Teori för flervariabelsanalys

Transkript

1 Teori för flervariabelsanalys Robin Andersson 28 otober

2 Innehåll 1 Differentierbarhet 3 2 Kedjeregeln 4 3 Formel för beräning av ritningsderivatan av en differentierbar funtion 5 4 Taylors formel (av ordning 2 med restterm av ordning 3) 6 5 Om max/min-problem med bivillor 7 6 Integrerbarhet av ontinuerliga funtioner på ompata retanglar 8 7 Härledning av Gauss integral 8 8 Greens Formel 9 9 Kurvintegralen av ett onservativt fält ett är en potentialdifferens Existens av en potential under angivna förutsättningar Varje potentialfält är virvelfritt - inlusive exempel Exempel

3 Inledning Bevis som berör ursen analys i flera variabler för F och TM på Chalmers. Det finns ingen garanti på att detta är helt felfritt, men ev. fel bör inses lätt. För eventuella synpunter eller upptäcta fel sica gärna iväg ett mail till robiand@student.chalmers.se 1 Differentierbarhet Sats: 1 Varje C 1 funtion (R n R 1 ) är differentierbar. Bevis: Vi väljer att betrata en funtion f av två variabler. Låt (a,b) vara en given punt i definitionsmängden för f. Vi betratar följande differens på grund av definitionen av differentierbarhet f(a + h,b + ) f(a,b). Inför hjälppunten (a,b + ). Vi får då att f(a + h,b + ) f(a,b) [f(a + h,b + ) f(a,b + )] + [f(a,b + ) f(a,b)]. Sätt ϕ(h) ϕ(0) f(a + h,b + ) f(a,b + ). Enligt medelvärdessatsen för funtioner av en variabel (ty ϕ(t) an betratas som en funtion av en variabel) har vi att f(a + h,b + ) f(a,b + ) ϕ(h) ϕ(0) ϕ (θ 1 h)h f x(a + θ 1 h,b + )h, där 0 < θ 1 < 1. Eftersom f x enligt vår förutsättning är ontinuerlig an vi då sriva f x(a + θ 1 h,b + ) f x(a,b) + ϱ 1 (h,), där På samma sätt gäller lim ϱ 1(h,) 0. (h,) (0,0) f(a,b + ) f(a,b) f y(a,b + θ 2 ) f y(a,b) + ϱ 2 (h,), där 0 < θ 2 < 1, och lim ϱ 2(h,) 0. (h,) (0,0) 3

4 Alltså gäller att vår differens i början an srivas som f(a + h,b + ) f(a,b) f x(a,b)h + hϱ 1 (h,) + f y(a,b) + ϱ 2 (h,) där f x(a,b)h + f y(a,b) + h ϱ(h,), ϱ(h,) h h2 + ϱ 1(h,) + 2 h2 + ϱ 2(h,). 2 Det gäller att ϱ(h,) 0 då (h,) (0,0) ty funtionerna ϱ 1, ϱ 2 har denna egensap, samt att fatorerna framför är begränsade, till exempel 2 Kedjeregeln h 1. h2 + 2 Sats: 2 Låt f(x) f(x 1,...,x n ) vara en differentierbar funtion av n variabler, och antag att g 1 (t),...,g n (t) är deriverbara i intervallet a < t < b på R. Då är den sammansatta funtionen f(g(t)) ocså deriverbar i intervallet och d dt (f(g(t))) f x 1 (g(t)) g 1(t) f x n (g(t)) g n(t). Bevis: Vi bevisar fallet då f enbart beror av två variabler för att förenla alla de betecningar. Enligt definitionen av derivata undersöer vi gränsvärdet av differensvoten f(g(t + )) f(g(t)), då 0. Eftersom f är differentierbar gäller att f(x + h) f(x) f x 1 (x)h 1 + f x 2 (x)h 2 + h ϱ(h), där ϱ(h) 0 då h 0 och ϱ(0) 0. Om vi sätter så fås att x + h g(t + ). Alltså x g(t), och h g(t + ) g(t), f(g(t + )) f(g(t)) 4

5 f x 1 (g(t)) g 1(t + ) g 1 (t) + f x 2 (g(t)) g 2(t + ) g 2 (t) Enligt definition har vi att f x 1 (g(t)) g 1(t + ) g 1 (t) + f x 2 (g(t)) g 2(t + ) g 2 (t) f x 0 1 (g(t))g 1(t) + f x 2 (g(t))g 2(t). Vidare har vi ocså att ty g (g 1,g 2 ) är ontinuerlig och att h h g(t + ) g(t) 0 0, g(t + ) g(t) (g 0 1(t), g 2(t)). + h ϱ(h). 0 Följatligen går vår restterm h ϱ(h) mot 0. Därmed har vi visat att differensvoten i början existerar, vilet innebär att funtionen f(g(t)) är deri- verbar. 3 Formel för beräning av ritningsderivatan av en differentierbar funtion Sats: 3 Om f är en differentierbar funtion och v en given ritning med v 1 så är f v(a) f(a) v. Bevis: Sätt u(t) f(a + tv). Funtionen u besriver uppförandet av f på linjen x a + tv. Vi ser att f v(a) lim t 0 u(t) u(0) t u (0). Eftersom f är en differentierbar funtion fås enligt edjeregeln att u (t) f(a + tv) v. Därmed då t 0 ges f v(a) f(a) v. 5

6 4 Taylors formel (av ordning 2 med restterm av ordning 3) Sats: 4 Låt f(x,y) vara en C 3 funtion i den öppna mängden D, och antag att punten (a,b) tillhör D. Då är f(a + h,b + ) f(a,b) + f x(a,b)h + f y(a,b)+ + 1 (f 2 xx(a,b)h 2 + 2f xy(a,b)h + f yy(a,b) 2 ) + (h ) 3 2 B(h,), där B(h,) är en begränsad funtion i en omgivning av origo. Bevis: Vi betratar situationen på det endimensionella fallet F (t) f(a + th,b + t), 0 t 1. Det är lart att F C 3 varför vi får enligt Maclaurins formel för funtioner av en variabel F (t) F (0) + F (0)t + F (0) 2! för något θ, 0 θ 1, enligt edjeregeln fås därefter t 2 + F (θt) t 3 3! F (t) f x(a + th,b + t)h + f y(a + th,b + t), F (t) f xx(a + th,b + t)h 2 + 2f xy(a + th,b + t)h + f yy(a + th,b + t) 2. Då t 1 får vi med f(a + h,b + ) F (0) + F (0) F (0) F (θ) F (0) f(a,b) F (0) f x(a,b)h + f y(a,b) F (0) f xx(a,b)h 2 + 2f xy(a,b)h + f yy(a,b) 2. Det återstår att visa att F (θ)/6 an srivas som (h ) 3 2 B(h,). Vid derivering av F (t) ses att F (t) består av en summa innehållande tredje ordningens derivator av f med motsvarande potenser av h och som oefficinter, t.ex. termen 3f xxy(a + th,b + t)h 2. Alla derivator av tredje 6

7 ordningen är ontinuerliga och därför begränsade i en omgivning av (a,b). Vidare följer av oliheterna h h 2 + 2, h att fatorerna h 3, h 2, h 2 och 3 an uppsattas med (h ) 3 2. Därmed följer att varje term i 1F (θ) till beloppet är onstant (h ) 3 2. Om 6 resttermen divideras med (h ) 3 2 blir resultatet en begränsad funtion.. 5 Om max/min-problem med bivillor Sats: 5 Antag f C 1, g C 1 (reellvärda). Om f har max eller min under bivilloret g 0 i en punt (a,b) i det inre av både D f och D g Bevis: 1. Antag g(a,b) 0. f(a,b) och g(a,b) är linjärt beroende. Då är förstås g(a,b) och f(a,b) linjärt beroende och saen är lar. 2. Antag g(a,b) 0. Vi tittar då på nivåurvan g(x,y) 0 ring (a,b). Eftersom g x 0 eller g y 0 i (a,b) så har vi enligt implicita funtionssatsen att x eller y är loalt en C 1 funtion av den andra. Kurvan g(a,b) 0 loalt ring (a,b) har en C 1 parameterisering, { x x(t). y y(t) Vi inför funtionen φ av en variabel φ(t) f(x(t),y(t)). På urvan g(x,y) 0 har φ(t) f(x(t),y(t)) ett max eller min i (a,b) där t t 0. Det vill säga φ (t 0 ) 0. Då gäller enligt edjeregeln f(x(t 0 ),y(t 0 )) (x (t 0 ), y (t 0 )) 0. Eftersom g i denna punt är vinelrät mot (x,y ) och f ocså, så f g, det vill säga linjärt beroende i (a,b). 7

8 6 Integrerbarhet av ontinuerliga funtioner på ompata retanglar Sats: 6 Om f(x,y) är ontinuerlig på den ompata retangeln {(x,y) : a x b, c y d} så är f integrerbar över. Bevis: Givet ett tal ε > 0. Vi sall onstruera två funtioner φ, ψ, d.v.s. ψ, φ : φ f ψ : ψ φ < ε. Eftersom området är ompat och f ontinuerlig på är f liformigt ontinuerlig på. Då gäller att δ > 0 : f(x,y) f(x,y ) < ε µ( ) (x,y) : x y < δ och (x,y ) : x y < δ Vi delar in området i ändligt många delretanglar, 1,2,...,n, där har diagonallängden högst δ. Låt ocså Det gäller att m min m f, M max M f. M m < ε µ( ). Därmed definierar vi φ, ψ på genom att tilldela de värdet m respetive M i. Då gäller att φ f ψ och n ψ dxdy φ dxdy (M m )µ( ) < ε n µ( ) ε. 1 µ( ) 1 Enligt definitionen visar detta att f är integrerbar över. 7 Härledning av Gauss integral Sats: 7 Observera sats. Visa att I e R 2 x2 y2 dxdy π. 8

9 Bevis: f(x,y) e x2 y 2, D R 2. Vi väljer D n {(x,y); x 2 + y 2 n 2 }. Vi får då x2 y2 e D n { polära oordinater, x dxdy 2 + y 2 r 2 J r, 0 r n, 0 θ < 2π } Gäller det att D n e r2 r drdθ 2π 0 n dθ 0 π( e n2 + 1). re r2 dr 2π I? lim n I n π? ] n [ e r2 Vi undersöer ifall så är fallet. Sätt E n {(x,y); n x n, n y n}. Därav fås x2 y2 e E n Det vill säga dxdy n n dx 8 Greens Formel n n n e x2 e y2 dy n n n 2 e x2 dx n e x2 dx π. Se bilden i boen till beviset, eller figur 1. e x2 dx 2 n n 0 e y2 dy Sats: 8 Låt P och Q vara två C 1 funtioner definierade i en öppen mänd Ω i planet. Om det ompata delområdet D av Ω har en positivt orienterad rand D som utgöres av en eller flera stycvis C 1 urvor så D P dx + Q dy D ( Q x P ) dxdy. y 9

10 Bevis: Vi genomför beviset med den extra förutsättning att D medelst räta linjer parallella med y-axeln an delas upp i ett ändligt antal områden av typen E {(x,y) : ϕ(x) y ψ(x), a x b}, och att det finns en motsvarighet för x axeln. Vi vill visa att för ett sådant område E gäller E P dx E P y dxdy. Vi börjar med högerledet och får då E P y dxdy b xa ψ(x) yϕ(x) P y dy dx b xa [ P (x,y)] ψ(x) yϕ(x) dx b a P (x,ϕ(x)) dx b a P (x,ψ(x)) dx. Vi uttrycer γ (ett urvstyce av D) i parameterframställning med x som parameter och får r (x,ϕ(x)), a x b. Därför får vi att den första integralen i högerledet är lia med γ P dx + 0 dy γ P dx. På samma sätt fås för den högra integralen i högerledet (för ett urvstyce σ) b P (x,ψ(x)) dx P dx. Alltså a E P y E dxdy P dx, ty urvintegralen av P dx längs eventuella vertiala randstycen är noll. Genom addition av detta resultat för alla uppomna delområden E av D får vi P D y D dxdy P dx, σ 10

11 ty de inre vertiala linjestycena ger inget nettobidrag. Analogt fås D Q x D dxdy Q dy. Adderar vi de två integraler ovan så fås ( Q D x P ) dxdy y D P dx + Q dy. 9 Kurvintegralen av ett onservativt fält ett är en potentialdifferens Sats: 9 Låt F (P,Q) vara ett potentialfält med potentialen U i det öppna området Ω. För varje urva γ Ω gäller då F dr U(b) U(a), γ där a och b är begynnelse- respetive slutpunt för γ. Bevis: Låt r r(t), α t β vara en parameterframställning av γ. Speciellt är Enligt edjeregeln är Vi får då γ F dr β α r(α) a, r(β) b. d dt U(r(t)) U(r(t)) r (t) F(r(t)) r (t). F(r(t)) r (t) dt β α d U(r(t)) dt U(r(β)) U(r(α)) dt U(b) U(a) 10 Existens av en potential under angivna förutsättningar Sats: 10 Låt F (P,Q) vara ett ontinuerligt vetorfält definierat i en bågvis sammanhängade öppen mängd Ω. Om urvintegralen γ F dr är oberoende av vägen så har F en potential i Ω. 11

12 Bevis: Vi onstruerar en potential till fältet F. Låt (a,b) Ω vara en fix och (x,y) Ω en godtyclig punt, låt även γ C 1 (Ω) vara en godtyclig urva som börjar i (a,b) och slutar i (x,y). Vi definierar då U så att U(x,y) γ F dr γ P (s,t) ds + Q(s,t) dt. Enligt förutsättningarna är urvintegralen oberoende av vägen, därför sriver vi U(x,y) (x,y) (a,b) P (s,t) ds + Q(s,t) dt. Vi vill visa att nedanstående liheter stämmer U x P, U y Q. Vi verifierar det första villoret genom att bilda differensvoten U(x + h,y) U(x,y) h 1 h 1 h (x+h,y) (a,b) (x+h,y) (x,y) P ds + Q dt P ds + Q dt, (x,y) (a,b) P ds + Q dt i den sista integralen väljer vi att integrera längs den räta linjen mellan (x,y) till (x + h,y) i st planet. Där är dt 0. Därefter har vi U(x + h,y) U(x,y) h 1 h x+h x P (s,y) ds 1 P (x + θh,y)h P (x + θh,y), h där 0 θ 1, detta gäller enligt integralalylens medelvärdessats. Eftersom P är ontinuerlig ger gränsövergången h 0 gränsvärdet P (x,y). Alltså är funtionen U partiellt deriverbar med avseende på x och Analogt följer U y U x P. Q. Alltså är U(x,y) en potential till F,. 12

13 11 Varje potentialfält är virvelfritt - inlusive exempel 16 Sats: 11 Varje potentialfält är virveletfritt Exempel 16 Ett typist resultat i vetoranalysen är rot( f) 0, som innebär att varje potentialfält är virveltfritt. Vi visar att detta stämmer. Det gäller att rot( f) ( f). Enligt vanlig ryssproduträning får vi att e x e y e z ( f) x y z, f x f y f z ( ) f den sista raden har sitt utseende ty f gradf x, f y, f. Därav z följer det att e x e y e z x y z f x f y f z ( f z y f y z, f x z f z x, f y x f x ) y ( f zy f yz,f xz f zx,f yx f xy). Per definition gäller det att för ett vetorfält F, om U C 2 (Ω) : F U. så allas U för en potential till F. Men eftersom U (P,Q) C 1, så gäller det att f zy f yz, f xz f zx, f yx f xy. Alltså har vi att ( f zy f yz,f xz f zx,f yx f xy) (0,0,0) 0. Alltså har vi visat att varje potentialfält är virvelfritt. 13

14 Figur 1: Y är det som är srivet som γ i beviset. Figuren är till beviset för Greens formel. Finns en linande bild i boen på sidan