Tentamen i kursen Balkteori, VSM-091, , kl

Transkript

1 Tentamen i kursen Balkteori, VSM-091, , kl Maximal poäng på tentamen är 40. För godkänt tentamensresultat krävs 18 poäng. Tillåtna hjälpmedel: räknare, kursens formelsamling och alfemmanual. Uppgift 1 (6.5 poäng) Ge svaren på bifogad svarsblankett. Ange för nedanstående påståenden om de är rätt eller fel. +1/ poäng för varje rätt svar, -1/ för fel svar och 0 poäng om inget svar. Sammanlagt inte mindre än noll poäng. a) Nedan visas ett högerorienterat koordinatsstem (x-axeln pekar ut ur pappret). x z b) Vid beräkningar enligt andra ordningens teori förutsättes att alla rotationer och vridningar, α, som orsakas av aktuell belastning är små, så att man med tillräckligt god approximation kan sätta att sin α = tan α = 0 och att cos α =1. c) Om origo ligger i ett balktvärsnitts tngdpunkt så är S =S z =0 för balktvärsnittstan, där S och S z betecknar statiskt moment runt - respektive z-axeln. d) Summan av ttröghetsmomenten I och I z är ett konstant tal som inte påverkas av vridning av koordinatsstemet runt origo, dvs I +I z påverkas inte av hur de vinkeräta axlarna och z orienteras i tvärsnittets plan. (se formelsamling) e) Härledningen av oissons ekvation ( Φ / + Φ / z = Gθ ) för beräkning av skjuvspänningsfördelningen vid St Venantsk vridning bgger på uppställning av kraftjämvikt i - och z-led för en godtcklig punkt i tvärsnittet. f) Både Bernoulli-Eulers teori för balkböjning och Vlasovs teori för vridning utgår från antagandet att det inte förekommer några skjuvtöjningar, dvs att γ x = γ xz =0. g) Bimoment är en tp av tilläggsmoment som har dimensionen kraft x längd och kan således, som exempel, anges i enheten Nm. h) Om välvning kan ske fritt i båda ändarna av en vridbelastad balk så är inte balktvärsnittets välvtröghet av betdelse för vridningen av balken, oavsett var längs balken vridbelastningen påföres. i) I Timoshenkos teori beaktas att skjuvtöjningarna kan variera över ett balktvärsnitt. j) Det kan uppkomma instabilitet i en balk (eller pelare) endast om den är belastad med trckande axiallast (trckande normalkraft). k) För att kunna transformera lokal stvhetsmatris för ett stångelement till ett globalt koordinatsstem räcker det att veta riktningsvektorn för stången (dvs enhetsvektorn som ligger i stångens riktning, från nod 1 mot nod ). l) För att kunna transformera en lokal stvhetsmatris för ett rakt balkelement till ett globalt koordinatsstem räcker det att veta koordinaterna för balkens nod 1 och nod i det globala koordinatsstemet. m) Betrakta en momentvektor som verkar på en nod i ett balkelement. Om den i ett lokalt koordinatsstem beteckans M och i ett globalt sstem betecknas M, och om M = AM så är 1 T M = A M = A M. 1

2 Uppgift (.5+ poäng) Ge svaren på bifogad svarsblankett. I Timoshenkos teori beaktas både balknedböjning orsakad av böjmoment (normaltöjningar) och balknedböjning orsakad av tvärkraft (skjuvtöjningar). a) Rita deformationsfigurer för den enligt nedan utformade och belastade konsolbalken: balkens deformation och nedböjning av enbart böjning, av enbart skjuvning och sammanlagt. av böjning: av skjuvning: Total (sammanlagd) deformation: b) Konsolens längd är L, tvärsnittsarean är A, ttröghetsmomentet är I, elasticitetsmodulen är E och skjuvmodulen är G. Med dessa storheter kända blir konsolens nedböjning av böjning välkända L 3 /(3EI). Hur stor blir konsolens nedböjning av skjuvning (beräknat enligt Timoshenkos antaganden)? Ledning: börja med att bestämma hur stor medelskjuvspänningen och töjningen i materialet är (enligt Timoshenkos antaganden).

3 Uppgift 3 (7 poäng) 80 mm För L-tvärsnittet enligt figuren, beräkna eller ange: tngdpunktens läge, vridcentrums läge, I, I z, I z, K v och I ω samt orienteringen av tvärsnittets huvudriktningar. -axeln är riktad åt vänster, z-axeln är riktad nedåt och origo ligger i tvärsnittets tngdpunkt. Uppgift 4 (7 poäng) 5 mm 1000 B 50 T z A 50 Ett smmetrisk L-tvärsnitt har geometri, tngdpunkt och tvärsnittskonstanter enligt figuren. En balk med detta tvärsnitt och med längdmått enligt figuren lägges på ett stöd vid A och är fastsatt i ett annat stöd vid B. Stöden är i figuren smboliskt visade som clinderformade rullager och fixlager: vid A och B är balken förhindrad att röra sig i - och z-riktningarna och är också förhindrad att vrida sig runt balkens längsaxel, dvs runt x-axeln. Vidare är balken i punkt B också förhindrad att röra sig i x- riktning. En vertikal nedåtriktad last verkar på balkens hitre ände. Lastens verkningslinje går genom tvärsnittets tngdpunkt, T.. Beräkna hur stor lasten högst får vara med hänsn till följande två deformationskrav: a) unkten får inte röra sig mer än 1.0 mm vertikalt. b) unkten får inte röra sig mer än 3.0 mm horisontellt. unkten är belägen vid balkändens högra kant. Materialet är plast med materialdata enligt figuren. Ledning: Från balktabell fås nedböjningen vid plan böjning av en balk enligt nedan I = I z = mm 4 I z = mm 4 K v = 3958 mm 4 E = 3000 N/mm G = 100 N/mm B EI a A b δ = b (a+b)/(3ei) 3

4 Uppgift 5 (+3+3=8 poäng) 300 mm 400 x t fläns =4 mm t liv =14 mm A = 1.93 x 10 4 mm I = 5.77 x 10 8 mm 4 I z = 1.08 x 10 8 mm 4 K v = 3.57 x 10 6 mm 4 I w = 3.8 x 10 1 mm 6 z z N = 0 V =.0 x 10 5 N V z = x 10 5 N T x = 5.0 x 10 7 Nmm M = 3.5 x 10 8 Nmm M z = 0 T w = db/dx = 3.0 x 10 7 Nmm En I-balk (HEB 400) har geometri och tvärsnittdata enligt den vänstra figuren. I ett visst tvärsnitt av balken verkar snittkrafter och snittmoment enligt den högra figuren. Tvärsnittet kan vid beräkningar och resonemang betraktas som tunnväggigt. a) Antag att man vill beräkna till beloppet maximal skjuvspänning i tvärsnittet. Genom resonemang kan man reducera antalet punkter där spänningen måste beräknas numeriskt. Visa i en figur två punkter där spänningen måste beräknas numeriskt för att man skall kunna bestämma max skjuvspänning i tvärsnittet. Det måste i figuren tdligt framgå var punkterna finns, och speciellt om de ligger vid tvärsnittets kant eller inne i tvärsnittet. b) Antag i denna deluppgift att bara tvärkraften V z = x 10 5 N verkar på tvärsnittet (alla övriga tvärsnittskrafter och moment sättes till noll). Beräkna storlek och tecken på skjuvspänningen τ x i punkten. unkten har koordinaterna (x,,z) = (0, -7, -00) mm. c) Beräkna totala skjuvspänningen τ x i punkten när tvärsnittskrafter och moment är enligt vad som anges i figuren. Skjuvspänningens tecken behöver inte anges. Ledning: i balktabell finns nedanstående information om I-tvärsnitt. 4

5 Uppgift 6 (3+1+3=7 poäng) En axial- och transversalbelastad plan balk skall analseras enligt :a ordningens teori. q Balken (pelaren) är ledat upplagd i sina båda ändar, den är belastad med en axiallast och en varierande fördelad transversallast q : πx q (x) = qo sin( ) L L elarens längd är L och dess tvärsnitt har den konstanta böjstvheten EI. elarens tvärsnitt är kvadratiskt med sidlängden a. Detta innebär att I=a 4 /1. x EI elarens utböjning vid x=l/ och största trckande normalspänning i balken skall beräknas. Utböjning och spänning skall uttrckas i, q o, E, L och a. Beroende på val av ansats vid lösning av grundekvationen kan resultaten bli approximativa eller exakta. Ledning: Grundekvation för plan böjning av en balk (dvs D balkböjning) är enligt andra ordningens teori: ( EIv ' ')'' + v '' = q där v är balkens (pelarens) utböjning. En tänkbar ansats vid lösning av denna ekvation är πx v = sin( ) L Börja med att undersöka om ansatsen uppfller aktuella randvillkor. Sätt därefter in vald ansats och uttrcket för aktuell transversallast i grundekvationen. Deluppgift a): Beräkna utböjningen vid x=l/. Ange om resultatet är exakt eller approximativt. Deluppgift b): Hur stor är den axiallast cr som medför att utböjningen teoretiskt blir oändligt stor? Deluppgift c): Beräkna värdet på den största trckande normalspänningen i balken. 5

6 Svarstabell för uppgift 1 Delfråga (påstående) a b c d e f g h i j k l m åståendet är rätt (markera med krss) åstående är fel (markera med krss) 6

7 Svarssida för uppgift a) av böjning: av skjuvning: Total (sammanlagd) deformation: b) Konsolens nedböjning av skjuvning är... 7