De enkla räknesätten
Avsnitt Matriser Vad är en matris? De enkla räknesätten Matrismultiplikation Produkt av en rad med en kolumn Produkt av rader med en kolumn Produkt av rader med kolumner När är matrismultiplikationen definierad?
Läs merMoment 6.1, 6.2 Viktiga exempel Övningsuppgifter T6.1-T6.6
Moment 6., 6. Viktiga exempel 6.-6. Övningsuppgifter T6.-T6.6 Matriser Definition. En matris är ett schema med m rader och n kolonner eller kolumner, som vi kallar dem i datalogin innehållande m n element.
Läs merBegrepp :: Determinanten
c Mikael Forsberg 2008 1 Begrepp :: Determinanten Rekursiv definition :: Kofaktorutveckling Låt oss börja definiera determinanten för en 1 1 matris A = (a). En sådan matris är naturligtvis bara ett vanligt
Läs merNovember 24, Egenvärde och egenvektor. (en likformig expansion med faktor 2) (en rotation 30 grader moturs)
Fö : November 4, 7 Egenvärde och egenvektor Definition s 9: Låt A resp T : R n R n vara en n n-matris resp en linjär avbildning En icke-trivial vektor v R n kallas en egenvektor till A resp till T med
Läs merTATA42: Föreläsning 9 Linjära differentialekvationer av ännu högre ordning
TATA42: Föreläsning 9 Linjära differentialekvationer av ännu högre ordning Johan Thim 4 mars 2018 1 Linjära DE av godtycklig ordning med konstanta koefficienter Vi kommer nu att betrakta linjära differentialekvationer
Läs merSF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen 14129 DEL A 1 (a) Bestäm linjen genom punkterna A = (,, 1) och B = (2, 4, 1) (1 p) (b) Med hjälp av projektion kan man bestämma det kortaste avståndet
Läs merOptimalitetsvillkor. Optimum? Matematisk notation. Optimum? Definition. Definition
Optimum? När man har formulerat sin optimeringsmodell vill man lösa den Dvs finna en optimal lösning, x, till modellen Nästan alltid: Sökmetoder: Stå i en punkt, gå till en annan (bättre Upprepa, tills
Läs merVektorgeometri för gymnasister
Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Skalärprodukt Innehåll Skalärprodukt - Inledning
Läs merFrågorna 1 till 6 ska svaras med ett kryss för varje korrekt påstående. Varje uppgift ger 1 poäng.
ATM-Matematik Mikael Forsberg 34-4 3 3 Matematik med datalogi, mfl. Linjär algebra mag4 6 3 Skrivtid: 9:-4:. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa. Börja varje ny uppgift
Läs merStudiehandledning till linjär algebra Avsnitt 1
Svante Ekelin Institutionen för matematik KTH 1995 Studiehandledning till linjär algebra Avsnitt 1 Kapitel 1 och 11.2 alt. 11.9 i Anton/Rorres: Elementary Linear Algebra: Applications version (7:e uppl.)
Läs merDEL I. Matematiska Institutionen KTH. Lösning till tentamensskrivning på kursen Linjär algebra II, SF1604 för D, den 5 juni 2010 kl
1 Matematiska Institutionen KTH Lösning till tentamensskrivning på kursen Linjär algebra II, SF164 för D, den 5 juni 21 kl 9.- 14.. Examinator: Olof Heden. Hjälpmedel: Inga hjälpmedel är tillåtna på tentamensskrivningen.
Läs mer12. SINGULÄRA VÄRDEN. (u Av) u v
. SINGULÄRA VÄRDEN Vårt huvudresultat sen tidigare är Sats.. Varje n n matris A kan jordaniseras, dvs det finns en inverterbar matris S sån att S AS J där J är en jordanmatris. Om u och v är två kolonnvektorer
Läs merVektorgeometri för gymnasister
Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Diagonalisering av linjära avbildningar III
Läs merLösningar till 5B1762 Optimeringslära för T, 24/5-07
Lösningar till 5B76 Optimeringslära för T, 4/5-7 Uppgift (a) Först använder vi Gauss Jordans metod på den givna matrisen A = Addition av gånger första raden till andra raden ger till resultat matrisen
Läs merInstitutionen för Matematiska Vetenskaper TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F1/TM1, TMA671 2014-05-26
Institutionen för Matematiska Vetenskaper Göteborg TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F/TM, TMA67 4-5-6 DAG: Måndag 6 maj 4 TID: 4. - 8. SAL: V Ansvarig: Ivar Gustafsson, tel: 75-33545 Förfrågningar:
Läs merLinjär algebra F1 Ekvationssystem och matriser
Information Ekvationer Ekvationssystem Matriser Linjär algebra F1 Ekvationssystem och matriser Pelle 2016-01-18 Information Ekvationer Ekvationssystem Matriser kursfakta hemsida frågelåda Fakta om Linjär
Läs merTMV141. Fredrik Lindgren. 22 januari 2013
TMV141 Fredrik Lindgren Matematiska vetenskaper Chalmers tekniska högskola och Göteborgs universitet 22 januari 2013 F. Lindgren (Chalmers&GU) Linjär algebra E1 22.01.2013 1 / 73 Outline 1 Föreläsning
Läs merGrafer och grannmatriser
Föreläsning 2, Linjär algebra IT VT2008 Som avslutning på kursen ska vi knyta samman linjär algebra med grafteori och sannolikhetsteori från första kursen. Resultatet blir så kallade slumpvandringar på
Läs merObjective:: Linjärt beroende och oberoende version 1.0
DEFINITIONEN AV LINJÄRT BEROENDE MED EXEMPEL Objective:: Linjärt beroende och oberoende version. Definitionen av linjärt beroende med exempel Vi börjar med ett inledande exempel för att motivera definitionen
Läs merEgenvärden och egenvektorer
Föreläsning 10, Linjär algebra IT VT2008 1 Egenvärden och egenvektorer Denition 1 Antag att A är en n n-matris. En n-vektor v 0 som är sådan att A verkar som multiplikation med ett tal λ på v, d v s Av
Läs mer5 Linjär algebra. 5.1 Addition av matriser 5 LINJÄR ALGEBRA
5 LINJÄR ALGEBRA 5 Linjär algebra En kul gren av matematiken som inte fått speciellt mycket utrymme i gymnasiet men som har många tillämpningsområden inom t.ex. fysik, logistik, ekonomi, samhällsplanering
Läs merMoment 5.5 Övningsuppgifter I 5.60a. 5.60b, 5.60.c, 61
Moment 5.5 Övningsuppgifter I 5.0a. 5.0b, 5.0.c, 1 Linjära ekvationssystem Vi har redan tidigare i kursen stött på linjära ekvationssystem. Nu är stunden kommen till en mera systematisk genomgång. Kvadratiska
Läs mer5B1817 Tillämpad ickelinjär optimering. Metoder för problem utan bivillkor, forts.
5B1817 Tillämpad ickelinjär optimering Föreläsning 5 Metoder för problem utan bivillkor, forts. A. Forsgren, KTH 1 Föreläsning 5 5B1817 2006/2007 Lösningar För en given metod blir en lösning den bästa
Läs merVektorgeometri för gymnasister
Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Areor, vektorprodukter, volymer och determinanter
Läs merFöreläsning 14: Exempel på randvärdesproblem. LU-faktorisering för att lösa linjära ekvationssystem.
11 april 2005 2D1212 NumProg för T1 VT2005 A Föreläsning 14: Exempel på randvärdesproblem. LU-faktorisering för att lösa linjära ekvationssystem. Kapitel 8 och 5 i Q&S Stationär värmeledning i 1-D Betrakta
Läs merNUMPROG, 2D1212, vt Föreläsning 9, Numme-delen. Stabilitet vid numerisk behandling av diffekvationer Linjära och icke-linjära ekvationssystem
NUMPROG, 2D1212, vt 2005 Föreläsning 9, Numme-delen Stabilitet vid numerisk behandling av diffekvationer Linjära och icke-linjära ekvationssystem Då steglängden h är tillräckligt liten erhålles en noggrann
Läs mer1. (a) (1p) Undersök om de tre vektorerna nedan är linjärt oberoende i vektorrummet
1 Matematiska Institutionen, KTH Lösningar till tentamensskrivning på kursen Linjär algebra, SF1604, för CDA- TE, CTFYS och vissa CL, fredagen den 13 mars 015 kl 08.00-13.00. Examinator: Olof Heden. OBS:
Läs merEgenvärden och egenvektorer. Linjär Algebra F15. Pelle
Egenvärden och egenvektorer Linjär Algebra F1 Egenvärden och egenvektorer Pelle 2016-03-07 Egenvärde och egenvektor Om A är en n n matris så kallas ett tal λ egenvärde och en kolonnvektor v 0 egenvektor
Läs merVektorgeometri för gymnasister
Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Areor, vektorprodukter, volymer och determinanter
Läs merFöreläsning 3: Ekvationer och olikheter
Föreläsning 3: Ekvationer och olikheter En ekvation är en likhet som innehåller en flera obekanta storheter. Exempel: x = 9, x är okänd. t + t + 1 = 7, t är okänd. Vi säger att ett värde på den obekanta
Läs merSF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen 2013-10-28 DEL A 1. Vi har matriserna 1 1 1 1 1 0 3 0 A = 1 1 1 1 1 1 1 1 och E = 0 0 0 1 0 0 1 0. 1 0 0 1 0 1 0 0 (a) Bestäm vilka elementära
Läs merVi skalla främst utnyttja omskrivning av en matris för att löas ett system av differentialekvaioner. 2? Det är komplicerat att
Egensystem Vi skalla främst utnyttja omskrivning av en matris för att löas ett system av differentialekvaioner Potens av matris 2 6 Ex Givet matrisen A =, vad är A 2? Det är komplicerat att beräkna högre
Läs mer