Elementær diskret matematikk, MA0301, våren 2011

Transkript

1 Lösningsförslag Elmntær iskrt matmatikk, MA00, vårn 0 Oppgav Varj or motsvarar n prmutation av storlk från 9 bokstävrna i TRONDHEIM Alltså är antalt sökta or P(9,) = På liknan sätt får vi att t finns P(8,) såana or som int innhållr bokstavn O Antalt or som innhållr bokstavn O är alltså P(9,) P(8,) = = (9 ) = Oppgav Binomialtormt gr (+x ) = k=0 ( k ) k k x k Kofficintn till x 0 motsvarar k = 0, t vill säga k = Därm är kofficintn till x 0 : ( ) ( ) = 7 = = 9 Oppgav Följan rsonmang visar att argumntt är giltigt: Oppgav Stg Motivation ) q Prmiss ) q Dubblngation: ) ) p q Prmiss ) p Mous Tollns: ), ) ) p r Prmiss 6) r Disjunktiv syllogism: ), ) 7) r q Konjunktion: ),6) 8) (r q) s Prmiss 9) s Mous Ponns: 7),8) Vi bvisar att a n = n + m inuktion övr n Först vrifirar vi basfallt a 0 = = = 0 + Därftr tar vi inuktionsstgt Låt k 0 och antag att a k = k +

2 Enligt rkursionsformln gällr å att a k+ = a k = k + Enligt inuktionsprincipn följr att för alla naturliga tal n Oppgav a) Dfinira f : A B gnom och g : B A gnom = k+ + a n = n + f(a) =, f(b) =, f(c) = g() = a, g() = b, g() = c, g() = c = k+ + Då är g f inntittsfunktionn på A och ärm bijktiv Dssutom är invrsn (g f) också inntittsfunktionn på A, t vill säga b) Dfinira f : A B gnom och g : B A gnom (g f) (a) = a, (g f) (b) = b, (g f) (c) = c f(a) =, f(b) =, f(c) = g() = a, g() = a, g() = b, g() = c Då är f injktiv ftrsom f(a), f(b) och f(c) alla är olika Dssutom är g(b) = {a,b,c}, vilkt gr att g är surjktiv Vi bräknar nu (g f)(a) = a, (g f)(b) = a, (g f)(c) = b, vilkt visar att (g f) int är bijktiv Till xmpl sr vi att (g f)(a) = a = (g f)(b) och alltså är (g f) int injktiv Oppgav 6 Om vi kör Kruskal s algoritm i stg så får vi lgrafn

3 I följan stgn kan vi välja n av kantrna {g,f}, {,f} och n av kantrna {b,c}, {,c} Dt gr = möjliga val vilka rsultrar följan minimala utspännan trä: Oppgav 7 Vi sökr n maskin m inputalfabt och outputalfabt {0,} Dn ska g output som slutar m om och nast om input liggr i {0} {}{0} Vi kallar starttillstånt s 0 Ett xmpl på n såan maskin är,0, s 0 s s M : 0,0,0 0,0 0,0,0 0, s s s 0,0,0 Vi kan kontrollra att M kännr ign {0} {}{0} gnom att vrifira att M bfinnr sig i tillstån s i om och nast om M har läst in n sträng från språkt L i är L 0 = {0}, L = {0} {}, L = {0} {}{0}, L = {0} {0}, L = {0,} \( j L j), L = {0} {}{0} {} x,0

4 Oppgav 8 Vi bräknar grarna av alla nor: G : G : G : G : Eftrsom antalt nor av gra är olika i alla fall utom för G och G så är n na möjlightn att G och G är isomorfa Att G är isomorf G visar vi gnom att hitta n isomorfism f från G till G : x f f(x) u v t y s x Oppgav 9 a) Rlationn R är n lvis orning Rflxsiv: Låt f F Då gällr att f(x) f(x) för alla x Z Alltså gällr frf Transitiv: Låt f,g,h F så att frg och grh Då gällr att f(x) g(x) h(x) för alla x Z Alltså gällr att f(x) h(x) för alla x Z och ärm är frh Antisymmtrisk: Låt f,g F så att frg och grf Då gällr att f(x) g(x) f(x) för alla x Z Alltså gällr att f(x) = g(x) för alla x Z och ärm är f = g b) Rlationn S är int n lvis orning Mr prcist gällr att S varkn är transitiv llr antisymmtrisk Dfinira f,g,h F gnom f(x) =, h(x) = 0 för alla x Z och { x 0, g(x) = 0 x > 0 Då är f(0) = = g(0) och g() = 0 0 = h() Alltså är fsg och gsh Mn f(x) = > 0 = h(x) gällr för alla x Z Alltså är f int rlatra till h och ärm är S int transitiv Dssutom gällr att g(0) = = f(0) vilkt gr gsf Eftrsom f g så är S int antisymmtrisk

5 Oppgav 0 När Dijkstra s algoritm kör så bsöks norna i följan orning: a, b,,, f, c Unr tin tilllas ssa tikttr: (,f) (,a) (6,b) (0, ) (,a) (,a) (,b) f (,b) (,) Därm är a b f c n kortast vägn från a till c