Föreläsning 16, SF1626 Flervariabelanalys

Transkript

1 Föreläsning 16, SF1626 Flervariabelanalys Haakan Hedenmalm (KTH, Stockholm) 5 december 2017 KTH Rekommenderade uppgifter: 16.1: 3, 7, : 9, 15, 17.

2 Gradient, divergens, och rotation Gradienten Om f är ett skalärfält skriver vi f = grad f = ( f x, f y, f ) z och kallar det för gradienten. Gradienten blir ett vektorfält. Nablasymbolen Vi skriver ( = x, y, ) z som blir en vektoriell deriveringsoperator (kallad nabla ).

3 Divergensen Divergensen Låt F = (F 1, F 2, F 3 ) vara ett vektorfält. Divergensen av F är skalärfältet div F = F = F 1 x + F 2 y + F 3 z. OBS! Notera att F och F betyder olika saker. Det första är ett skalärfält medan det andra betecknar en differentialoperator.

4 Rotationen Rotationen Låt F = (F 1, F 2, F 3 ) vara ett vektorfält. Rotationen av F är vektorfältet ( F3 rot F = F = y F 2 z, F 1 z F 3 x, F 2 x F ) 1. y Rotationen av ett vektorfält i 2 dimensioner Men om F = (F 1, F 2 ) bara? Då tänker vi oss fältet utvidgat till 3 dimensioner genom att skriva F = (F 1, F 2, 0) och räknar därefter ut rotationen. Då blir, eftersom F 1, F 2 inte beror på z, rot F = F = ( 0, 0, F 2 x F 1 y ).

5 Exempel EXEMPEL Bestäm divergens och rotation för vektorfältet F = (xy, y 2 z 2, yz). EXEMPEL i 2 dimensioner Bestäm divergens och rotation av fältet F = (xe y, ye x ).

6 Tolkning av divergensen Ytelement på funktionsytor Betrakta funktionsytan z = g(x, y) där (x, y) ligger i området D. En naturlig parametrisering är Då blir ytelementet r(u, v) = (u, v, g(u, v)), (u, v) D. ds = r u r v dudv = 1 + (g u) 2 + (g v ) 2 dudv och om vi byter till (x, y) istället för (u, v) så kan vi skriva ds = 1 + (g x) 2 + (g y ) 2 dxdy EXEMPEL Beräkna momentet zds över konytan z = x 2 + y 2 mellan z = 0 och z = 1. S

7 Ytor givna implicit Areaelement på implicit given yta Låt ytan S ges av ekvationen G(x, y, z) = 0. Då blir areaelementet ds = G(x, y, z) G z(x, y, z) dxdy.

8 Det orienterade ytelementet Orienterat ytelement Om n betecknar enhetsnormalvektorn på ytan S, och ds areaelementet, så är ds = nds det orienterade areaelementet. Notera att det beror på valet av normalrikting (det finns två). Det orienterade areaelementet för en parametriserad yta Eftersom och så blir n = r u r v r u r v. ds = r u r v dudv ds = nds = r u r v dudv.

9 Orienterbarhet för yta Lokalt går det alltid att på en glatt yta välja normalvektor på ett konsistent vis. Men det kan bli problem globalt. T ex Möbiusbandet visar på svårigheten. Orienterbar yta En yta sägs vara orienterbar om man kan välja ett kontinuerligt enhetsnormalvektorfält på ytan.

10 Flödesintegraler Flöde genom yta Flödet av vektorfältet F över den orienterbara ytan S ges av F ds = F nds. S När ytan är sluten skriver vi istället för för att förtydliga. I detta fall talar vi om flödet ut om normalvektorn är utåtriktad eller flödet in om normalvektorn är inåtriktad. EXEMPEL Finn flödet av fältet F = mr/ r 3 ut genom sfären av radie a med centrum i 0. EXEMPEL Beräkna flödet av fältet F = (x, y, z) genom cylinderytan x 2 + y 2 = a 2 med h z h. S

11 Tolkning av divergensen Divergensen som lokalt flöde Låt S ɛ beteckna en sfär av radie ɛ runt en punkt r 0. Då är, om n betecknar normalen utåt, 3 div F(r 0 ) = lim ɛ 0 + 4πɛ 3 F nds. Anmärkning Med andra ord, flödet genom sfären delat med volymen på klotet innanför ger i gräns divergensen. S ɛ

12 Divergenssatsen (Gauss sats) Divergenssatsen Om S är en sluten yta och K är kroppen som omsluts av S, och n är utåtnormalen, så gäller att F nds = div F dv. S K

13 Deltafunktionen och en utvidgning av funktionsbegreppet Deltafunktionen Deltafunktionen δ(x) är en tänkt funktion med egenskapen att + för alla kontinuerliga funktioner f. δ(x)f (x)dx = f (0) Någon sådan riktig funktion finns förstås inte. Men den kan istället förstås som en generaliserad funktion, kallad distribution. En egenskap Vi noterar att deltafunktionen har egenskapen att + δ(x y)f (x)dx = för kontinuerliga funktioner f. + δ(y x)f (x)dx = f (y)

14 Gravitationsfältets divergens Vi betraktar gravitationsfältet F = mr r 3. En snabb kalkyl ger att div F = 0 så om vi litar på divergenssatsen så borde F nds = 0 S för varje sluten yta S. Men om S är sfären av radie R kring origo blir normalfältet n = r/r och därför mr F nds = r 3 r ds = 4πm, R S S oberoende av radien och alltså inte lika med 0! Så, vad blev fel? Fältet har en singularitet i origo, och man kan visa att div F = 4πm δ(x)δ(y)δ(z), dvs en punktmassa i origo av rätt storlek.

15 Tolkning av rotationen Rotationen som lokal cirkulation Låt C ɛ beteckna en cirkel av radie ɛ runt en punkt r 0. Då är, om n betecknar enhetsnormalen till planet som C ɛ ligger i, riktad enligt skruvregeln. Då är 1 n rot F(r 0 ) = lim ɛ 0 + πɛ 2 F dr. C ɛ Anmärkning Med andra ord, arbetsintegralen delat med area på inneslutna cirkelskivan ger i gräns rotationen.

16 Rotation, Laplaceoperatorn Rotationen: hur räkna ut? i j k rot F = F = x y z F 1 F 2 F 3 Laplace-operatorn Differentialoperatorn 2 = = 2 x y z 2 kallas för Laplacianen. Den kan tillämpas på ett skalärfält och vi får då ett annat skalärfält. Den kan även tillämpas komponentvis på ett vektorfält och ger oss ett annat vektorfält: 2 F = ( 2 F 1, 2 F 2, 2 F 3 ).

17 Notation En differentialoperator Vi kommer ihåg notationen G = G 1 x + G 2 y + G 3 z, där G = (G 1, G 2, G 3 ). Denna operator kan även den tillämpas inte bara på skalärfält utan även på vektorfält komponentvis.

18 Nabla-yoga Låt φ, ψ vara skalärfält, och F, G vektorfält. (a) (φψ) = φ ψ + ψ φ (b) (φf) = ( φ) F + φ( F) (c) (φf) = ( φ) F + φ( F) (d) (F G) = ( F) G F ( G) (e) (F G) = ( G)F + (G )F ( F)G (F )G. (f) (F G) = F ( G) + G ( F) + (F )G + (G )F. (g) ( F) = 0. Dvs div rot = 0. (h) ( φ) = 0. Dvs rot grad = 0. (i) ( F) = ( F) 2 F.

19 Divergensfria och rotationsfria fält Divergensfritt fält Ett vektorfält F är divergensfritt om div F = 0. Rotationsfritt fält Ett vektorfält F är rotationsfritt om rot F = 0. Rotationsfrihet och konservativitet (lokalt) rot F = 0 φ så att φ = F. [φ kallas potential] Divergensfrihet och vektorpotential (lokalt) div F = 0 G så att rot G = F. [G kallas vektorpotential]

20 Exempel Exempel Visa att F = (x 2 + yz, 2y(x + z), xy + z 2 ) är divergensfritt och finn en vektorpotential till fältet.