Föreläsning i Elektromagnetisk fältteori: Vektoranalys

Transkript

1 Föreläsnng Elektromagnetsk fältteor: Vektoranalys 1 Inlednng 2 Multplkaton vektorer Koordnatsystem 4 Rumsdervator 5 Teorem, dtteter 6 Övnngsuppgfter Eva Palmberg, Chalmers teknska högskola 1 1 Inlednng Elektromagnetska fält orsakas laddnngar vla och rörelse Skalära storheter: tex laddnng, ström Vektorstorheter (har både storlek och rktnng): E-fält, B-fält Storheterna varerar td och rum Fyskalska lagar gäller oberode koordnatsystem V skrver lagarna, Maxwells ekvatoner, koordnat-oberode form Problem vss geometr, tex cylndrsk: klast använda cylnderkoordnater V behöver addera, multplcera, dervera storheterna Vektoranalys behövs 2

2 2 Multplkaton vektorer 21 Skalärprodukt 2 vektorer och B B = B cos där = beloppet (längd) vektorn ; är vnkeln mellan och B Resultatet: skalär storhet Skalärprodukt - Vktga resultat: B = B B = 0, om "B x = (xx +yŷ+zẑ) x = x = kompont x-led = 2 = x 2 +y 2 +z 2, där är beloppet vektorn B Exempel: rbete utfört kraft F att flytta föremål sträckan dx dw = F dx cosα = F dx " F dx 22 Vektorprodukt, kryssprodukt, och B B B = B snθ #B där = beloppet vektorn ; är vnkeln mellan och B; är hetsvektor vnkelrät mot planet nnehållande och B Resultatet: vektor vnkelrät mot både och B Högerhanregeln ger : Rotera första vektorn,, kortaste väg mot B högra han fngrar Höger tumme ger Kryssprodukt - Vktga resultat: B = - B B=0 för θ=0, π dvs då och B är parallella Exempel Vrdande momt T = r F, där r är momtarm och F är kraft 4

3 Koordnatsystem, längd-, yt-, volym-elemt 1 Kartesska koordnater $ # $ " Längdelemt = x dx+ŷdy+ẑdz Ytelemt tecknas komponter längdelemt: =dx dy; =dx dz; =dy dz; # Vektorellt ytelemt =, där är normal tll ytan Volymelemt: dv=dx dy dz " 5 2 Cylndrska koordnater Längdelemt = r dr+φ rdφ+ẑdz Ytelemt: =dr rdφ; =dr dz; = rdφ dz Vektorellt ytelemt =, där är normal tll ytan Volymelemt: dv=dr rdφ dz Sfärska koordnater ) #$%"" " ( " ((((((( ' #$% " y Längdelemt = R dr+θ Rdθ+φ Rsnθdφ Ytelemt: =dr Rdθ; =dr Rsnθ dφ; = Rdθ Rsnθ dφ Vektorellt ytelemt =, där * är normal tll ytan Volymelemt: dv=dr Rdθ Rsnθ dφ 6

4 1 Rumsdervator: gradt, dvergs, rotaton som varerar rummet gradt, kallas för fält De kan varera td också Exempel: 4Storheter Rumsdervator: dvergs, temperaturfält T(x,y,z) skalärt fält; elektrskt fält E(x,y,z) Laplace operator Vrotaton, behöver rumsdervator de elektromagnetska fält Gradt är rumsdervata skalär storhet Dvergs och rotaton är rumsdervator vektor Här kommer 41 a/ Gradtdefntonerna de koordnatoberode Gradt, V, tll skalär funkton V: 11 Gradt, deloperator Vektor, som anger storlek och rktnng vss Teoruppgft 1a Gradt V tll skalär rumsdervatan funkton V: punkt hos maxmala V D vektor som anger storlek och rktnng vss punkt hos maxmala rumsdervatan V grad V = V = dv/dn Gradts kompont rktnng : l V = V/ l Fyskalsk dv = V tolknng: Nvålnjer på karta Tätare lnjer grad V =stor #Vgradt = dv dn (dn lt ) -/ brantast punkt: gradts rktnng #V = x $V $V $V + z + y $z $y $x Slut teor 1a gradt karte rektangulära sska koordnater koordnater b/ Del-operatorn Utgåde från V ovan kan v nföra vektoroperator, del-operatorn x / x + ŷ / y + ẑ / z 1 kartesska koordnater Gradt, dvergs, rotaton 7 1 Gradt, dvergs, rotaton 1 Gradt, dvergs, rotaton Deloperatorn = ( / x, / y, / z) rektangulära koordnater Deloperatorn = ( / x, / y, / z) rektangulära koordnater för, gradt olka koordnatsystem fnns Chg (nsdan bakre pärm), Deloperatorn =Uttryck ( / x / z),rektangulära koordnater Deloperatorn,= / y ( / x, / y / z) rektangulära koordnater Uttryck för gradt koordnatsystem Beta och olka Physcs Handbook fnns Chg (nsdan bakre pärm), Beta och för Physcs Handbook Uttryck för gradt olka koordnatsystem fnns Chg bakre pärm), Uttryck gradt olka koordnatsystem fnns (nsdan Chg (nsdan bakre pärm), Beta och Physcs Handbook Beta och Physcs Handbook 1 Gradt, dvergs, rotaton 12 Dvergs 42 Dvergs 12 Dvergs 1 Gradt, dvergs, rotaton 1212 Dvergs yta Dvergs Flöde vektor gom yta Flöde vektor gom S:S: S Flöde vektor gom yta S: S Teoruppg 1b Deloperatorn = ( / x, / y, / z) rektangulära koordnater Teoruppg 1b Flöde vektor gom yta S:Syta S: Flöde vektor gom S för gradt olka, dvergs hos vss punkt: Uttryck koordnatsystem fnns Chg (nsdan bakre pärm), Teoruppg 1bTeoruppg, hos dvergs hos punkt : Noflöde ut från 1b, dvergs och punkt : Noflöde vektorn ut från vektorn Beta Physcs Handbook volym runt punkt, dvderad volym, då volym går mot noll, volym dvergs hos punkt : Noflöde vektorn ut från runt punkt, dvderad volym, då volym går mot noll, dvergs hos punkt : Noflöde vektorn ut från Noflöde vektorn ut från volym, 12 Dvergs volym runt punkt, dvderad volym, då volym går mot noll volym runt punkt, dvderad då volym gårnoll mot noll dvderad volym, dåvolym, volym går mot Flöde vektor gom yta S: o o$ S Teoruppg 1b s $ # shos dv = dv = lm o$ =, dvergs punkt : Noflöde vektorn ut från # = lm o s $ #då # 0 volym runt# punkt, dvderad volym, volym går mot noll 0 dv = == lm #volym dv #=0 lm s volym volym volym # 0 Slut teor 1b o s$ dv = = lm # 0 Slut teor 1b volym # Slut teor 1b Slut teor 1b Slut teor 1b % x % y % z dvergs %y rektangulära % z % = % y + % z + % x koordnater y= %z + rektangulära koordnater % x + %y % %z +rektangulära kartesska koordnater % % % = x + %x koordnater x y z =rektangulära + + rektangulära koordnater %x = %y + %z + %x koordnater %y %x%z %y %z %x %y %z Exempel på : Fyskalsk tolknng: dv är mått på d nneslutna Om källan "= 0 Om har Fyskalsk tolknng: dv är källan mått på d nneslutna v "= 0 har v Fyskalsk tolknng: dv är mått på d nneslutna Om nneslutna "= 0 har v källan Fyskalsk tolknng: dv är källan mått på d Om "= 0 har v källa punkt källa punkt Fyskalsk tolknng: dv är mått på d nneslutna källan Om "= 0 har v källa punkt Ekvaton E = /' källa punkt E 0 källa punkt Fyskalsk tolknng: Ekvaton E = /' säger att (laddnngstäthet) är E 0 Ekvaton E =Ekvaton /' E E /' säger att (laddnngstäthet) för är(det elektrska fältet) Ekvaton E 0 = /' E =källa E 0Ekv E = ρ/ε0 säger att laddnngs0 säger att (laddnngstäthet) är Om dv = 0, så är källfrtt säger att (laddnngstäthet) är källa för (det elektrska fältet) E säger att (laddnngstäthet) är källa för (det elektrska fältet) E täthet ρ är källa för det elektrska källaelektrska för (det fältet) elektrska källa för (det E fältet) E fältet 1 Rotaton E Teoruppg 1c Om dv = 0, så är källfrtt, rotaton hos vss punkt, defneras så här: Om dv = 0, så är källfrtt Placera punkt ltet stelt ytelemt s randkurva och normalrktnng Om E dv så källfrtt = 0, ärmått lgt källfrtt ( =ρ0,) Om är dv punkt är så påhögerhanregeln källan punkt (skruvregeln), se fg Blda för alla tänkbara normalrktnngar " längs randkurvan Välj d maxmala kurvnted slutna kurvntegral 1 Rotaton 1 Fältlnjerna Rotaton dvergerar gral och tllhörande Blda Teoruppg 1c # 1 Rotaton, rotaton hos 1 vss punkt, defneras så här: Teoruppg 1c 1 Rotaton punkt, Om dv =0, källfrtt, solodal på gelska, rotaton hossåär vss defneras så här: Teoruppg 1c s Teoruppg 1c Placera rotaton punkt hos ltet stelt ytelemt s randkurva så ochhär: normalrktnng, vss punkt, defneras och ytelemtets storlek gå mot noll vss Placera punkt ltet ytelemthos slåt randkurva normalrktnng, stelt rotaton och punkt, defneras så här: lgt högerhanregeln (skruvregeln), se fg Blda för alla tänkbara normalrktnngar " stelt Placera punkt ltet ytelemt salla randkurva och normalrktnng lgt högerhanregeln (skruvregeln), se fg Blda för tänkbara normalrktnngar " punkt Placera ltet stelt ytelemt s randkurva och normalrktnng längs randkurvan Välj d maxmala kurvnted slutna kurvntegral ) 8 längs randkurvan lgt högerhanregeln (skruvregeln), se fg Blda för alla tänkbara normalrktnngar 1 maxmala Välj d kurvnted slutna kurvntegral ^ " rot = ( = lm [ n Blda o ]för gral och tllhörande Blda lgt högerhanregeln (skruvregeln), fg max alla tänkbara normalrktnngar $ "s#0se"s längs "randkurvan Välj"cd maxmala kurvnteslutna kurvntegral gral d och tllhörande Blda # d längs randkurvan Välj d maxmala kurvnteslutna kurvntegral "c # och gral Blda 1 tllhörande Slut teor 1c 1 gral och tllhörande Blda # 1 s s ^ ^ ^ x y z 1 # s % % % och låt ytelemtets storlek gå mot noll I rektangulära koordnater ( = %x och låt ytelemtets storlekgå mot noll %y %z s

5 4 Rotaton, rotaton hos vss punkt: Placera "punkt" ltet stelt ytelemt Δs randkurva, Δc och normalrktnng, lgt högerhanregeln Blda för alla tänkbara d slutna kurvntegral längs kurvan Δc Välj max kurvntegral tllhörande Blda (1/Δs) Låt Δs0 1 rot = ( = lm [^n o "s#0 "s $ ] max "c "c ) nˆ 9 Rotaton x^ y^ z^ % % % I rektangulära koordnater ( = %x %y %z x y z Exempel på : Fyskalsk tolknng: I vattvrvel har man rotaton v 0 vrvel, där v=vatthastghet v vattvrvel v punkt är mått på rotatonskällan punkt Lt träbt roterar vattnet vrveln Om =0 är vrvelfrtt (rotatonsfrtt); rrotatonal (conservatve) på gelska 10

6 44 Laplace operator 2 Operatorn 2 = = = dvergs gradt dvs 2 V = V 2 V = 2 V/ x V/ y V/ z 2 kartesska koordnater Gradt, dvergs, rotaton, deloperator, Laplace operator olka koordnatsystem, se: Insdan kursboks bakre pärm, Beta eller Physcs Handbook 11 5 Teorem och dtteter 51 Dvergsteoremet Samband mellan volymntegral dv och vektorn ntegrerad över d slutna ytan S tll volym V dv = 52 Stokes teorem S yta s volym v # ytvektor ut från volym Samband mellan ytntegral rot och lnjentegral ntegrerad runt omkrets C tll ytan S S ( ) = C Högerhanregeln ger samband mellan och Fngrarna -rktnng, tumms rktnng 12

7 5 Idtteter 1 Rotaton grad V är dtskt lka noll ( V) 0 Följd: Om E = 0, kan man sätta E=- V, där V är skalär pottal Se elektrostatk 2 Dvergs rot är dtskt lka noll ( ) 0 Följd: Om B = 0, kan man sätta B=, där är vektorpottal Se magnetostatk 1 54 Helmholtz teorem Om man känner och hela rummet, så känner man vektorn Se not på s 65 kursbok Maxwells ekvatoner ger dvergs och rotaton för elektrska och magnetska fält, E och B Maxwells ekvatoner dffertalform: elektrostatk # E = 0 magnetostatk kvasstatonärt vågor allmänt -"B/"t = - "B "t # D = ' f = ' f H = J + "D # f "t = J f + "D "t #B = 0 = 0 D = ɛe, B = µh, J f = σe (lnjära, sotropa materal) VIKTIGT Sätt ut vektorbetecknng på alla vektorer Sätt ut skalärprck ordtlgt skalärprodukter Sätt ut krysset vektorprodukter Del-operatorn (dervator) verkar på det som står efter 14

8 6 Övnngsuppgfter - vektoranalys 1 Beräkna lnjentegralerna c d, resp, där C är slut slnga längd L 2 Ett elektrskt fält E beror rad R sfärska koordnater som E1(R) = R ρr/ε0 0 R a och E2(R) = R ρa /ε0r 2 R a, där ρ,ε0 är konstanter Beräkna E resp område Ett magnetskt fält B beror rad r cylnderkoordnater som B1(r) = φ µ0r/2πa 2 r a och B2(r) = φ µ0/2πr r a, där µ0 och är konstanter Beräkna B de båda områda 4 Vektorn p = ẑp0, där p0 är konstant Beräkna skalärprodukt (p ) Blr det samma som ( p)? Skalärprodukt ngår uttryck för kraft F=(p )Eyttre Formelsamlng C 5 R12 betecknar vektor från punkt (x1,y1,z1) tll punkt (x2, y2, z2), se fg Beräkna 1(1/R12) resp 2(1/R12) (x1,y1,z1) R12 (x2,y2,z2) 15 6 Ett elektrskt fält sfärska koord E(R,θ,φ) = R Q/4πε0R 2 för R>0 Beräkna flödet, ytntegral # = $0 s E, där ytan S är sfär R=a rktad ut från sfär Svar tll uppgfterna a 1 d =L; =0 (Vektoraddton) 2 E = ρ/ε0 R<a; E =0 R>a En konstant volymladdnngstäthet ρ för R a B = ẑµ0/πa2 r<; B = 0 r>a En lång rak strömförande ledare rad a och strömm jämnt fördelad över ledars tvärsnttsyta 4 (p )=p0 / z; ( p) = 0; Deloperatorn ska verka på det som kommer efter operatorn F=(p )Eyttre betyder att Eyttre ska derveras Man kan nte byta ordnng skalärprodukt, när operatorer är nblandade ( p) betyder ju att p derveras 5 1(1/R12)= R12/R12 ; 2(1/R12)= - R12/R12 6 Ψ = Q lka stor som d nneslutna laddnng lgt Gauss lag Laddnngsfördelnng: Q punktladdnng R=0 16