på fråga 6 i tävlingen för matematiklärare. 'l.

Transkript

1 påståendet nte gäller för alla Betrakta sdan AB och dagonalen D ;~var på fråga 6 tävlngen för matematklärare. 'l. Jag böjar med att vsa att antalet dagonaler en n-hömng är n(n-3)/ j ' :., Bevs: Frän varje hörn kan dras (n-3) dagonaler. Från n hörn n(n-3) stycken, men då varje dagonal kan ses som dragen från två håll så halveras antalet, det vll säga n(n-3)/2. V.s.v. Jag fortsätter med att 6, nämlgen bevsa att en regelbunden 5-hörnmg är: Antalet sdor S, alla sdor lka långa och alla vnklar lka stora. Antalet dagonaler 5(5-3)/2 =S ; : c j,., j var sn av de 5 dagonalerna. Med detta har jag vsat att påståendet fråga 6 nte är sant för alla konvexa polygoner med ett udda antal hörn. V.S.v.

2 ~. ~) Låt P vara en polygon med Det maxmala antalet dagonaler som Kalla hörn ror A och -~ ~ A, Återstår att vsa rktgheten påståendet :furkonvexa polygoner jämnt antal hörn. med, Jag påstår då: Antalet dagonaler ar n(n-3)/2. :b),, :F) sda är n(n-4)/2. n(n-3)/2 är större än n(n-4)/2 för alla n. Bevs: a) Vsat under punkt. b) Betrakta en polygon med n hörn där fl är ett jämn tal. Numrera hörnen:,2,....., n/2, n/2+,... ", n-l, n. n -... ) f)...,, ' ~-' ~n-3 f l : Yz--2 '. ' : )/- :.- ' O/z,,'t..3, : 'j /) ~ 0/2,"

3 AB och maxmera antalet (n/2+2). (Om man drar sdan CD. Antalet hörn som För alla n sdorna n-hömngen Betrakta sdan enlgt följande: från 2 - (n-l), ftån 3 - (n-2),från 4 - (n-3), och så vdare tll (n/2-) - dessa hörn så utnyttjar man nte alla hörn.) 'Langst ner" fnner man att n/2 - (n/2+l) nte är en dagonalutan tllkommer alltså nte några flera. totalt skulle då maxmalt n(n-4)2 stycken dagonaler kunna vara parallella med någon sda. V.S.V. c) Jag löser olkheten n(n-3)/2 > n(n-4)/2 n-3 > n-4-3 >-4 Sant för alla n. V.S.V. Slutsats: en polygon P med jämnt antal hörn fnns åtmnstone en dagonal som nte är parallell med någon sda P. ALTERNATVT BEVS b: FÖR PUNKT En varant på bevset är att antalet hörn med två och tll sst fnner mönstret. 4-hörnng: lngen dagonal är parallell med någon sda. 6-hörnng: Antal sdor är 6 och antalet dagonaler är 6(6-3)/2 = 9

4 hörn) eller DF (utgår från F Alltså maxmalt en dagonal är maxmalt ha 6 dagonaler parallella g F' kan EAB tän D \.., vara parallellme CF CR (u fr sa CE). Samma resonemang vad gäller övrga sdor vsar att 6-hömngen kan g-härnng: Antal sdor är g och antal dagonaler är 8(8-3)/2 = 20 \ /, --". \,... '-',-" '.'j'.

5 T från E eller från F. Men då H~ A ~ AB kan vara parallell med JC " AB kan var par en frgel med en dagonal eller korsar de redan föreslagna dagonalerna frånhoc så tllförs nga fler antal. Alltså maxmalt två dagonaler Maxmala antalet parallellteter 8-hömngen är 8 gånger 2 = 6 0-hömngen: 0 sdor och 0(0-3)/2 = 35 dagonaler. g. --,o '~---, F tdgare använts eller korsar tdgare dagonaler så tllkommer nga fler antal. Alltså maxmalt tre Maxmala antalet paralleuteter O-härnngen är 0 gånger 3 = hörnngen: 2 sdor och 2(2-3)2 = 54 dagonaler. Som ovan kan vsas att maxmalt fyg dagonaler är paralela med var sda. Maxmala antalet parallelteter 2-hömngen är 2 gånger 4 = 48.

6 Eda Gymnaseskola 4O för alla D.. 24 Mönstret: Antal sdor: n Antal dagonaler: n(n-3)/2 Möjlga parallella: lod n(n-4)/2 Enlgt bevs punkt c) på sdan 2, så gäller att n(n-3)/2 > n(n-4)/2 Slutsats: Antalet dagonaler en n-hörnng, där n är ett jämnt tal, är alltd stö e än antalet dagonaler som kan vara parallella med någon sda. Wveca Axelsson