Belastningsanalys, 5 poäng Balkteori Deformationer och spänningar

Transkript

1 Spänningar orsakade av deformationer i balkar En från början helt rak balk antar en bågform under böjande belastning. Vi studerar bilderna nedan: För deformationerna gäller att horisontella linjer blir bågformiga under belastningen medan vertikala linjer förblir raka även om de vrider sig. För den vidare analysen och härledningen utgår vi till att börja med från figuren nedan. Observera att någonstans i balkens längsriktning kan man lägga in ett neutralplan. Utmärkande för detta plan är att ovanför planet kommer balken att tryckas ihop medan den töjs ut under det. Det omvända inträffar naturligtvis om momentet M är motsatt riktat. P. Carlsson 1

2 Det finns förstås spänningar kopplade till dessa sammantryckningar och töjningar Vi ska nu härleda följande samband mellan maximala spänningen σ max, böjande momentet M, avståndet c från neutralplanet till den yta som ligger längst bort samt yttröghetsmomentet (motsvarigheten till vridstyvhetens tvärsnittsfaktor J för vridna axlar). σ max M c där yttröghetsmomentet definieras Area y 2 da Den maximala spänningen i formeln ovan kan antingen vara drag- eller tryckspänning, beroende på hur balken tvärsnitt ser ut. Härledningen utgår från en odeformerad skiva av den böjbelastade balken. P. Carlsson 2

3 För den deformerade balken gäller att den har krökningsradien ρ där vi tagit ur vår lilla skiva. P. Carlsson

4 Vi har alltså följande samband för normalspänningarna: σ max M c M y σ ( y) (spänning, sträckan y från neutralplanet) där M är böjande moment, är yttröghetsmoment, y är en variabel tvärs balken med början i neutrallagret och c är maximala avståndet från neutrallagret till balkens kant. Observera att man får tryckspänningar ovanför neutrallagret med positiva moment och dragspänningar nedanför! Den maximala spänningen kan både vara negativ och positiv, dvs. tryck- eller dragspänning. Yttröghetsmomentet Normalt hämtar man uttryck för yttröghetsmomentet från en formelsamling, men vi ska också genomföra en beräkning av yttröghetsmomentet för ett rektangulärt tvärsnitt. Ex 1. Beräkna för det rektangulära tvärsnittet i figuren. Svar: bh 12 P. Carlsson 4

5 Förflyttningssatsen för yttröghetsmoment De i formelsamlingar givna uttrycken för yttröghetsmomentet gäller i regel för en axel genom tvärsnittets tyngdpunkt. Vill man ta fram yttröghetsmomentet för andra axlar eller tvärsnitt sammansatt av areor man vet yttröghetsmomentet på kan man få fram önskat resultat genom den s.k. förflyttningssatsen (Steiners sats). Förflyttningssatsen Tp + A d 2 där är yttröghetsmomentet kring den önskade axeln, Tp är yttröghetsmomentet runt tyngdpunktsaxeln, A är tvärsnittets area och d är vinkelräta avståndet från areans Tp-axel till den önskade axeln. Ex 2. Beräkna yttröghetsmomentet för en axel genom tyngdpunkten för tvärsnittet i figuren. Beräkna också spänningarna i punkt A och B. Böjande moment M 40 knm i tvärsnittet. Svar: 1, m 4, σ A 198 MPa, σ B 66,2 MPa P. Carlsson 5

6 Ex. Bestäm hur stor den maximala tryck- och dragspänningen blir för en balk med tvärsnitt enligt figur om den belastas med ett böjande moment av M -15 knm. (Figuren visar hur balkens tvärsnitt ser ut.) Svar: σ Drag 17,65 MPa, σ Tryck 10,59 MPa P. Carlsson 6

7 Ur TEFYMA P. Carlsson 7

8 Skjuvspänningar vid böjning Att skjuvspänningar i balkar har betydelse för den last som kan tas upp framgår av följande exempel. Vi jämför nedböjningen för en balk bestående av tre ihoplimmade plankor med en lika hög balk där plankorna inte limmats ihop Man kan visa att nedböjningen är omvänt proportionell mot yttröghetsmomentet och i just detta fall gäller att nedböjningen δ blir δ PL 24E där P är pålagd last, L är balkens längd, E är elasticitetsmodulen och är yttröghetsmomentet. Hur tröghetsmomentet ändras för de olika fallen ser vi genom att genomföra en beräkning av på exemplet till höger där fyra plankor sätts ihop till en balk. 1 bh Övre 16 Undre bh Undre 16 Övre P. Carlsson 8

9 Vi har givetvis skjuvspänningar orsakade av tvärkrafterna i balken vilket visas i figuren nedan. Men som vi såg i analysen av uppträdande spänningar vid vridning av axlar så uppträder skjuvspänningar parvis och motriktade i hörn där de möts. Detta gäller även här, utöver skjuvspänningar i tvärkraftens riktning har vi även (lika stora) skjuvspänningar i balkens längsriktning. Till skillnad mot normalspänningarna (drag- och tryckspänningarna) har skjuvspänningarna som regel sina största värden utefter balkens neutralplan. Exempel på skjuvbrott i träbalk P. Carlsson 9