1 Allmänt om vektorer och vektorvärda funktioner

Transkript

1 1 llmänt om vektorer och vektorvärda funktioner 1.1 Vektorer och skalärer Inom fysiken gör vi skillnad på skalära och vektoriella storheter. Det som kännetecknar skalära storheter är att de har både storlek och dimension. Fysikaliska storheter som beskrivs med hjälp av vektorer, dvs vektoriella storheter, har (förutom storlek 1 och dimension) dessutom riktning. Då vi önskar visualisera vektorer använder vi oss därför typiskt av pilar, med specifik längd och pekandes i viss riktning (se figuren till höger). Det är också önskvärt att på ett enkelt sätt särskilja mellan vektorer och skalärer rent notationsmässigt. v denna anledning kommer vi (i detta häfte) uteslutande skriva vektorer med pilar ovanför deras namn, - En vektor och dess invers. De två vektorerna och har samma magnitud men är motsatt riktade. t.ex. som och r. Som brukligt är används tecknet för absolutbelopp för att ange en vektors storlek. Storleken av skrivs med andra ord som. Det skall också påpekas att det finns andra vedertagna skrivsätt för vektorer, exempelvis kan vektornamn skrivas med fet stil. I fysikens värld finns otaliga exempel på där såväl vektorer som skalärer förekommer. Från den klassiska mekaniken har vi, till exempel, att en kropps hastighet v samt kraften F = m d v dt, som verkar på densamma, båda ges av vektorer2. Kroppens temperatur T och dess massa m är däremot skalärer (eller skalära storheter om man skall vara noga). 1.2 Räkneregler för vektorer Här nedan följer nu en kort samling räkneregler för vektorer. ddition: + = + (kommutativ) Grafiskt erhålls den resulterande vektorn + genom att lägga vektorerna efter varandra enligt figuren till höger. Vi noterar att vi med denna regel får samma resulterande vektor oavsett vilken inbördes ordning vi väljer, dvs vektoraddition är kommutativ. Vi noterar också att +( ) = 0, nollvektorn. + + Multiplikation med skalär: a( + ) = a + a (distributiv) 1 Vi kommer även använda de synonyma begreppen magnitud och längd på vektorn 2 Om man skall vara petig så är F och v vektoriella storheter snarare än renodlade vektorer. Detta då de även har dimension (MLT 2 för F och LT 1 för v, där M, L och T står för massa, längd och tid). Vi kommer dock fortsätta med vår slarviga beskrivning och utgå ifrån att det av sammanhanget är underförstått att vi egentligen talar om vektoriella storheter.

2 Den ursprungliga vektorn + sträcks ut ( a > 1) eller trycks ihop ( a < 1) vid multiplikation med skalären a. Dessutom ändrar vektorn sin riktning till den motsatta om skalären är negativ. Skalärprodukten: = = cos θ }{{} en skalär! (kommutativ) Vi påminner om att och är storlekarna (eller magnituderna) av vektorerna och, medan θ är den mellanliggande vinkeln (se figuren till höger). Vi noterar även att för följer direkt att θ = 0 och därmed att =. I fallet då vinkeln θ = π/2 mellan och fås att = 0. Med andra ord; skalärprodukten mellan två vinkelräta (eller ortogonala) vektorer är 0. θ Vektorprodukten (även kallad kryssprodukten): = sin θ ˆN }{{} en vektor! I ovanstående uttryck är ˆN en enhetsvektor 3, ˆN = 1, som är vinkelrät mot både och, dvs ˆN = ˆN = 0. Magnituden av den resulterande vektorn ges av arean av det parallellogram som spänns upp av och (se vänstra delen av figuren nedan). "Högerhandsregeln" rea: ner, in i planet (bort från läsaren) upp, ut ur planet (mot läsaren) Vektorprodukten är distributiv, ( + C) = + C, samt antikommutativ, = (se högra delen av figuren ovan för hur ˆN:s riktning beror på ordningen av de i kryssprodukten ingående vektorerna). Högre ordningars vektorprodukter: Eftersom kryssprodukten mellan och C resulterar i en ny vektor, C, kan vi på ett enkelt och systematiskt sätt skapa högre ordningars produkter. Det finns exempelvis två möjliga trippelprodukter: ( ) C (som resulterar i en vektor), ( ) C (som resulterar i en skalär). Den förstnämda trippelprodukten kan i sin tur användas för att skapa två möjliga fjärde ordningars produkter osv. Det skall även tilläggas (se övningsuppgift 1.7) att ( ) C = ( C) C( ). 3 För att markera att ˆN är just en enhetsvektor skriver vi en hatt istället för den vanliga pilen ovanför vektornamnet.

3 N θ C Den sistnämda truppelprodukten, ( C ), kan illustreras med hjälp av en parallellepiped (se figuren till höger). Med definitionen av skalärprodukten, ser vi att ( ) C = cos θ C, där C är arean av parallellepipedens bas och cos θ dess höjd. Med andra ord, ( ) C är parallellepipedens volym. Samma volym kan så klart beräknas med, t.ex. C som basarea. Ur figuren ses att samma värde (inklusive tecken) fås på trippelprodukten då ( ) C = ( ) C = C 1.3 Enhetsvektorer ( ). Gemensamt för enhetsvektorer är, som tidigare påpekats, att de har längden 1. Vi påminner också om att vi med en hatt (i stället för en pil ) ovanför vektornamnet signalerar att vektorn ifråga är just en enhetsvektor. En samling enhetsvektor som även är parvis ortogonala mot varandra sägs vara ortonormala. Ortonormala vektorer har således följande egenskap { 1, då i = j, î ĵ = δ ij 0, då i j, där vi infört Kroneckerdeltat, δ ij. Ett av de kanske mest kända exempel på ortonormala vektorer utgörs av de kartesiska enhetsvektorerna ˆx, ŷ och ẑ. Då 1 = ˆx ˆx = ŷ ŷ = ẑ ẑ och 0 = ˆx ŷ = ˆx ẑ = ŷ ẑ, följer att vektorerna ˆx, ŷ och ẑ måste vara ortonormala. Det skall påpekas att beteckningarna för dessa vektorer kan variera, exempelvis är ˆx, ŷ, ẑ, eller alternativt ê x, ê y, ê z, î, ĵ, ˆk, eller alternativt ê i, ê j, ê k, ˆx 1, ˆx 2, ˆx 3, eller alternativt ê 1, ê 2, ê 3, vanligt förekommande. z Vektorerna ˆx, ŷ och ẑ spänner ett tredimensionellt rum. Detta betyder att varje vektor i rummet kan skrivas (se figuren till vänster) på formen x x x x ẑ ŷ y ŷ z ẑ y = xˆx + y ŷ + z ẑ där x, y och z är komponenter av vektorn i de respektive riktningarna som ges av ˆx, ŷ och ẑ. Notera också att vi valt ˆx, ŷ och ẑ så att ett kartesiskt högersystem bildas. Eftersom det är så vanligt att uttrycka en vektor i sina kartesiska komponenter används det förkortade skrivsättet = ( x, y, z ). Observera att detta skrivsätt (med

4 parantes runt och kommatecken mellan komponenterna) är vigt uteslutande åt de kartesiska komponenterna av vektorn och används alltså inte för någon annan typ av komponenter. Som en sidokommentar kan även nämnas att, då t.ex. x = ˆx som följd av att vi anväder oss av ortonormala basvektorer, kan vi även skriva som = ( x, y, z ) = (ˆx, ŷ, ẑ ) = (ˆx, ŷ, ẑ ) }{{} Identitetsoperatorn, I I praktiken sker beräkningen av fysikaliska storheter relativt ett koordinatsystem (med motsvarande basvektorer) som väljs olika beroende på problemets natur. eräkningar med vektorer utförs alltså som regel i komponentform. Givet en vald uppsättning av kartesiska enhetsvektorer ˆx, ŷ och ẑ, skriver vi och i komponentform som = ( x, y, z ) och = ( x, y, z ). Skalär- och vektorprodukten mellan de två kan nu, exempelvis, beräknas som: = x x + y y + z z, ˆx ŷ ẑ = x y z x y z = ( y z z y, z x x z, x y y x ), där vi dragit nytta av att basvektorerna är ortonormala. Som avslutande exempel roterar vi nu de ursprungliga basvektorerna (ˆx, ŷ och ẑ) så att ett nytt system av ortonormala basvektorer ˆx, ŷ och ẑ uppstår (se röda vektorerna i figuren till öger). Noterbart är att de roterade basvektorerna spänner exakt samma rum som de ursprungliga gjorde. Vi kan med andra ord välja i vilken bas (den roterade eller den ursprungliga) som vi önskar att beskriva vektorerna och i. Om vi väljer det roterade koordinatsystemet, med basvektorerna ˆx, ŷ och ẑ, fås följande värde på skalärprodukten = x x + y y + z z = x x + y y + z z, där x = ˆx (och där övriga komponenter är förenliga med valda notation). Samband mellan olika fysikaliska storheter (såsom c = och C = ) är oberoende av vårt val av koordinatsystem. När vi byter koordinatsystem ändras självklart värdet av komponenterna (eftersom basvektorerna ändras), men de vektoriella storheterna, t.ex. C =, förblir opåverkade. 1.4 Indexräkning Vektorn kan, som tidigare diskuterats, uttryckas i sina komponenter enligt = xˆx + y ŷ + z ẑ.

5 Ett mer kompakt skrivsätt fås med indexbeteckningar = i iˆx i. v praktiska skäl, då uttyck med summor över index är så vanligt förekommande, införs många gånger ett ännu mer förkortat skrivsätt. Vi tar helt enkelt bort summatecknet och säger att summation över alla index som upprepas i samma term är underförstådd. Detta skrivsätt kallas för Einsteins summakonvention. Med Einsteins summakonvention skriver vi, t.ex., kort och gott som = iˆx i. Notera att vi kan byta namn på summationsindexet (i) utan att uttryckets värde ändras. Exempelvis är iˆx i och kˆx k exakt samma sak ( i iˆx i kan lika gärna skrivas som k kˆx k ). Det skall tilläggas att Einsteins summakonvention ej får användas i uttryck där samma index förekommer fler än två gånger i samma term, t.ex. i i C i. Däremot kan konventionen appliceras på k i C i, vilket alltså då är ett förkortat skrivsätt av k i ic i. Som ett första exempel skall vi nu, med indexbeteckning och Einsteins summationskonvention, undersöka skalärprodukten lite närmare = ( iˆx i ) ( j ˆx j ) = i j ˆx i ˆx j = i j δ ij = i i, där δ ij är Kroneckerdeltat. I uttrycken av och är det av yttersta vikt att vi använder olika index (i och j) för att särskilja de två summationerna åt. Vi ser även att termen i j δ ij som innehåller två index av både i och j alltså är en förkortning av dubbelsummationen i j i j δ ij med Einsteins summakonvention. Kroneckerdeltat, som är noll om i j, låter oss dessutom stryka ett summationsindex. Också uttryck innehållandes kryssprodukter går att förenkla med indexräkning. Vi börjar med att titta på basvektorerna ˆx, ŷ och ẑ i ett ortonormerat högersystem, som uppfyller ˆx ŷ = ŷ ˆx = ẑ, ŷ ẑ = ẑ ŷ = ˆx, ẑ ˆx = ˆx ẑ = ŷ, ˆx ˆx = ŷ ŷ = ẑ ẑ = 0. Med hjälp av Levi-Civitásymbolen ɛ ijk kan ovanstående relationer skrivas mer kompakt. Levi-Civitásymbolen definieras som +1, om ijk är en jämn permutation av 1 2 3, ɛ ijk = 1, om ijk är en udda permutation av 1 2 3, 0, för övrigt, dvs om två eller tre index är lika. Exempelvis är ɛ 123 = 1 (0 permutationer från ɛ 123, vilket är ett jämnt antal) och ɛ 213 = 1 (1 2, dvs 1 permutation från ɛ 123 vilket är ett udda antal). Vi ser att ɛ ijk byter tecken om två index (t.ex. i och j) byter plats, men är oförändrad om index permuteras cykliskt (ɛ ijk = ɛ jki = ɛ kij ). Med Levi-Civitásymbolen fås nu det förkortade skrivsättet för kryssprodukter mellan de kartesiska enhetsvektorerna till ˆx i ˆx j = ɛ ijkˆx k.

6 Vi påminner om att det i högra ledet är en summa över k. Endast en av de tre termerna kan dock som högst vara skild från noll, ty om k = i eller k = j fås att ɛ ijk = 0. Dessutom, om i = j fås ɛ ijk = 0 för samtliga k. Kryssprodukten mellan och ges på motsvarande sätt av = ( iˆx i ) ( j ˆx j ) = i j ˆx i ˆx j = ɛ ijk i j ˆx k Kom ihåg, vi summerar över i, j och k i det slutliga uttrycket (ɛ ijk i j ˆx k ). Notera att då ɛ ijk är oförändrad vid cyklisk permutation fås även att = ɛ kij ˆx k i j. En mycket användbar relation ges av ɛ ijk ɛ klm = δ il δ jm δ im δ jl, som i princip bevisas genom att traggla igenom fall för fall (kom ihåg den underförstådda summan över k). Exempel: För att visa prov på användbarheten av indexräkning kommer vi slutligen bevisa följande samband ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) C D = C D D C. Med indexräkning fås att ( ) ( ) C D = ɛ ijk j k ɛ ilm C l D m = ɛ jki j k ɛ ilm C l D m = (ɛ jki ɛ ilm ) j k C l D m = (δ jl δ km δ kl δ jm ) j k C l D m = ( j C j )( k D k ) ( j D j )( k C k ) ( ) ( ) ( ) ( ) = C D D C. 1.5 Skalärvärda funktioner och skalärfält Innan vi diskuterar vektorvärda funktioner och vektorfält, bör vi (för att tydliggöra skillnaden) säga något kort om skalärvärda funktioner och skalärfält. En skalärvärd funktion av flera variabler u, v,... skriver vi som f(u, v,...). Funktionens syfte är att för varje unik variabelkombination (inom definitionsområdet D) tilldela en skalär f(u, v,...). Som exempel visas i figuren till höger en skalärvärd funktion w = f(u, v) av två variabler (u och v). Vi antar här att f(u, v) är en kontinuerlig funktion. u w D Nivåkurva: f(u,v)=c, konstant Observera att det skapas kurvor, så kallade nivåkurvor, utmed där funktionen f(u, v) har ett konstant värde. En kontinuerlig funktion av tre variabler, f(u, v, w), har på motsvarande sätt nivåytor där funktionsvärdet är konstant. Vi kan som exempel ta f(u, v, w) = u 2 + v 2 + w 2, där vi får nivåytor i form av sfärer med olika avstånd från origo. Då en skalärvärd funktion f beror av det fysikaliska rummet, kallar vi inom fysiken f för ett fält. Fältet behöver så klart inte vara statiskt, utan kan också bero av tiden t. Temperaturfördelningen i föreläsningssalen ges exempelvis av ett skalärfält T (x, y, z, t). v

7 1.6 Vektorvärda funktioner och vektorfält En vektorvärd funktion av flera variabler x 1, x 2,... tilldelar, som namnet avslöjar, i stället en vektor f(x 1, x 2...) till varje unik variabelkombination. Vi låter D vara ett område i R n och funktionen f : D R p. Den vektorvärda funktionen f är alltså en regel som till varje punkt x = (x 1, x 2,..., x n ) i D ordnar en punkt y i R p. y = f( x) = f(x 1, x 2,..., x n ), eller skrivet i komponentform y 1 = f 1 (x 1, x 2,..., x n ), y 2 = f 2 (x 1, x 2,..., x n ),. y p = f p (x 1, x 2,..., x n ). Notera att endast för p > 1 fås en vektorvärd funktion. I fallet p = 1 erhålls istället en skalärvärd funktion. Som exempel på en vektorvärd funktion kan nämnas ortsvektorn r(t) = (x(t), y(t), z(t)) som beskriver rymdkurvan utmed vilken en rörlig partikel förflyttar sig (se figuren till höger). Partikelns position vid tiden t (relativt origo) ges alltså av r(t). t 0 t 1 z t r(t) Ett vektorfält är en vektorvärd funktion som beror av det fysikaliska rummet. Exempelvis, det statiska vektorfältet = x (x, y, z) beror av vart i det tredimensionella rummet (x, y, z) vi befinner oss. I fallet då även lever i det tredimensionella rummet, fås att (x, y, z) = ( x (x, y, z), y (x, y, z), z (x, y, z)). De kartesiska komponenterna x, y och z av förändras alltså i rummet, dvs de beror av värdet på x, y och z. Som fysikaliskt exempel på liknande vektorfält kan nämnas hastighetsfördelningen v(x, y, z) i en stationärt strömmande vätska. ndra exempel är det elektriska fältet E(x, y, z, t) och magnetfältet (x, y, z, t). 1.7 Grafisk återgivning av skalär- och vektorfält För att visa ett skalärfält Φ grafiskt kan vi återge nivåkurvorna (om Φ(x, y)) eller nivåytorna (om Φ(x, y, z)) där Φ har ett konstant värde. Ett exempel på detta är väderkartor där isobarer (nivåkurvor med konstant tryck) ritas in, se figuren på nästa sida. y

8 För att återge ett vektorfält kan vi exempelvis återge (P i ) i utvalda punkter P i i rummet. Vid varje punkt ritas alltså en tillhörande pil. Figuren nedan visar en liknande väderkarta som tidigare, fast med också vindhastigheten (som är ett vektorfält) inritat i vissa punkter. Vi kan alternativt visa vektorfältet genom att rita dess fältlinjer Γ. En fältlinje är en kurva vars tangentvektor i punkt P är parallell med (P ). Som exempel ses nedan fältlinjerna (svarta linjer) för det magnetfält som uppstår kring en Helmholtzspole. Själva anordningen syns till höger.

9 Övningsuppgifter 1.1 Rita pilar med lämpligt vald storlek och riktning för att illustrera följande vektorfunktioner i xy-planet. a) (x, y) b) (x, y) 2 c) (x, y) d) (y, 0) e) (0, x) f) (y, x)/ x 2 + y 2 g) (y, xy) h) (1, y) 1.2 Kurvan y = y(x) kallas en fältlinje till vektorfunktionen F (x, y) om F (x, y) är tangent till kurvan för alla x. a) Visa att fältlinjerna y = y(x) till en vektorfunktion F (x, y) = (F x (x, y), F y (x, y)) är lösningar till differentialekvationen dy dx = F y F x b) estäm fältlinjerna till alla funktionerna i problem 1.1. Rita några fältlinjer och jämför med figurerna i problem Skriv ner en formel för och skissa vektorfältet som: a) pekar radiellt utåt från origo och har längd 1 b) pekar radiellt utåt från origo och har längd x c) pekar radiellt inåt mot origo och har längd lika med avståndet från origo d) pekar mot punkten (1, 2, 3x) och har längd 3xy 1.4 Rita fälten = (x, y, 0) och = (y, x, 0). estäm de fältlinjer som startar i punkten (1, 1, 0). 1.5 Med hjälp av definitionerna av skalär- och kryssprodukten, visa grafiskt att de båda produkterna är distributiva, dvs att ( + C) = + C samt ( + C) = + C, då alla tre vektorer (, och C) ligger i samma plan. 1.6 Är vektorprodukten associativ, dvs är ( ) C = ( C)? Om så är fallet, bevisa det. Om inte, hitta ett motexempel. 1.7 evisa att ( ) C = ( C) C( ) genom a) att skriva ut båda sidor i komponentform. b) indexräkning. 1.8 evisa att [ ( C)] + [ ( C )] + [ C ( )] = 0. Under vilka förutsättningar gäller att ( C) = ( ) C?