Föreläsning 13, SF1626 Flervariabelanalys

Transkript

1 Föreläsning 13, SF1626 Flervariabelanalys Haakan Hedenmalm (KTH, Stockholm) 28 november 2017 KTH Rekommenderade uppgifter: 15.1: 3, 5, : 3, 5, 7, 21.

2 Vektorfält DEFINITION Ett skalärfält Φ på ett område D i R n är en funktion Φ : D R. Ett vektorfält F på D är en funktion F : D R n. EXEMPEL i 3dim Temperaturen i ett rum är ett skalärfält. På samma vis är den potentiella energin ett skalärfält. Exempel på vektorfält är vattenströmmar, elektriska och magnetiska fält.

3 Fältlinjer Antag att F är ett vektorfält. DEFINITION En fältlinje är en lösning r(t) till dr (t) = λ(t) F(r(t)), dt där λ(t) är en skalär med λ(t) 0. KOMMENTAR En fältlinje beskriver banan för en partikel som rör sig längs med vektorfältet. Fältlinjer i 3dim I 3 dimensioner kan ekvationen för fältlinjen skrivas dx F 1 (x, y, z) = dy F 2 (x, y, z) = dz F 3 (x, y, z). Härvid är F = (F 1, F 2, F 3 ) uppdelning i komponenter, och skalären λ(t) har eliminerats.

4 Fältlinjer: exempel EXEMPEL finn fältlinjerna till fältet F = (xz, 2x 2 z, x 2 ).

5 Vektorfält i polära koordinater Ett vektorfält i planet kan skrivas F = (F 1, F 2 ) = F 1 i + F 2 j, där i = (1, 0) och j = (0, 1). Ibland kan det vara bättre att beskriva fältet med hjälp av polära koordinater: F = F rˆr + F θˆθ, där ˆr = (cos θ, sin θ), ˆθ = ( sin θ, cos θ). Bägge är enhetsvektorer, ˆr radiellt och ˆθ pekar transversellt. Den vektorvärda differentialen dr = (dx, dy) kan skrivas på formen dr = ˆrdr + r ˆθdθ.

6 Fältlinjer i polära koordinater Fältlinjer i polära koordinater Lösningarna till ekvationen är fältlinjer. dr F r = rdθ F θ EXEMPEL Skissa vektorfältet F(r, θ) = ˆr + ˆθ och hitta fältlinjerna.

7 Gradienten i 3dim Gradienten av ett skalärfält Om φ(x, y, z) är ett skalärfält, så är ( φ φ = x, φ y, φ ) z motsvarande gradient. Den är ett vektorfält. FRÅGA Är alla vektorfält på formen φ? SVAR Nej, inte alls! Ett vektorfält med komponenter F = (F 1, F 2, F 3 ) är nämligen ett gradientfält enbart om (varför?) F 1 y = F 2 x, F 1 z = F 3 x, F 2 z = F 3 y.

8 Konservativa fält DEFINITION Vektorfältet F är konservativt om F = φ för något skalärfält φ. Funktionen φ kallas för potentialfältet. EXEMPEL Gravitationsfältet är konservativt. Nämligen, har motsvarande potentialfält F = km r r 0 r r 0 3 φ = km r r 0. KOMMENTAR Många fält inom fysiken är konservativa. Om det inte vore så skulle man kunna utvinna energi ur dem, vilket förmodligen skulle försvaga dem så de försvann.

9 Ett nödvändigt villkor för konservativitet Vi har redan tidigare observerat följande. SATS Om vektorfältet F = (F 1, F 2, F 3 ) är konservativt så måste Ekvipotentialyta F 1 y = F 2 x, F 1 z = F 3 x, F 2 z = F 3 y. Ytan där φ = C för en konstant C kallas ekvipotentialyta. SATS Om F är konservativt med potentialfält φ, så är ekvipotentialytan φ = C ortogonal mot all flödeslinjer som skär den.

10 Konservativa fält: exempel Följande fält dyker upp inom elektromagnetismen. Att det inte är konservativt gör att man kan flytta energi från fältet till en annan form. EXEMPEL Betrakta fältet F = (F 1, F 2 ) = ( y x 2 + y 2, ) x x 2 + y 2. (i) Visa att F 1 y = F 2 x gäller överallt utom i origo. (ii) Låt nu θ beteckna vinkeln till x-axeln, som vanligt, med 0 θ < 2π. Visa att θ = F. (iii) Visa att F ej är konservativt.

11 Källor, sänken DEFINITION Betrakta potentialen φ = m r r 0 och motsvarande gradientfält φ. Om m > 0 sägs fältet ha en källa av styrka m i punkten r 0. Om istället m < 0 sägs fältet ha ett sänke av styrka m i punkten r 0.