Institutionen för tillämpad mekanik, Chalmers tekniska högskola TENTAMEN I HÅLLFASTHETSLÄRA F MHA APRIL 2015

Transkript

1 Institutionen för tillämpad mekanik, Chalmers tekniska högskola ENAMEN I HÅFASHESÄA F MHA 8 5 AI 5 ösningar id och plats: i V huset. ärare besöker salen 9.3 samt. Hjälpmedel:. ärobok i hållfasthetslära: Hans undh, Grundläggande hållfasthetslära, Stockholm,.. Handbok och formelsamling i hållfasthetslära, KH, eller utdrag ur denna; vid Inst. for tillämpad mekanik utarbetad formelsamling. 3. ublicerade matematiska, fysiska och tekniska formelsamlingar. Medtagna böcker får innehålla normala marginalanteckningar, men inga lösningar till problemuppgifter. ösa anteckningar i övrigt är inte tillåtna. Vid tveksamma fall: kontakta skrivningsvakten innan hjälpmedlet används.. ypgodkänd miniräknare. ärare: eter Möller, tel (77) 55 ösningar: Anslås vid ingången till institutionens lokaler 6/. Se även kurshemsidan. oängbedömning: Varje uppgift kan ge maimalt 5 poäng. Mapoäng på tentan är 5. Betygsgränser: p ger betyg 3; 5 9p ger betyg ; för betyg 5 krävs minst p. Ytterligare poäng ges för varje korrekt löst inlämningsuppgift under kursens gång (lp ) dock krävs ovillkorligen minst 7 poäng på tentamen. För att få poäng på en uppgift måste lösningen vara läsligt och uppställda ekvationer/samband motiveras (det ska vara möjligt att följa tankegången). Använd entydiga beteckningar och rita tydliga figurer. Kontrollera dimensioner och (där så är möjligt) rimligheten i svaren. esultatlista: Granskning: Anslås senast / på samma ställe som lösningarna samt på kurshemsidan. esultaten sänds till betygsepeditionen senast vecka 8. isdag 8/ 3 samt tisdag 5/5 3 på inst. (plan 3 i nya M huset) Uppgifterna är inte ordnade i svårighetsgrad 5 5/WM

2 . En aelkonstruktion består av två delar, vardera med längd. Den vänstra halvan har ett massivt cirkulärt tvärsnitt med radie ; höger del utgörs av ett tunnväggigt rör, medeleradie och godstjocklek h -----, samt av en centralt placerad cirkulär massiv ael med radie. De två 6 delarna i den högra halvan är i aeländen sammanfogade med en skiva som kan betraktas som stel. Aelmaterialet är lineärt elastiskt idealplastiskt med skjuvmodul G och sträckgräns vid τ s ren skjuvning. Bestäm vid det vridmoment s som ger begynnande plasticering. (5p) h 6 stel. Spänningarna i en punkt i en lineärt elastisk konstruktion ges av spänningstensorn S σ τ y τ z τ y σ y τ yz τ z τ zy σ z [Ma] a: Bestäm normal och skjuvspänning på planet (genom punkten) med normalen n (p) 5 3. b: Bestäm den största drag respektive tryckspänning som uppträder i punkten (i någon riktning). (3p) En träbalk med längden 3 har tillverkats genom att limma ihop tre brädor till ett I tvärsnitt med mått enligt figur nedan. Den är upplagd på två stöd så att ett spann med längden samt ett överhäng på bildats. Konstruktionen belastas med en utbredd last q( ) ( ) ( 3) (kraft/ längd) enligt figuren. a: Bestäm tvärkraften ( ) (p) b: Bestäm skjuvspänningen i limfogarna i det tvärsnitt där är störst. (3p) z värsnitt: q( ) t 3 5t t t 5t z y 5 5/WM

3 . Bågkonstruktion AB har formen av ett cirkelsegment med radie och öppningsvinkel -- ; materialet är lineärt elastiskt och bågen har böjstyvheten. Vid A är konstruktionen fast inspänd och vid B är den ledad till ett rullstöd som endast medger rörelse i tangentens riktning. Vid B belastas bågen av en kraft som är riktad i tangentens riktning. Bestäm samtliga stödreaktioner. (5p) A B 5. En fritt upplagd balk med längd och konstant böjstyvhet, belastas av en transversallast med q intensiteten (kraft/längd) q( ) ( q är en given konstant och koordinaten enligt figur nedan), samt en tryckande aialkraft. a: Beräkna snittmomentet M( ) med hänsyn taget till aialkraftens inverkan. (3p) b: Bestäm balkens transversalförskjutning w( ) med hänsyn taget till aialkraftens inverkan. (p) q( ) ösning : Vi måste bestämma snittmomenten i de olika delarna; snitta genom vänster och höger del: M v M v Jämvikt för vänster och höger del ger M v () respektive M v + () Här är momentet i den vänstra halvan av konstruktionen medan är momentet i den cen- M v M v 3 5 5/WM

4 trala massiva aeln i högra delen; är momentet i det tunnväggiga röret. Ytterligare (lineärt oberoende) jämviktsekvationer finns inte att tillgå; istället använder vi oss av kompatibilitetsvillkoret ϕ ϕ 3 dvs att vridningsvinkeln för den centrala aeln och det tunnväggiga röret måste vara lika. Hans M undh ekv 6 och 6 6 ger v M respektive v3 ϕ Insättning i (3) ger G ϕ G( ) G (3) M v () Ekv () och () ger M v -- samt M 3 v Hans undh ekv 6 9 ger oss nu det snittmoment som ger begynnande plasticering i någon massiv ael. För vänstra delen fås M vs s ( ) τ s 3 τ s För den centrala delen av höger del fås M vs s τ s τ 3 s s 3 3 τ s För det tunnväggiga röret utnyttjar vi enklast undh ekv 6 τ s M s vs ( ) s 3 3 τ s τ Vi ser att den del som plasticerar först är det tunnväggiga röret; detta sker då s s ösning a: Spänningsvektorn på en yta med normal n fås som (undh ekv 9 8) s Sn Ma. Den efterfrågade normalspänningen fås som projektionen av s på nor- 5 malen (undh ekv 9 9): σ s n Ma Skjuvspänningen erhålls med ythagoras sats (undh 9 3): (Eftersom skjuvspänningen är noll på ytan, vet vi att σ Ma är en huvudspänning). ösning b: Vi söker största och minsta huvudspänningarna. Huvudspänningarna fås som egenvärdena till spänningstensorn S : det( S σi). Denna ekvation kan uttryckas med invarianterna (undh 9 39); Med invarianterna beräknade enligt undh 9 fås τ s σ σ 3 8σ 95σ + 97 (alla siffervärden har satts in i Ma). Vi vet att en rot är σ (Ma) ; division med ( σ ) ger σ 9 Ma 8σ 97 som har lösningen σ. Våra huvudspän- 8 Ma 5 5/WM

5 ningar är då: (första termen är bidraget från de två flänσ 8 Ma σ Ma σ 3 9 Ma Största dragspänningen är 8 Ma största tryckspänningen är 9 Ma ösning 3a: astresultanten av de utbredda lasten blir 3 q( ) d Vi börjar med att beräkna stödreaktionerna. Vertikal kraftjämvikt ger V B H B + V B ; momentjämvikt kring B ger. Vi finner V B ---. För att komma åt tvärkraften måste vi snitta och ställa upp jämvikt. Vi börjar med ett snitt i intervallet. Vertikal jämvikt ger q( ) --, så ( ) Vi ser att är strängt väande i detta 9 ( ) intervall så ma ( ) < < q( ) ( ) Betrakta nu intervallet < <. Jämvikt kräver att q( ) ( ) q( ) --, ur vilket vi löser ( ) Vi har åter ett ( ) strängt väande ( ) så den till beloppet största tvärkraften måste uppträda i något av intervall ändarna. Vi finner ( ) och ( 3) --- värkraften i balken blir ( ) < < < < ösning 3b: Skjuvspänningen beräknas enligt Hans undh ekv 7 8; den (till beloppet) största skjuvspänningen uppträder i det snitt där tvärkraften är (till beloppet) störst. I vår fall har vi ma ma --- (i snittet närmast högra stödet). För att komma åt skjuvspänningen i limfogen, betraktar vi ett snitt genom livet omedelbart nedanför övre flänsen (eller omedelbart ovanför undrea flänsen); snittets längd är då b t. Vi har då A 5t (flänsarean); avståndet från flänsens yttyngdpunkt ner till y aeln är 3t, så vi får S A A 3t 5t 3. Areatröghetmomentet (m.a.p. y 5t t3 aeln) är I I y t ( 3t) t ( 5t) 3 5t /WM

6 sarna; andra termen är bidraget från livet). Insättning i 7 8 ger nu 8 63, med N ). Den allmänna lösningen ges av summan av en partikulär och homogenlösτ ma --- 5t t t t ösning : Förutom stödkraften vid B, har vi en vertikal och en horisontell stödkraft samt ett stödmoment vid A. Vi har bara tillgång till tre jämviktsekvationer, så konstruktionen är statiskt obestämd. Inför B B B som statiskt övertalig och använd Castiglianos s sats (undh 5 96) för att beräkna den associerade förskjutningen r B. Kompatibilitetsvillkoret r B ger den etra ekvation som behövs. A H A Momentjämvikt vid snittet kräver att M( ϕ) + B sinϕ ( cosϕ), så vi får VA M A M( ϕ) B M( ϕ) ( cosϕ) B sinϕ och M B sinϕ. Med hänsyn taget till enbart böjdeformationer har vi den elastiska energin ϕ W s M ds (där integrationen görs längs bågen). Vi får då W B M dϕ B M M dϕ B Vi får då (Castigliano) r B W ( B sinϕ ( cosϕ) ) B sinϕ 3 dϕ B ( 3 ) så B ,3 Hela systemet: Vertikal jämvikt ger -- + cos + cos -- B ( ),9 Horisontell jämvikt kräver H A -- cos + cos -- B H A ( ),9 Momentjämvikt kring A ger M A B sin -- + cos -- M A ( ) + 6( )) ,8 ( ) d w ösning 5a: Vi beräknar snitt momentet med M (undh ekv 7 65), där är transver- d w d w d w q salförskjutningen. Förskjutningen ges av lösningen till n, där (undh ekv d + d n /WM

7 ningen: w w p + w h. Homogenlösningen ges av undh ekv 8 66; en partikulärlösning kan hittas genom ansattsen w p c 3. Insättning i differentialekvationen ger n q + 6c , vilket ger c q q. ösningen blir då ; eftersom lösningen måste 3n w( ) n + A + B + Ccos( n) + Dsin( n) vara antisymmetrisk, w( ) w( ), har vi att A C så w( ) q n + B + Dsin( n) (5) d w q vå deriveringar ger och alltså. andvillkoret d n Dn sin( n) M( ) Dn q sin( n) n M ± ger att D q ( n) n sin (6) Vi får då M( ) q sin( n) q ( n) sin n ( n) q sin( n) ( n) n sin ösning 3b: Ekvation 6 insatt i 5 tillsammans med randvillkoret w ± ger B q Insättning av och i ekv 5 ger då ( n) ( n) B D w( ) q ( n) ( n) -- sin( n) ( n) sin n /WM