i) exakt en lösning ii) oändligt många lösningar iii) ingen lösning.

Storlek: px

Starta visningen från sidan:

Download "i) exakt en lösning ii) oändligt många lösningar iii) ingen lösning."

Emil Eliasson
för 5 år sedan
Visningar:

1 TENTAMEN -Dc-9, HF och HF8 Momnt: TEN (Lnjär algbra, hp, srftlg tntamn Kursr: Analys och lnjär algbra, HF8, Lnjär algbra och analys HF Klassr: TIELA, TIMEL, TIDAA Td: -7, Plats: Campus Flmngsbrg Lärar: Marna Aralyan, Frdr Brgholm och Armn Hallovc Examnator: Armn Hallovc Btygsgränsr: Maxpoäng För btyg A, B, C, D, E, Fx rävs, 9,,, rsptv 9 poäng Hjälpmdl på tntamn TEN: Utdlad formlblad Mnränar j tllåtn Komplttrng: 9 poäng på tntamn gr rätt tll omplttrng (btyg Fx Srv ndast på n sda av papprt Srv namn och prsonnummr på varj blad Inlämnad uppgftr sall marras md ryss på omslagt Dnna tntamnslapp får j bhållas utan lämnas n tllsammans md lösnngar Fullständga lösnngar sall prsntras tll alla uppgftr Uppgft (p a (p Låt u (,,, v (,, och (,7, att w Bstäm värdt på taln x,y och så x u yv w (Tps: Lös dt omponntvs, så att dt blr tt vatonssystm x b (p Lös olhtn < x Uppgft (p En trangl ABC är gvn, där A(,,, B(,,, och C(,, a (p Bräna tranglns ara b (p Bräna tranglns höjd från puntn A x y Uppgft (p För vlt värd på a har systmt x y x y a xat n lösnng oändlgt många lösnngar ngn lösnng Var god vänd!

2 Uppgft (p Bstäm vatonn för dt plan som går gnom puntn A(,, och som är parallll md lnjrna L: ( x, y, ( t, t, t och L ( x, y, ( t, t, t Uppgft 5 (p Bstäm (dt ortast avståndt från puntn P(,, tll lnjn L: ( x, y, ( t, t, t Uppgft (p a (p Lös vatonn 7, där är tt omplxt tal b (p Ang alla lösnngar på formn ab Uppgft 7 (p Lös följand matrsvatonr md avsnd på X: a (p X 5 b (p X 8 Uppgft 8 (p Bstäm c om c a b och a, b och vnln mllan vtorrna a och b är Lyca tll

3 FACIT Uppgft (p a (p Låt u (,,, v (,, och (,7, att w Bstäm värdt på taln x,y och så x u yv w (Tps: Lös dt omponntvs, så att dt blr tt vatonssystm x b (p Lös olhtn < x Lösnng: a (p Låt u (,,, v (,, och (,7, att w Bstäm värdt på taln x,y och så x u yv w (Tps: Lös dt omponntvs, så att dt blr tt vatonssystm x (,, y(,, (,7, (,, x y x y 7 y x y y y x y y En fr varabl t Från andra och första v har v y t och x t Svar a x t, y t t x b (p Olhtn < x an srvas som ( x ( x < x Tcntabll: x-värdn x x x f (x Ej df

4 Svar b x (, (, Altrnatvt srvsätt: { x R : Rättnngsmall: x < llr < x < } a Korrt tll och md systmt x y x y 7 y gr p Allt orrt p b Korrt tabll p Allt orrt p Uppgft (p En trangl ABC är gvn, där A(,,, B(,,, och C(,, a (p Bräna tranglns ara b (p Bräna tranglns höjd från puntn A Lösnng: AC ( ;; AB ( ;; BC (;; C C j A ABC AC AB (,, a b (p A A ABC BC h h BC l (Man an lösa uppgftn på flra ola sätt Svar a a b l Rättnngsmall: a Korrt vtor produt gr p Allt orrt p b Korrt mtod md mndr ränfl p Allt orrt p

5 x y Uppgft (p För vlt värd på a har systmt x y x y a xat n lösnng oändlgt många lösnngar ngn lösnng Lösnng: D a a D a Om a är D som mdför att systmt har xat n lösnng För att undrsöa fallt a substturar v dtta värd för a systmt oc lösr md Gaussmtodn: x y x y x y x y y 5 y 5 x y y 5 Motsäglsn trdj vatonn vsar att systmt sanar lösnng om a Svar Exat n lösnng om a Fallt md oändlgt många lösnngar an nt föromma ngn lösnng om a Rättnngsmall: Korrt dtrmnantn D a a gr p Korrt rsonmang och svar tll gr p Korrt p Korrt p Uppgft (p Bstäm vatonn för dt plan som går gnom puntn A(,, och som är parallll md lnjrna L: ( x, y, ( t, t, t och L ( x, y, ( t, t, t Lösnng:

6 Lnjrnas rtnngsvtorr är v (,, och v (,, Därför är plants normalvtor n v v (,, Plants vaton : ( x ( y ( llr x y Svar: x y Rättnngsmall: Korrt n v v (,, gr p Allt orrtp Uppgft 5 (p Bstäm (dt ortast avståndt från puntn P(,, tll lnjn L: ( x, y, ( t, t, t Lösnng: Mtod: Låt Π vara plant som går gnom puntn P(,, vnlrät mot lnjn L Plant Π har n normalvtor n (,, (dvs samma som lnjns rtnngsvtor Därmd är ( x ( y ( llr x y plants vaton Särnngspuntn mllan lnjn L och plant for v gnom att lösa systmt: x t, y t, t, x y Substtutonn av x,y och plants v gr t t t t t / Särnngspuntn är Q ( /, /,/ Avståndt är d PQ ( /, /, 8/ (,, Mtod : V an använda formln AP v d där A är n punt på lnjn L v V väljr A(,,, som v får för t Då är AP (,, och j AP v j (,, Slutlgn AP v d v

7 Svar: Rättnngsmall: Mtod Korrt plants vaton y x gr p Allt orrtp Mtod Korrt mtod och v AP gr p Allt orrtp Uppgft (p a (p Lös vatonn 7, där är tt omplxt tal b (p Ang alla lösnngar på formn ab Lösnng: a 7 7 Eftrsom 7 7 har v vatonn ( 7 Här av sn( ( där,, b För har v sn( För har v ( 7 sn( 7 sn( För har v ( sn( sn( Svar: a ( där,,

8 llr sn( där,, b, Rättnngsmall : ap, bp Uppgft 7 (p Lös följand matrsvatonr md avsnd på X: a (p 5 X b (p 8 X Lösnng: a Btcna A, B och 5 C Båd A och B är nvrtrbara ftrsom dt( A och dt( B Från C AXB har v 5 CB A X 5 8 b Från rglr för matrsmultplatnn har v att typ(x x Låt y x X Då gällr 8 8 y x X Härav får v vatonssystm

9 x y x y 8 x y som har n lösnng x, y Alltså X Svar a 8 X b X 5 Rättnngsmall : a Korrt n nvrsmatrsp Allt orrtp x y b Korrt tll och md vatonssystmt x y 8 gr p Allt orrtp x y Uppgft 8 (p Bstäm c om c a b och a, b och vnln mllan vtorrna a och b är Lösnng: c c c (a b(a b 9a a a b b b 9 a a b b Därför c 8 l Svar: l Rättnngsmall: Korrt tll c 9a a a b b b gr poäng

Relevanta dokument

Uppgift 1. (4p) (Student som är godkänd på KS1 hoppar över uppgift 1.) b) Bestäm volymen av parallellepipeden som spänns upp av vektorerna

Uppgift 1. (4p) (Student som är godkänd på KS1 hoppar över uppgift 1.) b) Bestäm volymen av parallellepipeden som spänns upp av vektorerna TENTAMEN 5-Okt-6, HF6 och HF8 Momnt: TEN (Lnjär algbra), hp, skrftlg tntamn Kursr: Analys och lnjär algbra, HF8, Lnjär algbra och analys HF6 Klassr: TIELA, TIMEL, TIDAA Td:.5-7.5, Plats: Campus Hanng Lärar: