Betongkonstruktion Facit Övningstal del 2 Asaad Almssad i samarbete med Göran Lindberg

Transkript

1 Pelare ÖVNING 27 Pelaren i figuren nedan i brottgränstillståndet belastas med en centriskt placerad normalkraft 850. Kontrollera om pelarens bärförmåga är tillräcklig. Betong C30/37, b 350, 350, c 50, 3. Armeringen utgörs av 4 16 B500BT. Pelaren kan antas fast inspänd i botten och fri i toppen. Vid beräkningen skall andra ordningens effekter beaktas. Pelarens böjstyvhet kan sättas till 6,5 10, φ 2. LÖSNING Dimensionerande materialegenskaper Betong C30/ , ,5 1,2 Armering , , FÖRFATTARNA OCH STUDENTLITTERATUR 1

2 Dimensioneringsvillkor Bestämning av 1 1 1,, ,015 12, Antag 1,0 6, M 1 12,75 1,92 12,75 24,5 kn Momentkapacitet vid centrisk normalkraft Antag att all armering flyter 0, ,15 0,8 0,35 Kontroll av och : ε dx ε x ε xd ε x 0,3 0,15 3,5 10 3,5 10 ε 0,15 2,17 ok! 0,15 0,05 3,5 10 2,33 10 ε 0,15 2,17 ok! M F d 0,4x F d d` N d h/2 FÖRFATTARNA OCH STUDENTLITTERATUR 2

3 M 0,8 x d 0,4x f. A dd` N d h/2 M ,8 0,15 0,350,3 0,4 0, ,3 0, ,3 0, ,1 knm Dimensioneringsvillkor Svar: 139,1 knm 24,5 knm FÖRFATTARNA OCH STUDENTLITTERATUR 3

4 ÖVNING 28 Pelaren i figuren nedan i brottgränstillståndet belastas med en centriskt placerad normalkraft N 500 kn och en jämnt utbredd sidolast q 3 kn/m. Kontrollera om pelarens bärförmåga är tillräcklig. Betong C30/37, b 400 mm, a 400 mm, c 50 mm;, 5 m. Armeringen utgörs av 4 ϕ16 B500BT. Pelaren kan antas fast inspänd i botten och ledad i toppen 0,77. Vid beräkningen skall andra ordningens effekter beaktas. Pelarens böjstyvhet kan sättas till EI 2,2 10 Nm, φ 1,8. LÖSNING Dimensionerande materialegenskaper Betong C30/ , ,5 1,2 Armering , , FÖRFATTARNA OCH STUDENTLITTERATUR 4

5 0,77 3,85 Antar att armering flyter 1. Dimensioneringsvillkor 2. Bestämning av, , , 8 3 5, , , Antag 1,0., 2,2 10 3, , ,175 1,517 14,175 21,5 Bestämning av momentkapacitet Antar att armering flyter F F F N ; men F F F N FÖRFATTARNA OCH STUDENTLITTERATUR 5

6 0, ,078 0,8 0,8 0, M F d 0,4x F d d` N d h/2 0,8 d 0,4x f. A d d` N d h/2 M ,4 0,8 0,0780,35 0,4 0, ,35 0, ,35 0,2 136,6 knm,,! Kontroll av och ε ε dx x ε ε xd x σ 200 1, ,2MPa 0,35 0,078 3, ε 0,078 ok! 0,078 0,05 3,5 10 1, ε 0,078 ej ok! M ,4 0,8 0,0780,35 0,4 0, , ,35 0, ,35 0,2 114,4 knm Svar: 114,4 knm 21,5 knm FÖRFATTARNA OCH STUDENTLITTERATUR 6

7 ÖVNING 29 Pelaren i figuren nedan i brottgränstillståndet belastas med en centriskt placerad normalkraft 550 och en jämnt utbredd sidolast q 2,0 kn/m. Kontrollera om pelarens bärförmåga är tillräcklig. Armeringen utgörs av 4 16 B500BT. Pelaren kan antas fast inspänd i botten och fri i toppen. Vid beräkningen skall andra ordningens effekter beaktas. Pelarens böjstyvhet kan sättas till EI 3,0 10 Nm. Betong C20/25, φ 2. LÖSNING Dimensionerande materialegenskaper Betong C20/ , ,5 1,2 FÖRFATTARNA OCH STUDENTLITTERATUR 7

8 Armering,.,.., Dimensioneringsvillkor Bestämning av 1 1 1,,. 2 2,0 3,0 2 ö Antag 1,0. 3, ,015 17, , , , Momentkapacitet vid centrisk normalkraft Antag att all armering flyter F F F N ; men F F F N FÖRFATTARNA OCH STUDENTLITTERATUR 8

9 0,8 0, ,8 13,3 10 0,13 0,4 Kontroll av och : ε dx ε x ε xd ε x 0,355 0,13 3,5 10 6,1 10 ε 0,13 2,17 ok! 0,13 0,045 3,5 10 2,3 10 ε 0,13 2,17 ok! M F d 0,4x F d d` N d h/2 M 0,8 d 0,4x f. A dd` N d h/2 M 13,3 10 0,8 0,13 0,40,355 0,4 0, ,355 0, ,355 0,2 136,6 knm Dimensioneringsvillkor Svar: 136,6 knm 52 knm FÖRFATTARNA OCH STUDENTLITTERATUR 9

10 ÖVNING 30 En pelare med mått enligt figur belastas med centriskt placerad normalkraft N Ed =700 kn. Kontrollera om pelarens bärförmåga är tillräcklig. Pelaren har längden l och kan anses vara ledad både nedtill och upptill. Andra ordningens effekter ska beaktas. Armeringen utgörs av 4 ϕ16 B500BT och byglar B500B ϕ8. Pelarens böjstyvhet kan sättas till EI 1,9 10 Nm. Betong C30/37, kryptal φ ef =2,2. LÖSNING Dimensionerande materialegenskaper Betong C25/ , ,8 1,2 Armering , , ,5 FÖRFATTARNA OCH STUDENTLITTERATUR 10

11 Dimensioneringsvillkor Bestämning av β 1 1 N 1 N M, ,0113 7,9 ö , ,9 10 4, ,9 4,1 7,9 32, Momentkapacitet vid centrisk normalkraft Antag att all armering flyter F F F N ; men F F F N f b 0,8x N 0, , ,125 0,35 FÖRFATTARNA OCH STUDENTLITTERATUR 11

12 Kontroll av och : ε dx ε x ε xd ε x 0,305 0,125 3,5 10 5,04 10 ε 0,125 2,17 ok! 0,125 0,045 3,5 10 2,24 10 ε 0,125 2,17 ok!, ` / M f b 0,8xd 0,4x f. A dd` N d h/2 M ,8 0,125 0,350,35 0,4 0, ,305 0, ,305 0,35 164,5 knm 2 Dimensioneringsvillkor Svar: 164,5 knm 32,4 knm FÖRFATTARNA OCH STUDENTLITTERATUR 12

13 ÖVNING 31 Pelaren i figuren nedan i brottgränstillståndet belastas med en centriskt placerad normalkraft N 750 kn och en jämnt utbredd sidolast q 12 kn/m. Kontrollera om pelarens bärförmåga är tillräcklig. Betong C35/45, b 300 mm, a 300 mm, c 40 mm;, 6,0 m. Armeringen utgörs av 4 ϕ20 B500BT. Pelaren har längden l och kan anses vara ledad både nedtill och upptill.. Vid beräkningen skall andra ordningens effekter beaktas. Pelarens böjstyvhet kan sättas till EI 1,8 10 Nm. LÖSNING Dimensionerande materialegenskaper Betong C35/ ,3 1, ,5 1,2 Armering , , FÖRFATTARNA OCH STUDENTLITTERATUR 13

14 6 Dimensioneringsvillkor Bestämning av, , ,015 65,25 1 1, 1, , ,5 1 65,25 2,92 65,25 73 Bestämning av momentkapacitet Antar att armering flyter ,092 0,8 0,8 0,35 23,3 10 M F d 0,4x F d d` N d h/2 0,8 d 0,4x f. A d d` N d h/2 M 23,3 10 0,35 0,8 0,0920,3 0,4 0, ,30 0, ,30 0,5 0,35 126,7 knm,! FÖRFATTARNA OCH STUDENTLITTERATUR 14

15 Kontroll av och ε ε dx x ε ε xd x σ 200 1,6 320Mpa 0,30 0,092 3,5 10 7,9 10 ε 0,092 ok! 0,092 0,05 3,5 10 1,6 20 ε 0,092 ej ok! M 23,3 10 0,35 0,8 0,0920,3 0,34 0, ,30 0, ,30 0,5 0,35 115,13kNm Svar: 115,13 knm 73 knm FÖRFATTARNA OCH STUDENTLITTERATUR 15

16 ÖVNING 32 Beräkna erforderlig armering av ϕ12 B500BT till en betongpelare med knäckningslängden 1 0 =0,77l enligt figuren nedan. Pelaren belastas med centriskt placerad normalkraft N Ed =800 kn. Betong C30/37, b=280 mm, a =280 mm, c =34 mm,l=5000 mm. Pelaren kan antas vara fast inspänd i botten och ledad i toppen. Pelaren är stagad i veka riktningen. Vid beräkningen skall andra ordningens effekter beaktas, φ 1,6. LÖSNING Dimensionerande materialegenskaper Betong /,,, Armering f f MPa γ 1,15 ε f , E FÖRFATTARNA OCH STUDENTLITTERATUR 16

17 1,6 0,77 0,77 5 4,9 Effektiv höjd Imperfektionen för pelare e l ,75 mm :a ordningens moment med hänsyn till imperfektioner,, ,01 8 knm Kontroll om andras ordningens effekter skall beaktas Med slankhetstalet vi definierat tidigt som 3,9 48,3 0, n A ,51 0,28 0, ,76 1 0,2 φ 1 0,2 1,6 B 12ω 1,1 C 1,7 r 0,7 (okänd) (okänd) 20 0,76 1,1 0,7 λ 16,4 0,51 FÖRFATTARNA OCH STUDENTLITTERATUR 17

18 λ 48,3 λ 16,4 Andra ordningens effekt skall beaktas Här provar vi med att gissa att andra ordningens effekter förstorar momentet med en faktor 1,5 M 1,5 M. 1, knm Använd iteraktionsdiagrammet. n ,51 0,28 0, M b f 0,28 0,28 0, Välj minimiarmering d.v.s. A 0,0002 0,002 0,28 0,28 156,8 10 Välj 2ϕ 12 på varje sida 4ϕ Kontrollera tvärsnitt β M 1 N 1 N M. EIK E I K E I ,0058 0,002 0,28 0,28 ö, får följande faktorer användas 1 k k k 1φ FÖRFATTARNA OCH STUDENTLITTERATUR 18

19 k k n λ 170 k 1,22 0,15 1 1,6 II A a 1,22 48,3 0,51 0,15 0,2 ok 170 0,07 a d h 2 EI 0,07 27,5 10 0,28. 0, ,88 MNm ,246 0,28 2 N π 10,88 3,9 7,06 MN 1 M 1 8 1, knm 7,06 0,8 1 Enligt interaktionsdiagrammet n ,51 0,28 0, M 9 10 b f 0,28 0,28 0, Välj minimiarmering d.v.s. A 0,0002 0,002 0,28 0,28 156,8 10 Välj 2ϕ 12 på varje sida 4ϕ Svar: 2 2ϕ12 FÖRFATTARNA OCH STUDENTLITTERATUR 19

20 ÖVNING 33 Beräkna erfordelig armering av ϕ25, B500B till en pelare i figuren nedan. Knäcklängd l 0 =0,77l om den ska utformas med tvärsnitt 400x400 mm. Pelaren är belägen inomhus i uppvärmd lokal. Den ska uppbära den dimensionerande centriska normalkraften N Ed = 580 kn(inkl. egentyngd) och en jämnt utbredd last med dimensioneringsvärde q d =30kN/m. Betong C30/37, φ ef = 2,7, Ø by = 8 mm. Påverkan av imperfektionen och felaktig lastställning behöver ej medräknas. Kontroll skall göras om andra ordningens effekter behöver medräknas. LÖSNING Dimensionerande materialegenskaper Betong 30/37 f f MPa γ 1,5 E E 33 27,5GPa γ 1,2 Armering f f MPa γ 1,15 ε f , E FÖRFATTARNA OCH STUDENTLITTERATUR 20

21 2,1 Effektiv höjd d=h c min Δc dur ϕ/2= ,5=352,5 mm. d = c min +Δc dur +ϕ/2= ,5=47,5 mm. Imperfektionen för pelare l 0,77 l 0,77 7 5,4m e 5,4 0,0135 m :a ordningens moment med hänsyn till imperfektioner , ,6 knm Kontroll om andras ordningens effekter skall beaktas λλ Med slankhetstalet vi definierat tidigt som och 20 där n A ,18 0,4 0, ,65 1 0,2 φ 1 0,2 2,7 B 12ω 1,1 (okänd) FÖRFATTARNA OCH STUDENTLITTERATUR 21

22 20 0,65 1,1 0,7 λ 23,6 0,18 5,4 46,8 0, λ 46,8 λ 23,6 Andra ordningens effekt skall beaktas Här provar vi med att gissa att andra ordningens effekter förstorar momentet med en faktor 1,5 M 1,5 M, 1,5 191,6 287,4 knm Använd iteraktionsdiagrammet. n ,18 0,4 0, M 287,4 10 b f 0,4 0,4 0, , A ω b.h f ,39 0,4 0,4 f m Välj 3ϕ 25 på varje sida 6ϕ Kontrollera tvärsnitt β M 1 N 1 N M, där EI nominella styvheten enligt nedan EIK E I K E I ,4 0,4 0,019 0,01 FÖRFATTARNA OCH STUDENTLITTERATUR 22

23 ö, får följande faktorer användas 0 k 0,3 0,3 0, ,5φ 1 0,5 2,7 EI 0, ,4. 0,4 12 5,46 MNm N π EI l π 5,46 5,4 1,85 MN β π π 1,03 c 9,6 β M 1 M N, 1 1,03 191,6 1,47 191,6 281,7kNm 1,85 1 N 0,58 1 Enligt interaktionsdiagrammet n ,18 0,4 0, M 281,7 10 b h f 0,4 0,4 0, , A ω b h f ,38 0,4 0,4 f m ä 325 på var sida med 2945 Svar: 33 ϕ25 FÖRFATTARNA OCH STUDENTLITTERATUR 23

24 ÖVNING 34 Beräkna erfordelig armering av ϕ16, B500B till en pelare i figuren nedan. Knäcklängd l 0 =0,7l om den utformas med tvärsnitt 400x450 mm. Pelaren ska uppbära den dimensionerande centriska normalkraften N Ed = 450 kn(inkl. egentyngd), och ett dimensionerande böjmoment M Ed =120 kn (förste ordningens moment p.g.a. lasten q d ). Betong C35/45, φ ef = 2,2, Ø by = 8 mm, d = 50 mm. Påverkan av imperfektionen och felaktig lastställning behöver ej medräknas. Kontroll skall göras om andra ordningens effekter behöver medräknas LÖSNING Dimensionerande materialegenskaper Betong / f f 35 23,3 MPa γ 1,5 E E 34 28,3GPa γ 1,2 Armering f f MPa γ 1,15 ε f , E FÖRFATTARNA OCH STUDENTLITTERATUR 24

25 l 0,7 6,5 4,55 m Imperfektionen för pelare e l 4,55 0,0114 m :a ordningens moment med hänsyn till imperfektioner , ,13kNm Kontroll om andras ordningens effekter skall beaktas λλ 20 n A ,11 0,40 0,45 23, ,7 1 0,2 φ 1 0,2 2,2 B 12ω 1,1 (okänd) ω f A f A C 1,7 r 0,7 (okänd) 20 0,7 1,1 0,7 λ 32,5 0, , ,45 12 λ35λ 32,5 Andra ordningens effekt skall beaktas Här provar vi med att gissa att andra ordningens effekter förstorar momentet med en faktor 1,5 FÖRFATTARNA OCH STUDENTLITTERATUR 25

26 M 1,5 M. 1,5 125, knm Använd iteraktionsdiagrammet. N ,11 b h f 0,40 0,45 23,3 10 M b f 0,40 0,45 0,1 23,3 10, A ω b h f 23,3 10 0,12 0,40 0,45 f m Välj 3ϕ 16 på varje sida 6ϕ Kontrollera tvärsnitt β M 1 N 1 N M, EIK E I K E I ,40 0,45 0,0067 0,002 ö, får följande faktorer användas 1 k k k 1φ k 1,32 k n λ 170 0, ,023 0,2 ok 170 FÖRFATTARNA OCH STUDENTLITTERATUR 26

27 k 1,32 0, ,2 II A a 0,01 a d h 2 EIK E I K E I EI 0,01 28,3 10 0,40. 0, ,25 MNm ,4 0,45 2 N π 8,25 4,55 3,93 MN 1 M, 1 125,13 1,13 125,13 141,4 knm 3,93 0,45 1 Enligt interaktionsdiagrammet N ,11 b h f 0,40 0,45 23,3 10 M 141,4 10 b h f 0,40 0,45 0,075 23,3. 10, A ω b h f 23,3 10 0,07 0,40 0,45 f m ä 216 på var sida med 402 Svar: 2 2ϕ16 FÖRFATTARNA OCH STUDENTLITTERATUR 27

28 ÖVNING 35 Beräkna erfordelig armering av ϕ20, B500B till en pelare i figuren nedan. Knäcklängd l 0 = 0,77l om den utformas med tvärsnitt 300x350 mm. Pelaren, som är belägen inomhus i uppvärmd lokal.den ska uppbära den dimensionerande centriska normalkraften N Ed =2200 kn(inkl. egentyngd). Pelaren är stagad i veka riktningen. Betong C35/45, φ eff = 1,4. Ø by = 8 mm, d=316 mm, t=34 mm. LÖSNING Dimensionerande materialegenskaper Betong / f f 35 23,3 MPa γ 1,5 E E 34 28,3 GPa γ 1,2 Armering f f MPa γ 1,15 ε f ,17 10 E ,4 FÖRFATTARNA OCH STUDENTLITTERATUR 28

29 l 0,77 5 3,9 m Imperfektionen för pelare e l ,01 m :a ordningens moment med hänsyn till imperfektioner ,01 22 knm Kontroll av om andras ordningens effekter ska beaktas λλ 20 n A ,9 0,30 0,35 23, ,78 1 0,2 φ 1 0,2 1,4 B 12ω 1,1 C 1,7 r 0,7 (okänd) (okänd) 20 0,78 1,1 0,7 λ 12,7 0,9 3,9 38,5 0, λ 38,5 λ 12,7 Andra ordningens effekt ska beaktas Här provar vi med att gissa att andra ordningens effekter förstorar momentet med en faktor 1,5 FÖRFATTARNA OCH STUDENTLITTERATUR 29

30 M 1,5 M. 1, knm Använd interaktionsdiagrammet. n ,9 0,30 0,35 23,3 10 M b f 0,30 0,35 0,04 23,3 10, A A ω b h f 23,3 10 0,025 0,30 0,35 f m 0,002 0,3 0, Välj 2ϕ 20 på varje sida 4ϕ Kontrollera tvärsnitt β M 1 N 1 N N π EI l M. EIK E I K E I ,30 0,35 0,012 0,002 ö, får följande faktorer användas 1 k k k 1φ k k n λ 170 1,32 38,5 0,9 0,20 ok! 170 FÖRFATTARNA OCH STUDENTLITTERATUR 30

31 k 1,32 0,2 0,11 1 1,4 II A a a d h 2 EI 0,11 28,3 10 0,30 0, ,3 MNm ,316 0,35 2 π 8,3 3,9 5,4 MN β M 1 M N , ,2 knm 5,4 1 N 2,2 1 Enligt interaktionsdiagrammet n ,9 0,30 0,35 23,3 10 M 37,2 10 b f 0,30 0,35 0,043 23,3 10, A A ω b h f 23,3 10 0,025 0,30 0,35 f m 0,002 0,3 0, Välj 2ϕ 20 på varje sida 4ϕ Svar: 2 2ϕ20 FÖRFATTARNA OCH STUDENTLITTERATUR 31

32 ÖVNING 36 Hur stor får avsiktliga excentriciteten högst vara för en pelare med längden l=6m som kan anses vara fast inspänd i botten och fri i toppen. Pelaren ska utformas med tvärsnitt 450x450 mm 2, armerad med 6 stycken ϕ20 längs varje kant om den ska uppta den dimensionerande normalkraften 950 kn Betong C30/37, armering B500B, φ ef = 2,6. LÖSNING Dimensionerande materialegenskaper Betong C30/ ,5 1,2 FÖRFATTARNA OCH STUDENTLITTERATUR 32

33 Armering, Skall Andra ordningens moment beaktas? λλ 20 n A ,235 0,45 0, ,66 1 0,2 φ 1 0,2 2,6 B 12ω 1,1 C 1,7 r 0,7 (okänd) (okänd) 20 0,66 1,1 0,7 λ 21 0, ,38 0, λ 92,38 λ 21 Andra ordningens effekt ska beaktas, Initiallutning , 9500,03 28,5 950 FÖRFATTARNA OCH STUDENTLITTERATUR 33

34 Andra ordningens moment EIK E I K E I ,45 0,45 0,093 0,002 ö, får följande faktorer användas 1 k k k 1φ k k n λ 170 k 1,23 0, ,6 II A a 0,235 92, ,044 1,23 0,128 0,2 ok a d h 2 EI 0,044 27,5 10 0,45 0, ,67 MNm ,4 0,45 2 π 15, ,07 MN β π π 1,23 c 8 β M 1 M N. 1 1,23 28, ,07 1 N 0,95 1 FÖRFATTARNA OCH STUDENTLITTERATUR 34

35 M 10,74 28, , knm Momentkapacitet Antag att all armering flyter ; F N f b 0,8x N x N f 0,8 b , ,132 m 0,45 Kontroll av och : ε dx ε x ε xd ε x 0,40 0,132 3,5 10 7,11 10 ε 0,132 2,17 ok! 0,132 0,05 3,5 10 2,17 10 ε 0,132 2,17 ok! M f b 0,8xd 0,4x f A dd` N d h/2 M ,45 0,8 0,1320,4 0,4 0, ,4 0, ,4 0,45 307,15 knm 2 Dimensioneringsvillkor 307,15 306, , Svar: Största tillåtna lastexcentriteten (inkluderar ev. oavsiktlig excentricitet) e = 0,1 mm FÖRFATTARNA OCH STUDENTLITTERATUR 35

36 ÖVNING 37 Figuren nedan visar en betongpelare med dimension mm, belastad med en centriskt placerad normalkraft N Ed =650 kn och en horisontell last H. Hur stor kan den horisontella lasten H vara utan att pelarens bärförmåga överskrids? Pelaren är armerad med 3 16 B500B i vardera sidan. Pelaren antas avstyvad i veka riktningen. Pelaren kan antas vara ledad infäst i båda ändar. Vid beräkningen skall andra ordningens effekter beaktas. Betong C25/30, effektivt kryptal φ 1,8. LÖSNING Dimensionerande materialegenskaper Betong / f f 25 16,7 MPa γ 1,5 E E 31 25,8 GPa γ 1,2 Armering f f MPa γ 1,15 ε f ,17 10 E FÖRFATTARNA OCH STUDENTLITTERATUR 36

37 φ 1,8 Imperfektionen för pelare l l6m e l mm Kontroll av om andras ordningens effekter ska beaktas λλ med slankhetstalet vi tidigare definierade som λ l i och λ 20 A B C n n A N ,26 A f 0,3 0,5 16, ,74 1 0,2 φ 1 0,2 1,8 B 12ω 1,1 C 1,7 r 0,7 (okänd) (okänd) 20 0,74 1,1 0,7 λ 22,35 0,26 λ l i l 6 59,4 h 0, λ 59,4 λ 22,35 Andra ordningens effekt ska beaktas M. M N e FÖRFATTARNA OCH STUDENTLITTERATUR 37

38 M, P ab l N e P 1,5 4, , ,125P 9,75 knm Andra ordningens moment N π EI l EIK E I K E I ρ ,3 0,5 0,008 0,002 ö, får följande faktorer användas 1 k k k 1φ k f MPa 20 k n λ 170 k 1,11 0,09 1 1,8 II A a 25MPa 20 1,11 59,4 0,26 0,09 0,2 ok 170 0,036 a d h 2 EI 0,036 25,8 10 0,3 0, ,455 0, ,04 MNm N π EI l π 13,04 6 3,58MN FÖRFATTARNA OCH STUDENTLITTERATUR 38

39 β 1 M 1 M N, 1 3,125q 3,58 72,5 1 N 0,65 1 M 1,22 1,125P 9,75 1,37P 11,9kNm Momentkapacitet Antag att all armering flyter x N 0,8 f b ,8 16,7 10 0,16 m 0,3 Kontroll av och : ε dx ε x ε xd ε x 0,455 0,16 3,5 10 6,45 10 ε 0,16 2,17 ok! 0,16 0,045 3,5 10 2,52 10 ε 0,16 2,17 ok! M f b 0,8xd 0,4x f A dd` N d h/2 M 16,7 10 0,3 0,8 0,160,455 0,4 0, ,455 0, ,455 0,5 225kNm 2 Dimensioneringsvillkor M M 225 1,37P 11,9 Svar: 155,5 kn FÖRFATTARNA OCH STUDENTLITTERATUR 39

40 ÖVNING 38 Pelaren i figuren är i brottgränstillståndet belastad med en centriskt placerad normalkraft N Ed =580 kn och en jämnt utbredd sidolast q d. Hur stor kan den sidolasten q d vara utan att pelarens bärförmåga överskrids? Armeringen utgörs av 4 20 B500B i vardera sidan. Pelaren kan antas vara ledat infäst i båda ändar (pendelpelare).vid beräkningen skall andra ordningens effekter beaktas. Betong C20/25, effektivt kryptal φ 1,4. LÖSNING Dimensionerande materialegenskaper Betong C35/45 f f 20 13,3 MPa γ 1,5 E E 34 28,3 GPa γ 1,2 Armering f f MPa γ 1,15 ε f ,17 10 E φ 1,4 FÖRFATTARNA OCH STUDENTLITTERATUR 40

41 Imperfektionen för pelare l l5m e l ,5 mm Kontroll av om andras ordningens effekter ska beaktas λλ med slankhetstalet vi tidigare definierade som λ l i λ 20 A B C n n A N ,356 A f 0,35 0,35 13, ,78 1 0,2 φ 1 0,2 1,4 B 12ω 1,1 C 1,7 r 0,7 (okänd) (okänd) 20 0,78 1,1 0,7 λ 20,13 0,356 λ l i l 5 49,5 h 0, λ 49,5 λ 20,13 Andra ordningens effekt ska beaktas M. M N e M. q l 8 N e q ,0125 3,125q 72,5 knm FÖRFATTARNA OCH STUDENTLITTERATUR 41

42 Andra ordningens moment N π EI l EIK E I K E I ρ ,0103 0,01 0,35 0,35 ö, får följande faktorer användas K 0 k 0,3 1 0,5φ 0,3 0, ,5 1,4 EI 0,177 28,3 10 0,35 0, ,26 MNm N π EI l π 6,26 5 2,47MN β 1 M 1 M N, 1 3,125q 2,47 72,5 1 N 0,58 1 M 1,31 3,125q 72,5 4,1q 95kNm Momentkapacitet Antag att all armering flyter F F F N ; men F F F N f b 0,8x N x N 0,8 f b ,8 13,3 10 0,16 m 0,35 Kontroll av och : ε dx ε x ε xd ε x 0,30 0,16 3,5 10 3,06 10 ε 0,16 2,17 ok! 0,16 0,05 3,5 10 2,4 10 ε 0,16 2,17 ok! FÖRFATTARNA OCH STUDENTLITTERATUR 42

43 M f b 0,8xd 0,4x f A dd` N d h/2 M 13,3 10 0,35 0,8 0,160,30 0,4 0, ,30 0, ,30 0,35 136,4 knm 2 Dimensioneringsvillkor M M 136,4 4,1q 95 q 10,1kN/m Svar: 10,1 kn/m FÖRFATTARNA OCH STUDENTLITTERATUR 43

44 Brukgränstillstånd ÖVNING 39 Kontrollera om nedböjning för kvasi permanent lastkombination för balken i figur nedan klarar gränsvärdet L/250. q d,kv = 29 kn/m. Förenklad beräkning av nedböjningen för fritt upplagda balkar kan göras genom kombination av nedböjning i osprucket resp. fullt uppsprucket tvärsnitt med nyttig last. Betong C25/30, armering B500B (4 Ø 16), d = 465 mm, effektivt kryptal = 2,5. LÖSNING Material egenskaper Betong C25/30 f ctm =2,6 Mpa E c =31 Gpa Armering E s =200Gpa Bestäm böjstyvheten i osprucket stadium I Kvasi permanent lastkombination EI E, bh 12 E, E 1φ, 8, ,30 0, ,88 GPa 12,5 27,7 MNm Bestäm böjstyvheten i sprucket stadiumii Kvasi permanent lastkombination FÖRFATTARNA OCH STUDENTLITTERATUR 44

45 Läget på neutrallagret ges av EI 0,5 b d ξ E, 1 ξ 3 ξα ρ1 2 α ρ 1 α E ,5 E, 8,88 Armeringsandelenρ A A ,0058 0,02 ok! A bd 0,300 0,465 ξα ρ1 2 α ρ 1 22,5 0, ,401 22,5 0,0058 EI 0,5 0,30 0,465 0,401 8, ,401 18,7MNm 3 Nedböjning för fritt upplagad balk v 5 q l 384 EI Vi kontrollera om balken dimensionerad klarar i brukgränsdimensioneringen. Bestäm nedböjningen för båda lasterna med hjälp av ξ 1β M M y ξv 1ξv Kvasi permanent lastkombination y 5 q l ,4 384 EI , ,6. 10 m y 5 q l 384EI , , ,9. 10 m ξ 1β M M M f I z β=0,5 vid långtidslast 2,6. 0, , ,5 knm 0,50 2 FÖRFATTARNA OCH STUDENTLITTERATUR 45

46 M, q, l ,4 8 ξ 1 0,5 32,5 105,7 0, ,7kNm y 0,999 19, ,999 11, ,9 Svar: y 9,9 mm 21,6 mm FÖRFATTARNA OCH STUDENTLITTERATUR 46

47 ÖVNING 40 En fritt upplagd balk med spännvid 8,0 m, placerad inomhus (effektivt kryptal = 3) och är belastad med jämnt utbredd last och ska utformas med tvärsnitt enligt figuren nedan. Undersök balken i brukgränstillstånd. Balken är gjord av av betong C25/30, armering B500B, säkerhetsklass 2 max tillåtna nedböjning i brukgränstillstånd är v max =L/500. a) Beräkna högsta tillåtna utbredd last q d,i för stadium I, sprickfri betongbalk. b) Beräkna högsta tillåtna utbredd last qd,ii för stadium II, betong elastisk i tryckzon. LÖSNING Material egenskaper Betong C25/30 f ctm =2,6 Mpa E c =31 Gpa Armering E s =200Gpa Bestämning av maximalt tillåtna utbredd last i osprucket stadium I EI E, bh 12 E, E 1φ, 7, ,25 0, ,75 Gpa 13 14,7 MNm FÖRFATTARNA OCH STUDENTLITTERATUR 47

48 Nedböjning för fritt upplagad balk y 500 y 5 q l 384 EI q , ,41 kn/m Bestämning av maximalt tillåtna utbredd last i sprucket stadiumii EI 0,5 b d ξ E, 1 ξ 3 ξα ρ1 2 α ρ 1 α E ,8 E, 7,75 Armeringsandelenρ A A ,0078 0,02 ok! A bd 0,25 0,415 ξα ρ1 2 α ρ 1 25,8 0, ,464 25,8 0,0078 EI 0,5 0,25 0,415 0,464 7, ,464 12,6 MNm 3 Nedböjning för fritt upplagad balk y 500 y 5 q l 384 EI q , ,78 kn/m Svar: a) q 4,41 kn/m b) q 3,78 FÖRFATTARNA OCH STUDENTLITTERATUR 48

49 ÖVNING 41 Beräkna konsollängdens nedböjning för balken i figuren. Konsolen är belastad av punktlast P d =120 kn (korttidslast). Betong C20/25, armering B500B. Inverkan av dragen betong mellan sprickorna får försummas. LÖSNING Dimensionerande materialegenskaper i brukgränstillstånd Betong C20/25 E 30 GPa 2,2 MPa Armering E 200 GPa korttidslast E E ,66 Tyngdpunktsavståndet från underarmeringslagret blir c mm FÖRFATTARNA OCH STUDENTLITTERATUR 49

50 Effektiva höjden blir Bestäm böjstyvheten i osprucket stadium I E ,35 0,60 12 Bestäm böjstyvheten i sprucket stadium II Läget på neutrallagret ges av 189 EI 0,5 b d ξ E 1 ξ 3 ξα ρ1 2 α ρ 1 α E 200 6,66 E ,01 0,02 ok! 0,35 0,54 ξα ρ1 2 α ρ 1 6,66 0, ,3 6,66 0,01 0,5 0,35 0,54 0, ,3 66,7 3 Bestäm nedböjningen för båda lasterna med hjälp av 1 1 MP L 120 4,2 504 x FÖRFATTARNA OCH STUDENTLITTERATUR 50

51 x 0,35 0,6 0,6 2 6, ,54 0,35 0,6 6, ,312 Ideella tröghetsmomentet blir då: 12 x 2 x 0,35 0,6 12 0,35 0,6 0,312 0,6 2 6, ,54 0,312 6,9 10 β = 1 vid korttidslast 2,2 10 6,9 10 0, ,0 48, ,99 0,12 4, ,7 44,4 10 0,12 4, , ,65 1 0,99 44, ,99 15, ,1 Svar: 44,1, y 16,8 mm FÖRFATTARNA OCH STUDENTLITTERATUR 51

52 ÖVNING 42 Beräkna största drag och tryckspänning hos betongen, samt dragspänning hos armeringen i stadium I om balken påverkas av ett moment M med vanligt värde 80 knm. Armering B500B, betong C30/7, b 350 mm, h 600 mm, effektivt kryptal 2,3. Exponeringsklass XC4; vct e = 0,50; L100. LÖSNING Material egenskaper Armering Betong 33, Täckande betongskikt ,3 C=40 mm FÖRFATTARNA OCH STUDENTLITTERATUR 52

53 /2 101 c mm Vid referenslinje I 0, x 2 1 x 0,35 0, ,33 0,35 0,6 0,33 0, ,537 0,33 0,0076 Momentet ger följande maxpåkänningar Största betongtryckpåkänningen (i överkant),ö ,33 3,47 0,0076 Största betongdragpåkänningen (i underkant), Största dragarmeringspåkänningen ,600 0,33 2,84 0, ,537 0,33 43,6 0,0076 Svar:,ö 3,47,, 2,84, 43,6 FÖRFATTARNA OCH STUDENTLITTERATUR 53

54 Betongplattor ÖVNING 43 Bestäm erforderlig armering för plattora D i figuren nedan. Egentyngden är 3,5 kn/m 2 och nyttig last väljs för bjälklag i hotell (3,0 kn/m 2, Ψ o = 0,7). Väggarnas tjocklek är 180 mm. Säkerhetsklass 3. Plattans tjocklek:180 mm, täckskikt 20 mm, armering B500B, 8 i underkant och 10 i överkant, betongkvalitet C16/20 LÖSNING Dimensionerande lastvärde i brottgränstillståndet Egentyngden G 3,5 kn/ Nyttig last hotell Q 3,0 kn/ ψ 0,7,γ1 Väggarnas tjocklek =180 mm Säkerhetsklass 3 1,0 q 1,35γ G 1,5γ ψ, Q, 1,5γ ψ, Q, q 1,35 1 3,5 1,5 1 0,7 3,0 7,875kN/ q 0,89 1,35γ G 1,5γ Q, 1,5γ ψ, Q, q 0,89 1,35 1 3,5 1,5 1 3,0 8,71kN/ FÖRFATTARNA OCH STUDENTLITTERATUR 54

55 Välj q 8,71 kn/ Effektiva höjderna vid stöd och fält är följande Platta A ,52 8,705 13, / Armeringsmängd Lösning som baseras på 0,9d som hävarm.,,, 72,9 0,9 0,9 0, / 38,9 0,9 0,9 0, / 35,2 0,9 0,9 0, / FÖRFATTARNA OCH STUDENTLITTERATUR 55

56 Platta B , ,705 5, / Interpolering Elementfall 4 för 1, ,96 1, ,2 2 1, ,6 909, ,6 553,2 Armeringsmängd Lösning som baseras på 0,9d som hävarm.,,,, Platta C 13,44 0,9 0,9 0, / 26 0,9 0,9 0, / 4,8 0,9 0,9 0, / 15,8 0,9 0,9 0, / , ,705 4, / FÖRFATTARNA OCH STUDENTLITTERATUR 56

57 Interpolering Elementfall 4 för 1, ,63 1, ,7 1, ,3 782, ,3 514,5 Armeringsmängd Lösning som baseras på 0,9d som hävarm.,,,, Platta D 9,17 0,9 0,9 0, / 15,3 0,9 0,9 0, / 4,13 0,9 0,9 0, ,3 / 10 0,9 0,9 0, / , ,705 6, / Interpolering Elementfall 8 för 1,22 1,22 1, ,3 1, ,2 207, ,2 466, ,2 297 FÖRFATTARNA OCH STUDENTLITTERATUR 57

58 Armeringsmängd Lösning som baseras på 0,9d som hävarm.,,,, 15,1 0,9 0,9 0, / 16,2 0,9 0,9 0, / 7,2 0,9 0,9 0, / 10,34 0,9 0,9 0, / Platta / A 0,5 B 1,96 C 1,63 D 1,22 Riktning Momentendex Elementfall / Delmoment / m Armering / s (A B) , a f , b f , s (B C,D) , a f 168 4, s (B A) b f , s (C D) 470 9, a f 212 4, , s (C B) 782,6 15, b f 514, s (D C) , a f 207,2 7, s (D B) 466,2 16, b f , FÖRFATTARNA OCH STUDENTLITTERATUR 58

59 ÖVNING 44 Beräkna stöd och fältmoment i brottgränstillstånd för plattorna A,B,C i figuren nedan. Betongplattorna ska utföras i betong C30/37 och armeras med B500B. Plattorna är 180 mm tjocka. Förutom av sin egentyngd påverkas bjälklaget av 2,1 kn/m 2 från mellanväggar och övergolv samt av nyttig last för rum i museum. Säkerhetsklass 3.beräkna erfordelig armering Φ8 i fält och Φ10 överstöd. Täckande betongskikt 20 mm. Redovisa resultaten med hjälp av figur Lastkombinationer Egentyngd G k = 2,1 + 0,18 X 25 =6,6 kn/m 2 Nyttig last Q k = 3,0 kn/m 2 Ψ 0 = 0,7 Säkerhetsklass 3 γ d = 1,0 q 1,35 1,0 6,6 1,5 1,0 0,7 3,0 12,06 / eller q 0,89 1,35 1,0 6,6 1,5 1,0 3,0 12,43 kn/m Välj q 12,43kN/m Platta A(fyrsidig upplagd platta) FÖRFATTARNA OCH STUDENTLITTERATUR 59

60 11 2,44 2 Långsträckt platta dela upp plattan i tre delplattor 4, ,43 4, ,7 / Platta B (tresidig upplagd platta) ,15 2,47 4,5 qb q b 12,43 4,5 251,7 knm/m Platta C (tresidig upplagd platta) ,1 4,5 qb q b 12,43 4,5 251,7 knm/m FÖRFATTARNA OCH STUDENTLITTERATUR 60

61 Platta / Riktning Moment endex Elementfall / Delmoment / A(I`) 2 A(II`) A(III`) 2 B(I`) 2 B(II`) C 1,1 a b b a b a b b a b f 163 4,1 s (A B) 2 251, ,2 f ,8 s (A B) , ,7 f ,72 f 163 4,1 s (A B) 2 251, ,2 f ,8 f 90 2,27 s(b A,B C) , ,4 f s(b A,B C) , ,7 f ,72 s (C D,C B) 307 7,7 f 98 2, ,7 s (C E) ,13 f 290 7,3 FÖRFATTARNA OCH STUDENTLITTERATUR 61