Tentamen i FEM för ingenjörstillämpningar (SE1025) den 5 juni 2009 kl

Transkript

1 KH HÅFASHESÄRA entamen FE för ngenjörstllämpnngar (SE5) den 5 jun 9 l. 8-. Resultat ommer att fnnas tllgänglgt senast den jun. Klagomål på rättnngen sall vara framförda senast en månad därefter. OBS! entand är sldg att vsa legtmaton plus vtto på erlagd åravgft. Srv endast på en sda av bladet. Srv tdlgt namn och personnummer på varje blad. ösnngar som är otdlga och svåra att följa ommer nte att bedömmas. Hjälpmedel: Formelsamlng Hållfasthetslära, EFYA, BEA och ränedosa. Eamnator: Jonas Falesog, tel Betgsgränser: F(underänd) p ; FX (möjlghet tll ompletterngstentamen) p ; E p ; D p 5 ; C p 7 ; B p ; A p, där (p tenamenbonus).. [5 poäng] En masndel som enbart an röra sg horsontell led är opplad tll två fjädrar va noderna och. asndelen an sammanhanget betratas som stel. Sstemet nnehåller dessutom en tredje fjäder, se fguren tll höger. asndelen påtvngas en försjutnng åt höger. Bestäm den raft som rävs för att åstadomma detta. 5 o 5 o masndel. [ poäng] Fguren tll höger vsar ett trangelelement, där nodoordnaterna är gvna. Elementets nodförsjutnngsvetor vsas ocså fguren, där u och v är nodförsjutnngar - respetve -led för noden. Försjutnngen t.e. -led ges för det atuella elementet av en lnjär ansats på formen u c c c. Identfera oeffcenterna c, c och c termer av nodförsjutnngarna u, u och u, samt bestäm elementets formfuntoner. u v u v u v {, } {, }. [ poäng] En onsolbal som är upplagd på ett stöd belastas med rafterna P och P. Vd belastnngen försjuts lastangreppspunterna, respetve. Den elastsa energn, W, och omplementära elastsa energn, W, för balen an då uttrcas som P, P, W ( 8 och. 6 7 ) W --- ( 7P 9 P P 8P ) ag fram relatonen mellan rafter och försjutnngar både m.h.a. Castglanos :a och :a sats och vsa att de två resulterande evatonssstemen är dentsa.. Fguren tll höger vsar en bal som belastas av sn egentngd per volmsenhet, ρg, där g är tngdacceleratonen och ρ är balens denstet, vlen varerar enlgt ρ() ρ ( ( ) ). Balen har elastctetsmodulen E, ttröghetsmomentet I och tvärsnttsarean A. Balens utböjnng (vertal försjutnng), w, ges av lösnngen tll dfferentalevatonen -- d d w ---- d ρ ga d - q z,w entamen FE för ngenjörstllämpnngar (SE5) den 5 jun 9 l. 8-.

2 KH HÅFASHESÄRA (a) [ poäng] Antag att ρ, g och A är onstanter och vsa att den svaga formen är d v -- d ---- w d d d [ v] dv ρ d ga v d där v är en godtclg vtfunton, är tvärraft och är moment (enlgt fguren ovan). Sambanden ( w ) och w har utnttjats vd ränderna. (b) [ poäng] a fram FE-evatonen (anv. Galerns metod) tll den svaga formen ovan för ett element, d.v.s. dentfera storheterna evatonen e f e., (c) [ poäng] I en tllämpnng enlgt fguren nedan är balen upphängd två vertala fjädrar, vardera med fjäderonstanten. Dessutom är balens ändar förhndrade att rotera. Balen belastas enbart av sn egentngd. Analsera balen med ett två-noders balelemet och beräna dess försjutng punten. z,w ρ() ρ 5. En retangulär sva enlgt fguren nedan ( b «, tjocle h) belastas men ombnaton av ren böjnng och ren dragnng. ateralet är sotropt lnjärt elastst melastctetsmodulen E och Posons tal ν, där plan spännng antas gälla. En förenlad FE-anals sall genomföras där endast delen närmast tll höger om smmetrsnttet betratas och modelleras mett vadratst blnjärt -noders element. Koordnaterna för de fra noderna nummerordnng är: {, b}, {b, b}, {b, b} och {, b}. Kombnatonen av normalraft och moment anbrngas elementet form av en spännngsvetor, t, verande på tan mellan nod och, se fguren nedan. (a) [ poäng] Hur många frhetsgrader måste låsas, d.v.s. föresrvas med försjutnngen noll för att elementet ej sall stelroppsförflttas eller stelroppsrotera? Ange vla (observera att flera alternatv fnns)? (b) [ poäng] Bestäm spännngsvetorns bdrag tll nodlastvetorn F. (c) [ poäng] Bestäm normalspännngen -rtnngen elementet som funton av läget. Utgå från nodförsjutnngarna gvna fguren. Är lösnngen eat? P b P t N b P ---, bh - b h d d d d d d d d b E N - E entamen FE för ngenjörstllämpnngar (SE5) den 5 jun 9 l. 8-.

3 KH HÅFASHESÄRA FOREBAD (omplement tll ap.. Formelsamlng Hållfasthetslära) GOBA BESKRIVNING FÖR ENDIENSIONEA EEEN D D OIKA FINIA EEEN D: Balelement: d d D φ D φ φ, d d Utböjnng: K e a a a a alternatvt a l där a c sc sc s c s cosφ snφ l m l cosφ ( ) m cosφ ( ) ( ) ( ) l m m φ N φ ( ) N N dn B - -- φ N d N d N w( ) N d N d N d N d N, B ---- d d N ---- d N ( ) N ( ) N ( ) N ( ) B Bd --- N ( α β)d α -- β Numers ntegraton (Gauss-vadratur): I N F( ) d F( )w I F(, η) ddη F(, η j )w w j j I F(, η, ζ) ddηdζ N N j N j N F(, η j, ζ )w w j w N j entamen FE för ngenjörstllämpnngar (SE5) den 5 jun 9 l. 8-.

4 KH HÅFASHESÄRA Plana element (D): -sdgt trangelelement: d d d Försjutnngar: u (, ) v (, ) N N N N N N N d d d d A e d d d N --- [( A )( ) ( )( )] e N --- [( A )( ) ( )( )] e N --- [( A )( ) ( )( )] e d d öjnngar: ε ε B N B B B B B N γ N N -sdgt soparametrst element: d d d d d d d d N N ( ) ( η), N ( ) ( η) N ( ) ( η), N ( ) ( η) N η Försjutnngar: u(, η) v(, η) N N N N N N N N N öjnngar: ε ε ε B N B B B B B B N γ N N där N N J N J N η η η Spännngar: Cε C E --- ( ν ) ν ν ( ν) (P.S) C ν E( ν) -- ( ν) ( ν) ν (P.D) ( ν) FE Ev. (ett element): B CBdV N tds N KdV V e S e V e t spännngsvetor K volmsraft entamen FE för ngenjörstllämpnngar (SE5) den 5 jun 9 l. 8-.

5 KH HÅFASHESÄRA. ÖSNINGSFÖRSAG: FE FÖR INGENJÖRSIÄPNINGAR, 5 JUNI, 9 D 8 Randvllor: D D D 6 D 7 D 8 D 6 D 7 D D (försrven försjutnng) D D D D D 5 a Elementstvhetsmatrser: K a a a a --, a > R, R (reatonsrafter) --, a Red. Evatons- sst. (Ev.,, 5): D 5 R R D R R ( ) Kraften som rävs för att försjuta masndelen blr: R R Ansatsen utvärderad noderna ger: u c c u u c c c c ( u u u ) u c c c c ( u u u ) Insatt ansatsen ger: u (, ) u u u Formfuntoner: N N N. Castglanos :a sats: Castglanos :a sats: P P W -- P 8 7 W -- P P P Stvhetsmatrs Flebltetsmatrs α Om denstsa relatoner: I α o! entamen FE för ngenjörstllämpnngar (SE5) den 5 jun 9 l

6 KH HÅFASHESÄRA (a). (b). Försjutnngsansats: Vtfunton: Insatt svag form ger: (c). ultplcera med vtfn.: v ( w ) ρ ga d Partalntegrera: v[ ( w ) ]d v w d [ v( EAw ) ] v [( w ) ]d [ v( EAw ) ] [ v] () [ v ( EAw )] v w d () nsatt () med ( w ) och w ger svag form: b e B Bd b e e FE, elementndelnng: d d w [ N ] N [ v ] ρ ga v d d ---- w d v Nb e b e N astvetor, beata enbart utbredd last: Reducerat evatonssstem, Ev. (,): , Försjutnngsrandvllor: d d d d d N ----d d e B d v d -- N d b e -- d b e B dn ---- ρ d ga N d d d K bal f e B Bd --- F utbredd ρ ga N d ρ ga - d ρ --- ga 5 6 w( ) N ( )d N ( )d Elementstvhetsmatrser: K fjäder d ρ ga --- men b e () är godtclg e 9 ρ ga Balens utböjnng punten () fås m.h.a. försjutnngsansatsen (appromatvt) enlgt: --- Bdrar enbart med stvhet DOF d & d f e entamen FE för ngenjörstllämpnngar (SE5) den 5 jun 9 l

7 KH HÅFASHESÄRA 5(a). DOF, t.e. d d d eller d d d. 5(b). Bdrag från spännngsvetorn: f s Här gäller att N ds hd hbdη tds, bη f s S N η hbdη N N, N ( η), N ( η) ( η) ( η) ( η) ( η) -dη -- dη -ηdη -- ηdη f s bh -, f s bh - hb hb (c). Normalspännngar: Cε där ε B Nodförsjutnngsvetorn (gven): B-matrsen: B B B B B ed Jacob-matrsen J d d där d d, d d η η b b d d b E N b E N - E - E öjnngar: ε ε ε B d B d γ Spännngar: τ - N E ε N γ N - E fås B η ( ), ( ) η b [( η) ( η) ] E N ε N η ε γ γ N E η E E Cε E ε E γ plan spännng (ν ) -- η τ η B η [ ( η) ( η) ] - E ε γ ösnngen är eat för spännngen som är onstant över tvärsnttet ( ) och appromatv för spännngen som varerar lnjärt över tvärsnttet ( ). För den senare är den eata lösnngen la med η. entamen FE för ngenjörstllämpnngar (SE5) den 5 jun 9 l