Övningsuppgifter och lösningsförslag till kursen Strukturmekanik grunder för V3. Jim Brouzoulis Tillämpad Mekanik Chalmers

Transkript

1 Övningsuppgifter och lösningsförslag till kursen Strukturmekanik grunder för V3 Jim Brouzoulis Tillämpad Mekanik Chalmers

2 2 Förord Detta kompendie är tänkt som ett komplement till eempelsammlingen av Ekevid, Kettil och Wendt) och ska förhoppningsvis) underlätta inlärningsprocessen. Varje kapitel behandlar ett problemområde i kursen och i början av varje kapitel presenteras ett eller flera eempel med lösningsförslag. Därefter följer övningsuppgifter och det är rekommenderat att fullfölja övningarna i detta häfte, till de områden det finns tillgängligt), innan man går över till eempelsammlingen. Det här kompendiet är i ett utvecklingsskede och det kan därmed förekomma vissa smärre typografiska fel och även räknefel. Det är därför varmt uppskattat med alla typer av feedback. Göteborg, Mars 2008 Jim Brouzoulis

3 Innehåll Diskreta fjädersystem. Diskreta fjädersystem System av stänger 2. Stångsystem Övningsuppgifter otentiell energi 9 3. otentiell energi Övningsuppgifter Fackverk Snittkrafter i statiskt bestämda plana fackverk Knutmetoden Snittmedtoden Övningsuppgifter Facit Fjädersystem

4 4 INNEHÅ 5.2 System av stänger otentiell energi Fackverk

5 Kapitel Diskreta fjädersystem. Diskreta fjädersystem Eempel Etablera styvhetssambandet Sp = för fjädersystemet nedan. k k 2 k 3 k 4 p p 3 ösning Nedan visas två metoder för att etablera styvhetsmatrisen för problemet ovan. Den första metoden bygger på direkt tillämpning av arbetsformuleringen. Detta resulterar i att styvhetsmatrisen för hela strukturen kan etableras genom en summation av styvhetsbidrag från varje element. Metoden lämpar sig mer för datorberäkning som vi kommer se snart. Metod nummer 2 bygger på Clebsh sats och är smidigare att använda vid handberäkning. Metod : Förskjutningsmetoden baserat på arbetsformulering Arbetsprincipen ger oss att det inre arbetet är lika med det yttre d.v.s. V i = V y. nel V i = n t e N e = n t N + n t 2 N 2 + n t 3 N 3 + n t 4 N nno 4 V y = p t j j = p t e= j=

6 2 KAITE. DISKRETA FJÄDERSYSTEM Vi vill nu hitta relationerna mellan elementdeformationerna n e och nodförskjutningarna p. Detta samband uttrycker vi som ) ) p ne Ae A n e = A e p = e2 A e3 p n e2 A e2 A e22 A 2.) e23 p 3 p p 3 n ) n 2 n 2 n 22 n 3 n 32 n 4 n 42 ) För varje element: el : el 3: n n 2 n3 n 32 ) = ) = ) ) p p 3 p p 3 el 2: el 4: n2 n 22 n4 n 42 ) = ) = Observera att ekvationerna för n och n 42 är onödiga då de inte bidrar till arbetet! De kommer därför slopas i fortsättningen, vilket gör att vissa matriser reduceras). Med ekvation. kan nu det inre arbetet skrivas som V i = nel nel e= nt en e = p t e= At en e ), nel ) vilket tillsammans med det yttre arbetet ger oss p t e= At e N e = p t som måste vara uppfyllt för alla förskjutningar p och därför gäller 0 0 N N2 N 22 nel e= ) + ) ) p p 3 p p 3 A t en e =.2) N 2 + N 2 N 22 + N 3 N 32 + N 4 N3 N 32 = ) + Vi ser att detta motsvarar mot jämvikt mellan inre och yttre krafter N 4 = 2 3

7 .. DISKRETA FJÄDERSYSTEM 3 Sen tidigare har vi etablerat styvhetssambandet på elementnivå som ) ) Ne ne N e = S e n e = k e N e n e ).3) Kombineras ekvation.2 med.3 och. erhålls nel A t es e n e ) = nel e= e= ) A t es e A e p = Sp = Styvhetsmatrisen bildas därmed genom en summation av bidrag från flera element: k ) 0 0 ) + k 3 S = nel S = A t e S ea e.4) e= ) k 2 ) k + k 2 k 2 0 k 2 k 2 + k 3 k 3 0 k 3 k 3 + k 4 Styvhetssambandet kan nu skrivas k + k 2 k = k 2 k 2 + k 3 k k 3 k 3 + k 4 Beräkningsgång ) ) + k 4 ) 0 0 ) p p 3. Ställ upp kinematiska samband ekvation. 2. Etablera jämvikt för systemet t.e. genom arbetsprinciper) ekvation.2 3. Ta fram elementstyvheter ekvation.3 4. Kombinera jämvikt, materialsamband och kinematiska samband till styvhetsmatrisen ekvation.4

8 4 KAITE. DISKRETA FJÄDERSYSTEM Metod 2 Förskjutningsmetoden med Clebsh Sats Inre arbete = yttre arbete, V i = n t N = p t = V y Om vi etablerar jämvikt som och kombinerar med det yttre arbetet fås = A t N.5) n t N = p t A t N n = Ap Clebsh sats).6) Snittkraften i varje fjäder erhålls enkelt genom relationen N e = S e n e Ställs detta samband upp för alla element i systemet fås eller på matrisform N N 2 N 3 N 4 = N = S d n.7) k k k k 4 Kombineras ekvation.5,.6 och.7, följer än en gång styvhetssambandet n n 2 n 3 n 4 = A t S d A ) p = Sp.8) Genom att ta fram transformationsmatrisen A kan styvhetsmatrisen enkelt beräknas enligt ovan. För vårt problem kan jämvikten tecknas som å matrisform kan vi skriva nod : N N 2 = nod 2: N 2 N 3 = nod 3: N 3 N 4 = 3 = } {{ } A t Styvhetsmatrisen kan nu enkelt beräknas k S = k k k 4 N N 2 N 3 N 4.9) =... =

9 .. DISKRETA FJÄDERSYSTEM 5 Beräkningsgång = k + k 2 k 2 0 k 2 k 2 + k 3 k 3 0 k 3 k 3 + k 4.0). Etablera transformationsmatrisen A t genom jämvikt ekvation.9 2. Ställ upp samband mellan normalkrafter N och stångdeformationer n ekvation.7 3. Beräkna strukturstyvhetsmatrisen S som S = A t S e A ekvation.0

10 6 KAITE. DISKRETA FJÄDERSYSTEM Övningsuppgifter Uppgift Etablera styvhetssambandet Sp = för fjädersystemet nedan. Använd valfri metod. k k 2 k 3 p Uppgift 2 Etablera styvhetssambandet Sp = för fjädersystemet nedan. Använd valfri metod. k k 2 k 3 p

11 .. DISKRETA FJÄDERSYSTEM 7 Uppgift 3 Etablera styvhetssambandet Sp = för fjädersystemet nedan. Använd valfri metod. k k p k 2 k 2 k 3 k 3 p 3 p 4 Uppgift 4 Etablera styvhetssambandet Sp = för fjädersystemet nedan. Använd valfri metod. k 2 k k 4 p p 3 k 3

12 8 KAITE. DISKRETA FJÄDERSYSTEM Uppgift 5 Etablera styvhetssambandet Sp = för fjädersystemet nedan. Använd valfri metod. k k 2 k 4 p 4 k 7 k 3 k 5 k 0 k 8 p k 6 p 6 p 7 k 9 p 3 p 5 Uppgift 6 Beräkna förskjutningarna p och rita fjäderkraftsfördelningen över systemet. k 3k 2k 2k k p

13 .. DISKRETA FJÄDERSYSTEM 9 Uppgift 7 Beräkna förskjutningarna p och rita fjäderkraftsfördelningen över systemet. 2k 2k 2k p 3 k k p

14 0 KAITE. DISKRETA FJÄDERSYSTEM

15 Kapitel 2 System av stänger 2. Stångsystem Eempel Betrakta stångsystemet nedan. Beräkna förkjutningarna och rita upp normalkraftsfördelningen. EA, 2EA, EA, p ösning För att beräkna förskjutningarna etablerar vi först styvhetsrelationen Sp = och löser därefter ut förskjutningarna som p = S. När sedan alla förskjutningar är kända kan stängernas respektive normalkraft enkelt tas fram. N 2 N 2 N 22 N 3 n 2 n 2 n 22 n 3 Det inre arbetet är lika med det yttre, d.v.s. V i = V y

16 2 KAITE 2. SYSTEM AV STÄNGER V i = 3 e= n t en e = n t N + n t 2N 2 + n t 3N 3 = n 2 N 2 + ) ) N n 2 n n N 3 N 3 22 Kinematiska samband mellan ändförskjutningar och nodförskjutningar: ) ) n2 p n 2 = p, =, n 3 = 2.) n 22 V i = p N 2 + ) ) N p 2 + p N 2 N 3 = ) ) N p + N N 22 + N 3 Det yttre arbetet kan på samma sätt skrivas 2 V y = p t j j = p + 0 = p j= ) ) 0 Eftersom det inre arbetet är lika med det yttre fås jämviktsekvationerna ) ) N2 + N 2 = N 22 + N ) I många fall kan dessa ställas upp direkt vilket förenklar beräkningarna något. Elementstyvhetssamband N 2 = EA n 2, 2EA ) ) n2, N n 3 = EA 22 n 3 2.3) Kombinera nu ekvation 2.2, 2.3 och 2. EA p ) ) + 2EA p = ) ) 2EA p + p EAp 2 = 0 2 EA ) ) p = ) 0 eller Sp = Förskjutningarna fås nu som p = S

17 2.. STÅNGSYSTEM 3 p ) = 5EA ) ) 0 = 5EA ) ) Normalkrafterna kan beräknas ur ekvation 2.3 nu när förskjutningarna är kända. N 2 = EA n 2 = EA p = EA 3 5EA = 3 5 dragen) N2 N 22 ) = 2EA ) ) p = 2EA ) 5EA ) 3 = ) tryckt) N 3 = EA = EA 2 5EA = 2 5 tryckt) N [ 5 ] 3 2 Figur 2.: Normalkraftsfördelning Observera att hoppet i normalkraft vid = precis motsvarar den pålagda lasten.

18 4 KAITE 2. SYSTEM AV STÄNGER 2.2 Övningsuppgifter Uppgift Beräkna förskjutningen p för stångsystemet nedan och rita upp normalkraftsfördelningen. EA, EA, 2 p Uppgift 2 Beräkna förskjutningen för det upphängda bjälklaget nedan och rita upp normalkraftsfördelningen i stängerna. Bjälklaget kan antas helt styvt. EA, EA, EA, p

19 2.2. ÖVNINGSUGIFTER 5 Uppgift 3 Beräkna förskjutningarna för stångsystemet nedan och rita upp normalkraftsfördelningen. EA, 2EA, 2 3EA, p Komplementärlösning utbredd last Uppgift 4 Beräkna förskjutningen p för den massiva pelaren utsatt för sin egenvikt q = mg. Rita även upp normalkraftsfördelningen i pelaren. p mg EA, Uppgift 5 Beräkna förskjutningarna för stångsystemet nedan och rita upp normalkraftsfördelningen. q = EA, EA, EA, p

20 6 KAITE 2. SYSTEM AV STÄNGER Uppgift 6 Beräkna förskjutningarna för stångsystemet nedan och rita upp normalkraftsfördelningen. EA, /2 2EA, p q = Uppgift 7 Beräkna förskjutningarna för stångsystemet nedan och rita upp normalkraftsfördelningen. För enkelhetens skull sätt mg = 2. p EA, q = mg 2 2EA, q 2 = 2mg p 3 3 3EA, q 3 = 3mg

21 2.2. ÖVNINGSUGIFTER 7 Komplementärlösning temperaturlast Uppgift 8 Beräkna förskjutningarna för stångsystemet nedan och rita upp normalkraftsfördelningen. EA,, α T p Uppgift 9 Beräkna förskjutningarna för stångsystemet nedan och rita upp normalkraftsfördelningen. EA,, α EA, T p Uppgift 0 Beräkna förskjutningarna för stångsystemet nedan och rita upp normalkraftsfördelningen. EA,, α EA, T T 2 p

22 8 KAITE 2. SYSTEM AV STÄNGER Uppgift Beräkna förskjutningarna för stångsystemet nedan och rita upp normalkraftsfördelningen. 4EA,, α 4EA,, α 4EA,, α T 2 T 3 T EA p EA

23 Kapitel 3 otentiell energi 3. otentiell energi Eempel Etablera styvhetssambandet Sp = för systemet nedan genom att minimera potentiella energin Π. k 3 2k 2 k p p 3 ösning Den potentiella energin kan delas upp i två delar: en inre del Π i som är den upplagrade deformationsenergin och en yttre del Π y som är energin av de yttre lasterna. Π = Π i Π y 3.) Π = nel i= 2 n2 i N ndof i j= p j j 3.2) Där n i är elementdeformationerna och p j är förskjutningarna i varje frihetsgrad. För vårt problem fås: 9

24 20 KAITE 3. OTENTIE ENERGI Π i = 2 k n 2) k n 22 n 2 ) k n 32 n 3 ) 2 3.3) Π y = p 3 + p 2 + p 3.4) p p 3 n 2 n 2 n 22 n 3 n 32 Med de kinematiska sambanden n 2 = n 2 = p, n 22 = n 3 =, n 32 = p 3 kan den inre potentiella energin skrivas Π i = 2 k p2 + k p ) k p 3 ) 2 Den totala potentiella energin blir då Π = 2 k p2 + k p ) k p 3 ) 2 p 3 2 p 3 Jämvikten karaktäriseras av de, i det här fallet), tre ekvationerna Π p = 0, Π = 0, Π p 3 = 0 Π p = 2 k 2p + k 2 p ) ) 3 = 3k p 2k 3 = 0 Π = k 2 p )) + 2 k 2p 3 ) ) 2 = 2k p + 3k k p 3 2 = 0 Π p 3 = 2 k 2p 3 )) = k + k p 3 = 0

25 3.. OTENTIE ENERGI 2 Dessa ekvationer kan sammanfattas på matrisform, vilket är det sökta uttrycket. 3k 2k 0 p 3 2k 3k k = 2 0 k k p 3 Determinanten av styvhetsmatrisen, dets), kan beräknas för att undersöka om strukturen är stabil dets) = 3k 3k k d.v.s. strukturen är geometriskt stabil! k k 2k) 2k 0 k k + 0 2k 0 3k k = 2k3 > 0 Eempel Etablera styvhetssambandet Sp = för stångsystemet nedan genom att minimera potentiella energin Π. 2EA, 2 EA, p För ett stångbärverk kan den potentiella energin tecknas I detta fallet erhålls Π = nel e= 2 nt e S en e p t Π i = 2 n 2EA 2 n 2 + ) EA n2 n 22 2 ) ) n2 Och om vi betraktar de kinematiska villkoren kan vi skriva den inre potentiella energin som Π i = EA p2 + ) ) ) EA p p = 2... = EA p2 + EA 2 [p p ) + p )] n 22

26 22 KAITE 3. OTENTIE ENERGI p n 2 n 2 n 22 Den yttre potentiella energin ges som Π y = p Nu kan den totala potentiella energin skrivas ) ) 2 = p 2 + Π = EA p2 + EA 2 [p p ) + p )] p 2 Ekvationerna som motsvarar jämvikt för systemet ges av Π p = 0, Π = 0 Π = 2 EA p p + EA 2 [p ) + p ] 2 = 3EA p EA 2 Π = EA 2 [ p + + p )] = EA p + EA Eller på matrisform EA 3 ) ) p = ) 2

27 3.2. ÖVNINGSUGIFTER Övningsuppgifter Uppgift Ställ upp fjädersystemets potentiella energin och visa att systemet är instabilt genom att beräkna determinanten av styvhetsmatrisen. Hur kan systemet göras stabilt? 2k 2k p p 3 Uppgift 2 Ställ upp fjädersystemets styvhetssamband nedan genom att minimera den potentiella energin. k 2k 3k p Uppgift 3 Ställ upp stångsystemets styvhetssamband nedan genom att minimera den potentiella energin. 2 2k k k k p p 3

28 24 KAITE 3. OTENTIE ENERGI Uppgift 4 Ställ upp stångsystemets styvhetssamband nedan genom att minimera den potentiella energin. 2EA, 2 2EA, p Uppgift 5 Ställ upp stångsystemets styvhetssamband nedan genom att minimera den potentiella energin. 2EA, 2EA, 2EA, EA EA p

29 Kapitel 4 Fackverk 4. Snittkrafter i statiskt bestämda plana fackverk Det finns 2 klassiska metoder för att analysera statiskt bestämda fackverk: knutmetoden ochsnittmetoden. Dessa kommer nu att presenteras. 4.. Knutmetoden Metoden bygger på att varje knut i fackverket friläggs och jämvikt ställs upp för knuten. Två projektionsekvationer kan ställas upp, momentekvationen ger ingen ytterligare information då stångkrafterna har sin verkningslinje genom knuten vilket gör att hävarmen blir noll. Eempel Beräkna stångkrafterna i fackverket nedan m.h.a. knutmetoden. ösning Studera varje knut var för sig. Ställ upp jämvikt för den aktuella knuten,vertikal och horisontell), och lös ut de obekanta stångkrafterna. Global jämvikt ger till att börja med reaktionskrafterna: R AV = R BV = 2 R AH = 0 4.) 25

30 26 KAITE 4. FACKVERK Knut 2 Knut N 5 N 5 N 3 N N Knut 3 R H = 0 N 4 N 2 R A = 2 N 3 R B = 2 Knut 4 N 4 N 2 Knut : : 2 + N 2 5 = 0 N 5 = 2 2 : R AH + N 4 + N 5 2 = 0 N 4 = N 5 2 R AH = 2 Knut 2: : N N 2 = 0 N = N 5 = 2 2

31 4.. SNITTKRAFTER I STATISKT BESTÄMDA ANA FACKVERK 27 : N 3 + N 5 2 N 2 = 0 N 3 = ) = 0 Knut 3: : N 2 N 4 = 0 N 2 = 2 Alla snittkrafter har nu beräknats för fackverket men det är lämpligt att även undersöka knut 4 för att kontrollera att de normalkrafter vi beräkknat uppfyller jämvikt. Knut 4: : N = = 0 OK! : N 2 + N 2 = = 0 OK! Vi sammanfattar: N = 2 2 N 2 = 2 N 3 = 0 N 4 = 2 N 5 = 2 2 R AV = 2 R BV = 2 R AH = 0 Beräkningarna kan i många fall förenklas om man i förväg identifierar s.k. nollstänger. Nollstänger är som namnet antyder stänger där normalkraften är noll, e. stång nummer 3). Även symmetrin på strukturen och lasten hade varit lämpligt att ta hänsyn till från början Snittmedtoden Den här metoden utnyttjar global jämvikt. Vi väljer ett snitt genom strukturen så vi maimalt erhåller 3 obekanta, vilket är det maimala antalet globala jämviktsekvationer vi kan ställa upp, i det plana fallet). Dessa ekvationer ger då de tre obekanta. Eempel Beräkna normalkrafterna N, N 2 och N 3 tillhörande stångerna markerade 3 i fackverket nedan m.h.a. snittmetoden.

32 28 KAITE 4. FACKVERK 2 3 ösning Vi betraktar sektionen till höger om snittet i figuren nedan. Global jämvikt för den snittade delen ger de obekanta normalkrafterna N, N 2 och N N N2 N 3 : N 2 + = 0 N 2 =

33 4.. SNITTKRAFTER I STATISKT BESTÄMDA ANA FACKVERK 29 N 3 : N + N 2 = 2 N = 3 : N 3 + N = 0 N 3 = N = 3 Observera att vi lika gärna hade kunnat välja sektionen till vänster om snittet men då hade vi varit tvungna att beräkna stödreaktionerna först! Kommentarer Metoden är bra att använda då man enbart är intresserad av ett fåtal snittkrafter och inte vill räkna sig fram till rätt stång med knutmetoden I båda metoderna, knutmetoden och snittmetoden), är det lätt att göra slarvfel och gör man ett fel blir allt fel. Därför är det etra viktigt att kontrollera att jämvikten är uppfylld.

34 30 KAITE 4. FACKVERK 4.2 Övningsuppgifter Uppgift Beräkna normalkrafterna i strukturen nedan. Uppgift 2 Beräkna normalkrafterna i strukturen nedan. 2

35 4.2. ÖVNINGSUGIFTER 3 Uppgift 3 Beräkna normalkrafterna i fackverket nedan. Uppgift 4 Beräkna normalkrafterna i fackverket nedan

36 32 KAITE 4. FACKVERK

37 Kapitel 5 Facit 5. Fjädersystem Uppgift k + k 2 + k 3 ) p = Uppgift 2 ) ) k + k 2 + k 3 k 3 p = k 3 k 3 ) 0 Uppgift 3 2k 0 0 k 0 2k 2 0 k k 3 k 3 k k 2 k 3 k + k 2 + k 3 p p 3 p 4 0 = 0 0 Uppgift 4 k k 0 p k k + k 2 + k 3 k 2 k 3 = 0 0 k 2 k 3 k 2 + k 3 + k 4 p

38 34 KAITE 5. FACIT Uppgift 5 k + k 2 + k 3 k 2 k k 2 k 2 + k 4 0 k k 3 0 k 3 + k 5 + k 6 k 5 k S = 0 k 4 k 5 k 4 + k 5 + k 7 0 k k 6 0 k 6 + k 8 + k 9 k k 7 k 8 k 7 + k 8 + k 0 k k 0 k = Uppgift 6 7k 2k 2k 4k ) ) p = ) 0 p ) = 45k ) ) N [ 45 ] Uppgift 7 5k 2k 0 p 2k 5k 2k = 0 2k 2k p 3

39 5.. FJÄDERSYSTEM 35 p = ) 22k p 3 35 N [ 22 ]

40 36 KAITE 5. FACIT 5.2 System av stänger Uppgift 3EA 2 p = N [ 3 ] 2 Uppgift 2 3EA p = [ 3 ] N Uppgift 3 EA ) ) p = ) 2

41 5.2. SYSTEM AV STÄNGER 37 N [ ] Uppgift 4 EA p = [ mg 2 ] N k N p N k + N p N N N 2 Uppgift 5 EA 2 2 ) ) p = ) ) p ) = 6EA )

42 38 KAITE 5. FACIT [ 2 ] N N p N k N k + N p Uppgift 6 2EA 2 ) ) p + 2 ) = ) 0 p ) = 4EA ) 0 [ 2 ] N p N N k N k + N p

43 5.2. SYSTEM AV STÄNGER 39 Uppgift 7 EA 0 p 3 2 mg 3 = p p = 2 7 2EA p 3 0 [] N k N p N k + N p N N 2 N

44 40 KAITE 5. FACIT Uppgift 8 EA p = EAα T p = α T EA [ ] N k EAα T N p EAα T N k + N p Uppgift 9 2EA p = EAα T p = α T 2 [ EAα T 2 ] N k N p E2 N k + N p

45 5.2. SYSTEM AV STÄNGER 4 Uppgift 0 2EA p = EAα T T 2 ) p = 2EA + α T T 2 ) EA 2 α T T 2 ) [ ] N k N p 2 EA 2 α T T 2 ) N k + N p EAα T EAα T 2 2 EA 2 α T 2 EA α T 2 2 Uppgift EA ) ) p + EAα T ) + 2 = ) 0 0 p ) = α T 5 )

46 42 KAITE 5. FACIT [ EAα T ] 5 N k N 5 [EAα T] N p N k + N p otentiell energi Uppgift dets = 0 instabilt Π = k 2 ) + k 3 2) p 3 0 p 0 2k 2 = 0 0 p 3 Uppgift 2 Π = 3k p 6k p = Uppgift 3 Π = 2 p2 k + 2 p 3 p ) 2 2k + 2 p ) 2 k + 2 p 3 ) 2 k 2p p p 2 k 2 = 0 2 3

47 5.3. OTENTIE ENERGI 43 Uppgift 4 Π = EA ) 2p 2 2p + 2 2p EA 2 ) ) p = ) 2 Uppgift 5 Π = EA ) 5p p p + p EA ) ) p = )

48 44 KAITE 5. FACIT 5.4 Fackverk Uppgift ositiva värden betyder att stången är dragen och negativa värden att stången är tryckt. 2 Uppgift 2 ositiva värden betyder att stången är dragen och negativa värden att stången är tryckt

49 5.4. FACKVERK 45 Uppgift 3 ositiva värden betyder att stången är dragen och negativa värden att stången är tryckt. /2 /2 / 2 /2 / 2 / 2 /2 / 2 0 /2 /2 /2 /2 Uppgift 4 ositiva värden betyder att stången är dragen och negativa värden att stången är tryckt. 2/3 2/3 0 3/3 2/3 /3 /3 3/3 3/3 3/3 /2 /2