2 Jämvikt. snitt. R f. R n. Yttre krafter. Inre krafter. F =mg. F =mg

Transkript

1 Jämvkt Jämvkt. Inlednng I detta kaptel skall v studera jämvkten för s.k. materella sstem. I ett materellt sstem kan varje del, partkel eller materalpunkt beskrvas med hjälp av dess koordnater. Koordnatsstemet är sn tur bundet tll en referensram det s.k. nertalsstemet eller tröghetssstemet. Defntonen av jämvkt lder sålunda: Ett materellt sstem är jämvkt om varje del av sstemet är vla. Innan v nför vllkoret för jämvkt skall v först nföra begreppet nre och ttre krafter. sntt S R n R f F =mg Yttre krafter F =mg Inre krafter Fgur. Yttre och nre krafter De ttre krafterna på en kropp är krafter som utfrån påverkar kroppen, t.e. tngdkraften (F), kraften lnan (S), krafterna från bordet (R n och R f ). Inre krafter kroppen är den mängd krafter som verkar mellan kroppens delar, t.e. ett sntt en balk utsatt för ett ttre moment verkar en mängd kraftpar där nettoeffekten är lka med momentet om kroppen är jämvkt. Jämvktsvllkoret kan då uttrckas som: Ett materellt sstem förblr jämvkt om de ttre krafterna på sstemet bldar ett nollsstem. För nollsstemet gäller att kraftsumman är noll och att momentsumman för varje godtcklg punkt () är noll: 00FM (.) -

2 Jämvkt. Frläggnng Det första och kanske det vktgaste steget för att bestämma jämvktsvllkoren för ett materellt sstem är den procedur som kallas frläggnng där man rtar ut de ttre krafter som verkar på kroppen. OBS! nga andra krafter får förekomma fguren. V skall först studera ursprunget för några vanlga tper av kontaktkrafter. Tp av kontakt eller ursprung Flebel lna, vajer, band eller rep Frläggnng egenvkt försummas En kraft som kommer från en flebel lna är alltd en dragkraft egenvkten påverkar Slät ta Rå ta Slät ta Rå ta Fast nspänd Ett fast nspänt stöd tar upp moment (M) och krafter två rktnngar (F, V). Ledad Rullstöd Led rörlg ferad Rullstöd Egentng d Fjäder Fjäderkraften ger trck om den komprmeras och drag om den tänjs ut. En lnjär fjäder ger en kraft drekt proportonell mot förlängnngen (F=k) -

3 Jämvkt En annan vktg aspekt vd frläggnng är det sstem man skall studera. Här kan man tllämpa Newtons lag om verkan och motverkan: Mot varje kraft svara en annan lka stor och motsatt rktad kraft, så att de ömsesdgt mellan två kroppar verkande krafter är lka stora och motsatt rktade. Beroende på om v betraktar jämvkten för mannen eller välten Fgur. får v två olka sstem att frlägga. Sstem Sstem Fgur. Frläggnng av sstem -

4 Jämvkt rbetsgången vd frläggnng av ett sstem kan sammanfattas med följande punkter: Eempel: Sstem Fackverk egenvkten är försumbar Bestäm vlket eller vlka sstem/delsstem som skall frläggas. Valet nnehåller ofta ett eller flera obekanta storheter. Isolerngen av sstemet görs vd defnerade gränser t.e. kontakttor eller gränser tll andra attraherande/repellerande kroppar. Kontakttor, attraherande kroppar, egentngd m.m. ersätts med nrtade krafter. Kända krafter nrtas med angven av kraftens storlek och rktnng. Okända krafter skall representera med kraftplar en antagen rktnng (helst enlghet med det valda koordnatsstemet). Beräknngarna kommer sedan att vsa om rktnngen är korrekt eller motrktad (negatvt värder). Valet av koordnatsstem bör också anges fguren. Frlagt sstem Fast nspänd balk Ledad nfäst balk Underlaget vd är glatt, dvs. stödkraft är rktad normalt balken -4

5 Jämvkt. Jämvktsekvatoner I det allmänna fallet kan tre stcken oberoende jämvktsekvatoner ställas upp ett - dmensonellt koordnatsstem: F 0, F 0, M z 0 (.) dvs. summan av alla krafter respektve rktnngen samt summan av momenten runt en godtcklg punkt skall vara noll. Beroende på kraftrktnngar och poston kan antalet oberoende jämvktsekvatoner reduceras. Kraftsstem lla krafter har gemensam verknngslnje. ntalet jämvktsekvatoner = Eempel lla krafters verknngslnjer passerar genom en gemensam punkt. ntalet jämvktsekvatoner = Parallellt kraftsstem. ntalet jämvktsekvatoner =, en kraft och en momentekvaton. Generellt dmensonellt sstem. ntalet jämvktsekvatoner = -5

6 Jämvkt Eempel. Beräkna krafterna C och T fguren tll vänster. Lösnng: F 0: 8 T cos 40 C sn T 0.4C 8 F 0: T sn 40 C cos T 0.940C Genom att kombnera de två ekvatonerna kan v lösa ut C och T Svar: T 9.09 kn C.0 kn Eempel. Bestäm storleken på kraften T kabeln som håller upp balken. Balken har en egenvkt på 95 kg per meter. Lösnng: Frlägg fguren och ansätt egentngden på balken ( ) mtten. Genom att ta en moment ekvaton runt punkten, kan T lösas ut drekt: 0 (vrdnng moturs postv) M T cos T sn Svar: T 9.6 kn Övnng: Beräkna, från F F 0. Svar: 7.77 kn, 6.7 kn lla krafter går genom en gemensam punkt, dvs. v kan utnttja två jämvktsekv: F 0, F 0 Frlagt sstem -6

7 Jämvkt.4 Tngdpunkt, masscentrum, statskt moment, ttröghetsmoment En vktg kraft som alltd förekommer alla sstem är egentngden. Ibland kan nverkan av egentngden vara försumbar och behöver ej beaktas frläggnngen. I de fall den tas med är det vktgt att kunna bestämma kroppens tngdpunkt, dvs. den punkt kroppen där tngdkraftens verknngslnje passerar. Denna punkt sammanfaller med kroppens masscentrum..4. Masscentrum för partkelsstem 0 r r m g m g m g m g mg m g m g Fgur. Partkelsstem Betrakta ett partkelsstem som består av ett antal ndvduella partklar var och en med massan m.varje partkel sstemet påverkas av en tngdkraft mgvars rktnng är lka för alla partklar sstemet V vet från tdgare kaptel att v kan ersätta alla delkrafter med en resultant vars belopp blr: (.) R m g mg Resultantens angreppspunkt bestäms av de faktum att delpartklarnas momentsumma måste överensstämma med resultantens moment: rm g rm r R rm g r (.4) mg m där r är avståndet från en godtcklg referenspunkt 0. Ovanstående kan delas upp genom att betrakta varje koordnat för sg så att: m m m z,, z m m m -7 (.5)

8 Jämvkt dvs. angreppspunkten, masscentrum, tngdpunkt för ett partkelsstem kan uttrckas som summa av alla partklars massa multplcerat med avståndet från orgo dvderat med den totala massan av alla partklar. Termen mr brukar betecknas som det statska momentet m a p ett vsst plan: (.6) S m, S m, S m z z z d v s masscentrum eller tngdpunkten för ett partkelsstem kan uttrckas som: Sz S S z,, z (.7) m m m.4. Masscentrum för volmer För kroppar som har en kontnuerlg massfördelnng övergår ovanstående summor tll ntegraler. (,,z) dm z r Fgur. Kontnuerlg massfördelnng för volmer Om kroppens denstet betecknas med [kg/m ] kan den uttrcket för kroppens massa skrvas m dm dv där ntegralen är en volmsntegral. Uttrcken för V de statska momenten övergår på motsvarande sätt tll volmsntegraler, t e så blr det statska momentet m a p z planet Sz dm dv o s v. För specalfallet när densteten är konstant sammanfaller kroppens masscentrum med volmens tngdpunkt, d v s: V dv dv V V zdv Sz V S S z V V,, z V V V V V V V (.8) I ett homogent tngdkraftsfält sammanfaller masscentrums koordnater med tngdpunkten -8

9 Jämvkt där V är kroppens volm och t e S V betecknar volmen statska moment m a p -planet..4. Masscentrum, tröghetsmoment för tor För kroppar med konstant tjocklek t en rktnng, t e, skal kan uttrcket för masscentrum förenklas genom att volm och volmsntegraler kan ersättas med area och areantegraler: d d S z Sz t,, z där är skalkroppens area och t e S z betecknar areans statska moment m a p z-planet. Normalt brukar man beteckna areors statska moment med: S d, S d (.9) (.0) d v s man anger nte z koordnaten Fgur.4 Kontnuerlg massfördelnng för tor -9

10 Jämvkt En annan vktg storhet som har stor praktsk betdelse mekanken, specellt när det gäller balkteor är tors tröghetsmomentet. Ytors tröghetsmoment defneras som: I d, I d (.) Rent praktskt kan man tolka tröghetsmomentet som de moment som en lnjärt varerande tlast ger på en area runt en specfk ael. V kan på ett enkelt sätt paralellförfltta tröghetsmomentet m h a Steners sats. 0 r (,) TP 0 Fgur.5 Steners sats Låt oss säga att v har beräknat tröghetsmomenten I 0 och I 0 för kroppen Fgur.5 d v s med avseende på alarna 0 och 0. som skär kroppens tngdpunkt. Nu vll v beräkna tröghetsmomenten m a p alarna och d v s parallellförfltta tröghetsmomentet tll en n ael. Steners sats nnebär att det na tröghetsmomentet fås genom att addera avståndet från tngdpunkten kvadrat gånger kroppens area, : I I 0 I I 0 (.) Storheter som tngdpunkt, statskt och ttröghetsmoment fnns tabellerade för olka geometrer ppend. Genom att använda Steners sats kan man sedan på ett enkelt sätt parallellförfltta tröghetsmomentet tll önskad poston. -0

11 Jämvkt.4.4 Eempel Eempel. Beräkna tngdpunkten för den tunna homogena kroppen tll höger. Lösnng: a, a Del : a Del : a a a 4 9a, a 4 8 a a a 4 8 Del : 4a / a( ) a, a Summor: a 8 a a a a a a a( ).007a a a a 9a a a 0.87a 88 4 a a 8 a 8.58a.007a.58a 0.87a.58a 0.664a 0.55a a/4 a a/ a a/ Tngdpunkten beräknas genom först ta fram tngdpunkterna för de ngående delarna. Sedan summeras bdragen p s s som ett sstem av partklar. På grund av att densteten och tjockleken t är konstant kan uttrcket reduceras t.e. för -koordnaten tll: m t m t OBS! Kontrollera om svaren verkar rmlga -

12 Jämvkt Eempel.4 lla som har böjt på en bräda vet att den blr mcket stvare om man ställer den på högkant. Det beror på att tröghetsmomentet blr mcket större när brädan står på högkant jämfört om den lgger ned. V skall det här eemplet bestämma tröghetsmomentet I runt -aeln för en I-balk genom att använda Steners sats. Lösnng: Bestäm först tröghetsmomentet för delarna var för sg: I I bh I 8. 0 mm 6. 0 mm nvänd sedan Steners sats för att förfltta del och tll var sn kant av del : I I I I mm Svar: mm V ser att del och tröghetsmoment runt aeln 0 är försumbart jämfört med bdraget från Steners sats. Mått för del, och 400 mm, b h bh Enlgt append : I /+40/ 0 mm 0 40 mm 0 -

13 Jämvkt.5 Övnngsuppgfter Uppgft. Rta n de krafter som saknas frläggnngsskssen tll höger -

14 Jämvkt Uppgft. Bestäm med vlken horsontell kraft P trädgårdsmästaren tll höger måste skjuta på den 00 kg tunga välten. Bestäm också reaktonskraften R som verkar mellan mark och vält. Vältens tngdpunkt är vd punkten 0. Svar: P =7.0 N, R = 996 N Uppgft. Vlken horsontell kraft P måste mannen på blden dra med för att placera den 50 kg tunga lasten mtt över lastblen. Svar: P = 6.6 N -4

15 Jämvkt Uppgft.4 Rngen som stter upphängd med två kablar fästa de vertkala väggarna är belastad med kraft på 000 N. Beräkna krafterna som uppstår kablarna, T och T. Svar: T = 897 N, T = 7 N Uppgft.5 Bestäm vnkeln så att den applcerade kraften P placerar den 50 kg lasten mtt över öppnngen. Bestäm också lnkraften T på den.9 m långa lnan. Svar: = 44.8 O, T = 4.5 kn -5

16 Jämvkt Uppgft.6 Kabeln mellan och B är 6 m lång och håller upp en 00 kg tung låda. Bestäm kraften T (drag) kabeln. Uppgft.7 Skruven vd B har dragts åt så mcket att träblocken är under en trckkraft av 500 N. Vad är då kraften som verkar skruv? (ntag att krafterna som tas de båda skruvarna är skruvens rktnng). Svar: = 50 N. Uppgft.8 Verktget används vd lmnng för att pressa hop ett lamnat på var sn sda nära kanten. Om en kraft på 0 N applceras på handtaget, vlken blr då kraften som rullarna pressar på lamnatet? -6

17 Jämvkt Uppgft.9 Bestäm kraften T storlek av massan m som hänger sstemet av block. Försumma egenvkten av taljor och block. Uppgft.0 Om man placerar en dstans under huvudet på en hammare ökar man avsevärt kraften för att dra ut spkar. Bestäm dragkraften T på spken och trckraften som verkar vd punkten om man applcerar en kraft på 00 N skaftet på hammaren fguren tll höger. Kontakttan är tllräcklg rå för att förhndra att hammaren glder. Svar: T = 800 N, = 755 N. Uppgft. En 00 kg tung balk med tngdpunkten vd G stter fastsvetsad en pnne som går genom punkten. För att prova svetsen vd ställer sg en 80 kg man och drar med en kraft av 00 N ett rep. Beräkna momentet M som påverkar pnne vd. Svar: M = 4.94 knm -7

18 Jämvkt Uppgft. Kranen lfter en 4.0 ton tung truck. Masscentrum av den ton tunga lftbommen O är placerad mtt mellan punkten O och. Beräkna dragkraften vajern T som stter fast punkten B och storleken på reaktonskraften vd O som verkar rktnng av bommen O. Svar: T = 6.5 kn, O = 99. kn Uppgft. En trumma som väger 400 kg lgger på rullar vd och B. Rullen vd är fr att röra sg frktonsfrtt. Rullen vd B måste påföras en frktonskraft tangentens rktnng mellan kontakten trumma - rulle nnan den börjar röra sg. Beräkna frktonskraften F om frktonsmotståndet övervnns precs när mannen står vd postonen vsad fguren. Mannen väger 80 kg. Svar: F = 86 N Uppgft.4 Den homogena balken fguren är 6 m lång och väger 00 kg. Lftanordnng används att lfta balken. Vad är kraften repen C ( T )och BC ( T B ) när balken lfts av stöden? Svar: T 86 N, T 450 N B -8