Vektoranalys, FMFF01. - utökade föreläsningsanteckningar

Transkript

1 ektoranalys, FMFF01 - utökade föreläsningsanteckningar v p d p r=r(u,v) z N d + - (u,v) du dv v 0 y u 0 u

2 Om materialet Dessa utökade föreläsningsanteckningar baseras på följande tre böcker: A. Ramgard, ektoranalys, 2:a uppl., Teknisk högskolelitteratur i tockholm AB (1997) D.J. Griffiths, Introduction to Electrodynamics, 3:e uppl., Pearson (2008) A. Persson och.-c. Böiers, Analys i flera variabler, 3:e uppl., tudentliteratur (2005) Materialet är tänkt som stöd till kursen FMFF01, ektoranalys på TH. I detta häfte finns, kort och gott, allt det som jag som föreläsare önskar presentera och diskutera under kursens 7 föreläsningar nedskrivet. Tack till tephanie Reimann för diskussioner och input kopplade till kursmaterialet. Tack även till Martin Albertsson och Mikael Nilsson Tengstrand för hjälp med korrekturläsningen. Jakob Bengtsson Mars 2019

3 Innehåll 1 Allmänt om vektorer och vektorvärda funktioner ektorer och skalärer Räkneregler för vektorer Enhetsvektorer Inderäkning kalärvärda funktioner och skalärfält ektorvärda funktioner och vektorfält Grafisk återgivning av skalär- och vektorfält Derivering av fält och nablaoperatorns roll Derivering av A(u) Partiell derivering av A(u, v,...) Differentialen av A(u, v,...) Nablaoperatorn Gradienten Divergens och rotation Parameterframställningar Rymdkurvor Ytor Integrering av vektorfält Integrering av vektorvärda funktioner injeintegraler Flödesintegralen ymmetrier Gauss sats 42 6 Greens formel, tokes sats och lite därtill Greens formel tokes sats Allmäna integralsatser Partiell integration Kroklinjiga ortogonala koordinatsystem Allmänt ektorfält och ortsvektordifferentialen Integration Nablaoperatorn Diracs deltafunktion Elektriskt fält kring punktladdning Egenskaper hos δ-funktionen

4 4 1 Allmänt om vektorer och vektorvärda funktioner 1.1 ektorer och skalärer Inom fysiken gör vi skillnad på skalära och vektoriella storheter. Det som kännetecknar skalära storheter är att de har både storlek och dimension. Fysikaliska storheter som beskrivs med hjälp av vektorer, dvs vektoriella storheter, har (förutom storlek 1 och dimension) dessutom riktning. Då vi önskar visualisera vektorer använder vi oss därför typiskt av pilar, med specifik längd och pekandes i viss riktning (se figuren till höger). Det är också önskvärt att på ett enkelt sätt särskilja mellan vektorer och skalärer rent notationsmässigt. Av denna anledning kommer vi (i detta häfte) uteslutande skriva vektorer med pilar ovanför deras namn, t.e. som A och r. om A -A En vektor A och dess invers A. De två vektorerna A och A har samma magnitud men är motsatt riktade. brukligt är används tecknet för absolutbelopp för att ange en vektors storlek. torleken av A skrivs med andra ord som A. Det skall också påpekas att det finns andra vedertagna skrivsätt för vektorer, eempelvis kan vektornamn skrivas med fet stil. I fysikens värld finns otaliga eempel på där såväl vektorer som skalärer förekommer. Från den klassiska mekaniken har vi, till eempel, att en kropps hastighet v samt kraften F = m d v dt, som verkar på densamma, båda ges av vektorer2. Kroppens temperatur T och dess massa m är däremot skalärer (eller skalära storheter om man skall vara noga). 1.2 Räkneregler för vektorer Här nedan följer nu en kort samling räkneregler för vektorer. Addition: A + B = B + A (kommutativ) Grafiskt erhålls den resulterande vektorn A + B genom att lägga vektorerna efter varandra enligt figuren till höger. i noterar att vi med denna regel får samma resulterande vektor oavsett vilken inbördes ordning vi väljer, dvs vektoraddition är kommutativ. i noterar också att A+( A) = 0, nollvektorn. A A+B B B B+A A Multiplikation med skalär: a( A + B) = a B + a A (distributiv) Den ursprungliga vektorn A + B sträcks ut ( a > 1) eller trycks ihop ( a < 1) vid multiplikation med skalären a. Dessutom ändrar vektorn sin riktning till den motsatta om 1 i kommer även använda de synonyma begreppen magnitud och längd på vektorn 2 Om man skall vara petig så är F och v vektoriella storheter snarare än renodlade vektorer. Detta då de även har dimension (MT 2 för F och T 1 för v, där M, och T står för massa, längd och tid). i kommer dock fortsätta med vår slarviga beskrivning och utgå ifrån att det av sammanhanget är underförstått att vi egentligen talar om vektoriella storheter.

5 5 skalären är negativ. kalärprodukten: A B = B A = A B cos θ }{{} en skalär! (kommutativ) i påminner om att A och B är storlekarna (eller magnituderna) av vektorerna A och B, medan θ är den mellanliggande vinkeln (se figuren till höger). i noterar även att för A A följer direkt att θ = 0 och därmed att A = A A. I fallet då vinkeln θ = π/2 mellan A och B fås att A B = 0. Med andra ord; skalärprodukten mellan två vinkelräta (eller ortogonala) vektorer är 0. A θ B ektorprodukten (även kallad kryssprodukten): A B = A B sin θ ˆN }{{} en vektor! I ovanstående uttryck är ˆN en enhetsvektor 3, ˆN = 1, som är vinkelrät mot både A och B, dvs A ˆN = B ˆN = 0. Magnituden av den resulterande vektorn A B ges av arean av det parallellogram som spänns upp av A och B (se vänstra delen av figuren nedan). "Högerhandsregeln" A Area: A B A A B B A B ner, in i planet (bort från läsaren) B B A upp, ut ur planet (mot läsaren) ektorprodukten är distributiv, A ( B + C) = A B + A C, samt antikommutativ, A B = B A (se högra delen av figuren ovan för hur ˆN:s riktning beror på ordningen av de i kryssprodukten ingående vektorerna). Högre ordningars vektorprodukter: Eftersom kryssprodukten mellan B och C resulterar i en ny vektor, B C, kan vi på ett enkelt och systematiskt sätt skapa högre ordningars produkter. Det finns eempelvis två möjliga trippelprodukter: ( ) A B C (som resulterar i en vektor), ( ) A B C (som resulterar i en skalär). Den förstnämda trippelprodukten kan i sin tur användas för att skapa två möjliga fjärde ordningars produkter osv. Det skall även tilläggas (se övningsuppgift 1.7) att ( ) A B C = B( A C) C( A B). 3 För att markera att ˆN är just en enhetsvektor skriver vi en hatt istället för den vanliga pilen ovanför vektornamnet.

6 6 N θ A C B Den sistnämda truppelprodukten, A ( ) B C, kan illustreras med hjälp av en parallellepiped (se figuren till vänster). Med definitionen av skalärprodukten, ser vi att A ( ) B C = A cos θ B C, där B C är arean av parallellepipedens bas och A cos θ dess höjd. Med andra ord, A ( ) B C är parallellepipedens volym. amma volym kan så klart beräknas med, t.e. C A som basarea. Ur figuren ses att samma värde (inklusive tecken) fås på trippelprodukten då ( ) A B C = B ( ) C A = C ( ) A B. 1.3 Enhetsvektorer Gemensamt för enhetsvektorer är, som tidigare påpekats, att de har längden 1. i påminner också om att vi med en hatt (i stället för en pil ) ovanför vektornamnet signalerar att vektorn ifråga är just en enhetsvektor. En samling enhetsvektor som även är parvis ortogonala mot varandra sägs vara ortonormala. Ortonormala vektorer har således följande egenskap { 1, då i = j, î ĵ = δ ij 0, då i j, där vi infört Kroneckerdeltat, δ ij. Ett av de kanske mest kända eempel på ortonormala vektorer utgörs av de kartesiska enhetsvektorerna ˆ, ŷ och ẑ. Då 1 = ˆ ˆ = ŷ ŷ = ẑ ẑ och 0 = ˆ ŷ = ˆ ẑ = ŷ ẑ, följer att vektorerna ˆ, ŷ och ẑ måste vara ortonormala. Det skall påpekas att beteckningarna för dessa vektorer kan variera, eempelvis är ˆ, ŷ, ẑ, eller alternativt ê, ê y, ê z, î, ĵ, ˆk, eller alternativt ê i, ê j, ê k, ˆ 1, ˆ 2, ˆ 3, eller alternativt ê 1, ê 2, ê 3, vanligt förekommande. z ektorerna ˆ, ŷ och ẑ spänner ett tredimensionellt rum. Detta betyder att varje vektor A i rummet kan skrivas (se figuren till vänster) på formen A = A A ˆ + A y ŷ + A z ẑ A z ẑ ẑ där A, A y och A z är komponenter av vektorn A ŷ i de respektive riktningarna som ges av ˆ, ŷ och A y ẑ. Notera också att vi valt ˆ, ŷ och ẑ så att ett A y ŷ kartesiskt högersystem bildas. Eftersom det är så vanligt att uttrycka en vektor i sina kartesiska komponenter används det förkortade skrivsättet A = (A, A y, A z ). Observera att detta skrivsätt (med parantes runt och kommatecken mellan komponenterna) är vigt uteslutande åt de kartesiska

7 7 komponenterna av vektorn och används alltså inte för någon annan typ av komponenter. om en sidokommentar kan även nämnas att, då t.e. A = ˆ A som följd av att vi anväder oss av ortonormala basvektorer, kan vi även skriva A som A = (A, A y, A z ) = (ˆ A, ŷ A, ẑ A) = (ˆ, ŷ, ẑ ) A }{{} Identitetsoperatorn, I I praktiken sker beräkningen av fysikaliska storheter relativt ett koordinatsystem (med motsvarande basvektorer) som väljs olika beroende på problemets natur. Beräkningar med vektorer utförs alltså som regel i komponentform. Givet en vald uppsättning av kartesiska enhetsvektorer ˆ, ŷ och ẑ, skriver vi A och B i komponentform som A = (A, A y, A z ) och B = (B, B y, B z ). kalär- och vektorprodukten mellan de två kan nu, eempelvis, beräknas som: A B = A B + A y B y + A z B z, A B ˆ ŷ ẑ = A A y A z B B y B z = (A y B z A z B y, A z B A B z, A B y A y B ), där vi dragit nytta av att basvektorerna är ortonormala. om avslutande eempel roterar vi nu de ursprungliga basvektorerna (ˆ, ŷ och ẑ) så att ett nytt system av ortonormala basvektorer ˆ, ŷ och ẑ uppstår (se röda vektorerna i figuren till öger). Noterbart är att de roterade basvektorerna spänner eakt samma rum som de ursprungliga gjorde. i kan med andra ord välja i vilken bas (den roterade eller den ursprungliga) som vi önskar att beskriva vektorerna A och B i. Om vi väljer det roterade koordinatsystemet, med basvektorerna ˆ, ŷ och ẑ, fås följande värde på skalärprodukten A B = A B + A y B y + A z B z = A B + A y B y + A z B z, där A = ˆ A (och där övriga komponenter är förenliga med valda notation). amband mellan olika fysikaliska storheter (såsom c = A B och C = A B) är oberoende av vårt val av koordinatsystem. När vi byter koordinatsystem ändras självklart värdet av komponenterna (eftersom basvektorerna ändras), men de vektoriella storheterna, t.e. C = A B, förblir opåverkade. 1.4 Inderäkning ektorn A kan, som tidigare diskuterats, uttryckas i sina komponenter enligt A = A ˆ + A y ŷ + A z ẑ. Ett mer kompakt skrivsätt fås med indebeteckningar A = i A iˆ i.

8 8 Av praktiska skäl, då uttyck med summor över inde är så vanligt förekommande, införs många gånger ett ännu mer förkortat skrivsätt. i tar helt enkelt bort summatecknet och säger att summation över alla inde som upprepas i samma term är underförstådd. Detta skrivsätt kallas för Einsteins summakonvention. Med Einsteins summakonvention skriver vi, t.e., kort och gott A som A = A iˆ i. Notera att vi kan byta namn på summationsindeet (i) utan att uttryckets värde ändras. Eempelvis är A iˆ i och A kˆ k eakt samma sak ( i A iˆ i kan lika gärna skrivas som k A kˆ k ). Det skall tilläggas att Einsteins summakonvention ej får användas i uttryck där samma inde förekommer fler än två gånger i samma term, t.e. A i B i C i. Däremot kan konventionen appliceras på A k B i C i, vilket alltså då är ett förkortat skrivsätt av A k i B ic i. om ett första eempel skall vi nu, med indebeteckning och Einsteins summationskonvention, undersöka skalärprodukten lite närmare A B = (A iˆ i ) (B j ˆ j ) = A i B j ˆ i ˆ j = A i B j δ ij = A i B i, där δ ij är Kroneckerdeltat. I uttrycken av A och B är det av yttersta vikt att vi använder olika inde (i och j) för att särskilja de två summationerna åt. i ser även att termen A i B j δ ij som innehåller två inde av både i och j alltså är en förkortning av dubbelsummationen i j A ib j δ ij med Einsteins summakonvention. Kroneckerdeltat, som är noll om i j, låter oss dessutom stryka ett summationsinde. Också uttryck innehållandes kryssprodukter går att förenkla med inderäkning. i börjar med att titta på basvektorerna ˆ, ŷ och ẑ i ett ortonormerat högersystem, som uppfyller ˆ ŷ = ŷ ˆ = ẑ, ŷ ẑ = ẑ ŷ = ˆ, ẑ ˆ = ˆ ẑ = ŷ, ˆ ˆ = ŷ ŷ = ẑ ẑ = 0. Med hjälp av evi-civitasymbolen ɛ ijk kan ovanstående relationer skrivas mer kompakt. evi-civitasymbolen definieras som +1, om ijk är en jämn permutation av 1 2 3, ɛ ijk = 1, om ijk är en udda permutation av 1 2 3, 0, för övrigt, dvs om två eller tre inde är lika. Eempelvis är ɛ 123 = 1 (0 permutationer från ɛ 123, vilket är ett jämnt antal) och ɛ 213 = 1 (1 2, dvs 1 permutation från ɛ 123 vilket är ett udda antal). i ser att ɛ ijk byter tecken om två inde (t.e. i och j) byter plats, men är oförändrad om inde permuteras cykliskt (ɛ ijk = ɛ jki = ɛ kij ). Med evi-civitasymbolen fås nu det förkortade skrivsättet för kryssprodukter mellan de kartesiska enhetsvektorerna till ˆ i ˆ j = ɛ ijkˆ k. i påminner om att det i högra ledet är en summa över k. Endast en av de tre termerna kan dock som högst vara skild från noll, ty om k = i eller k = j fås att ɛ ijk = 0. Dessutom, om i = j fås ɛ ijk = 0 för samtliga k. Kryssprodukten mellan A och B ges på motsvarande sätt av A B = (A iˆ i ) (B j ˆ j ) = A i B j ˆ i ˆ j = ɛ ijk A i B j ˆ k

9 9 Kom ihåg, vi summerar över i, j och k i det slutliga uttrycket (ɛ ijk A i B j ˆ k ). Notera att då ɛ ijk är oförändrad vid cyklisk permutation fås även att A B = ɛ kij ˆ k A i B j. En mycket användbar relation ges av ɛ ijk ɛ klm = δ il δ jm δ im δ jl, som i princip bevisas genom att traggla igenom fall för fall (kom ihåg den underförstådda summan över k). Eempel: För att visa prov på användbarheten av inderäkning kommer vi slutligen bevisa följande samband ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) A B C D = A C B D A D B C. Med inderäkning fås att ( ) ( ) A B C D = ɛ ijk A j B k ɛ ilm C l D m = ɛ jki A j B k ɛ ilm C l D m = (ɛ jki ɛ ilm )A j B k C l D m = (δ jl δ km δ kl δ jm )A j B k C l D m = (A j C j )(B k D k ) (A j D j )(B k C k ) ( ) ( ) ( ) ( ) = A C B D A D B C. 1.5 kalärvärda funktioner och skalärfält u w D Nivåkurva: f(u,v)=c, konstant Innan vi diskuterar vektorvärda funktioner och vektorfält, bör vi (för att tydliggöra skillnaden) säga något kort om skalärvärda funktioner och skalärfält. En skalärvärd funktion av flera variabler u, v,... skriver vi som f(u, v,...). Funktionens syfte är att för varje unik variabelkombination (inom definitionsområdet D) tilldela en skalär f(u, v,...). om eempel visas i figuren till höger en skalärvärd funktion w = f(u, v) av två variabler (u och v). i antar här att f(u, v) är en kontinuerlig funktion. Observera att det skapas kurvor, så kallade nivåkurvor, utmed där funktionen f(u, v) har ett konstant värde. En kontinuerlig funktion av tre variabler, f(u, v, w), har på motsvarande sätt nivåytor där funktionsvärdet är konstant. i kan som eempel ta f(u, v, w) = u 2 +v 2 +w 2, där vi får nivåytor i form av sfärer med olika avstånd från origo. Då en skalärvärd funktion f beror av det fysikaliska rummet, kallar vi inom fysiken f för ett fält. Fältet behöver så klart inte vara statiskt, utan kan också bero av tiden t. Temperaturfördelningen i föreläsningssalen ges eempelvis av ett skalärfält T (, y, z, t). 1.6 ektorvärda funktioner och vektorfält En vektorvärd funktion av flera variabler 1, 2,... tilldelar, som namnet avslöjar, i stället en vektor f( 1, 2...) till varje unik variabelkombination. i låter D vara ett område i v

10 10 R n och funktionen f : D R p. Den vektorvärda funktionen f är alltså en regel som till varje punkt = ( 1, 2,..., n ) i D ordnar en punkt y i R p. y = f( ) = f( 1, 2,..., n ), eller skrivet i komponentform y 1 = f 1 ( 1, 2,..., n ), y 2 = f 2 ( 1, 2,..., n ),. y p = f p ( 1, 2,..., n ). Notera att endast för p > 1 fås en vektorvärd funktion. I fallet p = 1 erhålls istället en skalärvärd funktion. om eempel på en vektorvärd funktion kan nämnas ortsvektorn r(t) = ((t), y(t), z(t)) som beskriver rymdkurvan utmed vilken en rörlig partikel förflyttar sig (se figuren till höger). Partikelns position vid tiden t (relativt origo) ges alltså av r(t). t 0 t 1 z t r(t) Ett vektorfält är en vektorvärd funktion som beror av det fysikaliska rummet. Eempelvis, det statiska vektorfältet A = A(, y, z) beror av vart i det tredimensionella rummet (, y, z) vi befinner oss. I fallet då även A lever i det tredimensionella rummet, fås att A(, y, z) = (A (, y, z), A y (, y, z), A z (, y, z)). De kartesiska komponenterna A, A y och A z av A förändras alltså i rummet, dvs de beror av värdet på, y och z. om fysikaliskt eempel på liknande vektorfält kan nämnas hastighetsfördelningen v(, y, z) i en stationärt strömmande vätska. Andra eempel är det elektriska fältet E(, y, z, t) och magnetfältet B(, y, z, t). 1.7 Grafisk återgivning av skalär- och vektorfält För att visa ett skalärfält Φ grafiskt kan vi återge nivåkurvorna (om Φ(, y)) eller nivåytorna (om Φ(, y, z)) där Φ har ett konstant värde. Ett eempel på detta är väderkartor där isobarer (nivåkurvor med konstant tryck) ritas in, se figuren på nästa sida. y

11 11 Figur hämtad ifrån För att återge ett vektorfält A kan vi eempelvis återge A(P i ) i utvalda punkter P i i rummet. id varje punkt ritas alltså en tillhörande pil. Figuren nedan visar en liknande väderkarta som tidigare, fast med också vindhastigheten (som är ett vektorfält) inritat i vissa punkter. Figur hämtad ifrån i kan alternativt visa vektorfältet genom att rita dess fältlinjer Γ. En fältlinje är en kurva vars tangentvektor i punkt P är parallell med A(P ). om eempel ses nedan fältlinjerna (svarta linjer) för det magnetfält som uppstår kring en Helmholtzspole. jälva anordningen syns till höger. änstra figuren är hämtad ifrån commons.wikimedia.org. Högra figuren är hämtad ifrån (tillhör Brookhaven National aboratory).

12 12 Övningsuppgifter 1.1 Rita pilar med lämpligt vald storlek och riktning för att illustrera följande vektorfunktioner i y-planet. a) (, y) b) (, y) 2 c) (, y) d) (y, 0) e) (0, ) f) (y, )/ 2 + y 2 g) (y, y) h) (1, y) 1.2 Kurvan y = y() kallas en fältlinje till vektorfunktionen F (, y) om F (, y) är tangent till kurvan för alla. a) isa att fältlinjerna y = y() till en vektorfunktion F (, y) = (F (, y), F y (, y)) är lösningar till differentialekvationen dy d = F y F b) Bestäm fältlinjerna till alla funktionerna i problem 1.1. Rita några fältlinjer och jämför med figurerna i problem kriv ner en formel för och skissa vektorfältet som: a) pekar radiellt utåt från origo och har längd 1 b) pekar radiellt utåt från origo och har längd c) pekar radiellt inåt mot origo och har längd lika med avståndet från origo d) pekar mot punkten (1, 2, 3) och har längd 3y 1.4 Rita fälten A = (, y, 0) och B = (y,, 0). Bestäm de fältlinjer som startar i punkten (1, 1, 0). 1.5 Med hjälp av definitionerna av skalär- och kryssprodukten, visa grafiskt att de båda produkterna är distributiva, dvs att A ( B + C) = A B + A C samt A ( B + C) = A B + A C, då alla tre vektorer ( A, B och C) ligger i samma plan. 1.6 Är vektorprodukten associativ, dvs är ( A B) C = A ( B C)? Om så är fallet, bevisa det. Om inte, hitta ett moteempel. 1.7 Bevisa att A ( ) B C = B( A C) C( A B) genom a) att skriva ut båda sidor i komponentform. b) inderäkning. 1.8 Bevisa att [ A ( B C)] + [ B ( C A)] + [ C ( A B)] = 0. Under vilka förutsättningar gäller att A ( B C) = ( A B) C?

13 13 2 Derivering av fält och nablaoperatorns roll 2.1 Derivering av A(u) da du ΔA A (u) rymdkurva Ο A(u+Δu) Det sätt på vilket vektorvärda funktioner (eller vektorfält) deriveras följer enkelt och direkt ur den vanliga definitionen av derivatan. För enkelhets skull börjar vi med en vektorvärd funktion A som endast beror av en variabel u, dvs A(u). Derivatan av A med avseende på u ges då av da du lim A u 0 u = lim u 0 A(u + u) A(u), u förutsatt att gränsvärdet eisterar. Notera att A är ändringen i A då variabeln, som A beror av, ändras från u till u + u, dvs A = A(u + u) A(u) (se även figuren till vänster). När vi deriverar A med avseende på u skapas alltså en ny vektorvärd funktion, d A. Denna du nya funktion ger, för varje värde på u, motsvarande tangentvektor till den rymdkurva som fås om vi behandlar A som en ortsvektor (se återigen figuren ovan). om eempel tittar vi nu närmare på fallet då A ligger i det rum som spänns av de tre kartesiska enhetsvektorerna ˆ, ŷ och ẑ. Ur definitionen av derivatan följer att även d A nödvändigtvis måste kunna du uttryckas med hjälp av samma tre basvektorer. krivet i komponentform fås faktiskt att T (u) = d du (A (u), A y (u), A z (u)) = ( da du, da y du, da z du där T (u) är tangentvektorn vid u till den rymdkurva som beskrivs av A. Bevis: T (u) = d A [ 3 du = lim 1 A i (u + u)ˆ i u 0 u i=1 3 [ ] A i (u + u) A i (u) = lim ˆ i = u 0 u i=1 ), ] 3 A i (u)ˆ i i=1 3 i=1 da i du ˆ i. Det tål att understykas; de kartesiska enhetsvektorerna som vi valt att beskriva A med är fierade (dvs oberoende av u). Den vektorvärda funktionen A:s u-beroende ses därmed direkt (och uteslutande) i dess kartesiska komponenter A (u), A y (u) och A z (u). Följdaktligen, då A deriveras med avseende på u, sker deriveringen endast i de individuella komponenterna. Eempel: i söker den normerade tangentvektorn (med magnitud 1) som funktion av u till rymdkurvan r(u) = (cos u, sin u, λu), där λ är en positiv konstant och där u (se figuren på nästa sida).

14 14 i deriverar r med avseende på u och får T (u) = d r du = ( sin u, cos u, λ). Den normerade tangentvektorn vid u fås slutligen till ˆT (u) = = T ( sin u, cos u, λ) T = sin 2 u + cos 2 u + λ 2 ( sin u, cos u, λ). 1 + λ 2 Eempel: En partikel rör sig längs med en specifik rymdkurva, som beskrivs av den vektorvärda funktionen r(t). Partikelns läge (relativt origo) vid tiden t ges här alltså av ortsvektorn r(t). id derivering av r(t) (med avseende på t) fås en vektorvärd funktion v(t) = d r, dt där v(t) är hastighetsvektorn som tillhör partikeln vid tiden t. Det skall påpekas att ett annat vanligt skrivsätt är att ange tidsderivata med en punkt ovanför funktionsnamnet. Den vektorvärda funktion som beskriver partikelns acceleration ges eempelvis av a(t) = d v = d2 r = v = r. dt dt 2 Regler: Med hjälp av derivatans definition kan följande fyra regler visas d du ( A + B) = d A du + d B du, d du ( A B) = A d B du + d A du B, d du ( A B) = A d B du + d A du B, d du (Φ A) = Φ d A du + dφ A, du där Φ är en skalärvärd funktion av u. Dessutom, i fallet då u beror av v, dvs u(v), fås kedjeregeln d A[u(v)] dv = d A du du dv. Bevis: Det finns en uppenbar likhet mellan ovanstående regler för vektorvärda funktioner och deras skalärvärda motsvarigheter (vi bortser här ifrån uttrycket med kryssprodukten, som inte har någon direkt skalär motsvarighet). Denna likhet kan till viss mån förstås om vi tänker oss alla de ingående vektorerna som uttryckta i sina kartesiska komponenter. All derivering sker nu i komponenterna, vilka naturligtvis följer de regler som gäller för skalärvärda funktioner. Det är därmed inte alltför långsökt att tänka sig att de resulterande reglerna för derivering av vektorvärda funktioner kraftigt präglas (i alla fall

15 15 i dess struktur) av motsvarande uttryck med skalärvärda funktioner. Eempelvis, givet basvektorerna ˆ, ŷ och ẑ, ses att d A(u(v)) dv = (vilket visar kedjeregeln) samt att ( da dv, da y dv, da ) ( z da du = dv du dv, da y du du dv, da z du ) du dv = d A du du dv. d du ( A B) = d du (A B + A y B y + A z B z ) = da du B + da y du B y + da z du B db z + A }{{} du + A db y y du + A db z z. }{{ du } da du B A d B du Fallet med kryssprodukten, dvs d du ( A B), visas däremot enklast som d du ( A B) = lim u 0 = lim u 0 = lim u 0 1 [ ] A(u + u) B(u + u) A(u) B(u) u 1 [( ) ( ) A(u) + A B(u) + B u 1 [ ] A(u) B + A B(u) + A(u) B u = A(u) lim u 0 B u + lim A u 0 u B(u). A(u) B(u) ] I ovanstående bevis har vi använt oss av att A = A(u + u) A(u) (och motsvarande uttryck för B) A samt att lim B u 0 = 0. Det skall också understrykas att vi u ingenstans i härledningen har använt oss av egenskaper som är unika för just kryssprodukten. i kan, med andra ord, utföra eakt samma bevissteg med kryssprodukten ( ) utbytt mot skalärprodukten ( ). Mycket riktigt, byter vi ut mot i produktregeln d ( A B) fås också regeln för d ( A B). du du 2.2 Partiell derivering av A(u, v,...) i ser nu närmare på de fall där den vektorvärda funktionen A beror av flera i sig oberoende variabler u, v,..., dvs A(u, v,...). Om vi kräver att alla variabler förutom en hålls konstanta så reduceras A(u, v,...) till att effektivt endast bero av en variabel. i kan alltså, i detta speciella fall, tillämpa de regler vi nyss studerat för vektorvärda funktioner av en variabel. Den partiella derivatan definieras alltså som A(u, v,...) u lim u 0 A(u + u, v,...) A(u, v,...). u i repeterar; vid partiell derivering hålls alla andra variabler konstanta förutom den vi deriverar med avseende på (u ovan). Notera också att vi skriver partiella derivatorer med i stället för d. Regler Alla de fyra första reglerna som listades för vektorvärda funktioner av en variabel kan även tillämpas på vektorvärda funktioner av flera variabler, fast med d utbytt mot. Beträffande den nästföljande regeln, dvs kedjeregeln, finns två alternativ i du u flervariabelfallet.

16 16 Om de oberoende variablerna u, v,... själva beror av endast variabeln t, dvs u(t), v(t),..., fås d A[u(t), dt v(t),...] = A du u dt + A dv v dt kulle däremot u, v,... bero av flera variabler r, s,... gäller i stället att A[u(r, r s...), v(r, s,...),...] = A u u r + A v v r Till sist bör också nämnas att 2 A u v = 2 A v u, förutsatt att A har kontinuerliga andraderivatorer. De partiella derivatornas inbördes ordning spelar med andra ord ingen roll. 2.3 Differentialen av A(u, v,...) Differentialen d A av den vektorvärd funktionen A(u, v,...) ges, per definition, av d A A u du + A v dv +..., där vi förutsätter att A:s partiella derivator, dvs A, A u v,..., är kontinuerliga funktioner. Eempel: Ortsvektordifferentialen till r(, y, z) = (, y, z) = ˆ + yŷ + zẑ fås alltså till d r = r }{{} ˆ=(1,0,0) d + r y }{{} ŷ=(0,1,0) dy + r z }{{} ẑ=(0,0,1) dz = (d, dy, dz). i söker nu en möjlig koppling mellan differentialen d A av vektorfältet A och ändringen A av samma vektorfält. åt oss ånyo ta ortsvektordifferentialen som eempel. i utgår från ortsvektorn r(, y, z) som pekar mot punkten P : (, y, z) (se figuren till höger). id en förändring +, y y + y, z z + z, Ο r(+,y+ y,z+ z) r (,y,z) P : (+Δ,y+Δy,z+Δz) Δr P : (,y,z) erhålls en ny ortsvektor r( +, y + y, z + z) pekandes mot punkten P : (+, y+ y, z + z). Ovanstående förändring i variablerna, y och z ger alltså upphov till ändringen r = r( +, y + y, z + z) r(, y, z) = (, y, z)

17 17 i ortsvektorn. Uttrycket för ändringen, r = (, y, z), och differentialen, d r = (d, dy, dz), av ortsvektorn har således liknande struktur. I gränsen för små förändringar i, y och z, dvs d, y dy och z dz, fås att r d r. Det omvända gäller också. i kan utgåendes från uttrycket på d r beräkna r genom substitutionen d, dy y och dz z, dvs r = r r r + y + y z z. Ovanstående likhet är (som snart skall visas) ej av allmän karaktär, utan snarare ett specialfall giltigt för just ortsvektorn. Eempel: Differentialen av det mer generella vektorfältet ges av A( 1, 2, 3 ) = (A 1 ( 1, 2, 3 ), A 2 ( 1, 2, 3 ), A 3 ( 1, 2, 3 )) d A = 3 i=1 A i d i, vilket, skrivet i komponentform, är samma sak som ( 3 da A 1 3 A 2 = (da 1, da 2, da 3 ) = d i, d i, i i i=1 i=1 3 i=1 A 3 i d i åt oss nu även undersöka relationen mellan differentialen och ändringen av detta vektorfält. i börjar med att skriva ändringen, A, i komponentform som A( 1, 2, 3 ) = ( A 1 ( 1, 2, 3 ), A 2 ( 1, 2, 3 ), A 3 ( 1, 2, 3 )). i påminner också om att A( 1, 2, 3 ) = A( 1 + 1, 2 + 2, ) A( 1, 2, 3 ), vilket för komponent i (där i = 1, 2, 3) av A innebär att A i ( 1, 2, 3 ) = A i ( 1 + 1, 2 + 2, ) A i ( 1, 2, 3 ) 3 A i = j A i j k + O( 3 ). j 2 j k j=1 j,k=1 I sista steget skrev vi om A i ( 1 + 1, 2 + 2, ) med hjälp av en Taylorutveckling kring A i ( 1, 2, 3 ). Om vi nu jämför uttrycket för A i mot motsvarande för da i ses att den senare endast innehåller första ordningens term i Taylorutvecklingen. Med andra ord, för faktiska förflyttningar (och ej infinitesimala sådana) fås att A A + A y y + A z z, olikt fallet för ortsvektorn. I gränsen för små förändringar i de beroende variablerna, dvs d, fås däremot att A i da i och därmed att A d A, precis som i fallet med ortsvektorn. Andra ordningens termer, i k, (samt högre ordningars) är nämligen helt försumbara i gränsen för små. ).

18 Nablaoperatorn För att sammanfatta de i fysiken vanligt förekommande rumsliga derivatorna av vektorfält (och skalärfält) introducerar vi nu nablaoperatorn = ˆ + ŷ y + ẑ ( z =, y, ). z i betonar här att är en vektoroperator och inte en ordinär vektor. om operator skall ses som innehållandes en instruktion att derivera det som står efter, dvs till höger om, dess symbol. Eempelvis, i fallet då verkar på ett skalärfält Φ så skapas ett vektorfält enligt Φ(, y, z) = (, y, ) ( Φ(, y, z) Φ(, y, z) =, z Φ(, y, z), y ) Φ(, y, z). z Eftersom verkar på det som står till höger om sig, spelar dess placering i ett uttryck stor roll. Till skillnad mot Φ, som är ett vektorfält, är eempelvis Φ en ny vektoroperator. Det finns endast ett sätt på vilket vektoroperatorn kan verka på ett skalärfält, men det finns två sätt som den kan verka på ett vektorfält. De möjliga kombinationerna ses nedan. ( Φ Φ =, Φ y, Φ ) = grad Φ, z A = A + A y y + A z z = div A, A ˆ ŷ ẑ = y z A A y A z = rot A. i återkommer med en lite mer utförlig beskrivning av dessa tre fall senare i kapitlet. Eempel: För vanliga vektorer gäller att A ( B A) = 0. i söker nu om samma sak alltid gäller för A ( A). om eemel kan vi ta fallet A = ( y,, 1), vilket ger att ˆ ŷ ẑ A = y y 1 z = (0, 0, 2). Detta ger i sin tur att A ( A) = 2 0. På liknande sätt gäller eempelvis generellt att ( Φ) ( Ψ) 0, trots att ( AΦ) ( AΨ) = 0. Man måste med andra ord vara försiktig och inte behandla som en vanlig vektor! Regler Det finns så klart även en rad regler för beräkningar med nablaoperatorn som, vid ork och lust, kan visas. i nöjer oss dock med att endast lista dessa regler, samt att påpeka att även ifall vissa ser ut att vara självklara finns andra som ej är lika triviala vid första

19 19 anblick. (Φ + Ψ) = Φ + Ψ, ( A + B) = A + B, ( A + B) = A + B, (ΦΨ) = Φ Ψ + Ψ Φ, ( A B) = A ( B) + B ( A) + ( A ) B + ( B ) A, (Φ A) = Φ( A) + A ( Φ), ( A B) = B ( A) A ( B), (Φ A) = Φ( A) A ( Φ), ( A B) = ( B ) A ( A ) B + A( B) B( A). Notera att de flesta av dessa står också i er formelsamling. Andraderivator Hittills har vi endast diskuterat förstaderivator i form av }{{} Φ, } {{ A } vektorfält skalärfält och A }{{. } vektorfält Om vi låter verka på ovanstående tre uttryck fås fem möjliga andraderivatorer Φ = ( Φ) = Φ, Φ = ( Φ) = 0, A = ( A) vilket sällan förekommer i fysiken, A = ( A) = 0, A = ( A) = ( A) A, där 2 = y 2 A = ( ) A ( A). + 2 z 2 är aplaceoperatorn. Ur sista uttrycket ses även att 2.5 Gradienten Gradienten av ett kontinuerligt deriverbart skalärfält Φ ges, som tidigare nämnts, av ( grad Φ Φ Φ =, Φ y, Φ ). z Ovanstående vektorfält är tätt sammankopplat med differentialen av det bakomliggande skalärfältet Φ, dφ = Φ ( Φ Φ Φ d + dy + y z dz =, Φ y, Φ ) (d, dy, dz) = grad Φ d r. z Om vi skriver om ortsvektordifferentialen till d r = êds, där ds ger storleken av d r och ê är enhetsvektorn som ger d r:s riktning, fås att dφ ds = lim Φ( r + ês) Φ( r) s 0 s = grad Φ ê.

20 20 Riktningsderivatan av Φ i riktning ê fås, med andra ord, av gradientvektorns komponent i den angivna riktningen. Gradienten av Φ har två viktiga egenskaper, vilka nu diskuteras kort. Egenskap 1: Φ i punkt P, dvs (grad Φ) P, pekar i den riktning som Φ väer snabbast. Maimala ökningen av Φ per längdenhet ges av (grad Φ) P. I fallet då Φ har ett maimum eller minimum i P fås därför att (grad Φ) P = 0. Bevis: i vet sedan tidigare att dφ ds = grad Φ ê = grad Φ ê cos θ, }{{} 1 där θ är den mellanliggande vinkeln (se figuren till höger). Eftersom 1 cos θ 1 har dφ det maimala värdet grad Φ, vilket fås då ê ds är parallell med grad Φ. gradϕ θ ê Egenskap 2: (grad Φ) P är ortogonal mot nivåytan Φ = c genom P. Bevis: Ovanstående egenskap ses direkt ur en förflyttning d r längs nivåytan där Φ är konstant. I detta fall fås att z (grad ) P 0 = dφ = grad Φ d r, P dr Yta: =c vilket måste gälla för alla d r på ytan. Eempel: i frågar oss nu hur hur snabbt temperaturen T (, y, z) = y 2 + z 2 väer då man rör sig i riktningen (1, 2, 2) utgående från punkten P : (2, 1, 1). i söker alltså riktningsderivatan dt i den angivna riktningen. Gradienten av T ges av T = (y 2, 2y, 2z). I punkten P ds gäller därmed att ( T ) P = (1, 4, 2), vilket även är riktningen (utgåendes från P ) i vilken temperaturen ökar snabbast. För att beräkna temperaturökningens hastighet i riktningen (1, 2, 2) tar vi skalärprodukten mellan ( T ) P och den normerade riktningsvektorn ê, dvs ( dt ds ) P ;ê = (1, 4, 2) (1, 2, 2) = 1. i finner alltså att temperaturen sjunker med 1 grad/längdenhet då man flyttar sig ett infinitesimalt stycke i riktningen ê = 1 (1, 2, 2). 3 y Eempel: Gradienten av Φ kan även användas till att uppskatta det vinkelräta avståndet s mellan punkten P i nivåytan Φ = c och nivåytan Φ = c + h. För små ändringar gäller att h = Φ dφ = (grad Φ) P s. Omskrivet ger detta oss att z s =c+h =c s h (grad Φ) P. y

21 Divergens och rotation i har nyss sett att gradienten Φ är ett vektorfält som i varje punkt beskriver den riktning i vilken skalärfältet Φ väer snabbast. Divergensen A och rotationen A har på motsvarande sätt egna fysikaliska tolkningar. Dessa båda tolkningar kommer nu beskrivas kortfattat. En mer djupgående analys sparar vi till senare kapitel. Divergensen ( A) P säger hur mycket vektorfältet sprider ut sig från punkten P. i kan tänka oss vektorfältet som beskrivande en flödande vätskas hastighet. i tillsätter nu några droppar blått färgämne lokalt i närheten kring punkten P och ser vad som händer. Om den blåfärgade vätskan sprider ut sig, dvs börjar uppta en större volym, fås att ( A) P > 0. Om istället volymen av den blåa vätskan minskar är divergensen negativ i punkten P. e nedanstående figur för några eempel på möjliga fall. P P P Källa: (div A ) P > 0 änka: (div A ) P < 0 (div A ) P = 0 Rotationen ( A) P beskriver hur mycket vektorfältet roterar runt punkten P. I närheten av virvlar i vektorfältet är alltså A stort. Riktningen av A fås i överensstämmelse med högerhandsregeln (se figuren nedan). P (rot A) P > 0 (rot A) P upp, ut ur planet (mot läsaren)

22 22 Övningsuppgifter 2.1 En partikel rör sig i y-planet så att läget r(t) vid tiden t ges av r(t) = (a cos(ωt), b sin(ωt)), där a, b och ω är konstanter. a) Hur långt från origo är partikeln vid tiden t? b) Bestäm hastigheten och accelerationen som funktion av tiden. c) isa att partikeln rör sig i en elliptisk bana ( ) 2 ( y ) 2 + = 1 a b 2.2 ektorn R(u) satisfierar differentialekvationen d R(u) = A(u) R(u), där A(u) är en du given vektorvärd funktion. isa att R:s absoluta belopp är konstant. edning: Derivera R R. 2.3 Beräkna gradienten för följande funktioner a) f(, y, z) = 2 + y 3 + z 4. b) f(, y, z) = 2 y 3 z 4. c) f(, y, z) = e sin(y) ln(z). 2.4 Temperaturen i ett rum beskrivs av skalärfältet T = 2 + 2yz z [ C]. En frusen mygga befinner sig i punkten (1, 1, 2). a) I vilken riktning skall myggan flyga om den vill bli varm så fort som möjligt? b) Hur snabbt (uttryckt i C/s) ökar temperaturen om myggan flyger med hastigheten 3 längdenheter/s i riktningen ( 2, 2, 1)? 2.5 arför finns ( B ) A men ej B ( A)? 2.6 Beräkna divergensen för följande vektorfunktioner: a) v a = 2ˆ + 3z 2 ŷ 2zẑ. b) v b = yˆ + 2yzŷ + 3zẑ. c) v c = y 2ˆ + (2y + z 2 )ŷ + 2yzẑ. 2.7 Beräkna rotationen för vektorfunktionerna v a, v b och v c från uppgift För vektorfunktionerna A = ˆ + 2yŷ + 3zẑ, B = 3yˆ 2ŷ. a) Kontrollera produktregeln ( A B) = B ( A) A ( B). b) Kontrollera på liknande sätt produktregeln ( A B) = A ( B) + B ( A) + ( A ) B + ( B ) A. c) Kontrollera slutligen produktregeln ( A B) = ( B ) A ( A ) B + A( B) B( A).

23 isa att rot grad Φ = isa att div rot A = Beräkna grad r, där r = r, samt beräkna div r och rot r.

24 24 3 Parameterframställningar Från och med nästa kapitel kommer mycket av vårt fokus ligga på olika integraluttryck med vektorvärda funktioner. i kommer eempelvis studera integreringen av vektorfält både längs med rymdkurvor och över ytor. om förberedelse förs i detta kapitel en lite längre diskussion om hur just rymdkurvor och ytor bör behandlas. isserligen har vi redan stött på rymdkurvor som hastigast i tidigare kapitel, men den mer utförliga analysen har vi valt att spara till nedan. 3.1 Rymdkurvor Rymdkurvor kan parametriseras med hjälp av en vektorvärd funktion av endast en variabel. För att beskriva en kurva i rummet kan vi, eempelvis, föreställa oss en partikel som färdas längs dess väg. id tiden t befinner sig partikeln vid en punkt P i rummet, som ges av ortsvektorn r = r(t). Genom att variera t, ser vi hur partikeln vandrar längs de punkter som bygger upp vår rymdkurva. Q du a b u r=r(u) z r(b) r(a) dr P y Betrakta nu en styckvis glatt och orienterad rymdkurva, mellan punkt P och Q (se figuren ovan). För att beskriva denna kurva använder vi oss av den vektorvärda funktionen r(u) = ((u), y(u), z(u)), där a u b. om synes har vi här valt en parameterframställning r(u) så att r(a) pekar mot punkt P och r(b) mot punkt Q. P P Q Att kurvan är styckvis glatt betyder att r(u) är en kontinuerlig och styckvis kontinuerligt deriverbar funktion. i kan tänka oss ett möjligt scenario där rymdkurvan är uppdelad i delkurvor 1, 2,... vilka är ihopsatta vid ändpunkterna (vilket gör kontinuerlig) och som var och en beskrivs av kontinuerligt deriverbara funktioner (se figuren till vänster) Det faktum att vår rymdkurva är orienterad betyder att vi infört en Q positiv genomloppsriktning, vilken vi också har markerat med en pil i figuren ovan. Då vi vandrar längs kurvan görs detta alltid i dess positiva genomloppsriktning. Punkt P kan följdaktligen ses som vår kurvas startpunkt och punkt Q som dess slutpunkt. Notera också att parametriseringen förutsätts vara vald så att en ökning i u motsvarar en förflyttning i :s orienteringsriktning. åt oss nu ta en närmare titt på rymdkurvans längd. i tänker oss att vi stegvis ökar u med du och på så sätt vandrar längs (se figuren ovan). I samband med att u väer med du, dvs u u + du, ändras r med d r = r(u + du) r(u) = d r du du.

25 25 Notera att d r är riktad i :s positiva genomloppsriktning. i kan därmed vandra längs, från kurvans startpunkt (P ) till dess slutpunkt (Q), genom upprepade förflyttningar med d r (vilka i sin tur beror av u, dvs var på kurvan vi befinner oss). I varje steg förflyttar vi oss sträckan dr = d r = d r du du längs rymdkurvan. Kurvans totala längd s fås således som ˆ ˆ b s = dr = d r du du. a Ofta ses också benämningarna båglängd för s och bågelement för dr. 3.2 Ytor För att beskriva en yta behövs en vektorvärd funktion av två oberoende variabler. En styckvis glatt och orienterad yta återges därför med hjälp av ortsvektorn r(u, v) (se figuren nedan). v v 0 u 0 p R p dv (u,v) du Area: d p =dudv u r=r(u,v) z r(u 0,v 0 ) R N y + - Förstoring av R z (u,v) (u,v+dv) (dr) u r(u,v) y (dr) v N R (u+du,v) + - Area: d= (dr) u (dr) v Parameterframställningen r = r(u, v) översätter varje unik punkt (u, v) i området p till en unik punkt, given av r(u, v) = ((u, v), y(u, v), z(u, v)), tillhörande ytan. Orienteringen gör att ytans ena sida är att betrakta som positiv och den andra som negativ. På liknande sätt som en rymdkurvas orientering avgör i vilken riktning som d r pekar, bestämmer en ytas orientering i vilken riktning ˆN som dess normal pekar. om ses i figuren ovan väljs ˆN i :s positiva orienteringsriktning. Att ytan är styckvis glatt innebär att r(u, v) är en kontinuerlig funktion och styckvist kontinuerligt (partiellt) deriverbar med avseende på u och v. Om den ena variabeln hålls konstant, medan den andra tillåts variera, skapas en rymdkurva inbäddad i ytan. i kan ta den blå och röda rymdkurvan i figuren som eempel. Den blå kurvan fås genom att fiera u (u = u 0 ) och den röda genom att istället fiera v (v = v 0 ). Dessa två rymdkurvor korsar naturligtvis varandra i den punkt som ges av r(u 0, v 0 ). i tänker oss nu att vi ökar u med du, dvs u u+du, samtidigt som vi håller v konstant. Ortsvektorn ändras då med (d r) v = r(u + du, v) r(u, v) = r u du, där indeet v i (d r) v signalerar att v hålls konstant. Om vi istället ökar v med dv (och fierar u) fås ändringen till (d r) u = r(u, v + dv) r(u, v) = r v dv. i tar det igen; en ökning av u i p med du avbildas som en ändring (d r) v i. På samma sätt följer att en förändring v v + dv i p ger upphov till en ändring (d r) u i.

26 26 ammantaget betyder detta att alla punkter inom den infinitesimala rektangeln R p (med sidor du och dv) i p översätts genom r(u, p) till punkter inom parallellogrammet R (som spänns upp av vektorerna (d r) u och (d r) v ) i (se figuren på föregående sida). Arean d av R ges av d = (d r) u (d r) v = r u r v dudv, }{{} en lokal förstoringsfaktor! i enlighet med kryssproduktens definition (se kapitel 1). i noterar att parallellogrammets area är proportionell mot d p = dudv, dvs arean av rektangeln R p i p. Proportionalitetskonstanten r r u v är en lokal förstoringsfaktor, då den beror av (u, v), för avbildningen från p till. lutligen, för att ta med ytans orientering i beskrivningen, används de vektoriella ytelementen d = ˆNd = r u r v dudv, där vi förutsätter att r(u, v) är vald så att r (och inte motsatt den). Då r u v pekar i ytans orienteringsriktning ˆN r v r u = r u r v, väljs i praktiken ordningen i kryssprodukten så att riktningen på d stämmer överrens med ytans på förhand givna orientering. Notera också att arean d = d, ty ˆN = 1. För att beräkna den totala arean av ytan lägger vi samman alla bidragen från dess vektoriella ytelement, med de individuella areorna d = d, d = r u r v dudv. p i bör i detta skede påpeka att alla ytor inte är orienterbara. Möbiusbandet (se figuren till höger) är ett klassiskt eempel på en yta som vi inte kan ordna en orientering till. Tänk att vi startar på ena sidan av bandets yta och sakta börjar vandra längs med bandet. Efter ett tag, då vi fullbordat ett varv, befinner vi oss plötsligt på motsattt sida om där vi startade. Det går med andra ord inte att stämpla den ena sidan som positiv och den andra som negativ. Figuren är hämtad ifrån commons.wikimedia.org. i avslutar detta kapitel med två eempel på hur en ytas ˆN och d kan beräknas. Eempel 1: i söker normalriktningen ˆN till rotationsparaboloiden z = 2 + y 2 i punkten P : (1, 2, 5) (se figuren på nästa sida). Notera ytans orientering, där rotationsparaboloidens utsida är positiv och dess insida negativ.

27 z 27 i börjar med att hitta funktionen r(u, v) = ((u, v), y(u, v), z(u, v)) till ytan. För rotationsparaboloiden kan vi, eempelvis, välja 2 + y 2 = u, y = v, z = u 2 + v 2. Ovanstående val ger de två möjliga normalvektorerna N = ± r u r v = ±( 2u, 2v, 1), där ± införts eftersom vi ännu inte vet ordningen på faktorerna i kryssprodukten som ger det ˆN som överensstämmer med ytans givna orientering. Den vektor N P i punkten P : {u = 1, v = 2} som pekar utåt (i enlighet med figuren) ges av N P = (2, 4, 1) och fås, i detta fall, genom att välja N = r r. Den normaliserade riktningsvektorn i P u v blir därmed z= 2 +y y 2 y ˆN P = N P N P = (2, 4, 1) 21. z (utsidan) + - (insidan) θ φ r Eempel 2: i söker nu ett uttryck på det vektoriella ytelementet d tillhörandes en sfär med den givna radien R och orientering enligt figuren till vänster. För att parametrisera denna yta tar vi hjälp av de sfäriska koordinaterna θ och ϕ. Med u = θ och v = ϕ skrivs ortsvektorn till vår sfär med radie R som r(θ, ϕ) = (R sin θ cos ϕ, R sin θ sin ϕ, }{{}}{{}} R cos {{ θ } ), (θ,ϕ) y(θ,ϕ) z(θ,ϕ) där 0 θ π och 0 ϕ 2π. Med N = r θ r fås en utåtriktad vektor (i enlighet med ytans ϕ orientering). Att denna ordning i kryssprodukten är den önskvärda ses ur N = r θ r ϕ = ˆ ŷ ẑ R cos θ cos ϕ R cos θ sin ϕ R sin θ R sin θ sin ϕ R sin θ cos ϕ 0 = (R 2 sin 2 θ cos ϕ, R 2 sin 2 θ sin ϕ, R 2 sin θ cos θ cos 2 ϕ + R 2 sin θ cos θ sin 2 ϕ) = R sin }{{} θ r 0 där vi använt oss av att sin 2 ϕ + cos 2 ϕ = 1. Med andra ord, N pekar i samma riktning som r. Det vektoriella ytelementet kan nu uttryckas som funktion av θ och ϕ d = r θ r ϕ dθdϕ = R2 sin θdθdϕ(sin θ cos ϕ, sin θ sin ϕ, cos θ).

28 28 Övningsuppgifter 3.1 Ange en enkel parameterframställning r = r(u) för kurvan { 4 y 2 = y 2 z = 0, från punkten (0, 0, 0) till (1, 2, 5). Bestäm även tangentriktningen i punkten (1/4, 1, 17/16). 3.2 Andragradsytan 2 +2y+2z 2+2y+2z 2 = 0 skärs av planet y+z+1 = 0. ilken vinkel bildar de båda ytorna med varandra i punkten (0, 1, 0)?

29 29 4 Integrering av vektorfält 4.1 Integrering av vektorvärda funktioner i börjar vår undersökning av hur vektorfält integreras med att studera en styckvis kontinuerlig funktion A av flera oberoende variabler u, v,..., dvs A(u, v,...). Denna vektorvärda funktion integreras nu över ett område D i u, v,...-rummet. Genom att uttrycka A i sina kartesiska komponenter ses att Adudv = A dudv, A y dudv, A z dudv. D D D D Integreringen sker alltså direkt i A:s komponenter, på liknande sätt som vid deriveringen av A (se kapitel 2.1 och 2.2). Att så är fallet följer av det faktum att de kartesiska enhetsvektorerna ˆ, ŷ och ẑ är fierade, dvs de är oberoende av u, v,.... Eftersom de kartesiska komponenterna av A ges av skalärvärda funktioner, fås att många satser som är giltiga för reella funktioner även kan tillämpas på A. Eempelvis, för A(u) gäller ˆ b da du du = A(b) A(a), a ˆ d d a A(u)du = A(). Eempel: åt F (, y, z) ddydz = (F }{{}}{{} ( r), F y ( r), F z ( r)) d, r d vara kraften som verkar på volymselementet d = ddydz vid r = (, y, z). Den totala kraften på en kropp fås då genom att addera kraftbidragen som verkar på kroppens alla smådelar enligt ( ) F ( r)d = F d, F y d, F z d. 4.2 injeintegraler Betrakta nu en styckvis glatt och orienterad rymdkurva mellan punkt P och punkt Q. Rymdkurvan beskrivs med hjälp av ortsvektorn r(u), där a u b och där vi förutsätter att en ökning i u motsvarar en rörelse i :s positiva riktning. Rymdkurvans startpunkt P ges således av r(a) och dess slutpunkt Q av r(b). Utmed rymdkurvan finns nu även ett vektorfält A, som är styckvis kontinuerligt längs. injeintegralen längs av A:s tangentkomponent kan då beräknas enligt ˆ A d r = ˆ b a A( r(u)) d r du du, dr Q A(r(b)) A(r(u)) P A(r(a))

30 30 se diskussionen kring :s parameterframställning i kapitel 3.1. Att integranden i ovanstående uttryck verkligen är detsamma som A:s tangentkomponent längs ses genom omskrivningen d r = d r du du = d r du d r du }{{} ˆT d r du du, }{{} dr där dr är rymdkurvans bågelement och ˆT dess normaliserade tangentvektor. Med andra ord, ˆ ˆ A d r = } A {{ ˆT } dr. tangentkomponenten av A längs Eempel 1: En partikel rör sig längs rymdkurvan i ett kraftfält F. Kurvans parameterframställning ges av r(t) = ((t), y(t), z(t)), där α t β. Totala arbetet som tillförs partikeln blir ˆ W = F d r = ˆ β α F ( r(t)) d r dt dt. Med F ( r) = (F ( r), F y ( r), F z ( r)) kan ovanstående uttryck även skrivas i differentialform som ˆ β ( W = F (, y, z) d dt + F y(, y, z) dy dt + F z(, y, z) dz ) dt. dt α Eempel 2: i söker nu A d r i fallet då A(, y, z) = ( yz, z, 2) och för en rymdkurva som går från P : (1, 0, 0) till Q : (1, 0, 4π). För skojs skull jämför vi linjeintegralens värde för två olika rymdkurvor och (se figuren till höger). Kurvan beskrivs av ortsvektorn r(u) = ((u), y(u), z(u)) = (cos u, sin u, u), där 0 u 4π. i ser vidare att A( r(u)) = ( y(u)z(u), (u)z(u), 2) = ( u sin u, u cos u, 2), d r du = d (cos u, sin u, u) = ( sin u, cos u, 1). du injeintegralen längs blir således ˆ ˆ 4π A d r = A( r(u)) d r du du = = 0 ˆ 4π 0 ˆ 4π (u + 2)du = 8π 2 + 8π. 0 ( u sin u, u cos u, 2) ( sin u, cos u, 1)du

31 31 ängs används istället ortsvektorn r(u) = (1, 0, u), där 0 u 4π. i får nu att A( r(u)) = (0, u, 2), d r du = (0, 0, u). injeintegralen längs beräknas slutligen till ˆ ˆ 4π A d r = (0, u, 2) (0, 0, 1) du = 8π. 0 }{{} 2 Observera: injeintegralen mellan två punkter beror (i allmänhet) av vägen! Andra linjeintegraler Andra typer av linjeintegraler där A ses förekomma är eempelvis ˆ A d r, ˆ A ˆNdr, där ˆN är kurvans orienterade normal. Den övre linjeintegralen resulterar i en vektor, medan den undre i en skalär. Eempel: åt oss betrakta en stationärt strömmande vätska. ätskan består av ett ytterst tunt skikt i z-led, vilket gör att den effektivt sett kan ses som tvådimensionell. Hastighetsfördelningen i vätskan ges därmed av det tidsoberoende vektorfältet v(, y), med enheten m/s. ätskans materieströmm fås följdaktligen som ρ(, y)v(, y), där ρ är vätskans ytdensitet (med enhet kg/m 2 ). i söker nu massan av den flödande vätska som passerar en rymdkurva i vätskans plan, från vänster till höger i figuren nedan, per tidsenhet. y Q T dr r(u) P N v(r(u)) Förstoring vid bågelementet dr h θ v(r(u)) dt Area: hdr dr θ N v(r(u)) För att bestämma det totala massflödet bestäms först materieströmmen genom ett litet bågelement dr under den korta tiden dt. Inom det infinitesimala dr:s omedelbara närhet kan det mer beskedligt varierande v betraktas som konstant. All vätska som befinner sig

32 32 inom parallellogrammet, som spänns upp av v( r(u))dt och d r, ses därmed passera genom dr under tiden dt. Parallellogrammets area ges av (se figuren ovan) hdr = v( r(u)) dt cos θdr = v( r(u)) ˆNdrdt. ätskemassan som passerar bågelementet dr per tidsenhet ges därför av ρ v ˆNdr. Det totala massflödet (i kg/s), från vänster till höger, genom kurvan fås slutligen till ˆ (ρ ) ˆNdr. Uppdelad rymdkurva En rymdkurva som är uppdelad i mindre bitar skrivs som = , där i är :s delkurva i. Notera att delkurvorna inte nödvändigtvis behöver hänga samman (se figuren till höger). injeintegralen längs kan på motsvarande sätt delas upp i en summa av linjeintegraler över alla dess delkurvor. Eempelvis fås att ˆ ˆ ˆ A d r = A d r + A d r P Q Q P Q P - Byte av orientering Betrakta en rymdkurva beståendes av samma punkter som, men med dess motsatta orientering. Det som skiljer en linjeintegral längs mot den längs är således endast att de vektoriella linjeelementen d r pekar i motsatt riktning, dvs d r d r då. Om alla vektoriella linjeelement byter tecken måste även linjeintegralen totalt sett byta tecken, vilket betyder att ˆ ˆ A d r = A d r. Cirkulation injeintegralen av A längs en enkel sluten kurva, vilket även kallas för cirkulationen av A, skrivs som A d r. Att kurvan är enkel sluten betyder att den ej skär sig själv (se figuren nedan). Ej sluten kurva luten kurva, men ej enkel luten enkel kurva

33 33 Om A d r = 0 för alla enkelt slutna kurvor inom det öppna 4 området D, så gäller det att linjeintegralen av A mellan två godtyckliga punkter i D är oberoende av vägen dem emellan. i förutsätter här att inte heller rymdkurvan mellan de båda punkterna lämnar D. Det omvända är också sant; om linjeintegralen av A är oberoende av vägen inom D för samtliga start- och slutpunkter, så innebär det att cirkulationen av A är noll inom D. Bevis: i delar upp den slutna kurvan i två delkurvor 1 och 2 enligt figuren till höger. Givet att 0 = A d r fås att ˆ ˆ 0 = A d r A d r, dvs att A d r = 2 A d r. P 1 2 Q D Till sist bör det påpekas att det vi egentligen beskriver när vi säger att linjeintegralen A d r är oberoende av vägen, är en egenskap hos vektorfältet A. ektorfält med denna egenskap sägs vara konservativa. Konservativa fält Till ett konservativt fält A, definierat i det öppna området D, finns ett skalärfält Φ i D sådan att A = grad Φ. }{{} Φ Ovanstående funktion Φ kallas då för potentialen till A. ektorfältet självt beskrivs på liknande sätt ofta som ett potentialfält, vilket alltså är synonymt med att det är konservativt. Det första vi noterar är att potentialen till A inte är entydigt bestämd, ty A = Φ = (Φ + c), }{{} en annan möjlig potential! där c är en konstant. Det skall också påpekas att man inom fysiken, av historiska orsaker, ofta kallar Φ (snarare än Φ) för A:s potential. För ett potentialfält A i ett öppet område D gäller, vilket vi nyss diskuterat, att linjeintegralen mellan två punkter i D är oberoende av vägen dem emellan. Nu är det hög tid att faktiskt visa att ett vektorfält på formen A = Φ verkligen uppfyller detta villkor ˆ A d r = ˆ b a ( Φ) d r du du = = Φ( r(b) ) Φ( r(a) ). }{{} Punkt Q }{{} PunktP ˆ b a ( Φ d du + Φ y dy du + Φ dz z du ) ˆ b du = a d du Φdu om synes, linjeintegralen av A = Φ längs beror endast av rymdkurvans ändpunkter, P och Q. Märk väl att en additiv konstant c, dvs Φ Φ+c, har ingen som helst inverkan på potentialskillnaden Φ(Q) Φ(P ). 4 Ett område D sägs vara öppet om själva punkterna som definierar dess rand inte är en del av D.

34 34 Det är också viktigt att påpeka att ingen annan motstridig form på A än A = Φ ger upphov till linjeintegraler som är helt oberoende av vägen. Faktiskt; om A d r verkligen är oberoende av vägen inom ett öppet bågvis sammanhängande 5 område D, så har A nödvändigtvis en potential där. Denna potential ges av D φ(, y, z) = }{{} r ˆ r a A d r, (Öppet) bågvist sammanhängande område D där a är en valfri fierad punkt i D. Bevis: Antag att samtliga linjeintegraler av A inom D är oberoende av vägen. Då ses att Φ = r A d r är en entydig funktion av, y och z, givet a. Eempelvis, med a = (0, 0, 0) (vilket a antas ligga inom D) fås att Φ = lim Φ( +, y, z) Φ(, y, z) 0 = lim 0 1 = lim 1 = lim 0 1 = A (, y, z). (ˆ (+,y,z) (0,0,0) ˆ (+,y,z) (,y,z) ˆ + A d r ˆ (,y,z) (0,0,0) A d r [A (, y, z)d + A y (, y, z)dy + A z (, y, z)dz] A (, y, z)d } {{ } A (,y,z) På motsvarande sätt visas att Φ = A y y och Φ = A z z. ammantaget fås alltså att ( φ φ =, φ y, φ ) = (A, A y, A z ) = A. z i har, med andra ord, genom att utgå ifrån att alla linjeintegraler av A inom D är oberoende av vägen, hittat en potential till A i form av Φ = r A d r. a lutligen ställer vi oss frågan hur man vet om ett givet kontinuerligt vektorfält A är konservativt eller inte? Att konstruera en potential är nämligen inte alltid så enkelt, så innan vi börjar att aktivt leta efter Φ (för att genom den lösa vår linjeintegral) bör vi vara säkra på att en potential faktiskt eisterar för A. Antag att det finns en funktion U i ett område D så att A = U (A, A y, A z ) = ( U, U y, U ), z 5 Bågvis sammanhängande betyder helt enkelt att alla punkter i området kan förbindas med linjer utan att vi för den sakens skull behöver lämna området. )

35 35 i området. Om U nu eisterar, måste även följande vara uppfyllt 2 U y = 2 U y, A y = A y. På samma sätt fås att A z = A z och A y z = A z y måste gälla för att U skall kunna eistera i D. Dessa tre villkor är nödvändiga villkor för att A skall kunna ha en potential. Om de inte är uppfyllda kan vi genast slå fast att vektorfältet inte är konservativt. Om nyss nämnda villkor är tillräckliga villkor för eistensen av en potentialfunktion beror helt på området D. Mer precist; om D är ett öppet enkelt sammanhängande område 6, ja då vet vi att A har en potential i D under förutsättningen att A y = Ay, A z = Az Ay och z = Az y är uppfyllda. Ej sammanhängande Ej enkelt sammanhängande Enkelt sammanhängande Eempel: Beräkna linjeintegralen A d r för ( A = 2y 2, 4y + y 2 z 2, 2 ) 3 y3 z + z z från punkt P : ( 1, 1, 0) till Q : (2, 0, 1) där ses i figuren till höger. i undersöker först om A kan ha en potential, A y = 4y = A y, A z = 0 = A z, A y z = 2y2 z = A z y. (2,0,1) (-1,1,0) y Ja, vi bör kunna hitta en potential till A. För potentialen Φ gäller då att A = 2y 2 = Φ, A y = 4y + y 2 z 2 = Φ y, A z = 2 3 y3 z + z = Φ z. 6 Ett enkelt sammanhängande område betyder att varje sluten kurva i området kontinuerligt kan reduceras till en punkt utan att vi lämnar området.

36 36 Utifrån uttrycket för A fås att Φ = 2y 2 + f(y, z). Med hjälp av uttrycket för A y fås härnäst att Φ = 2y y3 z 2 + g(z). lutligen, baserat på A z, fås att Φ(, y, z) = 2y y3 z z2 + c, där c är en konstant. Den sökta linjeintegralen beräknas nu enkelt som ˆ A d r = Φ(2, 0, 1) Φ( 1, 1, 0) = Flödesintegralen Betrakta nu ytan, som är styckvis glatt och orienterad. Ytan beskrivs genom parameterframställningen r(u, v), med u, v i området P (se kapitel 3.2). Ytan är att betrakta som uppbyggd av vektoriella ytelement d, vilka ges av d = ˆNd = r u r v dudv, där ˆN är den normaliserade normalvektorn tillhörande ytelementet d. i förutsätter här att parameterframställningen är vald så att ovanstående uttryck för d överenstämmer med ytans givna orientering (se återigen kapitel 3.2). Fortsättningsvis finns även ett vektorfält A, som är definierat och styckvis kontinuerligt på. Flödesintegralen av A över ges, per definition, av A d vilket även kan skrivas som A d = } A {{ ˆN } d Normalkomponenten av A till = A( r(u, v)) p ( r u r v ) dudv. Notera att vi här alltså beräknar integralen över av A:s normalkomponent till ytan. Eempel: En stationärt strömmande vätska i tre dimensioner har den tidsoberoende hastighetsfördelningen v(, y, z), givet i m/s. Materiestömmen fås ur ρ(, y, z) v(, y, z) (med enhet kg/(m 2 s)). ätskemassan som passerar genom det vektoriella ytelementet d, i dess positiva riktning, under tiden dt ges då av ρ v ˆNddt. Det totala massflödet (i kg/s) genom, i dess positiva orienteringsriktning, beräknas slutligen till ρ v ˆNd. v dt d N v v Ndt Uppdelad yta En orienterad yta som består av ett ändligt antal delytor i skrivs som = Flödesintegralen av A över kan delas upp på liknande sätt A d = A d. i i + -

37 37 Byte av orientering En yta består av samma ytelement (d) som, men har den motsatta orienteringen. De vektoriella ytelementen till fås således genom att byta tecken på motsvarande vektoriella ytelement till, vilket medför att A d = A d. Avslutande eempel på flödesintegralen: i söker A d för ytan som ges av z = g(, y), se figuren till höger och notera även ytans orientering. i väljer u =, v = y, z N d + - vilket ger parameterframställningen r(u, v) = (u, v, g(u, v)). Dessutom fås de partiella derivatorna ( r u = 1, 0, g ), u ( r v = 0, 1, g ). v y Normalvektorn till ges antingen av r det sistnämda alternativet r u v eller av r v r u = r r u v. i provar med N = r v r u = ˆ ŷ ẑ 0 1 g v 1 0 g u = ( g u, g ) u, 1. Notera att ovanstående vektor ej är normaliserad. Med detta val av kryssprodukt fås att N har en negativ z-komponent, vilket inte är förenligt med ytans givna orientering. i drar följaktligen slutsatsen att den korrekta normalvektorn är ( N = g u, g ) u, 1. Flödesintegralen kan till sist beräknas som ( A d = A(u, v, g(v, u)) g p u, g ) u, 1 dudv, där integreringen sker över området p i uv-planet (tillika y-planet). amma eempel som ovan, men beräknat med hjälp av gradienten: I detta fall, där ytan ges direkt av och y genom z = g(, y), kan flödesintegralen A d beräknas på ett alternativt sätt; nämligen ur en integrering direkt i och y. Då d = ˆNd, behöver vi dock först kunna uttrycka ytans normaliserade normalvektor

38 38 ˆN samt dess ytelementet d som funktioner av och y. edan tidigare (se kapitel 2.5), vet vi att normalvektorn till en nivåyta Φ(, y, z) = c, där c är en konstant, fås som gradienten av Φ. Normalvektorn till kan således beräknas ur ett skalärfält Φ för vilket är en nivåyta. Det finns två möjliga Φ med denna egenskap samt Φ(, y, z) = z g(, y) +c, }{{} 0 Φ(, y, z) = g(, y) z +c. }{{} 0 De två möjliga valen av Φ ger upphov till normalvektorer med helt motsatt riktning. På samma sätt som tidigare, måste vi helt enkelt kontrollera vilket skalärfält som överrenstämmer med ytans givna orientering. i testar, ( N = grad(z g(, y) + c) = (z g(, y) + c) = g ), g y, 1, vilket stämmer med ytans orientering. Den normaliserade normalvektorn fås följdaktligen som ( ) g ˆN, g, 1 y = ( ) g, g., 1 y Det som återstår nu är att koppla samman ytelementet d med ddy, dvs ytelementet i y-planet. om synes (se figuren till höger) är ddy inget annat än projektionen av d på y-planet, dvs z N d + - ddy = ˆN ẑd. Detta samband mellan d och ddy medför, i sin tur, att ( ) g, g, 1 y d = ˆNd = ˆN ˆN ẑ ddy = Flödesintegralen av A fås slutligen till A ˆNd = A(, y, g(, y)) p ( g, g y, 1 ) (0, 0, 1) ddy = ( g ), g y, 1 ddy, vilket är identiskt med vad vi fick i tidigare lösningsalternativ. dy d ( g ), g y, 1 ddy. y

39 ymmetrier Innan vi rutinmässigt börjar introducera parameterframställningar av, t.e., ytor, kan det vara lönt att först leta efter symmetrier, eller andra egenskaper som förenklar integrationen. om eempel kan här tas en udda funktion f av, dvs f() = f( ). id integrering av f() över ett symmetriskt intervall kring noll, fås att ˆ a a f()d = 0. i behöver, i detta fall, alltså inte leta efter någon primitiv funktion till f. arje bidrag f()d till integralen utraderas av ett annat bidrag f( )d = f()d. iknande symmetrier kan utnyttjas även vid integrering i högre dimensioner. Om vi, t.e., integrerar över ett symmetriskt intervall i och om f(, y) = f(, y) fås att ˆ yma ˆ a y min a f(, y)ddy = 0, oberoende av y-intergralens gränser. arje bidrag f(, y)ddy upphävs nämligen av ett annat bidrag f(, y)ddy. Eempel 1: i söker massan m av ett klot B, med radie R och vars centrum ligger i origo (0, 0, 0). Klotets densitet ges av ρ(, y, z) = a + b. Klotets totala massa beräknas enligt m = B ρd = B (a + b)ddydz = a ddydz } B {{ } 0 +b ddydz } B {{ } olym av B = b 4πR3 3. Eempel 2: i söker nu flödet φ av fältet A = ( 1 + 2, 3, 0) genom en sfär av radie R. färens utsida är positivt orienterad. φ = A ˆN }{{} d = r R = 1 R 2 1d d }{{} 0 = 1 1 ( R 3 3) d = }{{} R 2 ( 1 + 2, 3, 0) ( 1, 2, 3 ) d R d }{{} 0 1 R 2 R 3 4πR2.

40 40 Övningsuppgifter 4.1 Beräkna F d r om F = ( 2, 1, yz) längs kurvan : (t, 2t 2, 3t), 0 t Beräkna linjeintegralen av vektorfältet A = (2yz, 2 z+1, 2 y) från punkten (0, 1, 0) till punkten ( 1, 10, 2). 4.3 Beräkna integralen F d r, där F = (yz, z, y) och är kurvan = a cos ϕ, y = b sin ϕ, z = c sinh ϕ π från punkten (a, 0, 0) till punkten ( a/ 2, b/ 2, c sinh(5/4)). 4.4 Beräkna linjeintegralen A d r av vektorfältet A = (y, 2, 0) från punkt P : (1, 0, 0) till punkt Q : (1, 0, 4π) längs kurvan : r(u) = (cos u, sin u, u), där u : 0 4π. 4.5 Beräkna flödet av F = (1, y, 0) genom ytan = u + v, y = u v, z = u 2, där 0 u 1, 0 v 1. Normalen i punkten (1, 1, 0) har en positiv z-komponent. 4.6 Beräkna F ˆNd om är sfären 2 +y 2 +z 2 = 4 och F = (, y, z). älj normalen utåt. 4.7 Beräkna flödet av vektorfältet A = ( 2, 2y, z) ut genom en sfäryta med radien R och medelpunkten i origo ned hjälp av parametriseringen r = R(sin u cos v, sin u sin v, cos u). 4.8 Beräkna flödet av vektorfältet A = ( 2 y 2, ( + y) 2, ( y) 2 ) genom ytan r = (u + v, u v, uv), där 1 u 1, 1 v 1 och ˆN ẑ > Beräkna 5 f()d då 5 a) f() = b) f() = 2 c) f() = 3 ilka slutsatser kan man dra av detta? 4.10 Avgör om f(, y)ddy = 0 eller om f(, y)ddy 0 för de tre områdena 1, 2, 3 enligt figuren till höger, då a) f(, y) = b) f(, y) = 2 c) f(, y) = 3 d) f(, y) = sin() e) f(, y) = cos() f) f(, y) = y g) f(, y) = y 2 h) f(, y) = 2 y

41 åt vara enhetsklotet, dvs R = 1. Beräkna nu utan integration a) ddydz b) (z + 3)ddydz 4.12 Betrakta cirkelytan 0 r 2, 0 ϕ 2π. Hur stor är y2 d i förhållande till r2 d? 4.13 Räkna uppgift 4.7 utan att parametrisera, genom att sätta ˆN = 1 (, y, z) samt R använda symmetribetraktelser Förklara varför ˆ 1 ˆ y 2 ddy = ˆ 1 ˆ ( 2 + y 2 )ddy.

42 42 5 Gauss sats Betrakta ett vektorfält A. i låter en sluten yta, med utåtriktad normal ˆN, begränsa ett område. Antag nu att A är kontinuerligt deriverbart i hela. Under dessa premisser gäller Gauss sats } div {{ A } d = A A } ˆNd {{}. d Noterbart är att Ad = A ˆNd, dvs Gauss sats, har strukturella likheter med b df d = f(b) f(a). I båda a d fallen fås att då vi integrerar en funktions derivata över ett givet område, så blir resultatet endast beroende av funktionens värde på randen av området. Område (volym): Begränsningsyta: Ytans utsida är positivt orienterad z d N y Innan vi går djupare in på Gauss sats uppbyggnad och dess fysikaliska tolkning, kan det vara upplysande att först se prov på såväl dess praktiska användbarhet som dess begränsningar. i ger därför två beräkningseempel nedan. Eempel 1: i söker flödet av A = ( 1 + 2, 3, 0) ut ur ett klot med radien R och begränsningsytan. Det utgående flödet av A ur fås genom att beräkna flödesintegralen av A med utåtriktad normal ˆN till d och ges, enligt Gauss sats, av A d = Ad = d = 4πR3 3, där vi använt oss av att ( 1 + 2, 3, 0) = 1. Ovanstående resultat stämmer väl överrens med tidigare beräkning av samma flödesintegral, se kapitel (utsidan) + - (insidan) d R N 2 Eempel 2: Ett varnande eempel Betrakta nu ett elektriskt fält E = r runt en punktladdning som är placerad vid origo. i r 3 söker flödet av E ut ur ett klot, centrerat kring origo, med radie R och begränsningsyta. En direkt beräkning av flödesintegralen ger: E }{{} ˆN d = r R r R r R2 d = 3 R R 4 4πR2 = 4π, där vi utnyttjat att r r = R 2 på ytan (sfären). Om vi istället tillämpar Gauss sats rakt av fås E d = Ed [ 1 = ] 3 d 1 ( }{{ 3) 3/2 2 ( }}{{ 3) 3/2 3 ( }}{{ 3) 3/2 } = 1 r 3/ r 5/2 0d = 0 4π. 1 r 3/ r 5/2 1 r 3/ r 5/2

43 43 å, vad gjorde vi för fel? arför gav ovanstående beräkning med Gauss sats inte det rätta svaret 4π? Anledningen till denna avvikelse är att E har en singulär punkt i origo, dvs E( r) då r 0. ektorfältet E är därmed inte kontinuerligt deriverbart i hela området, då även inkluderar origo. Gauss sats kan därför inte tillämpas på problemet ifråga. i återkommer till detta varnande eempel i ett senare kapitel, för att mer utförligt diskutera hur singulära punkter likt denna bör hanteras. Divergensen Divergensen av A spelar, som synes, en central roll i Gauss sats. i tar därför nu en närmare titt på vad Gauss sats säger om just A. Om vi krymper området till ett mindre område (t.e. likt det i figuren till höger), vilket är centrerat kring punkten P, så fås att ( A) P A d, där är begränsningsytan till. I ovanstående uttryck har vi utnyttjat att det beskedligt varierande A är nästintill konstant inom det lilla. I gränsen 0, erhålls likheten (div A) P = ( A) 1 P = lim 0 A d, itet område: Δ Begränsningsyta: Ytans utsida är positivt orienterad Punkt P givet Gauss sats. om kommentar kan nämnas att ovanstående formel faktiskt ibland används som själva definitionen på divergensen. En anledning därtill är att vi, med ovanstående uttryck som definition, slipper utgå ifrån = (,, ), vilket bygger y z på ett specifikt koordinatsystem (nämligen det kartesiska). Bevis: i visar nu att ovanstående uttryck för A i punkten P även fås ur en direkt beräkning av högerledets flödesintegral, dvs utan att åberopa Gauss sats. För att förenkla beräkningen av flödesintegralen väljer vi till en låda, med sidlängderna, y och z (se figuren till höger). Mitt i ligger punkten P : ( 0, y 0, z 0 ). Det skall understrykas att samma slutresultat, dvs att ( A) 1 P = lim 0 A d, fås oberoende av formen på, förutsatt att krymper kring och till punkt P. z 1 2 y z y ådan har se yttersidor; två av dessa är parallella med y-planet, två med z-planet och två med yz-planet. i kan därmed dela upp flödesintegralen i tre olika bidrag A d = F + F y + F z, där F i är nettoflödet av A ut ur lådan genom de två sidor vars normal är riktad i i- led. Till eempel, nettoflödet F fås av ytintegralerna över :s delytor 1 och 2 (som är parallella med yz-planet, se figuren ovan). i påminner om att ytan :s utsida är positivt

44 44 orienterad, vilket betyder att normalen till 1 ges av ˆ och till 2 av ˆ. i kan därmed beräkna nettoflödet F som F = A ˆd + A ( ˆ)d = = 1 2 A ( 0 +, y, z)dydz A ( 0, y, z)dydz 2 2 [ A ( 0 + 2, y, z) A ( 0 ], y, z) dydz, 2 där är den gemensamma projektionen av 1 och 2 i yz-planet. Ovanstående uttryck kan förenklas ytterligare med hjälp av integralkalkylens medelvärdessats, varpå vi får att [ F = A ( 0 + 2, y 1, z 1 ) A ( 0 ] 2, y 1, z 1 ) y z, där (0, y 1, z 1 ). Härnäst används differentialkalkylens medelvärdessats, vilket ger att F = A ( 0 + θ 2, y 1, z 1 ) y z = A }{{} (P ), där θ 1 och där punkten P ligger inom. I samband med att reduceras kring och till punkt P måste även P P. Med andra ord, lim 0 1 F = A (P ). På liknande sätt fås bidragen F y och F z till lim 0 lim 0 1 F y = A y (P ), y 1 F z = A z (P ). z ammantaget blir därmed 1 lim 0 A d = lim v 0 vilket var vårt mål att visa. ( 1 (F A + F y + F z ) = + A y y + A ) z z P = ( A) P, ambandet ( A) 1 P = lim 0 A d ger även en tydlig fysikalisk tolkning av divergensen. om synes beskriver divergensen av A i en punkt P storleken på flödet av A ut från punkten, dvs A är ett mått på A:s spridning. e även vår tidigare diskussionen kring divergensen i kapitel 2.6. Bevis av Gauss sats Med utgångspunkt i ( A) 1 P = lim 0 A d,

45 45 vilken vi nyss visat genom att utföra den faktiska z flödesintegralsberäkningen, fås Gauss sats naturligt. i tänker oss här ett område, med begränsningsytan, som uppbyggt av infinitesimala lådor d, med tillhörande ytor. För varje enskild låda d i gäller att Ad = A d. Totalt sett, om vi lägger samman alla lådor, fås följdaktligen att Ad = A d, N Område uppdelad i delområden Δ vilket är Gauss sats. Notera att det endast är flödet på :s rand som överlever i högerledet. Bidraget från ytor mellan två lådor tar nämligen ut varandra, då ytorna som tillhör olika lådor har motriktade normaler (se figuren nedan). y Fysikalisk tolkning av Gauss sats En möjlig fysikalisk tolkning av Gauss sats fås genom att betrakta en stationärt strömmande, inkompressibel och homogen vätska. ätskans hastighet, i m/s, ges av det tidsoberoende vektorfältet v(, y, z). i tar nu en närmare titt på vätskan vid ett infinitesimalt område d, med begränsningsytan. Ut ur d strömmar v d = vd kubikmeter vätska per sekund. För att vätskans flöde skall kunna vara stationärt, dvs inte förändras med tiden, måste vd kubikmeter vätska också produceras per sekund i d. Av denna anledning kallas div v av ett tidsoberoende vektorfält v för källtätheten, vilket är lika med producerad mängd/(m 3 s). i lyfter nu blicken och undersöker ett större område, med begränsningsytan. Gauss sats v d = vd, säger nu, i denna tolkning, att nettoflödet per sekund av vätska ut genom är samma som nettomängden vätska producerad i hela per sekund. Till sist några ord om källtätheten div v. Om ( v) P > 0 betyder det att vätska skapas i d. Man kan, i princip, tänka sig att det då lokalt sker någon typ av kemisk reaktion som producerar vår vätska. Alternativt kan man tänka sig att d innesluter ett utlopp från en vattenkran ur vilken vätska flödar. Om istället ( v) P < 0 förintas (eller annihileras) vätskan istället. i har i detta fall sänkor i d. Normal vätskeflöde är förstås källfritt, dvs v = 0 överallt. Källfritt fält Ett källfritt (eller solenoidalt) fält A kännetecknas av att A = 0. Enligt Gauss sats fås, i detta fall, att A d = 0,