Tentamen i Hållfasthetslära för K4 MHA 150

Transkript

1 Tentamen i Hållfasthetslära för K4 HA 150 aximal poäng är 18. För godkänt krävs 9 poäng 17 april 004, timmar) Allmänt Hjälpmedel 1. Läroböcker i hållfasthetslära och mekanik.. Handböcker, formelsamlingar, elementarfall och sammanfattningsblad i hållfasthetslära, matematik och fysik. Dock ej sammanfattningar med lösta exempel. 3. Ordböcker och språklexikon. Alla medtagna böcker måste vara skrivna på svenska, engelska, tyska eller ryska; de får innehålla normala marginalanteckningar inklusive omskrivningar av ingående formler), men inga lösningar till problemuppgifter. Lösa anteckningar är inte tillåtna, vare sig handskrivna eller tryckta. Undantaget är uppkopierade elementarfall och sammanfattningar iniräknare Vid tveksamma fall: kontakta skrivningsvakten innan hjälpmedlet används. Lärare Anders Ekberg, tel Betygsättning En fullständig och korrekt lösning på en uppgift ger poäng enligt vad som anges på uppgiftslappen. Smärre fel leder till poängavdrag. Ofullständig lösning, många fel, eller metodfel leder till att uppgiften inte ger något poäng. Normalt görs en helhetsbedömning av skrivningen när poängsätts; en snäll bedömning av en lösning kan kompenseras av en hårdare bedömning på en annan. aximal poäng på tentan är 18 och betyg på denna del av kursen ges enligt följande schema: 9 11 poäng ger betyg 3 Resultatlista Anslås på samma ställe som lösningarna senast 7/ Granskning 7/5 004 kl 1 13 på Anders Ekbergs kontor, i Teknisk ekaniks lokaler, nya -huset, norra trapphuset, 3:e våningen. Det går naturligtvis att granska tentan även efter denna officiella granskning, då hos sekreterarna på Teknisk ekanik, nya -huset, södra trapphuset, :a våningen. Tänk på att: Uppgifterna är inte ordnade efter svårighetsgrad välj ut de uppgifter du tycker att du behärskar och börja med dessa. Ange varifrån du hämtar de ekvationer som används. Om du gör antaganden utöver vad som anges i uppgiftstexten; förklara dessa. Bedöm om möjligt rimligheten i dina lösningar. Om du tycker resultatet verkar orimligt, men inte kan hitta några fel i lösningen eller tror att du räknat rätt, så påpeka detta. Kontrollera dimensionen i dina svar en lösning med fel dimension i svaret ger normalt inga poäng. Skriv så att den som ska rätta kan läsa d v s skriv tydligt) och ge förklaringar så att beräkningarna går att följa även för förvirrade lärare. Rita tydliga figurer; det måste framgå vad som är positiva/negativa riktningar på krafter, förskjutningar, etc. Det är inte säkert att all data som ges i uppgiften behövs. Lita på dig själv! 1 14 poäng ger betyg poäng ger betyg 5 ar Anslås på anslagstavlan vid ingången till institutionens lokaler :a våningen i södra trapphuset, nya maskinhuset), samt på kursens hemsida senast måndagen den 19/4. 1

2 Uppgifter 1. En balk av längden 3L är fast inspänd i ena änden och fritt upplagd i andra änden. Den belastas enligt figur 1 med två punktlaster. Bestäm stödreaktionerna stödmoment och stödkrafter)! [p] Bestäm utböjningen av mittpunkten x = 1.5L), samt definiera riktningen! [1p] Ledning: Randeffekter i sidled kan försummas, d v s man kan studera en meter av väggen. Lasten på akvarieväggen är ett vattentryck som har intensiteten q = ρghb, där b är bredden vilken sätts till 1m, ρ = 1000kg/m 3 är vattnets densitet g = 9, 81m/s är jordaccelerationen och h är djupet under vattenytan. Totala djupet är l + L = 5m, med l = 1, 5m och L = 3, 5m, se figur. De böjmoment och tvärkrafter du beräknar blir då per meter in i papperet). P t vattenyta P L L L Figur 1: Fast inspänd fritt upplagd balk med längden 3L, belastad med två punktlaster. Elementarfall ger: l L A h q = ρgh [ L A = P = PL 9 R A = P [ L 6L = 10 7 P [ L R B = P 18L p 1 = 10 7 P = P [ L 3L 96EI = PL3 16EI Det blir alltså en utböjning uppåt. ) 1 4L 9L L )] 1 L 9L ) 3 4L 9L L )] 3 L 6L 9L 3 L ) 4L 3L 18L 3 L )] 3L 9 11L ) L 9L 3L 96EI )] 3 5L 9L. Akvarieväggen i Universeums stora akvarium är fem meter hög med stöd enligt figur. Den är 0,6 meter tjock och gjord av plast. Bestäm stödreaktioner! [1p] Beräkna moment- och tvärkraftsfördelning du behöver inte rita diagram)! [1p] Beräkna maximalt böjmoment! [1p] B Figur : Akvarievägg på Universeum belastad med vattentrycket q. Elementarfall ger: B : 5 5ρg 5 3 3, 5 R A = 0 R A = 15 1 ρg : R A + R B 5 5ρg Snitta i sektionen 0 < h < l: = 0 R B = 75 4 ρg T = ρgh h 1 = ρgh = ρgh h 1 h 3 = ρgh3 6 För snitt i sektionen l < h < L + l fås: T = ρgh h 1 + R A = ρgh ρg = ρg 50 1h ) 4 = ρgh h 1 h 3 + R A h l) = ρgh ρg h 3 ) = ρg h 7h 3 ) 4

3 aximalt böjmoment fås där tvärkraft är noll. Det inses att detta måste ske i sektionen l < h < L + l: T = ρg 50 1h ) 50 = 0 h = 4 1 För h = 50/1 fås böjmomentet = ρg , 76ρg = 47, 6 knm 3 ) 3. En axel har visat sig vara känslig för utmattning. Din uppgift blir att åtgärda detta. Du har två val: Använda ett stål av högre kvalitet; σu = 350Pa, R m = 700Pa. Polera axeln till en medelavvikelse av Ra = 0, 5µm Vilken av dessa åtgärder är mest effektiv för att förhindra initiering av utmattningssprickor? [3p] Data: Axeln är cirkulär och av smitt stål. Den har ett cirkulärt tvärsnitt utan spänningskoncentrationer) med diametern d = 60mm och utsätts för växlande böjning. Ytråheten är initiellt Ra = 10, 0µm. Det ursprungliga materialet har en utmattningsgräns av σu = 50Pa och en brottgräns R m = 500Pa. En ökad materialhållfasthet innebär att reduktionen både m a p dimension och m a p ytråhet förändras. Den reducerade utmattningsgränsen för det ursprungliga materialet blir: 4. Ett cirkulärt balktvärsnitt, enligt figur 4, är utsatt för ett rent böjande moment. Bestäm det största moment som balken kan tåla om: a) Största normalpänning högst får uppgå till flytspänningen, σ s! [1p] b) Balken tillåts bli genomplasticerad! [1p] c) Hur påverkas det största tillåtna momentet enligt a) d v s det böjmoment som ger en normalspänning som högst får uppgå till flytspänningen, σ s ) om balktvärsnittet även är belastat med en tvärkraft, T = /10, enligt figur? [1p] Uttryck svaren i σ s och d! a), b) c) T T Figur 4: Ett cirkulärt tvärsnitt med diametern d utsatt för ett böjande moment. I uppgift c) är tvärsnittet även belastat med en tvärkraft, T nedre figuren). d d σ u,red = ± σ u = ±1 1 0, 9 0, 9 50 = ±0 Pa ed den ökade hållfastheten fås: σ u,red = ± σ u = ±1 1 0, 78 0, ed ökad ytfinhet fås = ±54 Pa σ u,red = ± σ u = ± , 9 50 = ±5 Pa I detta fallet var det mer effektivt att öka materialhållfastheten. Sektionskonstanter för cirkulära tvärsnitt. a) aximalt tillåten spänning i tvärsnittet ges av: σ max = max I z max = max πd 4 64 d = σ s vilket ger största tillåtna böjmoment som max = πd3 3 σ s b) Dubbelsymmetriskt tvärsnitt ger att neutrallagret ligger fast. Spänningen är σ s i övre halvan och σ s i nedre halvan av tvärsnittet. Dessa halvor har arean A s = πd 8 och centrumavståndet 3

4 a = z tp = 4d 3π. Detta ger det maximala momentet som f = σ s A s a = σ sd 3 6 c) Den får ingen inverkan eftersom tvärkraften enbart ger upphov till böjskjuvspänningar 1. Dessa är dessutom noll där normalspänningen är störst. 5. En plugg trycks in i en skåra i ett stort block vilket kan antas vara helt stelt, d v s med elasticitetsmodulen E = ). Under pluggen ligger en gummipackning och pluggen belastas med ett yttryck enligt figur 5. Interfacen mellan plugg, block och gummipackning antas vara friktionslösa och plant spänningstillstånd antas råda. a) Bestäm samtliga spänningskomponenter i pluggen och i gummipackningen! [1p] b) Bestäm hur mycket gummipackningens överyta förskjuts i vertikal led! [1p] c) Bestäm hur mycket pluggens överyta förskjuts i vertikal led! [1p] q = 100 Pa plugg E = 100 GPa, ν=0.3 gummipackning E = 5 GPa, ν= mm 30 mm 10 mm E= Figur 5: Plugg inpressad i stelt E = ) block. Interfacen antas vara friktionslösa. a) På grund av att ingen friktion finns fås den vertikala spänningen i både plugg och gummi m h a jämvikt till σ y = q. På grund av symmetri fås inte några skjuvspänningar. Töjningen i horisontalled är noll p g a det stela blocket) Hookes generaliserade lag för plan spänning ger den horisontella spänningen som σ x = ν σ y, där ν är Poissons tal för respektive komponent. Sammanfattningsvis får vi alltså i pluggen: σ y = q = 100Pa 1 Nu kan vän av ordning, med rätta, hävda att det beror ju enbart på vilket koordinatsystem vi väljer. Detta är riktigt och då får man ta till effektivspänningar för att avgöra om det får någon inverkan, vilket gör det mer komplicerat. Notera då att inverkan av tvärkraften är noll vid ytterränderna där normalspänningen är högst) och inverkan av böjmomentet är noll i centrum där skjuvspänningen är störst). Generellt skall det till mycket höga tvärkrafter innan de får någon inverkan och då är det tveksamt om den balkteori vi lär oss i denna kursen är tillämplig. För gummit fås: σ x = ν q = 30Pa σ y = q = 100Pa σ x = ν q = 50Pa övriga spänningskomponenter är noll. b) Enligt Hookes generaliserade lag för plan spänning fås den vertikala töjningen som ǫ y = 1 E σ y νσ x ) = q 1 + ν ) E ǫ y = , 5 ) = vilket ger en deformation av δ = l ǫ y = = 0, 03mm c) för pluggen blir den vertikala deformationen δ = , 3 ) = 0, 07mm d v s totalt fås δ = 0, 06mm. 6. Samtliga uppgifter nedan ger ingen poäng oavsett om svaret är rätt) om du inte motiverar ditt svar! En bra d v s hållfasthetsmässigt korrekt) motivering ger naturligtvis poäng även för svar andra än just de jag tänkt mig! a) I finita-element-simuleringar av krockar plockar man ofta bort alla hål mindre än säg tre centimeter från sin datormodell av bilkarossen. Detta gör man för att beräkningarna skall gå snabbare och bli mindre minneskrävande man kan använda större element då man inte behöver lösa upp så små detaljer). När man sedan skall göra en utmattningsanalys av karossen är det högst olämpligt att använda samma datormodell. Förklara varför! [1p] Exempel på svar: Krockdeformationer är ett globalt fenomen. På grund av den stora plasticiteten är det enda viktiga att få med rätt energi in i simuleringen d v s rätt fart, massa och styvhet). Utmattning är däremot ett lokalt fenomen. Tas hålen bort underskattas de lokala spänningarna med upp till en faktor tre. Resultaten blir därför helt meningslösa när det gäller att uppskatta utmattningshållfastheten. b) En s k Wöhlerkurva eller S N-diagram beskriver sambandet mellan spänningsamplitud och utmattningslivslängd. Ett exempel finns i Figur 154 i Gröna Lundh. Denna är för en växlande belastning. Om belastningen istället är pulserande, kommer då Wöhlerkurvan att vara flackare eller brantare? [1p] Ledning: Relationen mellan utmattningsgränserna i pulserande belastning σ up och i växlande belastning σ u är ungefär σ up = 0, 85σ u. Göm inte motivera, annars blir det inga poäng! 4

5 Exempel på svar: Den kommer att vara flackare. Anledningen är att amplituderna ritas i Wöhlerkurvan. Brottgränsen vid statisk belastning beror enbart av maxspänningen vid en cykel spelar det ju ingen roll om den är växlande eller pulserande). Vid växlande last är maxspänningen σ a och vid pulserande last σ a. Det skiljer alltså en faktor två. ed tanke på att utmattningsgränsen i pulserande belastning är ca 0,85 gånger den i växlande belastning, kan man reducera skillnaden till ungefär 1,7. en det blir fortfarande en rejält mycket flackare kurva. c) I Tingstadsmotet kan man se broar som vilar på väldigt få typiskt en eller två), men mycket tjocka pelare, samt broar som vilar på väldigt många typiskt fyra eller fem), tunna pelare mellan körfälten. Förklara vilka fundamentalt olika dimensioneringsfilosofier som ligger bakom dessa två val! [1p] Exempel på svar: Anledning är att de tjocka pelarna är dimensionerade så att de skall klara en krock utan att rasa. Broarna med de slankare pelarna är dimensionerade så att en pelare skall kunna gå av utan att bron rasar. 5