Faradays lag. ger. Låt oss nu bestämma den magnetiska energin för N st kopplade kretsar. Arbetet som kretsarnas batterier utför är

Transkript

1 9. Magnetsk energ Faradays lag [RM] ger E dφ dt (9.5) dw k IdΦ + RI dt (9.6) Batterets arbete går alltså tll att bygga upp ett magnetskt flöde Φ och därmed motverka den bromsande nducerade spännngen, och att dsspera värme-energ resstorn. Om v kan gnorera denna sstnämnda Joule-uppvärmnng så får v energn som går n magnetfältet. Om nget annat förändras kretsen, t.ex. kretsen behåller sn stela form och befnner sg hela tden vla, så har det utförda arbetet bara gått åt att öka på kretsens magnetska energ: du M IdΦ (9.7) Elektrodynamk, vt 13, Ka Nordlund 9.1 Elektrodynamk, vt 13, Ka Nordlund Magnetsk energ för en solerad krets 9.. Magnetsk energ för kopplade kretsar Arbetet som ett batter utför då det för en laddnng dq runt en krets, från batterets anod A tll dess katod B är: Låt oss nu bestämma den magnetska energn för N st kopplade kretsar. Arbetet som kretsarnas batterer utför är där k är batterets spännng. Krchhoffs II lag: dw k dq k (9.1) E + k, j j (9.) då Joule-uppvärmnngen nte beaktas. dw k I dφ (9.8) 1 utför nu ntegrerngen under antagande att strömmarna och flödena ökar samtdgt alla kretsar, så att den tllfällga strömmen krets är Om all resstans kan kombneras tll en enda resstor: k E + RI (9.3) så att dw k dq k dq( E + RI) Idt( E + RI) IdtE + RI dt (9.4) Elektrodynamk, vt 13, Ka Nordlund 9. Detta ger För lnjära magnetska meda gäller att Φ I, så nduktansen I αi (9.9) di I dα (9.1) L dφ di Φ I (9.11) Elektrodynamk, vt 13, Ka Nordlund 9.4

2 som ger I L Φ. får nu att får: Men så att har nu di Φ L dα (9.1) L L dφ di (9.13) dφ Φ dα (9.14) U dw b N I 1 j1 N I 1 j1 1 M j I j dαα 1 M j I I j 1 j1 1 L I 1 M j di j +M 1 I 1 I + M 13 I 1 I M 1N I 1 I N W k dw k 1 1 N 1 I αφ dα I dφ använde L M och M j M j. +M 3 I I 3 + M 4 I I M N I I N M N 1,N I N 1 I N (9.18) Elektrodynamk, vt 13, Ka Nordlund 9.5 Elektrodynamk, vt 13, Ka Nordlund I Φ dαα 1 I Φ (9.15) 1 För ett system av N st kopplade, statonära och stela kretsar har v alltså att den lagrade magnetska energn är U M 1 I Φ (9.16) Om nge yttre fält är närvarande är flödesförändrngarna orsakade av de övrga kretsarna. Då gäller 1 Exempel 1: En solerad krets: Φ LI (9.19) U 1 IΦ 1 LI 1 L Exempel : Två kopplade kretsar: Φ (9.) U 1 L 1I L I + M 1I 1 I (9.1) Beteckna x I 1 /I. Eftersom U får v dφ dφ j j1 j1 dφ j di j di j M j di j (9.17) j1 U 1 I (L 1x + L + M 1 x) (9.) Nu kan v beräkna mnm-energn som funkton av förhållandet mellan strömmarna x genom att dervera parentesen och sätta uttrycket tll noll, x M 1 L 1 (9.3) Elektrodynamk, vt 13, Ka Nordlund 9.6 Elektrodynamk, vt 13, Ka Nordlund 9.8

3 och efter verferng att andra dervatan är postv. Mnm-energn: så att eller U mn 1 I (M 1 + L M 1 ) 1 L 1 L M L 1 L 1 I 1 (9.4) L 1 ett uttryck som v använde oss av tdgare. M 1 + L 1L (9.5) L 1 L M 1 (9.6) Totala energn för det magnetska fältet är nu U 1 I Φ 1 I dr j A j C j 1 I dr j A j C j 1 d j J j A (9.9) j j Låt volymerna vara sådana att deras summa fyller upp hela volymen. får då U 1 d J A (9.3) där J j J j. Elektrodynamk, vt 13, Ka Nordlund 9.9 Elektrodynamk, vt 13, Ka Nordlund Det magnetska fältets energ Fältekvatonen för H är ju Som för elektrska laddnngsfördelnngar kan v generalsera energn för magnetska kretsar med hjälp av det fält dessa kretsar ger upphov tll. Betrakta ett system av kretsar ett lnjärt magnetskt medum. Flödet genom en av dessa kretsar är Φ da B A (9.7) En komplcerad krets kan delas upp ett flertal slutna slngor. Detta gjorde v redan tdgare när v granskade kretsar med Krchhoffs lagar. kan nu skrva så v får Med hjälp av fås nu H J (9.31) U 1 d ( H) A (9.3) (F G) ( F) G ( G) F (9.33) Φ da B da j B A j A j da j ( A) j A j dr j A (9.8) j C j U 1 d ( (H A) + ( A) H) 1 da (H A) + 1 d ( A) H A 1 da (H A) + 1 d B H (9.34) A Elektrodynamk, vt 13, Ka Nordlund 9.1 Elektrodynamk, vt 13, Ka Nordlund 9.1

4 Om strömmar nte förekommer oändlgheten och de magnetska materalen nte är oändlgt stora dör A bort som 1/r, och H som B som A som 1/r p.g.a. magnetskt materal och som 1/r p.g.a. strömmar. Kombnatonen av H och A dör alltså bort som 1/r 3. da är proportonell mot r, så yt-ntegralen dör bort som 1/r och försvnner oändlgheten. stter nu kvar med U M 1 d B H (9.35) där omfattar hela rummet. Detta är energn för ett lnjärt magnetskt system. Energtätheten för sotropska lnjära meda är enlgt första sektonen. får nu att dw I du M (9.4) så att den magnetska kraften på komponenten är F ( U M ) I (9.41) För vrdmoment fås τ ( θ U M ) I (9.4) u M 1 B H 1 µh 1 µ B (9.36) Elektrodynamk, vt 13, Ka Nordlund 9.13 Elektrodynamk, vt 13, Ka Nordlund Krafter och vrdmoment på stela kretsar Flödet genom systemet hålls konstant betraktar nu ett magnetskt system där en komponent tllåts röra sg under nverkan av magnetfältet. Strömmen systemet hålls konstant Fortfarande gäller som nu är noll. får då att dw k IdΦ (9.43) Det arbete som den magnetska kraften F utför på en rörlg komponent är dw Φ du M (9.44) dw I F dr dw k du M (9.37) där dw k är arbetet som utförs av externa batterer för att hålla strömmen konstant, och du M är förändrngen systemets magnetska energ. Uttrycket för energn ger genast att Å andra sdan, batterets arbete är du M 1 I dφ (9.38) och Motsvarande, F ( U M ) Φ (9.45) τ ( θ U M ) Φ (9.46) dw k IdΦ du M (9.39) Elektrodynamk, vt 13, Ka Nordlund 9.14 Elektrodynamk, vt 13, Ka Nordlund 9.16

5 Exempel 1: Bestäm kraften mellan två stela kretsar som bär de konstanta strömmarna I 1 och I. Låt krets 1 utöva en kraft på krets, som flyttas som helhet. De flöden som kretsarna ger upphov tll genom sg själva ändras nte, eftersom strömmarna och tvärsnttsytorna är oföränderlga. Det enda som ändrar är kretsarnas nbördes poston. Alltså ändrar endast det ömsesdga flödet, och v får F U ( 1 L 1I L I + MI 1I ) I 1 I M (9.47) där enlgt Neumanns formel v har att M µ dr 4π C r 1 r (9.48) µ I 1 I 4π µ I 1 I 4π Å andra sdan, Bot-Savarts lag säger att 1 ds 1 ds r, C s 1 s + r 1, r, s 1 s + r 1, r, ds 1 ds (9.5) C s 1 s + r 1, r, 3 F µ 4π I dr ( (r r 1 )) 1I (9.53) C r 1 r 3 kan nu för att vara konsekventa använda samma varabler Bot-Savarts lag som den tdgare ekvatonen, men noterngarna blr lättare om v stället återgår tll r 1, r : µ ( dr )(r r 1 ) F I 1 I (9.54) 4π C r 1 r 3 Detta uttryck och Bot-Savarts lag måste vara samma. bevsar detta! Elektrodynamk, vt 13, Ka Nordlund 9.17 Elektrodynamk, vt 13, Ka Nordlund 9.19 Skrv om: har: r 1 r 1, + s 1 (9.49) r r, + s (9.5) Här är r, ( 1, ) nån fxerad punkt för kretsen, t.ex. dess massmedelpunkt. Denna rör sg om kretsen rör sg. s är en vektor som löper över kretsens kontur, och vars orgo är massmedelpunkten. I uttrycket för den ömsesdga nduktansen löper ntegrerngen över konturerna: dr ( (r r 1 )) (dr (r r 1 )) (r r 1 )(dr ) (9.55) enlgt BAC-CAB-regeln. Ssta termen ger oss det F -uttryck v härlett ovan, så v vsar att första termen försvnner. Denna term ger ntegralen C (dr (r r 1 )) r 1 r 3 dr (r r 1 ) (9.56) C r r 1 3 M µ ds 1 ds 4π C s s + r 1, r, (9.51) Utför ntegralen över C först. I ntegranden kommer r 1 att vara en konstant, så att v kan nföra varabeln v r r 1 med dv dr : Derverng med avseende på r betyder för stela kretsar att v derverar med avseende på massmedelpunkten för krets : µ ds 1 ds F U I 1 I r, 4π C s 1 s + r 1, r, Elektrodynamk, vt 13, Ka Nordlund 9.18 C dv v v 3 dvv dv dr C v 3 1 C v ( ) 1 (9.57) v C d för att en sluten kurvntegral över bara en varabel säkert blr. Elektrodynamk, vt 13, Ka Nordlund 9.

6 OK! Från tdgare vet v att B () µ NI L (cos α 1 + cos α ) µ ( NI L + a + µ NI L ( ) L ( L) + a ) + f + 1 ( 1) + f (9.58) med betecknngarna /L och f a/l. Elektrodynamk, vt 13, Ka Nordlund 9.1 Elektrodynamk, vt 13, Ka Nordlund 9.3 Exempel : Låt en solenod med längden L och N st lndnngar av en tråd som bär strömmen I vara nästan fylld med en järnstav med den konstanta permablteten µ och den konstanta tvärsnttsarean A πa. Låt solenoden ha sn symmetraxel parallell med -axeln. Approxmera att magnetfältet är konstant all rktnngar som är vnkelräta mot, nom solenoden. Låt solenodens ändpunkter vara och L. Om nu staven dras ut så att ena änden är < < L medan den andra är utanför solenoden, bestäm den kraft som påverkar staven det nya läget. Strömmen hålls konstant under utdragandet. Om solenodens rade är 1% av dess längd, d.v.s. f, 1 fås ett B () beroende som fguren. Från detta ser v att B utanför staven är mycket svagt, så v kan gnorera fältet där ute våra räknngar. Den magnetska energn är nu U 1 d µh 1 d AµH 1 ( A d µ H + L d µh ) (9.59) Elektrodynamk, vt 13, Ka Nordlund 9. Elektrodynamk, vt 13, Ka Nordlund 9.4

7 Kraften är F U 1 A ( d µ H + 1 A ( L d µh ) d µ H ( ) + µ H ( ) µ H ( ) + 1 ( L A d µ H ( ) + µh ( L) L µh ( ) )(9.6) Här användes Lebn ntegralregel: ) Exempel 3: Bestäm den cylnderradella kraften på en solenods lndnngar, per längd. Antalet lndnngar är N, strömmen dessa är I, solenodens rade är R och dess längd är L. Ignorera fältet utanför solenoden. Energn är U M 1 d µh 1 ( ) NI µ d L 1 ( ) NI µπr L (9.63) L [ ] b(u) dxf(x, u) u a(u) b(u) a(u) dx f(x, u) u enlgt tdgare approxmaton. Kraften den cylnderradella rktnngen är, om strömmen hålls konstant: +f(b(u), u) u b(u) f(a(u), u) a(u) (9.61) u F ρ ( U M ) ρ ρ U M 1 ( ) NI µπrl (9.64) L Elektrodynamk, vt 13, Ka Nordlund 9.5 Elektrodynamk, vt 13, Ka Nordlund 9.7 Observera att ntegralerna är en hjälpvarabel som ntegreras bort och nte syns utanför ntegralen. får nte dervera med avseende på denna! Den sökta kraften per längd är Nu försvnner de flesta termerna för dervatorna med avseende på på termer som nte beror på denna varabel blr noll, och v får F 1 ) (µ A H ( ) µh ( ) F ρ πrn 1 µni L Om stället flödet hålls konstant får v ett mnustecken. (9.65) 1 A(µ µ)h ( ) 1 A(µ µ (1 + χ M ))H ( ) 1 Aχ Mµ H ( ) (9.6) Kraften är rktad tll vänster fguren, d.v.s. solenoden vll dra n staven. Elektrodynamk, vt 13, Ka Nordlund 9.6 Elektrodynamk, vt 13, Ka Nordlund 9.8